Что такое хаос с точки зрения математики

Похожие материалы

Период элементарной математики

Изначально представления человечества об окружающем мире формировались исключительно опытным путём. Именно опытным путём были получены многие математические открытия, которые сейчас кажутся очевидными. Так зародилась арифметика, а несколько позже с развитием строительных технологий и геометрия.

Численные соотношения лишь сопровождали реальное производство и хозяйственные отношения. При этом многие знания хранились в тайне. Так жрецы Древнего Египта знали и использовали при строительстве теорему Пифагора, но держали это тождество в строгом секрете. Сделать это было не трудно, так как египетскую клинопись понимали немногие посвященные, да и никакого языка науки в то время не существовало. Любые вычисления относились только к конкретным и реальным объектам.

Первым из математиков, чьи идеи дошли до нас, был Пифагор. Он первый внёс в математику абстракцию. Он стал формулировать задачи и решать их без привязки к какому-либо объекту. Для своего времени Пифагор был революционер. Кроме того, он первый ввел понятие аксиомы и положил аксиомы в основании любых доказуемых утверждений. Теперь важным стало утверждение истинности или ложности утверждения, а не подсчет некоторых реальных практических фактов. Именно тогда математика стала по содержанию приобретать современный вид.

В основе мира Пифагор видел число. Число было для него высшей мерой. И численные соотношения он хотел положить в описание мира. Возникшая вокруг него философская школа, получившая название пифагорейской, ставила себе целью получить такие соотношения. Для большинства Пифагор остался в памяти благодаря важнейшей теореме, носящей его имя. Однако, многие идеи пифагорейцев получили дальнейшее развитие, хотя и в совершенно другой форме. Наиболее важным открытием, поразившим мудрецов древнего мира, стало изучение неизмеримости. Например, диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна квадратному корню из двух, при этом получить данный результат простым измерением невозможно. Это еще раз подтверждает абстрактный характер математики. При этом любое несоизмеримое число можно использовать в расчетах реального объекта и получить вполне точный и правильный результат. Так, согласно известным на сегодня источникам, наука впервые столкнулась с неопределенностью [2].

Создание дифференциального и интегрального исчисления

Опыты Галилея положили начало «настоящей» в современном смысле науки. При этом Галилей признал единственным языком науки именно математику. По сути, его опыты стали классическими и фундаментальными именно благодаря аккуратной обработке результатов. Притом, что в его распоряжении не было даже средств измерения временных промежутков, и он измерял время, отсчитывая собственный пульс. Галилей заложил основы механики, а ее развитие дало толчок всему естествознанию. Со времен Галилея законы природы принято записывать в математической форме и доказано практическим путем, что другой формы просто нет. Многие вполне абстрактные теории, которые имели достаточно отдаленное отношение к естествознанию, сумели стать нужным аппаратом для новых дисциплин, описывающих реальность.

Ньютон блестяще обосновал основные законы механики, сформулировав при этом и основы дифференциального и интегрального исчисления. Казалось, математика вновь стала наукой расчетной, тем более что производные и первообразные функции были следствием вполне реальных процессов, которые наблюдались ежедневно каждым лично. Параллельно с Ньютоном к открытию дифференциального и интегрального исчисления пришел Лейбниц. При этом надо отметить, что открытие законов механики было обосновано на основе достаточно непрочных математических основ. Ньютон, как и Лейбниц, не смог сформулировать многих понятий, таких как, например, предел. Сделать это смог только Огюстен Коши в 19 века. До этого периода многие философы негодовали относительно такого положения вещей. Казалось странным объяснять все вокруг на основе законов, которые сформулированы странным образом. Открытия Ньютона уже стали всем казаться вечными и величайшими. Они прекрасно сочетались с опытом, помогали развивать технику. Наука стала держаться на «трех китах»: механика Ньютона, логика Аристотеля и геометрия Евклида. Простой человеческий разум подсказывал, что законы логики вполне сочетаются с истиной, а геометрия Евклида отлично сочетается с окружающим миром.

Развитие математики в 18-19 столетия

Фактически представления об окружающем мире человек черпал исходя из собственных чувств и восприятия мира через эти чувства. Создание в 19 веке Джеймсом Максвеллом стройной теории электромагнитных колебаний создало в науке массу противоречий. Его великая теория, уложенная аккуратно в четыре дифференциальных уравнения, отлично объясняла все электромагнитные явления. При этом он использовал только введенные в науку его соотечественником Гамильтоном понятие кватернионов. Абстрактное понятие помогло познать реальный мир. Сами электромагнитные волны были обнаружены опытным путём, что еще больше показало могущество математики и несовершенство человеческих чувств, так как человек реагирует только на достаточно узкую полосу электромагнитных колебаний [1].

Открытие в 1905 году теории относительности перевернуло существующие представления о пространстве и времени. Осознанное четырёхмерное многообразие согласно общей теории относительности (1913-1916 гг.) оказывается искривлённым. Геометризация физики Пуанкаре, Лоренцом и Эйнштейном стала быстро развиваться. При этом понятия, которыми стала оперировать точная наука с каждым годом становились все менее понятны простому обывателю. Язык современной физики – науки о природе – стал языком математики, причём самых абстрактных её разделов.

Сейчас современная наука утверждает, что окружающее нас пространство не трехмерно, а 10-ти или даже 26-мерно, но ощутить человек способен только 4, включая время. По сути, сегодня наука о природе в решении самых главных и фундаментальных вопросов перешла к метафизике, как во времена Пифагора, когда занимались изучением абстракций, не подтвержденных практикой. Законы выведенные математически чаще всего подтверждаются потом экспериментально, хотя сначала это выглядит как-то таинственно и труднообъяснимо. Ученые утратили определенность в своих исследованиях, так как точность измерений, по мере углубления знаний о микро и макромире, постоянно снижается [4].

Бертран Рассел сказал: «Метафизика, или попытка охватить мир как целое посредством мышления. Метафизика — попытка постичь мир как целое с помощью мысли. Имеет ли какое-нибудь значение для решения этой проблемы гносеологический урок, преподанный физикой? Я думаю, что да, ибо он показывает, что даже в ограниченных областях описание всей системы в единственной картине невозможно. Существуют дополнительные образы, которые одновременно не могут применяться, но которые, тем не менее, друг другу не противоречат, и которые только совместно исчерпывают целое. Это весьма плодотворное учение, и при правильном применении оно может сделать излишним многие острые споры не только в философии, но и во всех областях жизни» [3].

Современная наука подтверждает эти слова. В частности, естественным свойством любой системы является рост ее энтропии или неопределенности системы, невозможности предсказать ее поведение. Мы окончательно прощаемся с великой механикой Ньютона в деле объяснения положения дел во Вселенной. Ведь, исходя из дифференциальных уравнений классической механики, можно описывать изменения любого числа частиц и тел, зная закон их движения. На практике оказалось, что это практически не так. Помимо парадоксальных законов микромира, один из которых вообще утверждает, что электрон может находиться в двух разных состояниях одновременно, громадной проблемой стала статистическая обработка данных. Конечно, на помощь пришла современная вычислительная техника, которая позволяет проводить миллиарды операций в секунду, но и она крайне ограничена. В первую очередь ЭВМ ограничены по памяти (хотя возможности колоссальны) и по точности расчетов. Кроме того, все ЭВМ работают хоть немного, но по-разному – чтобы добиться синхронности, надо иметь еще какой-то стандарт, который тоже надо чем-то определить. Любой компьютер будет допускать ошибки при округлении чисел (малозаметные, незначительные, но все же) и, конечно, при переводе из своей системы счисления (обычно двоичная) в человеческую систему счисления (обычно десятичную). Сила мелочей, как известно, в их количестве и способности накапливаться. Так обстоит дело при любых вычислениях, причем не обязательно при решении какого-то сложного дифференциального уравнения в явном числовом виде. Например, число π или ℮ вычислено с громадной точностью, которая обычному человеку даже помешает, но не с конечным значением [2].

Современная наука подошла к черте, когда часто очень сложно различить признаки порядка и хаоса. Сам по себе хаос еще не означает отсутствия всяких знаний, но означает ограниченность этих знаний. Важно также отметить, что простые системы, когда мы рассматриваем их в динамике, не всегда поддаются точному расчету и ведут себя «по порядку», а наоборот, очень часто проявляют масштабные флуктуации и дать прогноз развитию таких систем крайне сложно. Со сложными системами наука пока не научилась общаться с возможностью гарантированного результата, так как там неопределенностей еще больше. Поэтому, с точки зрения математики, различные метеорологические, экономические и политические прогнозы крайне сомнительны. Человечество должно привыкнуть, что хаос и порядок неизбежно соседствуют друг с другом и надо уметь оценить их влияние на жизнь общества и научные знания.

Список литературы

1. Юшкевич А.П. История математики. М.: Наука, 1970. – 352 с.
2. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990. – 284 с
3. Бертран Рассел. История западной философии. Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2001. – 953 с
4. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математика. М.: МЦНМО, НМУ, 2001. – 464 с

Электронное переодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.

Теория хаоса

Теория хаоса — математический раздел, занимающийся изучением поведения нелинейных детерминированных систем. Для таких систем характерна сильная чувствительность к изменениям начальных условий. Это свойство называется хаосом.

Первые элементы теории хаоса появились в конце 19 века в работах Анри Пуанкаре о движениях в Солнечной системе. Наибольшее развитие теория хаоса получила во второй половине 20 века в работах Эдварда Лоренца и Бенуа Мандельброта. Термин «хаос» был введен в 1975 году Дж. Йорке и Т. Ли.

В 1954 году российский математик А. Н. Колмогоров разработал метод касающийся проблемы устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем этот метод был усовершенствован его учеником В. И. Арнольдом и немецким математиком Ю. Мозером. Эти работы положили начало теории хаоса, называемой КАМ (Колмогоров — Арнольд — Мозер), в которой вводятся понятия аттракторов и устойчивых орбит системы.

Эдвард Лоренц в 1961 году занимался изучением метеосистем. Он построил модель конвекции в атмосфере, состоящую из трех дифференциальных уравнений:

dx/dt = a(-x + y);
dy/dt = rx — y — xz;
dz/dt = -bz + xy.
В ходе эксперимента, Лоренц заметил некоторые особенности решения, возникающие примерно на середине счета. Поэтому он решил пересчитать полученные значения с этого момента, при этом, уменьшив число знаков после запятой (первоначально было 6 знаков, Лоренц уменьшил их число до 3). Ошибки, введенные таким образом, были не велики. Однако решение, которое сперва совпадало с первоначальным, со временем стало сильно отличаться, а потом перестало напоминать старое. Таким образом, Лоренц наблюдал существенную зависимость от начальных условий, т. е. хаос. В 1972 году им была опубликована статья «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Это название прекрасно иллюстрирует суть теории хаоса.

Благодаря работе Эдварда Лоренца стало известно, что уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Поэтому долгосрочные прогнозы подвержены «эффекту бабочки», т.е. невозможно предсказать погоду более чем на четыре или пять дней. Движение в Солнечной системе тоже хаотично, но для проявления непредсказуемости здесь требуются гораздо больше времени — десятки миллионов лет. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически вращается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это вращение как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном Теория хаоса широко применяется в экономике для прогнозирования финансовых рынков и рынков ценных бумаг. Хаос имеет место и в биологических системах, в частности при описании моделей популяции или динамики эпидемий.

Еще одним примером проявлением хаоса является движение бильярдного шара. При ударе очень важно расположение кия относительно шара, необходимо рассчитать начальную силу и точность удара, а так же расположение шара, по которому наносится удар относительно других шаров. Все эти факторы очень сильно влияют на конечный результат. Малейшая неточность приводит к самым непредсказуемым результат — траектория движения может сильно измениться. Но даже если бильярдист правильно рассчитал все факторы после пяти- шести столкновений трудно предсказать дальнейшее движение шара.

Теория хаоса

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

ХАОС НЕ СЛУЧАЕН

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью — ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.

И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

Непредсказуемость хаоса

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям.

Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

«Эффект бабочки»

Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям — шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой.

В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем — будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.

То же самое по-простому — малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия

• Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса — эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
• Второй вывод теории хаоса — достоверность прогнозов со временем быстро падает.

Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка — с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.

Еще один пример хаотичности в природе — лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе — правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем» . Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство — это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением.

Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его.

И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.

Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются

Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия , фрактал — это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

Фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала — самоподобие.

Другое свойство фрактала — дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Рисунок 6. Фрактал «ковер Серпинского»

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio — повторение) — повторное применение какой-либо математической операции.

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал — геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature) . Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.

Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения.

Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.

Детерминистские фракталы

Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой.

Классическим примером сложного фрактала является множество

Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C — комплексные числа и а — положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Рисунок 8. Множество Мандельброта

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.

Бифуркация (от лат. bifurcus — раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.

Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn — С(Хn)2, где С — внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).

Результатом расчетов являются следующие выводы:

• при С
• в области 1
• в диапазоне 3
• при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод — заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn — С(Хn)2

Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу.

Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми.

Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения.

Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

Что такое хаос с точки зрения математики

Понятие “Хаос” в философских теориях древности означало бесконечное пространство, существовавшее до начала мира. В греческой мифологии это беспорядочная субстанция, из которой возник порядок — вселенная, вышли боги, люди, Земля, небесные светила. На протяжении нескольких тысячелетий это понятие было достоянием философии и мифологии, науке же предоставлялось описание «упорядоченного мира» — Космоса в понимании античных философов.

Первые известные нам представления о Хаосе относятся к Древнему Египту. Здесь он воплотился в образе первородного океана – Нуна. От Нуна и его жены Наунет произошли все боги. Нун беспорядочен и ужасен, но внутри него находится Творец (Атум или Хепри), создающий из Хаоса все сущее, причем это сотворение обратимо – недовольный богами Атум в “Книге мертвых” грозит: “Я разрушу все, что я создал. Мир снова вернется в Хаос и бесконечность, как было в начале”.

Похожие представления о Хаосе существовали и в Древней Греции. Беотийский поэт Гесиод в поэме “Теогония” (VIII–VII вв. до н. э.) говорит о Хаосе как о зияющей бездне, животворном начале мира; после Хаоса родились Гея-Земля, Тартар – Подземный мир и Эрос – Сила любви, влекущая друг к другу все элементы мироздания.

Несколько веков спустя под Хаосом стали понимать физическое пространство, первоматерию; Платон связывал с ним невидимое и неосязаемое начало, остающееся после отделения от тела всех его реальных свойств.

На рубеже старой и новой эры Хаос все больше видится как принцип обновления. В Древнем Риме он воплощается в образе двуликого Януса, символизирующего творческое начало. Когда все стихии обрели свое место, образовав Космос, Янус, бывший ранее безликой громадой, получил свой божественный облик; но он сохранил нечто и от прежнего состояния: он может видеть и вперед, и назад и способен своей рукой как развернуть мир во всей его красоте, так и предать его уничтожению.

В современном мире с понятием хаоса связывается неповторяющаяся, нерегулярная, беспорядочная последовательность состояний. Буквально несколько десятилетий назад считалось, что такие процессы крайне редки, а природа развивается непрерывно, без резких скачков. Действительно, вся классическая физика — механика Ньютона и Галилея, электродинамика Максвелла, статистическая физика — и отчасти современная, например квантовая теория, оперируют с понятиями функции и отображения, геометрическим образом которого является кривая или поверхность. Галилею принадлежит фраза: «Вся наука записана в великой книге — я имею в виду Вселенную, — которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме». Во времена Галилея под функцией понималось лишь то, что в современной математике называют непрерывной функцией — ее график можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги. Такой подход к описанию природы заранее исключал возможность рассмотрения полного беспорядка — хаоса.

Однако с развитием понятия функции усложнялись и геометрические образы, которыми оперировали физики для описания природы. Достаточно сложные математические объекты — такие, например, как функция, имеющая разрыв в каждой точке (функция Дирихле), непрерывная линия, плотно заполняющая весь квадрат, или множество точек плоскости, не имеющее площади, — стали рассматриваться около 100 лет назад. Геометрические образы этих абстрактных математических объектов довольно трудно представить и невозможно нарисовать. Эти примеры могут показаться пустой игрой ума, однако существуют и природные образования, явления и процессы, для описания которых необходимо привлечение математических объектов со столь экзотическими свойствами, получивших название фракталов. Эти объекты и лежат в основе современной теории хаотических процессов.

Почему хаос казался экзотикой несколько лет назад? Потому что эволюцию систем со времен Лапласа принято описывать, задавая их начальное состояние и скорость его изменения; для этого и была создана прекрасно работающая на практике теория дифференциального исчисления. С математической точки зрения поведение системы в любой момент времени полностью определено, если выполняются условия существования и единственности решения соответствующего дифференциального уравнения. Долгое время считалось, что в такой определенной (детерминированной) системе не может возникать хаоса, ведь решение этого уравнения — «гладкая», то есть непрерывная и дифференцируемая, функция. Лишь на границе XIX и XX веков Анри Пуанкаре обнаружил, что в некоторой гамильтоновой механической системе могут появляться хаотические движения. Эти примеры были восприняты современниками как парадокс.

Однако сейчас стало совершенно ясно, что если речь идет о достаточно сложной нелинейной системе, то ее хаотическое состояние — скорее правило, нежели исключение, оно является неотъемлемым свойством таких реальных систем. К настоящему времени открыто множество динамических систем, в которых возникают состояния нерегулярного, хаотического движения. Прекрасной иллюстрацией служат забавные механические игрушки, появившиеся сейчас в продаже, — маятники на карданных подвесах, причудливые движения которых приковывают к себе взгляд и завораживают, подобно текущей воде или огню. Подчеркнем, что такое поведение не является следствием ни случайного возмущающего воздействия — такие воздействия не включены в модель системы, приходящей к хаосу, — ни бесконечного числа степеней свободы — хаос возникает уже в системах, описываемых тремя координатами, — ни неопределенности (классической или квантовой) в начальных данных. Причина появления хаотических режимов кроется в нелинейной природе динамической системы и ее неустойчивости, проявляющейся в необычайно быстром разбегании первоначально близких траекторий: при достаточно большом удалении состояния системы от начального включаются нелинейные механизмы, возвращающие траекторию в окрестность начальной точки; вследствие неустойчивости ее вновь отбрасывает, и за счет этого происходит беспорядочное запутывание траектории. Заметим, что в линейных моделях, с которыми работала наука XVII-XIX веков и даже начала нашего столетия, хаотических режимов не возникает — они являются свойством исключительно нелинейных систем.

Интересно, что теоретически хаотическая траектория воспроизводится полностью, если создать точно такие же начальные условия, однако сколь угодно малые возмущения начального состояния приводят к абсолютно не похожему поведению системы. На практике это означает, что невозможно предсказать поведение хаотической системы на большой период времени, так как повторить начальные условия и проводить вычисления можно лишь с определенной точностью; по сути дела, это свойство хаотических систем — необычайная чувствительность к малым воздействиям — означает конец эпохи лапласовского детерминизма. Одно из далеко идущих следствий этого свойства иллюстрируется примером так называемой бабочки Лоренца: взмах крыльев бабочки может повлиять на климат Земли в глобальном масштабе, так как атмосфера является сложной нелинейной системой с неустойчивыми режимами.

Эти свойства хаотических систем приводят и к другим интересным выводам, чрезвычайно важным как с теоретической, так и с практической точки зрения. Например, оказывается, что сложная нелинейная система в процессе своего развития обязательно проходит через этапы хаоса. В физике такими этапами являются так называемые фазовые переходы (к ним относится, в частности, кипение воды — каждый, кто наблюдал бурлящий кипяток, скажет, что это действительно хаотический процесс). Человек — тоже сложная нелинейная система, и нам знакомы кризисы и депрессии, когда кажется, что весь мир рушится и нет ничего надежного. Развитие общества проходит через этапы социальных, технических, экономических и других революций, также сопровождающихся хаосом. Кризисы и революции — неминуемые этапы развития систем, и если мы не хотим оставаться застывшими, неподвижными, то неизбежно должны проходить через хаос. И относиться к этому надо не как к катастрофе, а как к естественному природному явлению, которое, как и все в природе, не может само по себе быть ни плохим, ни хорошим.

Обращаясь к мифологии, можно вспомнить, что хаос призван уничтожить, поглотить, разрушить старое, отжившее и дать дорогу новому, не существовавшему прежде. Причем зародыши, точнее — никак еще не проявленные потенциалы этого нового содержатся в самом хаосе, являясь его природой. Находясь в хаосе, имеет смысл не теряться, а постараться помочь природе, отбросив без сожаления (отдавая при этом должную дань благодарности) те старые формы, которым пришло время умереть, и пытаясь найти новое, дать импульс к его рождению. Свойства хаоса таковы, что если этот импульс совпадает по направлению с потенциальным путем развития, предназначенным законами природы, то он приводит к чрезвычайно значимым, заметным результатам, сколь бы малым и слабым ни был в начале. Математически это обусловлено существованием неустойчивых направлений возмущения нелинейной системы. Казалось бы, мы вновь пришли к предопределенности? Не совсем так, ведь неустойчивых направлений много, и система вольна выбрать любое из них.

С другой стороны, пассивное поведение в хаосе не приведет ни к чему хорошему — мы рискуем оставаться в этом неопределенном состоянии, не создавая ничего нового, сколь угодно долго. Нужно совершить некое действие, движение, первоначально хотя бы вслепую, для того чтобы почувствовать назначение этого этапа, понять, куда влечет нас течение реки эволюции, и потом, помогая ему, раскрыть, проявить потенциалы, заложенные в хаосе.

Взрывной первоначальный рост новой формы не может продолжаться вечно. Рано или поздно включаются стабилизирующие силы, связанные с нелинейностью. Они гармонизируют систему, уравновешивают ее и дают возможность спокойного существования в течение достаточно длительного времени. Это период накопления опыта, осознания значения нового рождения, период выполнения миссии. Это время устойчивого развития характеризуется тем, что теперь практически невозможно переключиться на иной режим, существенно отличающийся от данного.

В греческой мифологии эти этапы символически связывались с двумя божествами — Дионисом и Аполлоном. Первый из них — бог творческого вдохновения, экстаза, растворяющийся во множестве рожденных форм; второй — бог гармонии, приводящий в порядок, очищающий, отбрасывающий все лишнее.

Так символическое видение мира, отраженное и дошедшее до нас в мифологических образах, удивительным образом смыкается с современной наукой, использующей в своем языке иные образы — математические. Может быть, благодаря своей неисчерпаемой многогранности, родственной символическому языку мифа, математика и обладает столь удивительным свойством адекватно отображать реальность?

С точки зрения математики описание состояния системы состоит в определении численных значений всех ее параметров (координат), а ее развитие во времени задается эволюционным уравнением, показывающим, как изменится это состояние в следующее мгновение. Если с состоянием системы связать точку в некотором пространстве (оно называется фазовым), координаты которой равны численным значениям параметров, то с течением времени эта точка будет описывать кривую, называемую фазовой траекторией. На рисунке представлена фазовая траектория (в трехмерном фазовом пространстве) одной из первых динамических систем, в которых было обнаружено хаотическое движение, — так называемого странного аттрактора. Этот пример был предложен в 1963 году американским метеорологом Э. Лоренцом для упрощенного описания динамики атмосферных вихрей. Его фазовая траектория состоит из двух петель, похожих на крылья бабочки; система, некоторое время вращаясь по одной из петель, в иногда вдруг перескакивает на другую, затем вновь на первую и т. д. Если с одним оборотом по левой петле связать нуль, а по правой — единицу, то эволюция системы приведет к хаотической последовательности нулей и единиц, причем полностью воспроизводящейся при абсолютно точном задании той же самой начальной точки. Однако сколь угодно малое возмущение приведет к последовательности, абсолютно не похожей на предыдущую. Несмотря на такую неустойчивость при малых возмущениях, сам аттрактор как целое весьма устойчив — к этой запутанной траектории с течением времени “притягиваются” и другие траектории, начинающиеся достаточно далеко от нее; это и объясняет название “аттрактор” — “притягивающий”.

Траектория странного аттрактора обладает и другими удивительными свойствами. Например, она, как говорят математики, “всюду плотно заполняет область трехмерного пространства”, то есть подходит сколь угодно близко к любой точке выделенной области. Множество точек фазовой траектории, обладающее таким свойством, трудно даже назвать линией; но в то же время это и не поверхность, и не тело. Это — “очень дырявое” множество, ни к одной его точке нельзя нельзя провести единственную касательную плоскость.

Интересно, что, несмотря на хаотические свойства странного аттрактора, его фазовая траектория в целом выглядит как довольно регулярная структура. Это характерное свойство хаоса — упорядочение на больших масштабах — мы уже наблюдали, говоря об этапах чередования устойчивого и неустойчивого развития: например, социальные революции изнутри хаотичны, но в масштабах мировой истории образуют логичный и стройный порядок.

Аттракторы типа лоренцевского описывают турбулентные движения жидкости, вековые изменения магнитного поля в ядре Земли (модель Рикитаки, 1958г), погодные явления и др.