Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987.
Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.
Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности.
Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.
Логические основы теории целых чисел.
Если в деле школьного преподавания мы, естественно, не можем дойти до постановки тонких и трудных вопросов, то в современном математическом исследовании серьезные вопросы здесь, собственно, и возникают: как обосновать эти законы, как обосновать понятие числа? Здесь я намерен ориентировать вас в этом вопросе, оставаясь верным цели настоящего сочинения — осветить материал школьного преподавания с высшей точки зрения, и я делаю это тем охотнее, что эти современные идеи и помимо того проникают к вам со всех сторон в течение ваших академических занятий, между тем как психологическая сторона этого дела обычно не оговаривается в той мере, в какой это необходимо.
Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье «Энциклопедии математических наук»); здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. Из представителей этого воззрения назову из философов Канта, из математиков Гамильтона.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора
Введение
АРИФМЕТИКА
I. Действия над натуральными числами
1. Введение чисел в шкале
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел
4. Практика счета с целыми числами
II. Первое расширение понятия числа
1. Отрицательные числа
2. Дроби
3. Иррациональные числа
III. Особые свойства целых чисел
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании
2. Простые числа и разложение на множители
3. Обращение простых дробей в десятичные
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма
6. Задача о делении окружности на равные части
7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой
IV. Комплексные числа
1. Обыкновенные комплексные числа
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве
4. Комплексные числа в преподавании
V. Современное развитие и строение математики вообще
1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ
2. Краткий обзор истории математики
АЛГЕБРА
Введение
I. Уравнения с действительными неизвестными
1. Уравнения, содержащие один параметр
2. Уравнения с двумя параметрами
3. Уравнения с тремя параметрами
II. Уравнения в области комплексных чисел
A. Основная теорема алгебры
B. Уравнение с одним комплексным параметром
1. Двучленное уравнение zп = w
2. Ура册ение диэдра
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
4. Продолжение; вывод уравнений
5. О решении нормальных уравнений
6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций
7. Разрешимость в радикалах
8. Сведение общих уравнений к нормальным
АНАЛИЗ
I. Логарифм и показательная функция
1. Систематика алгебраического анализа
2. Историческое развитие учения о логарифме
3. Некоторые замечания о школьном преподавании
4. Точка зрения современной теории функций
II. О тригонометрических функциях
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме
2. Тригонометрические таблицы
3. Применения тригонометрических функций
III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых
2 Теорема Тейлора
3. Замечания исторического и педагогического характера
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Трансцендентность чисел е и п
1. Исторические замечания
2. Доказательство трансцендентности числа е
3. Доказательство трансцендентности числа п
4. Трансцендентные и алгебраические числа
II. Учение о множествах
1. Модность множества
2. Порядок элементов множества
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в шкале
Примечания
Именной указатель
Предметный указатель.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
М.: Наука, 1987. 431 с.
| ||||||||||
В этой книге читатель найдет красивый этюд о пифагоровых числах и великой теореме Ферма, изящное изложение теории деления окружности, рассказ о кватернионах, прозрачно изложенную гауссову идею доказательства основной теоремы алгебры, доказательство трансцендентности чисел e и p , много крайне интересных подробностей из истории математики и ряд других вопросов.
Школьный преподаватель математики хорошо разбирается в вопросах методики преподавания своего предмета, но, как правило, судит об этих вопросах на уровне школьной программы и наличия межпредметных связей с другими, но именно школьными, предметами. Помочь ему подняться над этим уровнем, взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов — искреннее желание автора.
Рабочая программа элективного курса»Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
за привлеченного слушателя на курсы профессиональной переподготовки
Цели и задачи, решаемые при реализации рабочей программы.
развитие интереса к математике и решению задач;
совершенствование полученных в основном курсе знаний и умений;
формирование представлений о постановке, классификации, приемах и методах решения школьных математических задач;
подготовка к ЕГЭ.
Задачи: научить обучающихся решать алгебраические задачи, задачи с параметрами; рациональные и иррациональные алгебраические уравнения и неравенства, рациональные и иррациональные алгебраические системы; выполнять действия с многочленами.
Нормативные правовые документы, на основании которых разработана рабочая программа.
-Федеральный закон от 29.12.2012 №273 – ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».
-Приказ Министерства образования РФ от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».
-Приказ Министерства РФ от 31.03.2014 года №253 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в ОУ, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию на 2014/2015 учебный год.
-Приказ Министерства образования и науки РФ от 8 июня 2015г №576 «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего. Среднего общего образования. Утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014г №253».
-Авторская программа А.Н. Землякова « Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» : МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика» общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.
-Методические рекомендации «О преподавании математики в 2015-2016 учебном году в общеобразовательных учреждениях Липецкой области».
-Учебный план МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015 – 2016 уч. г.
— Календарный учебный график МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015-2016 учебный год.
— Положение о структуре, порядке разработки и утверждения рабочих программ учебных курсов, предметов МБОУ СОШ с. C торожевое
Сведения о программе.
Программа разработана на основе программы МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», авторы: А.Н. Земляков, общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.
Актуальность элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.
Общими принципами отбора содержания программы являются:
Системность, целостность, научность, доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся
Обоснование выбора программы.
Программа элективного курса согласована с требованиями государственного образовательного стандарта. Она ориентирует учителя на дальнейшее совершенствование уже усвоенных учащимися знаний и умений.
В программе установлена оптимальная последовательность изучения тем и разделов учебного предмета с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, возрастных особенностей обучающихся, определяет необходимый набор форм учебной деятельности.
Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет базовый компонент, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.
Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.
Информация о внесенных изменениях.
Авторская программа элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » рассчитана на 70часов. Согласно школьному учебному плану на 2015-2016 учебный год количество часов-35.
Рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему:
Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс:Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Рабочая программа элективного курса для углубленного изучения математики, в профильном классе.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| rabochaya_programma_ellektivnogo_kursa.docx | 32.23 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 3
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
элективного учебного курса по математике
«Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
(10, 11 классы профильного уровня)
Программу составила: Карпова Галина Николаевна
Рабочая программа элективного учебного курса «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 10-11 класса составлена на основе авторской программы А.Н. Землякова, кандидата педагогических наук, в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике профильного уровня.
Данная программа элективного курса по математике даёт широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе разбирается большое количество сложных задач, которые понадобятся учащимся при подготовке к ЕГЭ. Темы, предложенные этой программой, значительно расширяют и углубляют уровень знаний обучающихся 10-11 классе.
Рабочая программа включает разделы: пояснительная записка ; основное содержание с тематическим распределением учебных часов по разделам курса; требования к уровню подготовки выпускников, список рекомендуемой учебно-методической литературы , КИМ , позволяющие оценить качество выполнения образовательной программы.
Общая характеристика учебного курса
Задача обучения математике в школе — обеспечить прочное и сознательное овладение обучающимися системой основных математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Наряду с решением основной задачи, углубленное изучение математики предусматривает формирование у обучающихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в высших учебных заведениях.
Основная функция освоения программы в системе подготовки по математике – выявление, средствами предмета математики, направленности личности, её профессиональных интересов.
Преподавание элективного курса на профильном уровне среднего общего образования складывается из следующих содержательных компонентов (тематических блоков):
1. « Логика алгебраических задач».
2.«Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения»,
3. «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»,
4. « Рациональные алгебраические системы »,
5. «Иррациональные алгебраические задачи»,
6.«Алгебраические задачи с параметрами».
Материал, представленный в данных блоках, естественным образом переплетаются и взаимодействуют с учебным курсом «Алгебра и начала анализа» на профильном уровне.
- Овладение математическими знаниями .
Усвоение аппарата уравнений и неравенств, как основного средства математического моделирования прикладных задач. Систематизация по методам решений всех типов задач с параметрами. Развитие логического мышления учащихся.
Изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие прикладного значения общих методов математики.
- Интеллектуальное развитие учащихся , формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности. Формирование представлений о методах математики.
- Воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии
Место предмета в учебном плане
Рабочая программа рассчитана на 68 учебных часов из расчёта 1ч в неделю в 10 — 11 классах и 34 недели в каждом учебном году.
Часы берутся из школьного компонента .
Требования к уровню подготовки выпускников
В результате изучения курса «Алгебра плюс: алгебра с точки зрения высшей математики» учащиеся должны
Логика алгебраических задач
- Правила составления сложных задач с помощью конъюнкции и дизъюнкции предложений.
- Иметь представление об интерпретации задач с параметрами на координатной плоскости.
- Знать основные принципы решения логических задач на следование и равносильность.
- Понимать нестандартные формулировки задачи.
- Объяснить решение текстовой задачи.
- Уметь решать логические задачи на следование и равносильность.
- Уметь решать логические задачи с использованием координатной плоскости.
- Уметь решать нестандартные по формулировке задачи.
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения
- Иметь представление о полиномах различной степени.
- Знать свойства квадратного трехчлена.
- Знать теорему Безу и следствие из нее. Знать алгоритм деления многочлена на многочлен.
- Уметь решать некоторые полиномиальные уравнения степени выше второй.
- Уметь применять свойства квадратного трехчлена для решения задач, сводящихся к его исследованию.
- Уметь применять следствия из теоремы Безу и алгоритм деления многочлена на многочлен для разложения многочленов на множители.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
Рабочая программа элективного курса по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Описание разработки
Пояснительная записка
Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 10 – 11 класса составлена на основе авторской программы А. Н. Землякова, кандидата пед. наук, ведущего научного сотрудника лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г. Черниголовка, Московская обл. Из этой программы взяты модули «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Рациональные алгебраические системы», «Иррациональные алгебраические задачи». Из этих модулей исключены несколько тем, не нарушающих их логику. Программа рассчитана на 69 часов (10 – 11 класс), исходя из расчёта 1 час в неделю.
Данная программа элективного курса по математике даёт широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе разбирается большое количество сложных задач, которые понадобятся учащимся как при учёбе в высшей школе, так и при подготовке к ЕГЭ. Темы, предложенные этой программой, значительно расширяют и углубляют уровень знаний, предусмотренных базовым уровнем общеобразовательной программы по алгебре и началам анализа в 10 – 11 классе.
Цель курса:
повторение и обобщение курса алгебры и основ анализа, знакомство учащихся с материалом, не предусмотренным государственной программой, но который необходимо знать абитуриенту, желающему поступить в ВУЗ. В курсе предусмотрено решение большого числа сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высших учебных заведениях, так и при подготовке к Единому государственному экзамену.
Задачи курса:
знакомство учащихся с разнообразными методами решения задач как соответствующих программному материалу, так и более сложных задач, выходящих за рамки программного материала, в частности рассматриваются методы решения уравнений высших степеней, решение неравенств и уравнений, содержащих модули, решения задач с параметрами.
Тематическое планирование:
Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Предлагаемый элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор А.Н.Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.
Курс рассчитан на 70 часов.
повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;
создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.
реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;
выявление и развитие их математических способностей;
обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
формирование и развитие аналитического и логического мышления.
расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.
развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.
Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.
Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:
теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х 3 +Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.
Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.
Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,
Метод разложения при решении систем уравнений.
Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виета с тремя переменными.
Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.
Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.
Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Требования к подготовке учащихся.
Настоящая программа предполагает следующие требования:
иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;
получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;
иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;
уметь решать прикладные задачи;
. иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;
. иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.
ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ
Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.
Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.
Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ:
1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.
2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.
3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 — 11 кл. сред. шк. — 3-е изд. перераб. — М.: Просвещение, 1990-160с: ил.
4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 — 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.
5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. — М.: Дрофа, 2000 — 416с: ил.
6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2001. — 672с: ил.
7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.
Адреса образовательных Интернет ресурсов:
1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .
2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.
3. WWW.allmath – Вся математика.
4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.
5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.
6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.
7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.
8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика
Ожидаемый результат изучения курса
В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.
В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.
Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
элективного учебного предмета
«Алгебра плюс: элементарная алгебра
с точки зрения высшей математики»
на 2013 – 2014 и 2014-2015 учебные годы
Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 10 класса составлена на основе авторской программы , кандидата пед. наук, ведущего научного сотрудника лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г. Черниголовка, Московская обл.
Программа содержит следующие разделы: «Логика алгебраических задач», «Многочлены и алгебраические уравнения», «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Рациональные алгебраические системы», «Иррациональные алгебраические задачи», «Алгебраические задачи с параметрами». Программа рассчитана на 68 часов, на два года изучения: 2013-2014 учебный год — 34 часа в 10 классе — исходя из расчета 1 час в неделю и 2014-2015 учебный год — 34 часа в 11 классе – исходя из расчета 1 час в неделю.
Целью данного курса является повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа, а также углубление и расширение знаний учащихся по алгебре и началам анализа, что позволит успешно сдать ЕГЭ и поступить в ВУЗы.
· расширить знания учащихся о методах решения алгебраических уравнений, неравенств и систем;
· познакомить учащихся с различными методами решения иррациональных алгебраических задач и алгебраических задач с параметрами;
· расширить знания перечислительной комбинаторики;
· научить интерпретировать задачи на координатной плоскости, проводить графический анализ уравнений;
· сформировать умения выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения;
· сформировать навыки сотрудничества в процессе совместной работы.
Формы организации учебных занятий: лекция, беседа, семинар, практикумы.
Формы деятельности на занятиях: индивидуальная, фронтальная, парная (пары сменного состава), групповая.
На всех занятиях осуществляется индивидуальный и дифференцированный подход в обучении.
Курс дает широкие возможности для повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа, пробуждает интерес к предмету, направлен на более высокую успешность ученика при изучении математических дисциплин. Он дает возможность показать ученикам многообразие и сложность математических методов, используемых при решении различных задач. Программа предполагает решение большого количества сложных задач, которые понадобятся учащимся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам. Темы, предложенные программой, значительно углубляют и расширяют знания учащихся по алгебре и началам анализа. Возможны различные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся.
Выписка из анализа элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор , на сайте www. prosv-ipk/ru «Содержание этого курса рассчитано на учащихся физико-математического и естественно научных профилей. Предъявляет к учителю требования очень хорошего знания как школьного курса алгебры, так и основ высшей алгебры, поскольку уровень предлагаемых для решения в курсе задач очень высок. Содержание курса может служить хорошей основой для обобщения и систематизации математических знаний учащихся и подготовки их как к выпускному, так и к вступительным экзаменам».
10 класс малочисленный, поэтому данный элективный курс рассчитан для всех учащихся. Кроме этого, каждый ученик класса имеет свой уровень обученности. Поэтому предполагается прохождение курса каждым учеником по индивидуальной образовательной программе. Так как одной из моих целей является организация обучения на уровне доступном каждому ученику, то вопрос дифференцированного подхода является необходимым условием. На первом этапе задается нижний уровень усвоения предметного содержания, он должен быть освоен всеми учащимися. На его основе формируются повышенный и высокий уровни овладения курсом. На каждом этапе освоения учебного материала учебные цели корректируются. Обучение происходит в деятельности. А это значит, что ученик думает, размышляет и старается понимать; когда он восстанавливает, обсуждает содержание изучаемого, оформляет новое содержание в тексты, схемы; когда изученное применяет, то есть выполняет определённые действия по поводу изучаемой темы. Такая организация позволяет запустить мышление, речь и действия каждого ученика по поводу определённой учебной задачи.
- учащиеся смогут правильно применять терминологию; учащиеся будут иметь представление об области применения математических методов; учащиеся овладеют практическими навыками применения математических методов при решении алгебраических уравнений, неравенств и систем, иррациональных алгебраических задач и алгебраических задач с параметрами на различных уровнях; учащихся расширят знания перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями, научатся применять формулу Ньютона для степени бинома; учащиеся смогут проводить графический анализ уравнений, интерпретировать задачи на координатной плоскости.
Форма итоговой аттестации ученика:
- зачет; самостоятельная работа.
Критерии оценки самостоятельной работы учащихся:
- рациональность решения; использование теоретического обоснования; правильность решения; выполнения работы не менее чем на 50%.
Критерии оценки зачета:
- выполнения работы не менее чем на 50%.
Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики
элективного предмета
«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
для профильных 10-11 классов
учителя математики МОУ СОШ № 6
Зубковой Любови Николаевны
к модифицированной программе по курсу
«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Модифицированная программа составлена на основе программы элективного курса по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», составленной ведущим научным сотрудником лаборатории дифференциации образования ЦЭПРАО, Землякова А.Н., г. Черниголовка, Московской области. Слушателями этого курса могут быть учащиеся математического или другого профиля, на котором математика изучается на профильном уровне.
Цель курса:
повторение и обобщение курса алгебры и основ анализа, знакомство учащихся с материалом, не предусмотренным государственной программой, но который необходимо знать абитуриенту, желающему поступить в ВУЗ. В курсе предусмотрено решение большого числа сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высших учебных заведениях, так и при подготовке к Единому государственному экзамену.
знакомство учащихся с разнообразными методами решения задач как соответствующих программному материалу, так и более сложных задач, выходящих за рамки программного материала, в частности рассматриваются методы решения уравнений высших степеней, с использованием теоремы Безу-Горнера, решение неравенств и уравнений, содержащих модули, решения задач с параметрами.
Программа элективного курса по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», составленная ведущим научным сотрудником лаборатории дифференциации образования ЦЭПРАО, Землякова А.Н,, была модифицирована в связи с тем, что она предусматривает для рассмотрения более широкий спектр вопросов, и основательное изучение их не возможно осуществить за 68 часов. Поэтому из программы выделены для более подробного изучения следующие модули: «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения», «рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Иррациональные алгебраические задачи», «Алгебраические задачи с параметрами».
Требования к математической подготовке учащихся:
В результате изучения курса ««Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» учащиеся должны знать и уметь:
— знать различные методы решения уравнений высших степеней, уметь применять при решении теорему Безу-Горнера и следствия из этой теоремы, теорему о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, использовать метод замены переменной, графики функций;
— знать методы решения неравенств и уметь решать дробно-рациональные неравенства с одной переменной, уметь использовать обобщенный метод интервалов при решении неравенств, решать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решать неравенства с двумя переменными;
— знать методы решения иррациональных уравнений и неравенств, владеть понятиями о равносильном и неравносильном переходе, понимать сущность проверки.
— понимать сущность задач с параметрами, уметь решать несложные рациональные, иррациональные задачи с параметрами, задачи с модулями и параметрами, уметь выписывать ответ.
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
| № п/п | Тема | Кол-во часов | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. | Многочлены и полиноминальные алгебраические уравнения | 21 ч. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вопросы: Квадратный трехчлен, методы решения квадратных неравенств. Корни многочленов, теорема Безу-Горнера, следствия из теоремы Безу, теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Методы решения уравнений высших степеней, метод неопределенных коэффициентов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. | Рациональные алгебраические уравнения и неравенства | 13 ч. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вопросы: Симметрические, кососимметрические, возвратные уравнения четной и нечетной степени. Решение дробно-рациональных уравнений. Решение неравенств методом интервалов, обобщенный метод интервалов. Неравенства с двумя переменными, множества решений на координатной плоскости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. «Факультативный курс по математике. Решение задач», 10 кл. И.Ф.Шарыгин, Москва, «Просвещение», 1989г. 2. «Факультативный курс по математике. Решение задач», 11 кл. И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев, Москва, «Просвещение», 1991г. 3. «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа» М.Л.Галицкий, М.М Мошкович, С.И. Шварцбурд., Москва, «Просвещение», 1990г 4. «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену», О.Черкасов, А. Якушев, Москва, «Айрис-пресс», 2003г. 5. «3000 конкурсных задач по математике», Е.Д.Куланин и др., Москва, Рольф, «Айрис-пресс», 1998 г. элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10 класс ( 200_ — 200_ уч. год) 1 час в неделю, всего 35 часов.
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики ГОУ «Чувашский республиканский институт образования» Элективный курс по математике для учащихся 9 — ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики. Ермеев Валерий Александрович, учитель математики МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 им. М.В. Силантьева» Цивильского Рецензент: Ярдухин А.К., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры естественно-научных дисциплин ГОУ «Чувашский республиканский институт образования» Программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования. Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный. 1) развитие личности ребенка; 2) ) распознавание и раскрытие его способностей; 3) освоение системы знаний, необходимых для успешного получения профессионального образования и самообразования; 4) формирование ответа применения полученных знаний и умений для решения типичных задач в области математики. 5) знакомство учащихся с математикой как общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя. Учебно – тематический план. Делимости деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Деление многочлена на многочлен. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини – Горнера. Формулы сокращенного умножения. Разложение методом неопределенных коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами. Симметрическое, кососимметрическое и возвратные многочлены и уравнения. Метод использования монотонности при решении уравнений. Дробно – рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно – рациональных уравнений. Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов дробно – рациональных неравенств. Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Метод разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными. 1.Делимости деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел. 1. Определение и свойства делимости . Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = b с . Если а делится на b, то k а делится на b. Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m. Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b. Если а делится на k, b делится на n, то произведение а b делится на произведение kn. . Задачи для самостоятельного решения 1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3 а кратно 15. 2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится на с. 3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число а b кратно 28. 4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2 а 2 + 6 а делится на 18. 5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18. 6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а 2 – 2b кратно 16. 7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11. 8.Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9. 9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число. 10. Докажите, что число вида а b ( a – b ) , где а и b – целые числа, четное. 11. Докажите, что 1 3 +2 3 +…+59 3 делится на 60. 12. Докажите, что 1 3 +2 3 +…+49 3 не делится на 50. Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара чиселq и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; . . . , b – 1. Если остаток r равен нулю, то число а делится на b. Задачи для самостоятельного решения. 1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4? Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4( 2k + 1) + 2. 2Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2? 3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2 4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа 5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3. 6. . Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2. 7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3. 8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7? 9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3? 10. Докажите, что число n 3 – n кратно 6 при любом натуральном n. 11. Докажите, что число n 3 – n кратно 24 при нечётном n. 12. Известно, а 2 + b 2 делится на 7. Докажите, что а 2 + b 2 делится на 49. 13. Известно, а 2 + b 2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3. 2. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. При делении P(х) на х — P(x) = (x — Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу. Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х — Пример 1. Докажем, что х 4 – 6х 3 + 7х + 18 делится без остатка на х – 2. Решение. Подставляя в х 4 – 6х 3 + 7х + 18 вместо х значении 2, получаем 2 4 – 6 · 2 3 + 7 · 2 + 18, т.е. нуль. Пример 2. Найдем остаток от деления х n + a n на х + а. Решение. В данном случае вместо х надо подставить – а. Получаем (- а) n + а n . Это выражение равно нулю, если n нечетно, и равно 2а n , если n четно. Значит, х n + a n делится без остатка на х + а лишь в случае, когда n нечетно. Определение 1. Число Если многочлен P(x) делится на х — Справедливо и обратное утверждение. Оно вытекает из доказанной выше теоремы Безу. Теорема 2. Если число Теорема 3. Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни Следствие. Многочлен степени n имеет не более n различных корней. Если многочлен P(x) делится без остатка на (х — (х — Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень писать столько раз, какова его кратность. Например, если многочлен ах 2 + bx + c имеет корень а кратности два, то 2 Пример 3. Составим квадратное уравнение корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 – 6х + 4 = 0. Решение. Обозначим корни уравнения х 2 – 6х + 4 = 0 через х 1 и х 2 . Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа у 1 = х 1 2 и у 2 = х 2 2 . Значит, это уравнение имеет вид: х 2 + px + q = 0, где p = — (у 1 + у 2 ) = — (х 1 2 + х 2 2 ) = — [(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ], q = у 1 у 2 = х 1 2 х 2 2 = (х 1 х 2 ) 2 . Но по формулам Виета имеем: х 1 + х 2 = 6 и х 1 · х 2 = 4. Отсюда находим, что q = (х 1 х 2 ) 2 = 4 2 = 16, а p = — [(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] = — (6 2 – 2 · 4) = — 28. Итак, искомое уравнение имеет вид: х 2 – 28х + 16 = 0. Задачи для самостоятельного решения. 1. Найдите остаток при делении многочлена х 6 – 4х 4 + х 3 – 2х 2 + 5 на х + 3. 2. Напишите формулы Виета при n = 4. 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 + 8х + 2 = 0. 4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 3х 2 – 10х + 4 = 0. 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения 6. Составьте кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности два и корень – 2. 7. Определите a и b так, чтобы – 2 было корнем многочлена P(x) = x 5 + ax 2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два. Ответ: а = 32,25; b = 49. 8. Какую кратности имеет корень 5 для многочлена P(x) = x 5 – 15x 4 + 76x 3 – 140х 2 + 75х – 125? Ответ: 3. 9. Какую кратности имеет корень 2 для многочлена P(x) = x 5 – 5x 4 + 7x 3 – 2х 2 + 4х – 8? Ответ: 3. 10. 1) Составьте кубический многочлен, имеющий корни 7, — 2 и 3 и старший коэффициент – 5. 2) Составьте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена х 3 – 6х 2 + 11х – 6. Ответ: х 3 – 14х 2 + 49х – 36. 11. Докажите, что многочлен х 2 k + 1 + a 2 k + 1 делится без остатка на х + а. 12. Чему равен коэффициент а, если остаток от деления многочлена х 4 – ах 3 + 4х 2 – х + 1 на х – 2 равен 7? 13. Докажите, что многочлен х 2 k + a 2 n при а 14. Разложите на множители: 3) х 4 – 18х 2 + 81; 5) х 5 + х 3 – х 2 – 1; 7) 2х 4 + х 3 + 4х 2 + х + 2; 8) (х 2 + х + 3) (х 2 + х + 4) – 12; 9) (х 2 + х -1) 2 + 3х (х 2 + х -1) + 2х 2 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):
— 
и 
.
0 не делится ни на х – а, ни на х + а.- http://math.ru/lib/book/djvu/klejn-1.djvu
- http://infourok.ru/rabochaya-programma-elektivnogo-kursaalgebra-plyus-elementarnaya-algebra-s-tochki-zreniya-visshey-matematiki-869586.html
- http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2017/10/23/rabochaya-programma-elektivnogo-kursa-algebra-plyuselementarnaya
- http://videouroki.net/razrabotki/rabochaya-programma-elektivnogo-kursa-po-matematike-algebra-plyus-elementarnaya-algebra-s-tochki-zreniya-vysshey-matematiki.html
- http://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/elektivnij_kurs_algebra_plyus_elementarnaya_algebr_093544.html
- http://pandia.ru/text/80/150/8751.php
- http://nenuda.ru/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%BF%D0%BB%D1%8E%D1%81-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B0.html
- http://gigabaza.ru/doc/13648.html