Конкурс рисунков по математике обман зрения

Список секций
Математика
«ИЗУЧЕНИЕ ИЛЛЮЗИЙ В МАТЕМАТИКЕ»

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Содержание

Область применения оптических иллюзий………………………………………….11

Введение.

Я и моя семья посетили музей «Кварки». В музее множество оптических иллюзий и головоломок. Больше всего мне понравилась «Комната Эймса».

Часть экспонатов демонстрируют взаимодействие человека и окружающей среды и то, как эффективно может человек использовать законы физики и силы природы.

Оказывается не всегда то, что мы видим можем объяснить. И я поставил перед собой цель разобраться, почему так легко обмануть мозг человека.

Цель исследования:

Изучить влияние математики на зрительные иллюзии человека.

Задачи работы:

Выяснить, что такое зрительно-геометрические иллюзии.

Каковы причины их возникновения.

Области применения математических иллюзий.

Самостоятельное создание иллюзий.

Иллюзии в математике.

Вертикально-горизонтальная иллюзия (Иллюзия Вундта-Фика)

У изображённой Т – образной фигуры вертикальная линия кажется длиннее горизонтальной. На самом деле они равны.

Иллюзия Мюллера-Лайера — одна из самых известных оптико-геометрических иллюзий. Она известна уже более ста лет: к концам двух равных по длине отрезков пририсованы стрелки, к одной — расходящиеся в разные стороны, а к другой — сходящиеся навстречу друг другу. Посмотрев на этот рисунок, большинство наблюдателей скажет, что левый отрезок со стрелочками наружу длиннее правого со стрелочками, направленными внутрь. Впечатление настолько сильное, что, согласно экспериментальным данным, испытуемые утверждают, что длина левого отрезка на 25-30% превышает длину правого.

Иллюзия Поггендорфа

Удивительное впечатление производит картинка с двумя параллельными пересекаемыми наклонной прямой. Если правую наклонную линию продолжить, то она пересечётся с левой в её верхнем конце. Кажущаяся точка пересечения расположена несколько правее.

Иллюзия параллелограммов

Поразительную иллюзию создают углы – тупой и ос острый: диагонали АВ и ВС двух параллелограммов равны, хотя диагональ АВ кажется гораздо короче.

Объект Тьерри

Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз — верхний куб со стенками внизу.

Иллюзия Эббингауза-Титченера

Иллюзия, при которой один и тот же предмет воспринимается как более крупный среди маленьких фоновых предметови меньше среди больших фоновых предметов

Иллюзия Цёльнера

Длинные параллельные линии, пересеченные серией коротких диагональных отрезков, кажутся расходящимися. Эту иллюзию Цёльнер заметил в 1860 году случайно, рассматривая ткань.

Приступая к решению геометрической задачи мы, как правило, первым делом строим чертёж. В древние времена решение на этом и заканчивалось. Все доказательства сводились к одному слову ”Смотри!” Но всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет!

Почему совершаются ошибки в оценке и сравнении между собой длин отрезков, величин углов, расстояний между предметами, в восприятии формы предметов и прочее, совершаемые наблюдателем при определённых условиях. Ошибки эти весьма многочисленны, разнообразны.

Обман зрения.

Выражение «обман зрения» в жизни встречается очень часто. К сожалению, наш глаз не самый точный прибор в мире, поэтому и ему свойственно ошибаться. Эти ошибки называют оптическими иллюзиями. Попросту говоря – это неверное представление реальности. Их известно очень большое количество, и все они разные, как и причины, их возникновения.

Самые простые оптические иллюзии мы видим ещё в детстве, когда наблюдаем за тучами, облаками, которые складываются в витиеватые фигуры, необыкновенные формы. Природа — самый лучший и неиссякаемый источник иллюзий.

Часто то, что мы видим обманчиво, и многое оказывается совсем не тем, чем кажется на первый взгляд. Даже самые простые вещи могут таить в себе самые неожиданные открытия, нужно только присмотреться.

Оптические иллюзии возникают из-за особенностей нашего зрения. Наши глаза легко обмануть. Мы не всегда верно воспринимаем размер, цвет и положение в пространстве или иных предметов.

Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является:

1. Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;

2. Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу;

3. Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, проходящие от глаз.

Виды иллюзий.

Иллюзии восприятия размера (Приложение 1).

Наши глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера фона изображения. Это относится к длинам, площадям, радиусам кривизны. Также сказанное справедливо и в отношении углов, форм и так далее

Иллюзии восприятия цвета (Приложение 2).

Уже около ста лет известно, что когда на сетчатке глаза возникает изображение, состоящее из светлых и темных областей, свет от ярко освещенных участков как бы перетекает на темные участки. Это явление называется иррадиацией

Иллюзии восприятия глубины (Приложение 3).

Неадекватное отражение воспринимаемого предмета и его свойств. В настоящее время наиболее изученными являются иллюзорные эффекты, наблюдаемые при зрительном восприятии двухмерных контурных изображений. Мозг бессознательно видит рисунки только одно-выпуклые (-вогнутые). Восприятие зависит от направления внешнего (реального или подразумеваемого) освещения.

Перевертыши.

Вид оптической иллюзии, в которой от направления взгляда зависит характер воспринимаемого объекта.

Невозможные фигуры и объекты.

При рассматривании таких рисунков каждая отдельная деталь кажется вполне правдоподобной, однако при попытке проследить линию, оказывается, что эта линия уже, например, не внешний угол стены, а внутренний.

Иллюзии движения. (Приложение 4)

Неподвижное изображение кажется движущимся. Иллюзии движения — самые впечатляющие и самые труднообъяснимые. Вы смотрите на неподвижные объекты, и они начинают двигаться.

Вы можете остановить движение только одним способом: прищурившись, намертво зафиксировать взгляд на точке в центре какого-нибудь круга и не мигать

Комната А. Эймса (Приложение 5)

ППомещение неправильной формы, созданное для того, чтобы вызвать оптическую иллюзию. Она была спроектирована американским офтальмологом Адельбертом Эймсом.

Когда мы смотрим с глазка наблюдателя на комнату, она воспринимается как обычная прямоугольная, хотя на самом деле таковой не является.

Истинная форма комнаты трапециевидная: стены наклонены, потолок и пол также находятся под наклоном, а правый угол находится гораздо ближе к зашедшему в комнату наблюдателю, чем левый, или наоборот. Ложная перспектива усугубляется клетчатым полом и рисунками на полу и потолке.

В результате оптической иллюзии человек, стоящий в одном углу, кажется наблюдателю гигантом, в то время как человек, стоящий в другом углу, кажется карликом. Иллюзия настолько убедительна, что человек, идущий вперёд и назад от левого угла в правый угол, «растёт» или «уменьшается» на глазах.(Приложение 5). Принцип комнаты Эймса широко используется в кино и на телевидении для создания спецэффектов, когда человека на самом деле нормального роста необходимо показать в качестве гиганта или карлика по сравнению с другими.

Области применения обмана зрения.

С давних пор люди научились использовать оптические иллюзии в своей практической деятельности. И, надо сказать, значительно в этом преуспели.

Знание и правильное использование свойств зрительных иллюзий в дизайне одежды позволяет модельерам и дизайнерам подчеркнуть достоинства фигуры и скрыть недостатки. Например, вертикальные полосы на одежде зрительно придают фигуре стройность, а крупная клетка расширяет (Приложение 6).

Многие художники используют иллюзии в своих произведениях, потому что они показывают не то, что нарисовано на самом деле. Ну, а самые эффектные иллюзии, конечно же, используются в цирковом искусстве.

Архитекторы используют иллюзию для визуального изменения высоты и площади постройки, созданная с помощью трёхмерной графики, также широко используется в архитектуре и строительстве — «живые» стены, полы, «движущиеся» фасады существенно разнообразят квартиры и экстерьеры зданий (Приложение 7).

В современном мире оптические иллюзии используются даже в рекламной деятельности.

11 Заключение и выводы Мир иллюзий чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение этого мира имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.

Причины некоторых иллюзий установлены, но большинство из них не имеет научного объяснения и по сей день.

За зрительное восприятие отвечает вся система зрительного аппарата, включающая глаза, нервные клетки и окончания, благодаря которым зрительный сигнал поступает в мозг, и непосредственно та часть мозга, которая и отвечает за визуальное восприятие явлений или предметов. Зная особенности зрения, человек может анализировать получаемую картинку, понимать, когда глаза его обманывают, а когда изображение полностью реально.

Хотелось бы отметить, что те иллюзии, с которыми я экспериментировал на самом деле обман зрения. Кажется одно: например, что прямые пересекаются, а на самом деле они параллельны, что один круг больше другого, а они равны, отрезки кажутся разными, хотя их длины одинаковы. Можно сделать вывод, что иллюзию можно объяснить с помощью законов геометрии.

Список литературы:

Журнал «Клепа» «Царица математика» №10 , www/klepa.ru

Григорьева Н.Ю. Живая математика. М.2006г

Карпунина Н.М. Неожиданная математика. М.2003г

Луизов А. В.. Цвет и свет. Л.: Энергоатомиздат, 1989.

Для детей и родителей

Виды обмана зрения:

обман зрения на основе восприятия цвета;
обман зрения на основе контраста;
искривляющие иллюзии;
оптический обман восприятия глубины;
оптический обман восприятия размера;
контурный обман зрения;
обман зрения «перевертыши»;
комната Эймса;
движущиеся оптические иллюзии.
стерео-иллюзии, или, как их еще называют: «3d картинки», стереокартинки.

ИЛЛЮЗИЯ РАЗМЕРА ШАРА
Неправда ли, размер этих двух шаров разный? Верхний шар больше нижнего?

На самом деле это обман зрения: эти два шара, абсолютно равны. Можешь воспользоваться линейкой для проверки. За счет создания эффекта удаляющегося коридора художнику удалось обмануть наше зрение: верхний шар нам кажется больше, т.к. наше сознание воспринимает его, как более дальний объект.

ИЛЛЮЗИЯ А.ЭЙНШТЕЙНА И М.МОНРО
Если ты смотришь на картинку с близкого расстояния, то видишь гениального физика А.Эйнштейна.

Теперь попробуй отойти на несколько метров, и … чудо, на картинке М.Монро. Здесь вроде все обошлось без обмана зрения. Но как?! Никто же не подрисовывал усы, глаза, волосы. Просто из далека зрение не воспринимает какие-то мелочи, а на крупные детали делает больший акцент.

Оптический эффект, создающий у зрителя ложное представление о месте нахождения сидения, обусловлен оригинальной конструкцией стула, придуманного французской студией Ibride.

Смотрите на крестик в центре

В какую сторону крутится колесо?

Смотрите, не моргая, в середину изображения 20 секунд, а потом переведите взгляд на чье-нибудь лицо или просто стену.

ИЛЛЮЗИЯ СТОРОНЫ СТЕНЫ С ОКНОМ
С какой стороны здания расположено окно? С левой, а может быть с правой?

Снова наше зрение обманули. Как это стало возможно? Очень просто: вернхяя часть окна изображена, как окно, находящееся с правой стороны здания (мы смотрим, как бы снизу), а нижняя часть – с левой (мы смотрим сверху). А середину зрение воспринимает, как считает нужным сознание. Вот и весь обман.

Оптическая иллюзия, созданная Крисом Уэстоллом. На столе стоит чашка, рядом с которой стоит куб с маленькой чашечкой. Однако при более детальном рассмотрении мы можем увидеть, что на самом деле куб нарисованный, и чашки абсолютно одинакового размера. Подобный эффект замечается только под определенным углом.

Иллюзия «Стена кафе»

Внимательно всмотритесь в изображение. На первый взгляд кажется, что все линии изогнуты, однако на самом деле они параллельны. Иллюзия была обнаружена Р. Грегори в кафе Wall в Бристоле. Отсюда и пошло ее название.

Иллюзия Пизанской башни

Выше вы видите две картинки Пизанской башни. На первый взгляд кажется, что башня справа наклоняется больше, чем башня слева, однако на самом деле обе эти картинки одинаковые. Причина кроется в том, что визуальная система рассматривает два изображения как часть единой сцены. Поэтому нам кажется, что обе фотографии не симметричны.

ИЛЛЮЗИЯ ВОЛНИСТЫХ ЛИНИЙ
Даже не возникает сомнений, что изображенные линии волнистые.

Вспомни, как называется раздел – обман зрения. Ты прав это прямые, параллельные линии. И это искривляющая иллюзия.

Корабль или арка?

Эта иллюзия — настоящее произведение искусства. Картину нарисовал Роб Гонсалвес — канадский художник, представитель жанра магического реализма. В зависимости от того, куда вы посмотрите, вы можете видеть или арку длинного моста или парус корабля.

ИЛЛЮЗИЯ — ГРАФФИТИ «ЛЕСТИЦА»
Сейчас можно расслабиться, и не думать, что будет очередной обман зрения. Давай восхитимся фантазией художника.

Такое граффити сделал чудо-художник в метро на удивление всем прохожим.

ЭФФЕКТ БЕЗОЛЬДИ
Посмотри на картинку и скажи, в какой части красные линии более яркие и контрастные. В правой не так ли?

На самом деле красные линии на картинке ничем не отличаются друг от друга. Они абсолютно идентичны, опять обман зрения. Это эффект Безольди, когда мы воспринимает по разному тональность цвета в зависимости от его соседства с другими цветами.

ИЛЛЮЗИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ЦВЕТА
Меняется ли цвет горизонтальной серой линии в прямоугольника?

Горизонтальная линия на картинке не меняется на всем протяжении и остается одинаково серой. Не вериться, правда? Это обман зрения. Чтобы убедиться в этом закрой листом бумаги окружающий ее прямоугольник.

ИЛЛЮЗИЯ УМЕНЬШАЮЩЕГОСЯ СОЛНЦА
Эту великолепную фотографию солнца сделало американское космическое агентство NASA. На ней видно два пятна на Солнце, направленные прямо на Землю.

Куда более интересно другое. Если ты пройдешься взглядом вокруг края Солнца, то увидишь, как оно сжимается. Вот это действительно ВЕЛИКОЛЕПНО – без обмана, хорошая иллюзия!

ИЛЛЮЗИЯ ЗОЛЬНЕРА
Видишь ли ты, что линии-елочки на картинке параллельны?

Я тоже не вижу. Но они параллельны – проверь линейкой. Мое зрение тоже оказалось обманутым. Это знаменитая классическая иллюзия Зольнера, существующая с 19 века. Из-за «иголочек» на линиях нам кажется, что они не параллельны.

ИЛЛЮЗИЯ-ИИСУС ХРИСТОС
Смотри на картинку 30 секунд (может понадобиться и больше), затем переведи взгляд на светлую ровную поверхность, например, на стену.

ИЛЛЮЗИЯ. ТРИ КВАДРАТА
Сядь поближе и посмотри на картинку. Видишь ли ты, что стороны всех трех квадратов кривые?

Я тоже вижу кривые линии, несмотря на то, что стороны всех трех квадратов идеально ровные. Когда же отходишь от монитора на некоторое расстояния, то все встает на свои места — квадрат выглядит идеальным. Это связано с тем, что задний фон заставляет наш мозг воспринимать линии кривыми. Это оптическая иллюзия. Когда же фон сливается и мы его четко не видим, квадрат кажется ровным.

ИЛЛЮЗИЯ. ЧЕРНЫЕ ФИГУРЫ
Что ты видишь на картинке?

Это классическая иллюзия. Бросив беглый взгляд, мы видим какие-то непонятные фигуры. Но посмотрев чуть дольше начинаем различать слово LIFT. Наше сознание привыкло видеть черные буквы на белом фоне, и продолжает также воспринимать и это слово. Это очень неожиданно для нашего мозга читать белые буквы на черном фоне. Кроме этого большинство людей первый взгляд бросают в центр картинки, а это еще усложняет мозгу задачу, ведь он привык читать слово слева направо.

ИЛЛЮЗИЯ. ИЛЛЮЗИЯ ОУЧИ
Посмотри в центр картинки и ты увидишь «пляшущий» шар.

Это культовая оптическая иллюзия, изобретенная в 1973 г. японским художником Оучи и названа в честь него. На этой картинке возникает несколько иллюзий. Во-первых, создается впечатление, что шар немного перемещается из стороны в сторону. Наш мозг не может понять, что это плоское изображение и воспринимает его, как объемное. Другой обман иллюзии Оучи –впечатление, что мы смотрим сквозь круглую замочную скважину на стену. Наконец, размер всех прямоугольников на картинке одинаков, и они располагаются строго в рядах без кажущегося смещения.

Исследовательская работа «Математические иллюзии»

Исследовательская работа по теме «Математические иллюзии»

В работе на основе статистических данных опроса доказана актуальность выбранной темы исследования для современной жизни.

Рассмотрены различные виды иллюзий.

Определены области применения.

Цель исследования:

Показать значимость точных математических законов для искусства, живописи, архитектуры.

Гипотеза Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью геометрических законов.
А «волшебство» зрительных иллюзий обосновать математически.

Объект исследования геометрические иллюзии, их значение восприятии целостной картины мира

Задачи работы:

Выяснить, что такое зрительно-геометрические иллюзии.
Каковы причины их возникновения.
Области применения математических иллюзий.
Самостоятельное создание иллюзий.

Основными источниками для написания работы стали материалы Интернет, научная литература по живописи, архитектуре, искусству, энциклопедическая литература.

Основные методы работы

Работа с материалами Интернет по данной теме.
Систематизация полученных материалов.
Опрос одноклассников, работников школы.
Мониторинг результатов опроса.
Анализ результатов мониторинга.

Обобщив, собранный материал, полученные знания можно сделать следующие выводы:

Геометрические иллюзии показывают, что не всегда можно верить тому, что видишь;
Мы часто полагаем, что реально только то, что у нас перед глазами. Геометрические иллюзии отражают наличие неочевидного в жизни
Игры с геометрическими иллюзиями помогают изменять сознание — мы хитростью заманиваем мозг на новые уровни восприятия, мы начинаем видеть то, чего нет.
Восприятие размера Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных геометрических величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

Проект «Математические иллюзии»

Однажды прекрасным летним я нарисовала дом своей мечты. А мама меня спросила: «Почему в твоем доме углы не прямые?» Я удивилась: «На моем рисунке дом в форме прямоугольного параллелепипеда. У него все углы прямые!» Но потом я засомневалась в этом, взяла транспортир и выяснила, что углы моего нарисованного дома действительно не прямые. Я поняла, что мой рисунок – иллюзорный обман. Я решила разобраться, что такое математическая иллюзия, стоит ли доверять всему, что мы видим и правда ли, что не подвижные предметы могут двигаться.

Просмотр содержимого документа
«Проект «Математические иллюзии»»

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Баганская средняя общеобразовательная школа № 2

имени героя Советского Союза Андрея Григорьевича Матвиенко

АВТОР: Морозова Екатерина,

ученица 6 класса

РУКОВОДИТЕЛЬ: Матюшко Нина Петровна,

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ……………………………………. стр. 4 — 13

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………. стр. 14 — 16

2.2. Создание модели зрительной иллюзии……………………. стр. 15 — 16

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. стр. 18

Горе тому, кто отдаёт свое сердце иллюзии – этой

единственной реальности на земле, но горе и тому,

кто этого не делает. Одного ждут разочарование и боль, другого — запоздалые сожаления.
Теодор Драйзер.

Обоснование выбора темы:

Наглядно продемонстрировать применения иллюзий.

1. Выяснить, что такое математические иллюзии.

2. Каковы причины их возникновения.

3. Области применения математических иллюзий.

4. Самостоятельное создание иллюзий.

Создание иллюзии, объяснимой с помощью математических законов, доступно каждому.

Участники научно – практической конференции.

Модель, с помощью которой создаётся зрительная иллюзия.

1. Работа с литературой и материалами Интернет по данной теме;

2. Систематизация полученных материалов;

3. Создание модели зрительной иллюзии;

4. Съёмка видеоролика;

5. Анализ проделанной работы.

Восприятие одного и того же предмета может быть разным и нельзя с уверенностью говорить, что все увиденное нами является таковым.

Иллюзия – это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение». Давайте зададимся вопросом: «Что такое обман зрения?» Скорее всего, ответите вы на этот вопрос так: «Обман зрения — это когда мы видим то, чего нет на самом деле. И мы очень часто встречаемся с этим в жизни».

Взгляните на рисунок. Внимательно смотрите на точку в центре картинки и одновременно двигайте головой назад и вперед. Вы увидите, что круги вращаются — это ОБМАН ЗРЕНИЯ

Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является следующее:

Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;

Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу;

Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, приходящие от глаз.

Изучив литературу, я выяснила, что человек видит таким образом:
1. Свет проходит сквозь роговицу и зрачок к хрусталику.
2. Затем он проходит через хрусталик и жидкость, заполняющую глазное яблоко, и попадает на сетчатку.
3. Сетчатка принимает световой импульс и передает его зрительному нерву.
4. Зрительный нерв посылает сигнал мозгу.
5. Мозг переводит сигнал в зрительный образ.

Оптических иллюзий огромное количество. Я приведу примеры иллюзий, которые объяснимы с математической точки зрения.

Линии на рисунках параллельны

Фигура, изображённая внутри – квадрат

Кажется, что круги расположены по дуге. На самом деле они все лежат на одной прямой.

Иллюзия переработки информации

Посмотрите на рисунок. Символ в центре — буква или число? Если рассматривать горизонтальный зрительный ряд, состоящий из букв, в центре будет «В» — к этому наблюдатель подготовлен буквенным рядом. Если смотреть на вертикальный ряд, окажется, что это вовсе не буква, а число 13 — к такому решению подтолкнули числа.

Иллюзия восприятия размера

Круги в центре абсолютно одинаковы Отрезки одинаковой длины

Столбы одинаковы по высоте

Все женщины одинакового роста и Человек на заднем плане и карлик на комплекции переднем — одного роста

Картинки на самом деле не двигаются

Явление двигательного параллакса

Если человек, сидя в вагоне поезда, фиксирует взгляд на пейзаже за окном, ему кажется, что объекты, находящиеся ближе точки фиксации, движутся на него.

Оптичская иллюзия, возникающая при наблюдении отрезков, обрамленных стрелками. Иллюзия состоит в том, что отрезок, обрамленный «остриями», кажется короче отрезка, обрамленного «хвостовыми» стрелками.

1.4. НЕВОЗМОЖНОЕ ВОЗМОЖНО

В далеком 1934 году шведский художник Оскар Реутерсвард изобразил на одном из своих полотен треугольник, составленный из девяти абсолютно одинаковых кубиков. При более внимательном рассмотрении можно заметить противоречия в соединениях элементов фигуры.

Именно поэтому этот необычный объект был назван «невозможным треугольником» или «трибаром».

Интересно, что если прикрыть ладонью хоть один из углов «бешеного» треугольника, то наваждение сразу же пропадает. Можете проверить!

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. В процессе своей работы он всевозможным образом разбивал плоскости. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами»

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Эшер интересовался всеми видами мозаик, а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч.

Эшер использовал «невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа — литография «Водопад» — основана на фигуре невозможного треугольника. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру.

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, геометрические тела или наглядную интерпретацию математических законов.

Оптические иллюзии, особенно «невозможные фигуры» встречаются в живописи с XVI века, также и во фресках и живописи на религиозные темы. Но особенное популярным этот жанр становится в середине XX века. Большое влияние на формирование этого направления оказал голландский художник Эшер.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. ОПРОС ОДНОКЛАССНИКОВ

Моим одноклассникам,учащимся 6 класса, я предложила ответить на вопрос: «Где можно использовать картины с иллюзиями и для какой цели?»

Были предложены следующие варианты ответов:

для развития внимательности, абстрактного мышления, тренировки зрения; (20 человек)

на различных уроках; (3 человека)

в работе психолога; (10 человек)

в работе дизайнера интерьера; (7 человек)

фокусником; (17 человек)

в конкурсах, играх и загадках; (10 человек)

для релаксации, расслабления; (10 человек)

в рекламе. (4 человека)

Ответы были следующими. (Можно было предложить несколько вариантов ответа)

Таким образом, я делаю вывод: Большинство опрошенных считает иллюзорные картинки полезными и нужными для развития внимательности, абстрактного мышления, тренировки зрения, в работе фокусника.

2.2. СОЗДАНИЕ МОДЕЛИ ЗРИТЕЛЬНОЙ ИЛЛЮЗИИ

Я долго думала над тем, чем я смогу удивить окружающих. Какую простую и в то же самое время «волшебную» иллюзию я могу создать, ведь нужно, чтобы она завораживала и была настолько простой, чтобы её смог сделать каждый желающий. Я решила сделать «Парящий куб».

На первый взгляд здесь нет ничего необычного: двухцветный куб каким-то образом закреплён на площадке, которую я держу в руках. С помощью этой площадки я двигаю куб. На самом же деле всё не совсем так…

И поворачиваю я перед вами совсем не куб, а только три его грани. И то, что кажется нам выпуклым и объёмным, в действительности оказывается вогнутым вовнутрь. Для того чтобы получить показанный эффект, необходимо определённое освещение. Кроме этого, наблюдатель должен находиться прямо напротив показывающего иллюзию.

Работая над проектом, я выяснила, что такое математические иллюзии,

каковы причины их возникновения, где они применяются, насколько они интересны моим одноклассникам. Кроме этого я самостоятельно создала зрительную иллюзию.

Надо научиться понимать и распознавать иллюзии. Гипотеза о том, что создание иллюзии, объяснимой с помощью математических законов, доступно каждому, подтверждается. А «волшебство» зрительной иллюзии обосновывается математически. Таким образом, восприятие одного и того же предмета может быть разным. Нельзя с уверенностью говорить, что все увиденное нами является таковым. Я поняла, что существует множество реальных предметов, зрительных иллюзий, которые искажают восприятие.

Не всегда верьте своему зрению. Нужны математические расчеты, измерения и доказательства, чтобы подтвердить истину.

Проект по математике на тему «Математические иллюзии»

за привлеченного слушателя на курсы профессиональной переподготовки

Выбранный для просмотра документ Презентация Математические Иллюзии 2003.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Горе тому, кто отдает свое сердце иллюзии — этой единственной реальности на земле, но горе и тому, кто этого не делает. Одного ждут разочарование и боль, другого — запоздалые сожаления. Теодор Драйзер.

Давайте зададимся вопросом . Что такое обман зрения? Скорее всего ответите вы на этот вопрос так: обман зрения-это когда мы видим то, чего нет на самом деле . И мы очень часто встречаемся с этим в жизни. Взгляните на представленную с боку картинку. Внимательно смотрите на точку(в середине картинки)и в этот момент двигайте головой назад и вперед . Вы увидите ,что круги вращаются, это ОБМАН ЗРЕНИЯ. Часто обман зрения – иллюзию можно обосновать математически.

Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является: 1. Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация; 2. Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу. 3. Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, проходящие от глаз.

Изучив литературу, я выяснила, что человек видит таким образом: 1. Свет проходит сквозь роговицу и зрачок к хрусталику. 2. Затем он проходит через хрусталик и жидкость, заполняющую глазное яблоко, и попадает на сетчатку. 3. Сетчатка принимает световой импульс и передает его зрительному нерву. 4. Зрительный нерв посылает сигнал мозгу. 5. Мозг переводит сигнал в зрительный образ.

Оптических иллюзий огромное количество: Зрительные искажения Кажущиеся фигуры Невозможные фигуры Перевёрнутые картинки Двойственные изображения Парейдолические иллюзии Иллюзии движения Иллюзии цвета и контраста Иллюзии восприятия глубины … Ниже я приведу иллюзии, которые объяснимы с помощью математики.

Все пары одного размера Человек на заднем плане и карлик на переднем — одного роста Человечки одинаковые

Если человек, сидя в вагоне поезда, фиксирует взгляд на пейзаже за окном, ему кажется, что объекты, находящиеся ближе точки фиксации, движутся на него. Явление двигательного параллакса.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. В процессе своей работы он всевозможным образом разбивал плоскости и трехмерного пространства. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами»

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Мозаики

Работа Эшера «Куб с полосками». Чистый пример оптической иллюзии.

По средствам глаза, а не глазам Смотреть на мир умеет разум. Уильям Блейк Нет радостей выше тех, Которые нам доставляет… Изучение истин Френсис Бэкон

Выбранный для просмотра документ мат.иллюзии.docx

МБОУ «Гимназия №4» г. Брянска

«В мире математических иллюзии»

выполнила ученица 6-а класса

Общее представление об иллюзиях.

Цель: Познакомиться с одним из способов восприятия окружающего мира – изучение иллюзий

Задачи: 1) рассмотреть понятие иллюзии; 2) выяснить причины возникновения иллюзий; 3) собрать коллекцию иллюзий; 4) показать значимость точных математических законов; 5) показать применение иллюзий в работе художника.

Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью математических законов.
А «волшебство» зрительных иллюзий обосновать математически.

Причина выбора темы.

Часто взрослые, отвечая на мои вопросы, говорят мне: «Это же очевидно!». Потом я и сама часто стала так думать. Например, зачем доказывать на уроке математики равенство двух нарисованных треугольников, если видно зрительно, что они равны?

Своими сомнениями поделилась с родителями. На что услышала странный ответ: «Не верь глазам своим! Они попросили меня нарисовать домик. Я нарисовала дом. И вот вопрос: «Почему в твоем доме углы не прямые?» Я удивилась: «На моем рисунке дом в форме прямоугольного параллелепипеда. У него все углы прямые!» Но, измерив транспортиром углы моего нарисованного домика, я увидела, что действительно углы не прямые. А рисунок мой – иллюзорный обман.

Мне стало интересно, что же это за обман-иллюзия и как это происходит? Я занимаюсь в художественной школе и знаю, что эти математические секреты часто использовались многими художниками. Я заинтересовалась и этим вопросом и нашла информацию об М.Эшере – художнике, который в своем творчестве использовал всевозможные математические иллюзии.

Шаг первый. Изучение теории вопроса.

Шаг второй. Подбор коллекции иллюзий.

Шаг третий. Изучение биографии М.Эшера.

Шаг четвертый. Создание презентации.

Проектный продукт – коллекция иллюзий, презентация на тему.

Полезность проекта. Мой проект можно использовать на уроках математики в качестве дополнительного прикладного материала.

Самоанализ проектной деятельности. Мне было интересно и одновременно трудно работать над проектом. Трудность заключалась в работе с материалом, т.к. используется много непонятных понятий, специальных математических и геометрических терминов. Еще понятие иллюзии очень многогранное. Есть много причин возникновения и разновидностей иллюзий. Но каждую из них имеет признаки не одного, а нескольких видов иллюзий, например, оптической и математической одновременно. Тяжело было выделить именно математические. И все равно не обошлось без отступления от темы в сторону общих понятий.

Еще было много фамилий ученых и их гипотез относительно иллюзий. В работе я частично ссылаюсь на них.

Горе тому, кто отдает свое сердце

иллюзии — этой единственной реальности

на земле, но горе и тому, кто этого не делает.

Одного ждут разочарование и боль,

другого — запоздалые сожаления.

Что такое иллюзия?

Иллю́зия (лат. illusio — ошибка, обман), это: обман чувств, нечто кажущееся, то есть искажённое восприятие реально существующего объекта, допускающее неоднозначную интерпретацию; программный номер иллюзиониста; в переносном смысле, как нечто несбыточное, мечта.

Иллюзии — это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта.

Давайте зададимся вопросом: Что такое обман зрения? Скорее всего ответите вы на этот вопрос так: обман зрения-это когда мы видим то, чего нет на самом деле. И мы очень часто встречаемся с этим в жизни.

Взгляните на представленную сбоку картинку. Внимательно смотрите на точку (в середине картинки)и в этот момент двигайте головой назад и вперед . Вы увидите ,что круги вращаются, это ОБМАН ЗРЕНИЯ.

Часто обман зрения – иллюзию можно обосновать математически.

Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является:

1. Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;

2. Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу.

3. Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, проходящие от глаз.

Разновидности иллюзий восприятия:

Физические — связаны с действующими в мире объективными законами физики (например, оптическая иллюзия: чайная ложка, погруженная в стакан с водой, воспринимается как надломленная).

Оптические иллюзии — ошибки в зрительном восприятии, вызванные неточностью или неадекватностью процессов не осознаваемой коррекции зрительного образа (например, если рассматривать какой-либо объект через псевдоскоп, то, вследствие создаваемой прибором отрицательной диспаратности, человек получает возможность наблюдать эффекты обратной перспективы)

Физиологические — связаны с особенностями периферических или центральных звеньев анализаторов (органов чувств) человека (например, если несколько раз поднять одновременно обеими руками пару различных по массе предметов, а затем другую пару предметов одинаковой массы, то предмет, оказавшийся в руке, в которой до того был более легкий, покажется более тяжелым, чем предмет, находящийся в другой руке).

Аффективные — возникают под влиянием выраженных колебаний настроения или в связи с остроформирующимся аффектом страха, тревоги.

Вербальные — возникают в результате искажённого восприятия реальных разговоров окружающих людей.

Органические (метаморфопсии) — искаженное зрительное восприятие формы, величины, цвета, пространственного расположения, состояния покоя или движения реально существующего предмета; различают аутометаморфопсии (ощущения изменения величины, формы частей собственного тела) и экзометаморфопсии (нарушения восприятия окружающих предметов); данный вид расстройств восприятия может наблюдаться не только у психически больных, но и у психически здоровых людей с патологией органа зрения.

Иллюзии осознаваемости (воплощенной осознаваемости) — ощущение, что рядом якобы кто-то находится; этот вид иллюзий выделен К. Ясперсом; по мнению автора, данный вид иллюзий является признаком формирования галлюцинаций и бреда.

Парейдолические (функциональные иллюзии) — особый вид иллюзий, при которых из сложных узоров (на ковре, зимнем стекле) возникают и постепенно развиваются сложные фантастические картины.

Как человек воспринимает окружающий мир? Человек воспринимает большую часть информации об окружающем мире благодаря зрению, но мало кто задумывается о том, как именно это происходит. Чаще всего глаз считают похожим на фотоаппарат или телекамеру, проецирующую внешние объекты на сетчатку, которая является светочувствительной поверхностью. Мозг «смотрит» на эту картинку и «видит» все, что нас окружает. Однако не все так просто.

Во-первых, изображение на сетчатке перевернуто. Во-вторых, из-за несовершенных оптических свойств глаза картинка на сетчатке расфокусирована или размазана. В-третьих, глаз совершает постоянные движения, то есть изображение находится в постоянной динамике. В-четвертых, глаз моргает приблизительно 15 раз в минуту, а это значит, что изображение через каждые 5-6 секунд перестает проецироваться на сетчатку.

Так что же все таки «видит» мозг? Существует много научных направлений, которые, используя различные экспериментальные методики, пытаются понять, каким образом мы воспринимаем окружающий мир. Один из самых интересных способов изучения — исследование зрительных иллюзий.

Оптических иллюзий огромное количество:

Иллюзии цвета и контраста

Иллюзии восприятия глубины

В своей же работе я уделю внимание иллюзиям математическим

Вот такую коллекцию мне удалось собрать:

Вертикально-горизонтальная иллюзия (Иллюзия Вундта — Фика )

Иллюзия восприятия размера

Ещё во времена античности людей приводил в замешательство тот факт, что на горизонте луна и солнце кажутся больше, чем когда они находятся высоко в небе. Этот обман зрения получил название иллюзии луны. Весь эффект состоит в том, что наличие земли создает впечатление, что луна у горизонта находится дальше, чем луна в зените, так как заполненное пространство между наблюдателем и горизонтом создает впечатление большей протяженности, чем незанятое пространство между наблюдателем и небом над головой. Поэтому нам кажется, что луна на горизонте выглядит больше, чем взошедшая луна.

Мы вообще привыкли, что все удаляющиеся к горизонту предметы уменьшаются на сетчатке по своим линейным размерам: люди, поезда, облака, самолеты.

Иллюзия Мюллера-Лайера – очень известная иллюзия . Она известна уже более ста лет: к концам двух равных по длине отрезков пририсованы стрелки, к одной — расходящиеся в разные стороны, а к другой — сходящиеся навстречу друг другу. Посмотрев на этот рисунок, большинство наблюдателей скажет, что левый отрезок со стрелочками наружу длиннее правого со стрелочками, направленными внутрь. Впечатление настолько сильное, что, согласно экспериментальным данным, испытуемые утверждают, что длина левого отрезка на 25-30% превышает длину правого.

Иллюзия Понцо — оптическая иллюзия , впервые продемонстрированная итальянским психологом Марио Понцо в 1913 году . Он предположил, что мозг человека определяет размер объекта по его фону. Понцо нарисовал два одинаковых отрезка на фоне двух сходящихся линий, наподобие уходящего вдаль железнодорожного полотна. Верхний отрезок кажется крупнее, поскольку мозг интерпретирует сходящиеся линии как перспективу (как две параллельные линии, сходящиеся на расстоянии). Поэтому мы думаем, что верхний отрезок расположен дальше, и полагаем, что его размер больше. Кроме сходящихся линий силу эффекту добавляет уменьшающееся расстояние между промежуточными горизонтальными отрезками.

Все пары одного размера. Не верите? Можете измерить.

Какой человечек выше?На самом деле они одинаковые.

Человек на заднем плане и карлик на переднем — одного роста

Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных геометрических величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

Глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера фона изображения. Это относится к длинам, площадям, радиусам кривизны.

На рисунке мы видим кружки разных размеров. Но если большие кружки будут быстро двигаться вправо, а маленькие медленно влево, то наблюдателю покажется, что плоская картинка превращается в объемную: большие кружки кажутся нам более близкими, чем маленькие.

Наиболее интересным для меня был материал о художнике, который ловко использовал законы математике в своих работах.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и трехмерного пространства.

Эскиз из Альгамбры

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически. Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч.

Регулярное разбиение
плоскости птицами

Рептилии

Цикл

Эволюция 1

Под «логикой» пространства здесь понимаются оптические иллюзии.

На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Картины с использованием «невозможных фигур». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа — литография «Водопад» — основана на фигуре невозможного треугольника, В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Узлы

Обобщив, собранный материал, полученные знания можно сделать следующие выводы:

Математические иллюзии показывают, что не всегда можно верить тому, что видишь;

Мы часто полагаем, что реально только то, что у нас перед глазами. Математические иллюзии отражают наличие неочевидного в жизни

Игры с математическими иллюзиями помогают изменять сознание — мы хитростью заманиваем мозг на новые уровни восприятия, мы начинаем видеть то, чего нет.

Восприятие размера Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных размеров и величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

Математические иллюзии – оригинальный и необычный способ создания достояний живописи.

Заключение: не всегда верьте своему зрению. Нужны математические расчеты измерения и доказательства, чтобы подтвердить истину.

Источники:

http://ollforkids.ru/page,2,iluzion.html
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/04/02/issledovatelskaya-rabota-matematicheskie-illyuzii
http://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/proiekt_matiematichieskiie_illiuzii
http://infourok.ru/proekt-po-matematike-na-temu-matematicheskie-illyuzii-860010.html