Натуральное число с точки зрения количественной теории это

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:

подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход [1]. Второй подход, например, применяется в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Кроме того, отсчёт с нуля широко распространён в программировании (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом > \mathbb (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по сво­ей природе, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное нату­ральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное чис­ло, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например множества:

— множество букв в слове «число»;

— множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Это число характеризует свойство и дру­гих множеств этого класса.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором воз­можны различные варианты выполнения задания.

Число «нуль» не является натуральным.

С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривает­ся как число элементов пустого множества.

Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множест­ва и соотносят им изучаемое число:

— На рисунке изображены три фигуры.

— На столе лежат три яблока.

— Маша, Коля, Вася — это три имени.

— Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».

Так как натуральное число оказывается связанным с конеч­ным множеством, то и действия над натуральными числами мож­но рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сло­жение чисел связывают с объединением непересекающихся мно­жеств, а вычитание — с дополнением подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда сум­мой натуральных чисел аиbназывают число элементов в объединении множеств А и В.

Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно и но зависит от выбора представляющих их множеств.

Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объ­единении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, слагаемыми.

Исходя из данного определения суммы, можно обосновать из­вестные законы сложения чисел:

1) переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.

2) сочетательный, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) для любых натуральных чисел а , b и с.

Переместительный и сочетательный законы сложения распро­страняются на сложение любого числа слагаемых. Переместитель­ный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетатель­ный – любую их группировку.

Дошкольники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибав­лять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагае­мые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.

Задание 26.

Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0 ?

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множе­ствами. Например, чтобы установить отношение 3 а). Если множества А и В равномощны, то а = b.

Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обра­щаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда сущест­вует такое натуральное число с , что а + с = b.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнени­ем подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элемен­тов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Действие, при помощи которого находят разность а — b, на­зывается вычитанием, число а — уменьшаемым, число b — вы­читаемым.

Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадра­тов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в ко­тором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета мож­но установить, что 5-3 = 2.

Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9116 — | 6862 — или читать все.

193.124.117.139 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ

Количественное натуральное число: С теоретико-множественной точки зрения количественное натуральное число — это общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств.

Ноль — это количественная характеристика пустого множества, 0=n

Отрезок натурального ряда. Пусть а — натуральное число, тогда множество всех натуральных чисел, не превосходящих числа а, называют отрезком натурального ряда и обозначают N_a.

Пересчитать элементы конечного множества X — это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na , число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а

начинать пересчет можно с любого элемента множества,

ни один элемент не должен быть пропущен,

каждый элемент считают только один раз.

Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.

Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.

Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B.

Свойства отношения равенства на N.

• 1) рефлексивность (aN), a=a
• 2) симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a
• 3) транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с

Отношение «меньше» на N

1 подход Пусть а и b — натуральные числа, а

Натуральное число с точки зрения количественной теории это

Комплекс упражнений Бейтса для восстановления зрения

Для лечения суставов наши читатели успешно используют Око-плюс. Видя, такую популярность этого средства мы решили предложить его и вашему вниманию.
Подробнее здесь…

Сколько в мире людей, носящих очки? И с каждым днем зрение только ухудшается. Большинство из них думают, что кроме проведения операции на глаза, им ничего не поможет. Как же они ошибаются!

На рубеже веков американский врач-офтальмолог разработал систему упражнений, которые помогут вылечить близорукость, дальнозоркость и даже астигматизм. Эта революционная система за время своего существования помогла не одной тысяче людей избавиться от очков и линз и наслаждаться окружающим миров. Звали этого человека Уильям Бейтс.

Выбор упражнений огромен. Если выполнять хотя бы 15 из них ежедневно без пропусков, то уже спустя пару недель можно заметить снятие усталости с глаз и постепенное улучшение зрения. На каждого человека система действует по-разному. Но замечено, что за год большинству людей удается окончательно распрощаться с очками. В дальнейшем необходимо лишь проводить периодически недельные курсы раз в месяц для профилактики.

Зачем лишать себя удовольствия видеть мир четко и без размытых контуров, если за короткое время можно привести зрение в порядок?

Кто такой Уильям Бейтс?

Бейтc родился в далеком 1860 году и посвятил свою жизнь офтальмологии. Богатый практический опыт, наблюдения за пациентами и исследования позволили врачу разработать собственную систему упражнений, который улучшают зрение.

В 1917 году он открыл первые курсы занятий для желающих хорошо видеть. Три года спустя он выпустил книгу-сборник упражнений. Постепенно направление завоевывало популярность и даже получило название «бейтсизм».

После смерти доктора в 1931 году его дело перешло к его жене, которая продолжила его. Все быстрее росло число последователей предложенного Бейтсом способа лечения. До сих пор оно не теряет своей актуальности. Наиболее известными пропагандистами метода в России являются В. Жданов и Г. Шичко, которые доработали систему Бейтса и внедряют ее дальше, даря людям возможность вылечить глазные недуги.

Основа теории «бейтсизма»

В основу упражнений легло утверждение, что зрение в немалой степени зависит от тонуса глазных мышц. И психическое напряжение в немалой степени влияет на них. А значит для того, чтобы улучшить зрение, их надо расслабить. За счет этого нормализуется кровообращение в глазном яблоке и прилежащей области, что, несомненно, ведет к улучшению зрения. 6 мышц отвечают за зрение. И гимнастика для глаз направлена на то, чтобы они отдыхали и восстанавливались. Например, при взгляде влево, отдыхают правые мышцы. Если человек смотрит наверх, то нижние глазодвигательные мышцы в этот момент расслаблены.

Позже коллеги-офтальмологи эти утверждения доктора опровергли и научно доказали, что качество видения зависит вовсе не от этого. Тем не менее, многочисленные поклонники метода доказали, что он работает. Они смогли наконец-то начать нормально ориентироваться в пространстве без очков!

Основные положения

Доктор Бейтс настоятельно советовал своим ученикам отложить очки в дальний угол и попробовать жить без них. По его словам они приносят только вред. Да, они позволяют лучше видеть предметы и избавиться от расплывчатых очертаний. Но при этом они наносят несравненный вред глазам. Эти его слова полностью идут в разрез со словами других врачей и медицины. Как только у человека портится зрение, ему немедленно прописывают ношение очков. Действительно ли это забота о его глазах или же продуманный ход огромных медицинских корпорации, которые зарабатывают огромные суммы денег на продаже очков.

Кто постоянно носит очки, наверное, не раз замечали за собой, как тяжело перефокусироваться, когда резко их снимаешь. И как сильно напряжены глаза в эти моменты. Можно даже ощущать боль. Это идет смена напряжения мышц. И лишь через минут 10-15 ощущения нормализуются. Тем, кто рискнул несколько дней продержаться без очков, замечают, что зрение становится острее. Поэтому во время гимнастики рекомендуется полностью избавиться от очков и линз, за исключением редких случаев, когда без них никак не обойтись.

Второй постулат гласит о том, что чтение при плохом освещении ухудшает зрение. Эту истину еще с детства многие родители вдалбливают в голову своим детишкам. Бейтс же рекомендует постоянно менять степень освещения. То яркое, то тусклое. Это заставит поработать глаза и нормализует кровообращение в них.

Третье опровержение доктора состоит в том, что читать в едущем транспорте не просто можно, а необходимо. Да, строки трясутся и разбегаются. Но это заставляет работать глаза более усиленно, и способствует улучшению зрения.

Видео — Комплекс упражнений для улучшения зрения по Бейтсу

Почему так много противников «бейтсизма»

С самого начала появления комплекса упражнений У. Бейтса у него нашлись противники. Еще при жизни доктора академия офтальмологии выдвинула обвинение, что доктор обманщик и лишь завлекает людей ради прибыли от курсов. Несколько врачей-офтальмологов выступали с заявлениями, что исследования показывают, что система не работает. Среди них был и довольно известный профессор М.Мохан. Критики этого метода лечения появляются постоянно.

Странно, если учитывать, сколько людей по всему миру удалось благодаря этой гимнастике восстановить зрение. Так почему же метод не стал повсеместной панацеей от слеповатости, а клиники по лазерной коррекции зрения растут как на дрожжах?

Во-первых, медицина приносит огромные деньги. А Бейтс в наглую лишает многих компаний прибыли от продажи линз и очков. Сколько лекарственных препаратов продается ежедневно тем, у кого плохое зрение. Счет идет на миллиарды. Так неужели компании позволят лишать себя таких денег потому, что некий доктор нашел эффективный, простой и, главное, бесплатный способ улучшения зрения? Нет конечно. Они потеряют огромные суммы, если люди перестанут покупать различные таблетки и БАДы, приобретать новые очки и ежемесячно менять свои линзы. С утверждениями доктора будут бороться. Будут открываться новые факты, почему нельзя следовать «бейтсизму». Авторитетные врачи будут заявлять, что система не работает.

Несмотря на желание медицинских корпораций похоронить этот метод лечения, многие сторонники доктора Бейтса борются и на собственном примере доказывают, что его гимнастика для глаз действительно работает. Почему бы не попробовать и вам? Вы ничего не теряете, зато можете многое приобрести.

Вторая причина – лень большинства людей. Не у каждого хватает силы воли выполнять ежедневно комплекс упражнений. Первые недели они занимаются усердно и с удовольствием. Постепенно запал сгорает, и находятся причины начать пропускать занятия. Один день не сделали, другой, и вот уже полностью пропадает желание делать гимнастику. Пару дней занятий ничего не дадут. Необходимы месяцы для получения сколь-нибудь существенного результата. Лишь через год-полтора зрение полностью восстановится. Не у всех хватает терпения заниматься так долго. Лишь 10 процентов желающих проходят до конца и излечиваются от недуга. Остальным проще носить очки, тратить бешеные деньги на медпрепараты, обещающие выздоровление и раздумывать над лазерной коррекцией зрения. И так из года в год. А зрение падает. Очки заменяются на более сильные. И ситуация повторяется.

Если же уже решили заняться своим зрением и восстановить его, то стоит идти до конца. Собрать волю в кулак и заниматься ежедневно. Упражнения простые. 15-20 минут на них можно выделить всегда. При любых обстоятельствах.

Основные типы упражнений

Все виды упражнений, предлагаемых Уильямом Бейтсом можно разделить на несколько категорий:

Под этим любопытным словом скрывается всего-навсего отдых для глаз. А название произошло от того, что руками закрываются глаза, чтобы избежать даже малейшего проникновения света. Необходимо сесть, закрыть глаза и расслабиться. Главная цель – по максимуму расслабить глазные мышцы. Зачастую бывает, что как только человек закрыл глаза, ему начинают чудиться различные блики, играющие цветовые пятна, возникают искры. Показателем, что наступило максимальное расслабление и все делается верно, является абсолютная чернота перед глазами. Ничего больше.

Необходимо попробовать визуализировать что-то, попытать думать о приятном. Постепенно, если получается возникать образы, переходить на воображение черных предметов, пока все пространство не станет абсолютно черным и не исчезнут светлые пятна.

Это упражнение является ключевым и с него начинается весь комплекс. Рекомендуется его делать 3-4 раза и лишь затем переходить к остальным.

Помощником для этого занятия является солнце. Необходимо смотреть на него в течение нескольких секунд ежедневно. Суть упражнения состоит в приучении своих глаз к яркому свету.

Необходимо попробовать восстановить в памяти какие-либо события или ощущения из прошлого. Когда человек вспоминает что-то приятное, он расслабляется. Его психика становится не такой натянутой, все мышцы тела, в том числе и глаз, находятся в состоянии покоя.

Необходимо закрыть глаза и попытаться себе что-то представить. Не надо пытаться увидеть каждую мелочь. Образ должен быть общим и резко сменяться. Можно перебирать в уме какие-либо предметы или, например, буквы. Бейтс полагал, что зрение и зрительная память тесно связаны. И для нормализации остроты видения необходимо навести порядок с представлением вещей.

При перемещении зрачка в какую-либо сторону напрягается один вид глазных мышц, а другие в это время расслабляются. На этом и основываются упражнения на перемещение. Требуется смотреть то в одну сторону, то в другую и постоянно чередовать.

Наблюдение за раскачивающимся предметом приводит к частой смене мышц и движению глазного яблока. А что может быть лучшей зарядкой?

Быстрое открытие и закрытие глаз с попыткой фокусирования за этот короткий промежуток времени также может принести немалую пользу здоровью глаз.

Всего Уильям Бейтс предложил более 100 упражнений, которые можно выделить в вышеперечисленные группы. Рекомендуется выполнять не менее 15 из них и ежедневно. Через некоторое время упражнения можно менять. Но ни в коем случае нельзя прекращать занятия. Все это сведет на нет усилия, и приведет к напрасной трате времени.

Упражнения

1.Следует на расстоянии посмотреть на какую-нибудь букву крупной надписи. После этого необходимо сесть, расслабиться и закрыть глаза руками. Попробуйте вспомнить букву и ее оттенок. В мыслях немного видоизмените ее цвет на более черный. Откройте глаза и посмотрите опять на эту букву. Она покажется чернее. Повторить несколько раз это упражнение. Вы достигнете того, что эта буква будет ярче выделяться черным и вы ее быстрее будете выхватывать из изображения. Вы начнете лучше ее видеть.

2. Перед закрытыми глазами представьте по очередности все цвета в порядке от более светлого к темному. Не стоит пытаться удержать оттенок долго. Секунды достаточно. Цвета должны мелькать и быстро сменяться. Пару минут для этого упражнения будет достаточно.

Затем попробуйте представить кусочек белого мела на черном фоне. Резкий контраст сделает, что чернее этого фона уже будет сложно что-либо представить.

Воспоминание

1.Вызовите в своих воспоминаниях розу. Но не стоит пытаться ее детализировать. Вместо этого лучше попытайтесь представить некий предмет на ней. Например, муравья или какого-нибудь жучка. Вот он ползет по стеблю, быстро перебирается на лист, возвращается обратно. Теперь он уже на бутоне. И в подобном духе.

Вы заметите, что во время процесса, хоть вы и пытались представить один предмет, тем не менее особого напряжения вы не испытывали. Движущийся объект немного отвлекал и рассеивал внимание, делая воспоминание легким.

2. Повесьте на приличном расстоянии, 3-6 метров таблицу Сивцева с буквенными обозначениями. Посмотрите на какую-либо букву и пытайтесь ее представить. При этом в воображение черную часть делайте еще чернее, а светлую – белее. В этом случае представление накладывается на воспоминание. Откройте глаза и посмотрите на эту букву. После пару раз повторений вы сможете эту букву видеть четче. Постепенно можно пытаться представить уже целую строку, а может даже и две.

Соляризация

1.Закройте глаза и обратитесь лицом к солнцу. Медленно вращайте голову в разные стороны. Продолжайте минут 5. Откройте на краткое мгновение глаза, продолжая вращать голову. Не пытайтесь смотреть на солнце, лучше на область рядом с ним. По мере привыкания можно кидать взгляд ближе к солнцу.

2. Сядьте лицом к солнцу. Расслабьтесь как можно больше. Прикройте глаза и смотрите в сторону солнца. Плавно поворачивайте голову из стороны в сторону. Ни в коем случае не стоит полностью открывать глаза. Продолжать пару минут.

Перемещение и раскачивание

1.Двигая голову влево-вправо, обращайте в ту же сторону взгляды. Чуть позже без шевеления головы попытайтесь смотреть в разные стороны. Вы должны почувствовать напряжение в глазных мышцах

2.Закройте глаза и раскачивайте голову словно маятник. Вы удивитесь, но ваши глазные яблоки будут также двигаться в такт головы.

Для лечения суставов наши читатели успешно используют Око-плюс. Видя, такую популярность этого средства мы решили предложить его и вашему вниманию.
Подробнее здесь…

3.Шагайте с раскачиванием тела. Один шаг и качните головой, глаза должны следовать тому же движению. Затем следующий шаг. И так раз 15-20.

4. Держите книгу перед глазами и двигайте ее. Следите зрением за ее движением.

Моргание и проблески

1.Упражнение следует выполнять перед зеркалом. Смотрите на правый глаз. Моргните. Повторите для другого. Раз 15 будет на каждый глаз будет достаточно.

2. На расстоянии в 2 метр повесьте проверочную таблицу с буквами и постарайтесь рассмотреть самые мелкие строчки. Разглядывайте их минут 5-7. Главное условие упражнения – моргать после чтения каждой буквы.

3. При ходьбе постарайтесь моргать каждый раз, как только ваша ступня коснутся земли. Упражнение рекомендуется делать не менее 10 минут.

4. Можно устроить неплохое занятие с мячом. Необходимо быстро-быстро перекидывать его из руки в руку и при этом моргать, как только мяч куда-нибудь летит.

5. Возьмите в руки книгу, напечатанную мелким шрифтом. Смотрите только на белые промежутки между строками. На каждой светлой полосе моргайте. В скором времени вы заметите, что слова становятся четче и уже не так сливаются. Это упражнение является прекрасной профилактикой от быстрой усталости глаз.

Такая гимнастика для глаз очень простая и занимает минимум времени. Если хотите быстрее достигнуть результата, делайте по несколько раз на день. Даже если у вас неплохое зрение, но вы стали замечать, что глаза быстро устают, то делайте пару упражнений для профилактики. И вы заметите, как глаза расслабляются, уходит напряжение и вы начинаете чувствовать себя лучше.

Для людей с серьезными заболеваниями глаз метод доктора Бейтса стал панацеей от проблем. Он помогает полностью восстановить зрение и избавиться от ежедневного ношения очков. Вы наконец-то почувствуете вкус к жизни.

Но стоит помнить, что как и любая гимнастика, этот комплекс упражнений требует времени и силы воли. Не стоит его закидывать спустя пару недель, даже если вы и почувствовали улучшение и решили, что вам этого достаточно. Вы можете восстановить зрение до максимальной частоты! Опыт тысячи людей, опробовавших на себе эту зарядку для глаз может подтвердить эффективность метода. А его простота удивляет!

Определение натурального числа и число 0 в количественной теории.

Дата добавления: 2014-05-19 ; просмотров: 934 ; Нарушение авторских прав

Два конечных мн.А и В называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Отношение «мн.А равномощно мн.В» рефлексивно (А

А), симметрично (А

А) и транзитивно (А

С). Значит, оно яв-ся отношением эквивалентности, а потому позволяет разбить совокупность всех мн.на классы эквивалентности так, что любые два мн.одного класса эквивалентны, а любые два мн.разных классов не эквивалентны. В одном классе могут содержаться разные мн., но общим у них яв-ся то, что все они имеют одинаковое кол-во элементов. П: рассмотрим мн.: вершины треугольника, буквы слова «дом», цифры числа 123. Между элементами этих мн.можно установить взаимно однозначное соответствие. Значит, они равномощные. Натуральное число есть общее св-во класса конечных равномощных множеств. Каждому классу соответствует одно и только одно нат.число, а каждому числу- один и только один класс конечных равномощных мн. Каждому мн.соответствует только одно нат.число: а=п(А), но каждому числу а соответствуют разные мн.одного и того же класса эквивалентности. П: число 4 есть общее св-во класса мн.: времена года, стороны света, стихии, буквы слова «парк», вершины квадрата. Число 0 ставится в соответствие пустому мн.: 0=п(∅). Например, мн.корней уравнения х2+4=0 можно поставить в соответствие число 0, т.к.это уравнение корней не имеет. Мн.нат.чисел и число 0 образуют мн.целых неотрицательных чисел: N0=N∪.

1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = n(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом — двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число — это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n().

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = n(А), причем А  N_а;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Установленная связь между конечными множествами и натураль­ными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

Натуральное число с точки зрения количественной теории это

Натуральные числа имеют две основные функции:

— характеристика количества предметов;

— характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности: 1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Иными словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет и другие.

Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Отрезок натурального ряда имеет два важных свойства:

1) любой отрезок N_a содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_a.

2) если число х содержится в отрезке N_a и х ? а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в N_a.

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_a натурального ряда.

Теорема: всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_a, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(A)=a.

Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — С. 282-283.

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число — это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0=n(Ш).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а=n(А), причем А

2) Как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теорема: Любое непустое подмножество конечного множества конечно. Там же. — С. 284-286.

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины — длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок x состоит из отрезков x₁, x₂, …, x_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение: Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу отметим два замечания:

1) при переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

2) если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у — из b отрезков, тогда а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — С. 309-311.

Основные идеи количественной теории натуральных чисел

В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) ко­нечного множества.

Что такое конечное множество? Для разъяснения одного из возможных определений воспользуемся интуитивными представле­ниями бесконечного и конечного множества, в частности о на­туральном ряде 1, 2, 3, . в качестве образца бесконечного множества и его правильной части (подмножества) четных чисел 2, 4, 6, . .

Вопрос «Каких чисел больше: всех натуральных или всех чет­ных?» кажется тривиальным, а правильный ответ парадоксальным.

Действительно, можно установить взаимно однозначное соответ­ствие между элементами этих двух множеств:

1, 2, 3. к.

откуда интуитивно ясно, что четных чисел ровно столько, сколько и всех натуральных чисел.

Парадоксальность этого результата связана с тем, что такое соответствие возможно лишь в случае бесконечного множества.

Если же взять какое-нибудь конечное множество, то не удастся установить взаимно однозначное соответствие между всем множе­ством и какой-нибудь его (правильной, т. е. не совпадающей со всем множеством) частью.

Это, как правило, является определяющей характеристикой ко­нечного множества.

Таким образом можно определить конечное множество: мно­жество А называется конечным, если нельзя установить взаимно однозначное соответствие между всем этим множеством и какой-нибудь его правильной частью.

Рассмотрим теперь всевозможные конечные множества (говорят «класс или семейство множеств») и установим для них отношение эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем на­зывать эквивалентными (обозначается это через А

В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно одно­значное соответствие.

Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. рефлексивно, симметрично и транзитивно: для любых множеств Л, В, С:

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множества различных классов неэквивалентны.

Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми свои­ми свойствами: множество пальцев человеческой руки и множество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.

Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют оди­наковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечными множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощ­ность или класс равночисленных конечных множеств и называют натуральным числом.

Таким образом, каждому конечному множеству А приписывают в качестве характеристики натуральное число m (Л), определяющее его принадлежность определенному классу эквивалентности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эквивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:

множествам, принадлежащим различным классам эквивалент­ности,— различные натуральные числа:

Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа m (Л) и т (В) обозначают числа элементов (численность) этих мно­жеств.

Рис. 9.

В основе такой концепции натурального числа лежит абстрак­ция отождествления: отношение эквивалентности множеств отож­дествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалент­ности по их численности.

В результате этого отождествления от множеств, принадлежа­щих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.

Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов мно­жества.

Достоинством этого подхода является естественное, отражающее основной круг практических применений сложение, вычитание и умно­жение натуральных чисел.

I. Если ЛПВ=0, то т(ЛиВ) = т(Л) + т(В), (1)

т. е. если Л и В — конечные непересекающиеся множества, то число элементов объединения этих множеств равно сумме чисел их элементов (см. рис. 9, /). Сложение чисел абстрагируется от объе­динения множеств, что и используется в обучении детей дошколь­ного возраста.

Если же множества Л и В пересекающиеся, т. е. А (рис. 9, 2), то нетрудно заметить, что

так как в сумме т (А) + т (В) число элементов пересечения т. (Л (]В) учитывается дважды: один раз в числе т (Л), второй раз в числе т

Равенство (1), если читать его справа налево, может служить определением суммы двух натуральных чисел:

суммой натуральных чисел а и b называется число а + Ь —
= т(Л11В), где Л и В — произвольные конечные множества такие,
что т(Л) = а, т(В) = Ь и ЛПВ=0. (3)

II. Пусть теперь Л и В — два произвольных конечных множества, причем В^А (рис. 10).

Разность множеств Л и В, обозначаемая А\В, есть множество,

состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В, т. е. А\В = и х£В), где А\В — заштрихованное мно­жество на рисунке 10.

Равенство (4), если . читать его справа налево, служит ос­новой для определения разности двух натуральных чисел: раз­ность двух натуральных чисел а и Ь, где а ^ Ь определяется равенством а — Ь — т(А\В), где А а В — произвольные конечные множества, удовлетворяющие ус­ловиям

III. Выше (глава IV, § 2) мы видели на примерах, что число
элементов декартового произведения АХВ двух конечных множеств
А а В можно сосчитать как число клеток соответствующей
III таблицы пар. Так, в примере I число элементов множества А

(городов) — 8, а число элементов множества В (рек) — 4, а следо-
111 вательно, множество всевозможных пар (город, река), т. е. эле-

ментов АХВ или клеток таблицы,— 32.

Известно, например, что поля шахматной доски обозначаются парами элементов двух множеств А = и В = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>, т. е. каждое поле можно рассматри­вать как элемент декартового произведения Л X В и, так как т (Л) = 8, и т(В) = 8, то т(ЛхВ)=64, т. е. т(А) т(В).

Обобщая эти конкретные случаи, получаем:

Равенство (6) может служить определением произведения двух

где Л и В — произвольные множества, удовлетворяющие усло­виям т(А) = а и т(В) = Ь.

Из данного определения можно получить другое, сводящее умножение к сложению одинаковых слагаемых. Достаточно считать клетки таблицы или пары, расположенные в прямоугольной табли­це, рядами. В каждом ряду m (Л) клеток, а рядов столько, сколько элементов в множестве В, т. е. т (В). Значит, всего клеток т(А)-\

Л эта сумма равна т(АХВ). Но согласно приведенному выше опре­делению m Следовательно,

Если применить этот способ образования или подсчета пар к приведенному выше примеру именования полей шахматной доски,

cB, dB, e8, fB, gB, hB,.m(A)

Далее мы обратимся еще раз к описанной выше концепции натурального числа, когда будет возможность сравнить ее с дру­гой, разработанной в математике порядковой теорией натуральных чисел с целью выяснения наиболее приемлемой и целесообразной методики обучения.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.004 с) .

Натуральное число с точки зрения количественной теории это

В школах РФ действуют учебники по ма­тематике (5 кл.), где число нуль не считает­ся натуральным числом, а последствия такого утверждения устраняются дополнительными по­яснениями: при отсутствии какогонибудь раз­ряда в записи многозначного числа пишется число нуль. Или же в литературе для старших клас­сов говорится: ряд натуральных чисел расширя­ется присоединением к нему числа нуль. В даль­нейшем число нуль считается целым, рациональ­ным, действительным, комплексным числом.

Другими словами, возникает вопрос: поче­му число нуль, относясь к целым числам, не яв­ляется натуральным. По какой причине? Почему число 1 натуральное, а число 0 не натуральное?

Вникнем в сущность понятия «натураль­ное число». Число 1 свидетельствует о наличии одного элемента в множестве независимо от его реального содержания (человек, птица, яблоко и т.д.). Число 0 свидетельствует об отсутствии какогонибудь элемента в том или ином множестве. И число 1, и число 0 характеризуют то, что имеется 1 элемент или же отсутствует такой элемент в рассматриваемом множестве. В этом смысле эти числа являются «продуктами» одно­го и того же рода мышления, одного вида рассу­ждений.

Слово «натура» [4. С. 397] поясняется, как: «1) то же, что и природа; 2) то, что существует в действительности, настоящее». Следовательно, и число 1, и число 0 характеризуют данное мно­жество наличием или отсутствием в нём элемен­тов. В этом смысле они являются натуральными числами, они свидетельствуют о том, какое коли­чество вещей имеется (или не имеется).

В словаре [2. С. 256] разъясняется поня­тие «конечное множество» — пустое множе­ство, а также всякое множество, равномощное с множеством всяких целых положительных чи­сел, не превосходящих какогонибудь целого по­ложительного числа».

В математической энциклопедии [3. Т. 2, С. 723] поясняется понятие «кардинальное чис­ло» — трансфинитное число, мощность множе­ства по Г. Кантору, кардинал множества А, такое свойство этого множества, которое присуще лю­бому множеству В, равномощному множеству А. Там же, на странице 837 слово мощность по­ясняется как кардинальное число, а слова «на­туральное число» поясняется как кардиналь­ное число [3. Т. 3, С. 892], исключая при этом пустое множество. Здесь мы видим, что имеет­ся некоторое противоречие: мощность множе­ства — кардинальное число, или же кардиналь­ное число — мощность множества, мощность конечного множества — это натуральное число, а пустое множество относится к конечным. Та­кое противоречие устраняется в логическом сло­варе [2. С.375]: «Индуктивно натуральное число определяется следующим образом:

1. 0 является натуральным числом.

2. Если п — натуральное число, то и n´ -натуральное число(n=n+1).

3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет.

4. Для любого натурального числа n существует п´≠0».

Г.В. Дорофеев пишет [1. С. 6769]: «. в рамках теоретикомножественного подхода ут­верждение, что «0 не является натуральным чис­лом», неверно, а «расширение» множества нату­ральных чисел с помощью нуля некорректно». Свое мнение по этому вопросу он завершает фразой: «Трактовка нуля как натуральное число одновременно и удобна для математики, и есте­ственно «склеивает» два основных подхода к по­нятию натурального числа. Кроме того, учащим­ся согласиться с этим пониманием числа 0 зна­чительно проще, чем многим учителям, уже при­выкшим к такому толкованию этого понятия».

Х.Ш. Шихалиев (автор данной ста­тьи), занимающийся вопросом совершенство­вания содержания и методов обучения матема­тике в общеобразовательной школе (511 клас­сы), начиная с 70х годов прошлого века, и раз­работавший всю линию обучения математике на теоретикомножественной основе, утвержда­ет не только целесообразность реализации двух подходов к изучения числа в школе, но и необходимость сближения учения о числе в школе к его научной трактовке.

С точки зрения диалектики возникнове­ния и развития понятий «количественная и по­рядковая теории числа не являются различны­ми, независимыми друг от друга аспектами, а представляют две стороны единого эволюцион­ного процесса развития этого понятия. Каждая из этих теорий разъясняет и дополняет содержа­ние понятия, раскрывая его суть шире, полнее и яснее. Натуральное число появляется как мощ­ность конечного множества, а множество нату­ральных чисел в целом характеризуется и кри­сталлизуется как единое целое с помощью тео­рии порядкового числа. Когда теория порядко­вого числа не в состоянии развить учение о чис­ле дальше, мы общаемся к теории кардинально­го числа для сравнения различных бесконечных множеств по их мощностям» [6. С. 5354].

Это единство обеих теорий обосновыва­ется в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Арифметика рациональных чисел». О един­стве теорий кардинального и порядкового числа можно найти и у Д. Гильберта. Общность обе­их теорий заключается в том, что, с одной сто­роны, ни одна теория в отдельности не в состо­янии раскрыть и развить понятие натурально­го числа полностью и в совершенстве. С другой стороны, их чередование в обосновании и раз­витии этого понятия полностью раскрывает ин­вариантность одной теории с инвариантностью другой, то есть понятие мощности становится результатом счёта и наоборот. По утверждению Фройденталя Г., различие заключается лишь в историческом плане, то есть в том, что «коли­чественное число — совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким»[5. С. 116].

Таким образом, понятия «натуральное число» и «множество натуральных чисел» ста­новятся понятными и логически завершенны­ми только в совместном рассмотрении карди­нального и порядкового подходов к ним, а не в раздельном их изучении. Первая теория поясня­ет содержательную сторону понятия числа, опе­рируя конкретными множествами, вторая теория усовершенствует математическую сторону поня­тия, отвлекаясь от его содержательной стороны, возвышая это понятие на новую ступень абстрак­ции. Затем снова возвращается к теории карди­нального числа, разъясняя содержательную сто­рону трансфинитных чисел. В таком подходе к этому понятию чётко видно философское разъ­яснение природы развития понятий. Такая пози­ция придерживается многими учеными и педаго­гами, в частности А.П. Менчинской.

Разработанные учебноэксперименталь­ные материалы [7, 8, 9, 10] и прошедшие апро­бацию неоднократно в VXI классах не продви­гаются за пределами региона, ссылаясь на то, что МОиН РФ запретило заниматься по учебным по­собиям, не имеющим их гриф. Нашим пособи­ям ранее такой гриф не давали по причине, что их содержание выходит за пределы имеющихся стандартов. Теперь «Новое поколение стандартов образования» стало ближе к нашим позициям. Можно надеяться на то, что наши пособия станут доступными для массового учителя математики. Более того, вопрос о числе нуль возник изза того, что учащийся, считавший запись: 0eN- истин­ным высказыванием, получил низкий балл, а дру­гой учащийся, считавший эту запись ложным вы­сказыванием, получил на балл выше. Выходит, что быть ближе к науке иногда вредно.

1. Дорофеев Г.В. Математика для каждо­го. М.: АЯКС, 1999. — 390 с.

2. Кондаков Н.И. Логический словарь. Справочник. М.: Наука, 1976. — 717 с.

3. Математическая энциклопедия. М.: Сов.энциклопедия, 1979.

4. Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толко­вый словарь русского языка. М.: РАН, 2009. — 940 с.

5. Фройденталь Г. Математика как педа­гогическая наука. 4.1.- М.: Просвещ., 1982, 208 с.

6. Шихалиев Х.Ш. Об альтернативном подходе к разработке школьных курсов матема­тики. Махачакала: ДГПУ, 2010. — 196 с.

7. Шихалиев Х.Ш. Математика 56. Учебное пособие. -Махачкала: ДГПУ, 1997. — 246 с.

8. Шихалиев Х.Ш., Алиев Р.Г. Математи­ка 1011. Пробное учебное пособие. — Махач­кала: Лотос, 2007. — 160 с.

9. Шихалиев Х.Ш. Алгебра 79. Учебное пособие. — Махачкала: Лотос, 2007. — 256 с.

10. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 59. Учебное пособие. Махачкала: ДГПУ,1997. — 344 с.

Основные идеи количественной теории натуральных чисел

Навигация по данной странице:
• А, В, С