Давление света с точки зрения квантовой теории света

Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фото­нов импульса является существование светового давления (опыты Лебедева).

Волновое объяснение (по Максвеллу): взаимодействие индуцированных токов с магнитным полем волны.

С квантовой точки зрения давление света на поверхность обусловлено тем, что при соударении с этой поверхностью каждый фотон передает ей свой импульс. Так как фотон может двигаться только со скоростью света в вакууме, то отражение света от поверхности тела следует рассматривать как процесс «переизлучения» фотонов — падающий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь излучается ею с противоположным направлением импульса.

Рассмотрим световое давление, которое оказывает на поверхность тела поток монохроматического излучения, падающего перпендикулярно поверхности.

Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает п фотонов. Если коэффициент отражения света от поверхности тела равен R, то Rnфотонов отражается, а (1–R) п- поглощается. Каждый отраженный фотон передает стенке импульс, равный 2р_ф =2hv/c(при отражении импульс фотона изменяется на – р_ф). Каждый поглощенный фотон передает стенке свой импульс р_ф =hv/c.Давление света на поверхность, равно импульсу, который передают поверхности за 1 с все п фотонов:

, (11-12)

где I=nhv – энергия всех фотонов, падающих на единицу поверх­ности за единицу времени, т. е. интенсивность света, а w=I/c– объ­емная плотность энергии падающего излучения. Эта формула проверялась экспериментально и была подтверждена в опытах Лебедева.

4. Фотонный газ. Бозоны. Распределение Бозе − Эйнштейна.

Рассмотрим свет как совокупность фотонов, которые находятся внутри замкнутой полости с зеркальными стенками. Давление света на зеркально отражающую поверхность должно быть таким же, каким оно было бы если фотоны зеркально отражались от поверхности подобно абсолютно упругим шарикам.

Найдем давление, производимое на идеально отражающие стенки| замкнутой полости.

Для простоты предположим, что полость имеет форму куба. Ввиду изотропности излучения можно считать, что все направления движения фотонов равновероятны. Взаимодействие между фотонами отсутствует (частота их при столкновениях не меняется). Поэтому фотоны движутся подобно молекулам идеального одноатомного газа.

Давление идеального газа на стенки полости найдем из основного уравнения кинетической теории газов:

Но для фотонов m=hv_i/c 2 , υ_i=с и поэтому mυ_i 2 = hv_i.Таким образом,

где W — полная энергия всех фотонов в полости, а давление на ее стенки

(11-13)

Здесь w — объемная плотность энергии излучения. Если фотоны внутри нашей полости имеют частоты от 0 до ∞, то w можно определить по формуле:

(11-14)

Здесь ρ(ν) — объемная плотность энергии излучения в интервале частот от ν до ν+dν.

Функция ρ(ν) находится с помощью специального квантового распределения фотонов по энергиям (частотам), — распределения Бо­зе —Эйнштейна (Б-Э).

1. В отличие от распределения Максвелла, которое характеризует распределение частиц в пространстве скоростей (импульсов), квантовое распределение описывает энергии частиц в фазовом пространстве, образованном импульсами и координатами частиц.

2. Элементарный объем фазового пространства равен (перемножим все приращения координат):

(11-15)

3. Объем, приходящийся на одно состояние равен h 3 .

4. Число состояний dg_iизлучения, находящегося в элементарном фазовом объеме в квантовой статистике получается путем деления объема (11-15) на h 3 :

5. Распределению Б—Э подчиняются системы частиц с целым спином. Они получили название бозоны. К этим частицам относятся и фотоны. Их спин принимает целочисленные значения. Момент импульса фотона принимает значение mh/2π, где m = 1. 2,3… Функция распределения Бозе — Эйнштейна для фотонов имеет вид:

, (11-16)

где. ΔN –число фотонов в объеме dV, n_i — среднее число частиц в одном энергетическом состоянии с энергией W_i, которое называется, k — постоянная Больцмана, T – абсолютная температура. Коэффициент 2 появляется в связи с наличием двух возможных направлений по­ляризации света (левое и правое вращение плоскости поляризации).

Полное число состояний в объеме V(после интегрирования по объему и использования соотношений между импульсом фотона р и его энергией W,ν р =hv/c, W= hv):

где ν — частота, с — скорость света в вакууме.

Число фотонов с энергией от W до W + d W в объеме V:

(11-17)

Объемную плотность энергии излучения в интервале частот от ν до ν +dν найдем умножив (11-16) на энергию одного фотона hν:

. (11-18)

Давление излучения найдем по формулам (11-13), (11-14) и (11-18):

Уравнение состояния для излучения:

.

Энергия излучения из объема V (закон Стефана-Больцмана):

Связь между энергетической светимостью и объемной плотностью энергии излучения (следует из сопоставления формулы Планка с формулой (11-18):

Дата добавления: 2014-01-15 ; Просмотров: 5532 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

5. Квантовые свойства света. Опыт Боте. Энергия, масса и импульс фотона. Фотоэффект. Эффект Комптона и его теория. Тормозное рентгеновское излучение. Давление света.

Квантовые свойства света.

Корпускулярно-волновой дуализм света

Свет испускается, распространяется и поглощается в виде корпускул – фотонов, которые являются частицами электромагнитного поля и носителями квантов (порций) энергии. Величина кванта энергии определяется формулой Планка: Корпускулярные характеристики фотона () дополняются волновыми характеристиками (), что подтверждаетпринцип дополнительности Бора.

Опыт Боте.

Опыт Боте (1924 г.). В этом опыте тонкая металлическая фольга Ф освещалась рентгеновскими лучами малой интенсивности, вызывающими в фольге слабую рентгеновскую флюоресценцию (послесвечение). Рентгеновское излучение от фольги попадало на два счетчика ионизирующего излучения Сч1 и Сч2 (счетчики Гейгера). Чувствительность таких счетчиков настолько велика, что они могут регистрировать отдельные рентгеновские кванты. Срабатывая, счетчики приводили в действие механизмы самописцев М1 и М2, делающие отметки на движущейся ленте Л. В результате получено, что отметки на ленте от двух самописцев, связанные с моментами попадания в счетчики рентгеновских квантов, абсолютно случайны. Этот факт можно было объяснить лишь беспорядочным попаданием рентгеновских квантов, рассеиваемых фольгой то в одном, то в другом направлении, тогда как согласно волновым представлениям излучение от источника должно распространяться равномерно во все стороны.

Энергия, масса и импульс фотона.

Свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона . Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии: . Фотон – элементарная частица, которая всегда (в любой среде) движется со скоростью с и имеет массу покоя, равную нулю. Следовательно масса фотона отличается от массы таких эл-тарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя. Импульс фотона получим, если в общей ф-ле теории относительности (Е – полная энергия) положить массу покоя фотона :. Следовательно, фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом.

Гипотеза Планка, решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта – явление, открытие которого сыграло важную теорию в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэффектом называется испускание электронов в-вом под действием электромагнитного излучения (света). Он наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а так же в газах на отдельных атомах и молекулах. Внутренний фотоэффект – это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. В р- тате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или возникновению ЭДС. Вентильный фотоэффект – возникновение ЭДС (фото-ЭДС) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). При помощи вентильного фотоэффекта можно напрямую преобразовывать солнечную энергию в электрическую. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: Энергия падающего фотона расходуется на совершение работы выхода из металла и на сообщение фотоэлектрону кинетической энергии. По закону сохранения энергии, .

Эффект Комптона и его теория.

В эффекте Комптона наиболее полно проявляются корпускулярные свойства света. Исследуя рассеяние монохроматического рентгеновского излучения в-вами с легкими атомами Комптон обнаружил, что в составе рассеянного излучения на ряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также излучение более длинных волн. Опыты показали, что разность Δλ = λ’ −λ не зависит от длины волны λ падающего излучения и природы рассеивающего в-ва, а определяется только величиной угла рассеивания ,где –длина волны рассеянного излучения, — комптоновская длина волны (при рассеяние фотона на электроне = 2,426нм ). Эффектом Комптона наз-ся упругое рассеяние коротковолнового излучения (рентгеновского и γ -излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах в-ва, сопровождающееся увеличением длины волны. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет корпускулярную природу, т.е. представляет собой поток фотонов, то эффект Комптона – р-тат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами в-ва (для легких атомов электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными). В процессе этого столкновения фотон передает часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения.

Эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний электрон нельзя считать свободным. Эф. К. наблюдается не только в эл-тронах, но и на заряженных частицах, например протонах, однако из-за большой массы протона его отдача «просматривается» лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий. Как эф. К. так и фотоэффект на основе квантовых представлений обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором – поглощается. Рассеивание происходит при взаимодействии фотона со свободным электроном, а фотоэффект со связанными электронами. При столкновении фотона, так как это находится в противоречии с законами сохранения импульса и энергии. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами может наблюдаться только их рассеяние, т.е. эффект Комптона.

Тормозное рентгеновское излучение.

Электрон, движущийся в некоторой среде, теряет свою скорость. При этом возникает отрицательное ускорение. Согласно теории Максвелла, любое ускоренное движение заряженной частицы сопровождается электромагнитным излучением. Излучение, возникающее при торможении электрона в веществе анода, называюттормозным рентгеновским излучением.

Если фотон обладает импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. С точки зрения квантовой теории, давление света на пов-ть обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с пов-тью передает ей свой импульс. Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на пов-ть тела потоком монохроматического излучения (частота ν), падающего перпендикулярно пов-ти. Если в единицу времени на единицу площади пов-ти тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения ρ света от пов-ти тела отразится ρN фотонов, а (1− ρ )N — поглотится. Каждый поглощенный фотон передает пов-ти импульс , а каждый отраженный — 2 =2hν / c (при отражении импульс фотона изменяется на ). Давление света на пов-ть равно импульсу, который передают пов-ти в 1 с N фотонов:

есть энергия всех фотонов, падающих на единицу пов-ти в единицу времени, т.е. энергетическая освещенность пов-ти, а /c =ω — объемная плотность энергии излучения. Поэтому давление производимое светом при нормальном падении на пов-ть, .

6. Атомные спектры. Сериальные формулы. Опыт Резерфорда. Постулаты Бора. Опыт Франка-Герца. Элементарная теория атома водорода. Значение теории Бора. Рентгеновские характеристические спектры. Закон Мозли.

Атомные спектры. Сериальные формулы.

Исследования спектров излучения разреженных газов (т.е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным явл-ся спектр наиболее простого атома – атома водорода. Бальмер (1825-1898) подобрал эмпирическую ф-лу описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода и видимой области спектра ,(n = 3, 4, …) гдеR‘– постоянная Ридберга. Так как ν = с /λ , то ф-ла может быть переписана для частот: , гдеR = R‘c — так же постоянная Ридберга. Из полученных выражений вытекает, что спектральные линии отличающиеся различными значениями n, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n = ∞ определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий.

В ультрафиолетовой области спектра находится

серия Лаймана:

В инфракрасной области были обнаружены:

серия Пашена:

серия Брэкета:

серия Пфунда:

серия Хэмфи:

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной ф-лой, называемой обобщенной ф-лой Бальмера: , где m – имеет в каждой данной серии постоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), n – принимает целочисленные значения, начиная с m+1 (определяет отдельные линии этой серии).

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов Резерфорда по рассеянию α -частиц в в-ве. Альфа частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительными заряженными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы эл-трона. Пучки α -частиц обладают высокой монохроматичностью (для данного превращения имеют практически одну и ту же скорость (порядка 10^7 м/с)). Резерфорд, исследуя прохождение α-частиц в в-ве (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые α-частицы (примерно одна из 20000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже180° ). Т.к. электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как α-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение α-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие α -частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома. На основании своих опытов Резерфорд предложил ядерную модель атома. Согласно этой модели, вокруг положи порядковый номер эл-та в системе Менделеева, е -элементарный заряд), размер 10^(−15) −10^(−14) м и массу , практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10^(−10) м по замкнутым орбитам движутся электроны, образую электронную оболочку атома. Так атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Первая попытка построить качественно новую – квантовую — теорию атома была предпринята Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда (Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер эл-та в системе Менделеева, е – элементарный заряд), размер 10^(−15) −10^(−14) м и массу , практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10^(−10 м) по замкнутым орбитам движутся электроны, образую электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен cуммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов) и квантовый характер излучения и поглощения света. Два постулата:

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию (n=1,2,3,…), где -масса эл-трона, v – его скорость по n-ой орбите радиуса , = h / 2π .

Второй постулат (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией , равной разности энергий соответствующих стационарных состояний ( и — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т.е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор всевозможных дискретных частот ν=( −)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Изучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов с атомами газов, экспериментально было доказано, что значения энергии атомов дискретны. Принципиальная схема их установки приведена на рис. Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (и) и анод (А). Электроны, эмитируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой. Между сеткойи анодом приложен небольшой (примерно 0.5 В) задерживающий потенциал. Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударений имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в области 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Из опыта следует, что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 5 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум, затем резко уменьшается и возрастает вновь.

В 1913г. английский физик Мозли измерил длины волн рентгеновских лучей, испускаемых разными металлами в катодной трубке, и построил график зависимости обратного значения квадратного корня из длины волны рентгеновских лучей от порядкового номера элемента. Этот график (рис.1) показывает, что порядковый номер отражает какую-то важную характеристику элемента. Мозли предположил, что этой характеристикой является заряд ядра атома, и что он возрастает на единицу при переходе от одного элемента к следующему за ним по порядку. Он назвал порядковый номер атомным номером — Z.

Корень квадратный из величины, обратной длине волны рентгеновских лучей, испускаемых атомами различных элементов, находится в линейной зависимости от порядкового номера элемента.где — длина волны,– постоянная величина, Z– порядковый номер элемента (заряд ядра).

Позже стало известно, что порядковый номер равен числу протонов в ядре. Таким образом, порядковый (атомный) номер равен заряду ядра и он же определяет наличие в нем протонов (положительных частиц). А так как атомы нейтральны, то число электронов в атоме должно быть равно числу протонов. Но массы атомов оказались больше суммарной массы протонов. Для объяснения избытка массы было высказано предположение о существовании нейтронов.

7. Длина волны де Бройля. Опытное обоснование волнового дуализма. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Волновая функция и ее статистический смысл. Уравнение Шредингера. Собственные функции и собственные значения. Стационарное уравнение Шредингера. Квантомеханическое представление свободно движущейся частицы. Квантомеханическое описание частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

Длина волны де Бройля.

Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают так- же волновыми свойствами. Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс р, а с другой — волновые характеристики — частота v и длина волны К. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов: Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемойпо формуле де Бройля: Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.

Опытное обоснование волнового дуализма.

Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физик и К. Дэвиссо н (1881 — 1958) и Л. Джермер (1896 — 1971) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля, дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле. В дальнейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия «50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной ж 1 мкм). Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось экспериментально подтвердить в 1948 г. советскому физику В. А. Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 10^4 раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности. Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля. Открытие волновых cвойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и нейтронография, а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, ру, рг), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям, т.е. произведение координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h. Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты () то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределеннойи наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, тосоотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Волновая функция и ее статистический смысл.

Немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Эту величину называют такжеволновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: — функция , комплексно сопряженная с). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид: , где m-масса частицы, — оператор Лапласа,i – мнимая единица, U(x,y,z,t)-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется Ψ(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Собственные функции и собственные значения. Стационарное уравнение Шредингера.

Уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Ечастицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

Квантомеханическое представление свободно движущейся частицы.

При движении свободной частицы (U(x) = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид .Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения i является функция, где A=const иk = const, с собственным значением энергии Функцияпредставляет собой только координатную часть волновой функцииПоэтому зависящая от времени волновая функция, согласно, (219.3) (здесьФункция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля). Из выраженияследует, что зависимость энергии от импульсаоказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое числоk может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.

Квантомеханическое описание частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

. На границах «ямы» (при х = 0 и х = l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

Общее решение дифференциального уравнения : Так как. ТогдаУсловиевыполняется только пригдеп — целые числа, т. е. необходимо, чтобы . Cледует, что т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях, ‘зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия £„ частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне £„, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.