Все о пирамидах с точки зрения математике

Произнося слово «пирамида», первое, что приходит на ум — это образы знаменитых египетских гробниц фараонов. Они нам знакомы как одно из древнейших чудес света, монументальные сооружения, построенные египетскими зодчими еще тысячи лет назад. С ними нераздельно связаны множество тайн и загадок, над решением и объяснением которых ученые бьются и по сей день, порождая все новые версии, споры и заявления. Но, не смотря на разногласия, все сходятся к одному, что пирамида – это одна из важнейших фигур геометрии, обладающая интересными свойствами.

Пирамида в математике – это особый многогранник, в его составе есть боковые грани и основание. В качестве основания фигуры может выступать многоугольная фигура: квадрат, треугольник, п-угольник. Роль боковых граней играют треугольники, имеющие одно начало – вершину. Количество углов основания определяет название пирамид: треугольные, четырехугольные, n-угольные.
Однако таким определением пользовались не во все времена. Например, Евклид в свое время предложил термином «пирамида» наделять некие телесные фигуры, которые имеют ограничения плоскостями, исходящими от общей плоскости и сходящихся к единой точке. Как и Герон, Евклид не дает точного понятия «основание», благодаря чему и нет точного понимания термина «пирамида».
Четким представлением о пирамиде как о фигуре геометрической в конце 18 века делится ученый Адриен Мари Лежандр, определяя ее фигурой, образованной благодаря треугольникам, заканчивающимся на разных сторонах основания и сходящимся вершинами в одной точке.

Основные свойства правильных пирамид

Правильные пирамиды – наиболее частый случай этих геометрических фигур, они обладают стабильностью и встречаются в современной архитектуре, строительстве, машиностроении и других отраслях.
Правильная – это та пирамида, в которой правильный многоугольник является основанием, а высота проецируется точно в его центр. Равносторонний треугольник, лежащий, в основании образует тетраэдр, а квадрат — правильную 4-угольную пирамиду, и так далее.

Для решения любых задач с участием правильных пирамид следует помнить, что:

• боковые грани ее — это равнобедренные треугольники, которые равны между собой по площади и всем признакам, основанию и боковым сторонам, одновременно являющихся ребрами;
• вокруг и внутри правильного типа пирамиды можно описать и вписать сферу;

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ произведения высоты грани (апофемы) и периметра основания фигуры. Не забывайте, что в правильной пирамиде апофемы равны между собой, что значительно упрощает нахождение ответа к множеству задач;

• боковые грани с плоскостью основания образуют углы равной градусной меры, поэтому, зная один из них, легко производить нужные расчеты.

• правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр имеют существенные различия. В первом случае, грани – равнобедренные треугольнике, во втором – равносторонние, что следует учитывать при решении ряда задач.

Все о пирамидах с точки зрения математике

Главная
• Список секций
• Математика
• ВСЁ О ПИРАМИДЕ

ВСЁ О ПИРАМИДЕ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Введение

Когда мы встречаем слово «пирамида», то ассоциативная память уносит нас в Египет. Если говорить о ранних памятниках архитектуры, то можно утверждать, что количество их не менее нескольких сотен. Арабский писатель XIII века сказал: «Все на свете боится времени, а время боится пирамид». Пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи компьютерных технологий. Однако исследователям до сих пор не удалось найти ключи ко всем их загадкам. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Пирамиды представляют интерес для историков, физиков, биологов, медиков, философов и др. Они вызывают большой интерес и побуждает к более глубокому изучению их свойств как с математической, так и с других точек зрения (исторической, географической и др.).

Поэтому целью нашего исследования стало изучение свойств пирамиды с разных точек зрения. В качестве промежуточных целей мы определили: рассмотрение свойств пирамиды с точки зрения математики, изучение гипотез о существовании тайн и загадок пирамиды, а также возможностей её применения.

Объектом исследования в данной работе является пирамида.

Предмет исследования: особенности и свойства пирамиды.

Задачи исследования:

Изучить научно – популярную литературу по теме исследования.

Рассмотреть пирамиду как геометрическое тело.

Определить свойства и особенности пирамиды.

Найти материал, подтверждающий применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники.

Методы исследования: анализ, синтез, аналогия, мысленное моделирование.

Предполагаемым результатом работы должна стать структурированная информация о пирамиде, её свойствах и возможностях применения.

Этапы подготовки проекта:

Определение темы проекта, целей и задач.

Изучение и собирание материала.

Составление плана проекта.

Формулировка ожидаемого результата деятельности над проектом, в том числе усвоение нового материала, формирование знаний, умений и навыков в предметной деятельности.

Оформление результатов исследования.

Пирамида как геометрическое тело

Рассмотрим истоки слова и термина «пирамида». Сразу стоит отметить, что «пирамида» или «pyramid» (английский), «piramide» (французский, испанский и славянские языки), “pyramide” (немецкий) — это западный термин, берущий свой исток в древней Греции. В древнегреческом πύραμίς («пирамис» и мн. ч. Πύραμίδες «пирамидес») имеет несколько значений. Древние греки именовали «пирамис» пшеничный пирог, который напоминал форму египетских сооружений. Позже это слово стало означать «монументальную структуру с квадратной площадью в основании и с наклонными сторонам, встречающимися на вершине. Этимологический словарь указывает, что греческое «пирамис» происходит из египетского «pimar». Первое письменное толкование слова «пирамида» встречается в Европе в 1555 г. и означает: «один из видов древних сооружений королей». После открытия пирамид в Мексике и с развитием наук в 18 веке, пирамида стала не просто древним памятников архитектуры, но и правильной геометрической фигурой с четырьмя симметричными сторонами (1716 г.). Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский.

Первое определение принадлежит древнегреческому математику, автору дошедших до нас теоретических трактатов по математике, Евклиду. В XII томе своих «Начал» он определяет пирамиду как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: «Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник»[1].

Существует определение французского математика Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде «Элементы геометрии» пирамиду определяет так: «Пирамида — телесная фигура образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания».

Современные словари трактуют термин «пирамида» следующим образом:

Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину

Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова

Тело, ограниченное равными треугольниками, составленными вершинами в одну точку и образующими основаньями своими угольник

Толковый словарь В.И.Даля

Многогранник, основание которого представляет собой многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной

Толковый словарь под ред. C. И. Ожегова и Н.Ю.Шведовой

Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину

Т. Ф. Ефремов. Новый толково-словообразовательный словарь русского языка.

Многогранник, одна грань которого есть многоугольник, а другие грани — треугольники, имеющие общую вершину

Словарь иностранных слов

Геометрическое тело, основанием которому служит многоугольник, а сторонами столько треугольников, сколько основание имеет сторон, сходящихся вершинами в одну точку.

Словарь иностранных слов русского языка

Многогранник, одна грань которого есть какой либо плоский многоугольник, а все прочие грани суть треугольники, основания которых суть стороны основания П., а вершины сходятся в одной точке

Ф.А. Брокгауз, И.А. Ефрон. Энциклопедический словарь

Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину

Современный толковый словарь

Многогранник, одной из граней которого служит многоугольник а остальные грани — треугольники с общей вершиной

Математический энциклопедический словарь

Анализируя определения пирамиды, можно заключить, что все источники имеют схожие формулировки:

Пирамида — многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Многоугольник А₁А₂А₃ … Аn – основание пирамиды, а треугольники РА₁А₂, РА₂А₃, …, РАnА₁ – боковые грани пирамиды, Р – вершина пирамиды, отрезки РА₁, РА₂,…, РАn – боковые ребра.

Изучив материал разных источников, мы узнали, что многогранник, составленный из n — угольника А₁А₂А₃ … Аn и n — треугольников РА₁А₂, РА₂А₃, …, РАnА₁ – называется пирамидой (рис. 1).

Рис.1. Пирамида

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотойh пирамиды.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней. Sполн = S_бок + S_осн, где S_бок – сумма площадей боковых граней.

Объём пирамиды находится по формуле: V=1/3S_осн.h, где S_осн. — площадь основания, h — высота.

К свойствам пирамиды относятся:

Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы; кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; высоты боковых граней имеют равную длину; площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Пирамида называется правильной, если в её основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Боковые грани правильной пирамиды — равные, равнобедренные треугольники (рис.2а). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

а). Правильная пирамида

б). Усеченная пирамида

в). Прямоугольная пирамида

Рис.2 Виды пирамиды

Площадь боковой грани правильной пирамиды выражается так: Sбок. =1/2P h, где Р — периметр основания, h — высота боковой грани (апофема правильной пирамиды ). Если пирамида пересечена плоскостью A’B’C’D’, параллельной основанию, то боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; в сечении получается многоугольник A’B’C’D’, подобный основанию; площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды её верхней части плоскостью, параллельной основанию (рис.2б). Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники ABCD и A`B`C`D`, боковые грани – трапеции. Высота усеченной пирамиды – расстояние между основаниями. Объем усеченной пирамиды находится по формуле: V=1/3 h (S + + S’), где S и S’- площади оснований ABCD и A’B’C’D’, h – высота.

Основания правильной усеченной n-угольной пирамиды – правильные n-угольники. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так: Sбок. = ½(P+P’)h, где P и P’- периметры оснований, h — высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды)

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. Сечение, проходящее через два несоседних боковых ребра пирамиды, называется диагональным сечением. Если сечение проходит через точку на боковом ребре и сторону основания, то его следом на плоскость основания пирамиды будет эта сторона. Сечение, проходящее через точку, лежащую на грани пирамиды, и заданный след сечения на плоскость основания, то построение надо проводить так: находят точку пересечения плоскости данной грани и следа сечения пирамиды и обозначают её; строят прямую проходящую через заданную точку и полученную точку пересечения; повторяют эти действия и для следующих граней.

Прямоугольнаяпирамида – это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию. В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды (рис.2в).

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр. (рис.2а)

Рассмотрим теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.

Сфера

Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамиды с пропорциями Золотого сечения. Как пользовались соотношениями золотого сечения при построении пирамид мы рассмотрим в следующем параграфе, а здесь же остановимся на определении золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения – это деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а:х = х:(а–х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями n/n+1= 0,618, где n – число Фибоначчи, имеющее номер n.

Рис.3 Золотое сечение

Геометрическое построение Золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливается перпендикуляр к АВ, на нём откладывают отрезок ВЕ = 1/2АВ, соединяют А и Е, откладывают ДЕ = ВЕ и, наконец, АС = АД, тогда выполняется равенство АВ:СВ = 2:3. (рис.3)

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг тоже имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618.

Таким образом, изучив научно – популярную литературу по проблеме исследования мы пришли к выводу, что пирамида – это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Мы рассмотрели элементы и свойства пирамиды, её виды и соотношение с пропорциями Золотого сечения.

2. Особенности пирамиды

Так в Большом энциклопедическом словаре написано, что пирамида — монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го – 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса. Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы длины: «локоть» (466 мм), равнявшийся семи «ладоням» (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем «пальцам» (16,6 мм).

Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды, например, GF равна L = 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 «локтям». Полное соответствие 500 «локтям» будет, если длину «локтя» считать равной 0,4663 м. [12].

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды? Дело в том, что пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10×10 м, а столетие назад она была равна 6×6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной. Оценивая высоту пирамиды, необходимо учитывать такой физический фактор, как осадка конструкции. За длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м 2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с первоначальной высотой. Первоначальную высоту пирамиды можно воссоздать, если найти основную геометрическую идею.

В 1837 г. Английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°51′. Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a), равный 1,27306. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB, то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз! Дело в том, что если взять корень квадратный из золотой пропорции, то мы получим следующий результат = 1,272. Сравнивая эту величину с величиной tg a = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки между собой. Если же принять угол a = 51°50′, то есть уменьшить его всего на одну угловую минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной . Следует отметить, что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50′.

Эти измерения привели исследователей к следующей интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB = = 1,272.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ABC, в котором отношение катетов AC / CB = . Если теперь длины сторон прямоугольника ABC обозначить через x, y, z, а также учесть, что отношение y/x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена по формуле:

Если принять x = 1, y = , то:

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t::1, называется «золотым» прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной «геометрической идеей» пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить «проектную» высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из «золотой» гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна S_EFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса S_D. Поскольку высота AB треугольника AEF равна t, то площадь боковой грани будет равна S_D = t. Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды будет равна 4t, а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции. Это и есть главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса.

А также, при постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.

Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам – это число «Пи» = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2×148,208), мы получим 3,1416…, то есть число «Пи». Следовательно, пирамида Хеопса – единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи», играющего важную роль в математике.

Таким образом, наличие в размерах пирамиды золотого сечения — отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте – есть число, очень близкое по значению к числу π. Это, несомненно, тоже особенность. Хотя многие авторы считают, что это совпадение является случайным, поскольку дробь 14/ 11 является «хорошим приближением и для квадратного корня из отношения золотого сечения, и для отношения площадей квадрата и вписанного в него круга»[10,12] .

Однако говорить здесь только о египетских пирамидах неправильно. Существуют не только египетские пирамиды, на Земле существует целая сеть пирамид. Основные монументы (египетские и мексиканские пирамиды, остров Пасхи и комплекс Стоунхендж в Англии) на первый взгляд бессистемно раскиданы по нашей планете. Но если в исследование включить тибетский комплекс пирамид, то появляется строгая математическая система их расположения на поверхности Земли. На фоне Гималайского хребта четко выделяется пирамидальное образование — гора Кайлас. Расположение г. Кайлас, египетских и мексиканских пирамид очень интересное, а именно – если соединить г. Кайлас с мексиканскими пирамидами, то соединяющая их линия выходит на остров Пасхи. Если соединить г. Кайлас с египетскими пирамидами, то линия их соединения опять выходит на остров Пасхи. Очертилась ровно одна четвертая земного шара. Если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.

Выявлена бесспорная связь между комплексом тибетских пирамид с другими сооружениями древности — египетскими и мексиканскими пирамидами, колоссами острова Пасхи и комплексом Стоунхендж в Англии. Высота главной пирамиды Тибета — горы Кайлас — составляет 6714 метров. Расстояние от Кайласа до Северного полюса равно 6714 километрам, расстояние от Кайласа до Стоунхенджа — 6714 километров [8]. Если отложить на глобусе от Северного полюса эти 6714 километров, то мы попадем на так называемую Башню Дьявола, имеющую вид усеченной пирамиды. И, наконец, ровно 6714 километров от Стоунхенджа до Бермудскоготреугольника.

В результате этих исследований можно сделать вывод, что на Земле существует пирамидально-географическая система.

Таким образом, к особенностям можно отнести отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции; наличие в размерах пирамиды золотого сечения — отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте – есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса – единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»; существование пирамидально-географической системы.

3. Другие свойства и применение пирамиды.

Рассмотрим практичное применение данной геометрической фигуры. Например, голограмма. Для начала рассмотрим, что такое голография. Гологра́фия — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей оптического электромагнитного излучения, особый фотографический метод, при котором с помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных объектов, в высшей степени похожие на реальные. Голограмма — продукт голографии, объемное изображение, создаваемое с помощью лазера, воспроизводящего изображение трехмерного объекта. С помощью правильной усеченной четырехгранной пирамиды можно воссоздать изображение — голограмму. Создается фото файл и правильная усеченная четырехгранная пирамида из полупрозрачного материла. От крайнего снизу пикселя и среднего относительно оси ординат делается небольшой отступ. Данная точка будет являться серединой стороны квадрата, образованного сечением. Фотография множиться, и ее копии располагаются так же относительно трех других сторон. На квадрат ставиться пирамида сечением вниз так, чтобы оно совпало с квадратом. Монитор генерирует световую волну, каждая из четырех одинаковых фотографий, находясь в плоскости, являющейся проекцией грани пирамиды, попадает на саму грань. В итоге на каждой из четырех граней мы имеем одинаковые изображения, а так как материал, из которого изготовлена пирамида, имеет свойство прозрачности, то волны как бы преломляются, встречаясь в центре. В итоге мы получаем ту же интерференционную картину стоячей волны, центральной осью, или же осью вращения которой служит высота правильной усеченной пирамиды. Такой способ работает и с видеоизображением, так как принцип действия остается неизменным.

Рассматривая частные случаи, можно заметить, что пирамида широко используется в повседневной жизни, даже в домашнем хозяйстве. Пирамидальная форма встречается часто, прежде всего, в природе: растения, кристаллы, молекула метана имеет форму правильной треугольной пирамиды – тетраэдра, элементарная ячейка кристалла алмаза тоже представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Пирамиды встречаются в домашних условиях, детских игрушках. Кнопки, клавиатуры компьютера часто являются подобиями четырехугольной усеченной пирамиды. Их можно увидеть в виде элементов зданий или самих архитектурных построек, как светопрозрачные конструкции крыш.

Рассмотрим ещё некоторые примеры использования термина «пирамида»

Экологические пирамиды — это графические модели (как правило, в виде треугольников), отражающие число особей (пирамида чисел), количество их биомассы (пирамида биомасс) или заключенной в них энергии (пирамида энергии) на каждом трофическом уровне и указывающие на понижение всех показателей с повышением трофического уровня

Информационная пирамида. Она отражает иерархию различных видов информации. Предоставление информации строится по следующей пирамидальной схеме: в вершине – основные показатели, по которым можно однозначно отследить темпы движения предприятия к выбранной цели. Если что-то не так, то можно перейти к среднему уровню пирамиды – обобщенным данным. Они проясняют картину по каждому показателю в отдельности или во взаимосвязи друг с другом. По этим данным можно определить возможное место сбоя или проблемы. За более полной информацией нужно обратиться к основанию пирамиды – детальное описание состояния всех процессов в числовом виде. Эти данные помогают выявить причину проблемы, с тем, чтобы ее можно было устранить и избежать ее повторения в дальнейшем.

Таксономия Блума.Таксономия Блума предлагает классификацию задач в виде пирамиды, устанавливаемых педагогами ученикам, и, соответственно, целей обучения. Она делит образовательные цели на три сферы: когнитивную, аффективную и психомоторную. Внутри каждой отдельной сферы для перехода на более высокий уровень необходим опыт предыдущих уровней, различаемых в данной сфере.

Финансовая пирамида – специфическое явление экономического развития. Название «пирамида» наглядно иллюстрирует ситуацию, когда люди «внизу» пирамиды отдают деньги малочисленной верхушке. При этом каждый новый участник платит, чтобы увеличить возможность своего продвижения наверх пирамиды

Пирамида потребностей Маслоу отражает одну из самых популярных и известных теорий мотивации — теорию иерархии потребностей. Потребности Маслоу распределил по мере возрастания, объяснив такое построение тем, что человек не может испытывать потребности высокого уровня, пока нуждается в более примитивных вещах. По мере удовлетворения низлежащих потребностей, все более актуальными становятся потребности более высокого уровня, но это вовсе не означает, что место предыдущей потребности занимает новая, только когда прежняя удовлетворена полностью.

Ещё один пример применения термина «пирамида» — это пирамида питания — схематическое изображение принципов здорового питания, разработанных диетологами. Продукты, составляющие основание пирамиды, должны употребляться в пищу как можно чаще, в то время, как находящиеся на вершине пирамиды продукты следует избегать или употреблять в ограниченных количествах.

Таким образом, всё вышесказанное показывает разнообразие использования пирамиды в нашей жизни. Возможно, пирамида имеет гораздо более высокую цель, и предназначена для чего-то большего, чем те практические способы её использования, которые сейчас открыты.

Заключение

С пирамидами мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это древние Египетские пирамиды и игрушки, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп. За многие тысячелетия своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

В ходе исследования, мы определили, что пирамиды — довольно распространенное явление на всем земном шаре.

Мы изучили научно – популярную литературу по теме исследования, рассмотрели различные трактовки термина «пирамида», определили, что в геометрическом понимании пирамида – это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Изучили виды пирамид (правильная, усеченная, прямоугольная), элементы (апофема, боковые грани, боковые ребра, вершина, высота, основание, диагональное сечение) и свойства геометрических пирамид при равенстве боковых ребер и при наклоне боковых граней к плоскости основания под одним углом. Рассмотрели теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами (сфера, конус цилиндр).

К особенностям пирамиды мы отнесли:

отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции;

наличие в размерах пирамиды золотого сечения — отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте – есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса – единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»;

существование пирамидально-географической системы.

Мы изучили современное применение данной геометрической фигуры. Рассмотрели, каким образом связаны пирамида и голограмма, обратили внимание на то, что пирамидальная форма встречается чаще всего в природе (растения, кристаллы, молекулы метана, строение решетки алмаза и т.д.). На протяжении исследования мы встречались с материалом, подтверждающим применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники, в бытовой жизни людей, при анализе информации, в экономике и ещё во многих направлениях. И пришли к выводу, что возможно, пирамиды имеют гораздо более высокую цель, и предназначены для чего-то большего, чем те практические способы их использования, которые сейчас открыты.

Список литературы.

Ван дер Варден, Бартель Леендерт. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст]/ Б. Л. Ван дер Варден — КомКнига, 2007 г.

Волошинов А. В. Математика и искусство. [Текст]/ А. В. Волошинов – Москва: «Просвещение» 2000г.

Всемирная история (энциклопедия для детей). [Текст]/ – М.: “Аванта+”, 1993.

Галограмма. [Электронный ресурс] — https://hi-news.ru/tag/gologramma – статья в интернете

Геометрия [Текст]: Учеб. 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений Атанасян Л.С., В. Ф.Бутузов и др. – 22-е издание. — М.: Просвещение, 2013 г.

Коппенс Ф. Новая эра пирамид. [Текст]/ Ф. Коппенс — Смоленск: Русич, 2010 г.

Математический энциклопедический словарь. [Текст]/ А. М. Прохоров и др. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

Мулдашев Э. Р. Мировая система пирамид и монументов древности спасла нас от конца света, но …[Текст]/ Э. Р. Мулдашев — М.: «АиФ-Принт»; М.: «ОЛМА-ПРЕСС»; СПб.: Издательский Дом «Нева»; 2003.

Перельман Я. И. Занимательная арифметика. [Текст]/ Я. И. Перельман– М.: Центрполиграф, 2017 г

Райхард Г. Пирамиды. [Текст]/ Ганс Райхард — М.: Слово, 1978 г.

Терра-Лексикон. Иллюстрированный энциклопедический словарь. [Текст]/ – М.: ТЕРРА, 1998.

Томпкинс П. Тайны великой пирамиды Хеопса. [Текст]/ Питер Томпкинс. — М.:«Центрополиграф»,2008 г.

Уваров В. Волшебные свойства пирамид. [Текст]/ В. Уваров -Лениздат,2006.

Шарыгин И.Ф.. Геометрия 10-11 класс. [Текст]/ И.Ф. Шарыгин:. — М: «Просвещение», 2000 г.

Математика в строительстве египетских пирамид

Опубликовано 27.11.2012 02:56

Египетские пирамиды. Они уже в древности считались одним из семи «чудес света». Само их существование, тайна возникновения и предназначения в течение тысячелетий будоражили воображение лучших человеческих умов. Вызывает любопытство и восхищение и становится интеллектуальным вызовом человечеству, демонстрацией его бессилия в раскрытии этих тайн. Пирамиды до сего времени — тайны втройне. Раскрытию этих тайн многие ученые посвятили всю свою жизнь. Однако на протяжении тысячелетий, начиная с Геродота, посетившего Египет еще до рубежа новой эры, и до сего времени, эти тайны не поддаются расшифровке.
Главные вопросы, всегда волновавшие исследователей пирамид Египта, можно свести к четырем позициям: кто, когда, как, и ,главное, зачем построил эти величественные сооружения? Но мы не будем сейчас рассматривать эти вопросы, а коснемся только математических знаний, воплощенных в архитектуре пирамид. При этом сами пирамиды очень разные. Наибольшей точностью геометрических пропорций отличаются только пирамиды в Гизе — это пирамиды Хеопса (Хуфу), Хефрена (Хафра) и Микерина (Менкаура), построенные во времена IV династии в 26 веке до н.э. Более ранние и, как ни странно, более поздние сооружения не отличались ни точностью, ни качеством постройки.
Дошедшие до нас древнейшие египетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н.э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов. Это косвенно подтверждается и тем, что греческие математики учились у египтян.
Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же Ринда (84 математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Все задачи папируса Ахмеса (записан около 1650 года до н.э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежевания земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. В основном это задачи на нахождение площадей треугольника, четырехугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и единичными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение различных уравнений с неизвестными. При этом задачник не приводил никаких объяснений и доказательств. Искомый результат либо дается прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран Древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путем обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Но делать такие однозначные выводы о состоянии математики в Древнем Египте на основании всего двух сохранившихся папирусов, вероятно, не следует. Ведь папирусы могли представлять из себя самый обычный задачник, вроде тех, которыми пользуемся и мы.
Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры : при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.
В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, трапеции, треугольника, круга. Вероятно были знакомы и с пространственной геометрией — стереометрией, так как знали точные формулы для объема параллелепипеда, различных цилиндрических тел и пирамид, а также усеченных пирамиды и конуса, и даже объем полусферы. Подробное изучение пирамид дает основание утверждать, что египтянам были известны и такие величины, как число «пи» и «золотое сечение», а также задолго до Пифагора — прямоугольные треугольники.
Теперь рассмотрим более подробно некоторые познания в математике на примере архитектуры пирамид.
Любое строительство начинается с разметки участка. Уже само слово «геометрия» по-гречески означает «землемерие». Ученые считают, что эта наука зародилась еще у самых древних египетских земледельцев. После каждого разлива Нила им приходилось заново разбивать поля на участки, находить их границы. А для этого надо было уметь измерять площади различных фигур: ведь поле может иметь какую угодно форму. Главной мерой длины у египтян служил локоть, равный 52,3 сантиметрам. Локоть делился на 7 «ладоней», а «ладонь» — на четыре «пальца».
С измерением площади прямоугольников было все просто, но как выйти из ситуации, когда необходимо измерить неправильную фигуру? Для этого у египтян было два способа. Первый сейчас уже нигде не применяется, но метод очень любопытный и использовался, вероятнее всего, именно в земледельческой практике. Хотя и приближенно, но с достаточной точностью, а, главное, без излишних затрат времени, площадь произвольного многоугольника вычисляли по следующей формуле:
S = (a+c)/2 x (b+d)/2, где a,b,c,d — стороны прямоугольника.
Второй способ, более точный, но и более трудоемкий, состоял в разделении любого многоугольника на треугольники и нахождения их площадей с последующим сложением. Они рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике провести прямую линию через две противоположные вершины, то получится два одинаковых треугольника с прямыми углами. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились. Значит, для того, чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить длины их и от того, что получится, взять половину.
Прямоугольный треугольник лежал и в основе решения задачи вычисления площади произвольных треугольников. Египтяне провели линию под прямым углом к одной из сторон треугольника так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и тем самым разделяли любой треугольник на два прямоугольных. Далее путем несложных математических вычислений вывели правило, что площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Здесь мы подходим еще к одному открытию в математике, которое скорее всего было известно египтянам. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5. Если сложить квадраты двух меньших сторон, то сумма будет равна квадрату большей стороны, лежащей напротив прямого угла, образуемого меньшими сторонами. Этот классический прямоугольный треугольник и по сей день называют — египетским. А соотношение квадратов сторон прямоугольного треугольника мы все сейчас знаем, как теорему Пифагора. Кстати, Пифагор, как и многие античные ученые, посещал Египет, считавшийся в эллинскую эпоху центром науки и образования. Вероятнее всего Пифагор обобщил и сформулировал те знания, которые были известны египтянам уже за 2 тысячелетия до самого Пифагора и широко применялись ими на практике.
Известен один любопытный инструмент, которым пользовались египтяне для определения прямого угла. Изображение этого встречается на древнеегипетских рисунках. Давайте возьмем веревку и отмерим на ней сначала пять одинаковых отрезков, потом четыре, потом три. На концах этих участков завяжем узелки с колечками, а свободные концы веревки аккуратно свяжем. Теперь вставим в колечки острые колышки и воткнем их в землю так, чтобы вся веревка натянулась. У нас получится треугольник с прямым углом, который лежит как раз против большей стороны. Землемеры, которые пользовались этим инструментом, назывались ГАРПЕДОНАПТЫ, или «натягиватели веревок». Но сам инструмент имел более широкое применение. Известны древнеегипетские рисунки, где изображено использование веревочного угольника в столярной мастерской. Любопытен и факт, что инструмент этот использовался позже строителями на протяжении многих тысячелетий и в античные времена, и даже в средние века.
Примерно ту же ситуацию мы наблюдаем с числом «пи». Мы знаем, что это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. И если принять диаметр за единицу, то длина окружности — это и есть число «пи» и равняется 3,1415926. Официально считается, что первым, кто предложил математический способ вычисления, был Архимед. Но как утверждают современные ученые, впервые число «пи» стало применяться в Египте около 1700 года до н. э. Упоминание об этой закономерности можно найти даже в папирусе Ахмеса, а это более тысячи лет до Архимеда, что говорит о том, что египетские математики не только знали, но и активно пользовались этим числом в инженерных расчетах. Но пирамиды предположительно были построены за тысячу лет до этих времен. Возможно, египтяне знали об этой величине задолго до указанной даты и все дело в том, что папирус Ахмеса — это один из немногих дошедших до нашего времени древних документов.
Стоит представить себе изумление ученых 19 века, которые впервые обнаружили, что пропорции пирамиды Хеопса тесно связаны с числом «пи». В частности, если разделить длину периметра основания этой пирамиды на ее удвоенную высоту, появляются знакомые каждому школьнику цифры. Проведенные советским исследователем Н. А. Васютинским исследования пропорций пирамиды Хеопса выявили некоторые погрешности между известным числом «пи» и соотношением высоты и размера основания этого древнего сооружения. Погрешность составила всего 15 десятитысячных долей процента. Продолжив свои исследования, Васютинский выяснил, что увеличение высоты пирамиды всего на один египетский «локоть» или уменьшение ее на ту же величину привело бы к появлению величины 3.135 и 3.154 соответственно, т.е. говорить о точности числа «пи» уже не приходилось бы. Но этого не произошло, т.е. древнеегипетские проектировщики использовали в своих расчетах именно число «Пи», а теми, кем была построена усыпальница Хеопса, были с поразительной точностью выдержаны запланированные пропорции. Каким образом им удалось это сделать, похоже, так и останется неразгаданной загадкой!
А если представить себе, что пирамида опирается на свое зеркальное отображение, мы и получаем удвоенную высоту, а сама пирамида будет идеальной конструкцией с точки зрения распределения весовых нагрузок. При том, что подобные пропорции строго соблюдены во всех трех великих пирамидах. Любой современных архитектор знает, что пирамида, построенная в таких пропорциях, наиболее устойчива, что и подтверждают египетские пирамиды, простоявшие многие тысячелетия и пережившие множество землетрясений.
Что касается принципа золотого сечения, то о нем мир официально узнал, спустя два тысячелетия после предполагаемого строительства пирамид. Не будем останавливаться подробно на математических формулах этого правила, отметим только утверждение многих ученых, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Принцип золотого сечения является определяющим в современной строительной науке, вот почему удивительным является тот факт, что он был известен древним египтянам. Свидетельством этому могут служить Великие пирамиды, расположенные в Гизе, которые с древнейших времен шокировали очевидцев своим великолепием и удивительно точными пропорциями и формами.
Следуя дорогами тысячелетий, учёные пытаются хоть немного приблизить разгадку секретов древности, шаг за шагом нащупывая истину. Одной из важнейших областей их деятельности являются тайны египетских пирамид. Несмотря на долгую историю раскопок и исследований, не смотря на развитие науки и техники современного мира, человечество ещё не в состоянии ответить на огромное количество загадок, которые скрыты в египетских пирамидах.

Математические загадки пирамид

Математические загадки пирамид

Секреты древних математиков до сих пор не дают покоя математикам современным. Явным подтверждением необъяснимо высоких знаний египтян в области астрономии и инженерно-строительного дела является расположение пирамиды Хеопса по отношению к сторонам света. Как указывают исследователи, ни о каком «просто совпадении» здесь не может быть и речи. Дело в том, что пирамида почти безошибочно указывает на истинный север. В результате точнейших измерений, проведенных в 1925 году, было установлено, что погрешность в ее положении составляет всего 3 минуты 6 секунд.

Для сравнения приводят обычно следующий случай: в 1577 году знаменитый датский астроном Тихо Браге посредством долгих и сложных расчетов пытался ориентировать Ораниенбургскую обсерваторию строго на север, но в итоге все равно ошибся на 18 минут. Кстати, минимальная погрешность древних египтян объясняется незначительным смещением самого севера за истекшие тысячелетия. Исследователи находят это стремление к точности, которое является признаком высокого развития цивилизации, повсюду, в том числе и в размерах основания пирамиды. При среднем размере сторон около 230 м разница между самой большой и самой маленькой сторонами не превышает 20 см, т. е. около 0,1 %, – поразительно мало, если учесть, что речь идет о поверхности, сложенной из многотонных известняковых блоков. Но и это еще не все.

Древние строители пирамиды ухитрились возвести их практически с идеальными прямыми углами (это можно подтвердить, если поставить отвесы в углах пирамиды). Это строительное чудо покажется еще более невероятным, если учесть, что пирамиду сооружали не на ровной площадке, а на довольно массивном природном холме, который оказался в самой середине основания. Холм занимает большую площадь основания пирамиды и настолько искусно сопряжен с нижними рядами ее кладки, что современные инженеры отказываются верить своим глазам. Невозможно даже вообразить, каким образом без современной техники древним строителям удалось так точно задать квадратную форму основания на начальном, наиболее важном, этапе строительства.

Такие трудно поддающиеся анализу факты часто дают пищу тому, что в попытках как-то объяснить необъяснимые инженерные расчеты древних очень легко податься соблазну «свалить ответственность» на неких «третьих лиц», носителей утраченного знания, например на сверхдревнюю и супермудрую цивилизацию или иной разум. Еще в конце XIX века в Европе началось повальное увлечение религиями и культовыми обрядами Индии, Китая, Древнего Египта. Это было связано с появлением теософии – созданного Е. Блаватской религиозно-мистического учения, одной из особенностей которого было утверждение о существовании в древних религиях некоего «сверхзнания», которое воплощалось, в частности, и в архитектурных памятниках, в том числе в египетских пирамидах. Исследователи измеряли, сопоставляли, вычисляли, переводили из одних единиц в другие, при этом одни величины так или иначе соотносились с другими. Современные ученые, проводя свои расчеты, тоже говорят – возможно, что все, связанное с расположением трех главных пирамид, а может быть, и всех других, что находятся на плато Гизы, отнюдь не случайно: их проектная высота, углы наклона, периметр, даже взаимное расположение на поверхности – все эти параметры связаны между собой и были выбраны сознательно, с особым смыслом. Ну просто не может быть столько совпадений!

Еще в 1864 году шотландский королевский астроном Чарлз Пьяцци-Смит предположил, что в высоте пирамиды (146,6 м) закодирована одна миллиардная часть расстояния от Земли до Солнца (в перигелии – 147 млн км), а длина стороны основания пирамиды (233 м), выраженная в египетских локтях, дает количество дней в году – 365,23. Сам же египетский локоть (0,635 м) равен якобы одной десятимиллионной среднего радиуса Земли (6371 км). Сопоставления, несомненно, впечатляющие. Однако попробуем разобраться. Известный принцип логики, называемый «бритва Оккама», гласит: не умножайте сущностей. Или же, если есть несколько альтернативных объяснений чего-то, то надежнее всего придерживаться самого простого из них. Прежде чем сравнивать египетский локоть с земным радиусом, попробуем сравнить его со своим собственным локтем, благо он всегда «под рукой». Длина локтевой кости человека среднего роста равна примерно 40–45 см. Соответствующая древнерусская единица длины варьировалась в пределах 38–46 см. Возникает естественный вопрос: почему же локоть древних египтян был в полтора раза больше? Они что, брали за эталон каких-нибудь вымерших великанов (атлантов например)?

Но все, оказывается, проще. Покопавшись в истории возникновения единиц измерения и стандартов, нетрудно выяснить, что у египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм). Большие расстояния измерялись десятками и сотнями локтей или ладоней. Легко видеть, что сторона основания пирамиды Хеопса равна в точности 500 локтям. Логичнее предположить, что древним инженерам было проще оперировать круглыми величинами (египетскими, разумеется), а количество дней в году явно ни при чем.

Заманчиво, конечно, видеть в высоте пирамиды Хеопса некий «астральный» смысл. Но не проще ли предположить, что пирамиды строились именно такими, какими их хотел видеть заказчик? А как мог приказывать фараон? Скорее всего, он задавал высоту круглыми числами – разумеется, в египетских мерах. Для проверки высказанного предположения измерим пирамиды не в метрах, а в локтях и ладонях. И что получается? Из трех пирамид Гизы у самой малой, пирамиды Микерина, высота равна тысяче ладоней (66 м). У пирамиды Снофру – 200 локтей. Наконец, у пирамиды Хуфу – 300 локтей 100 ладоней (146,6 м), т. е. сын перещеголял отца почти в полтора раза.

Любопытны и другие измерения пирамиды Хеопса: сторона основания – 500 локтей (около 230 м), высота боковой грани – 400 локтей (187 м), длина главной галереи – 100 локтей (46,2 м), верхнего хода – 500 ладоней (33 м) и т. д. Знаменитый Сфинкс имеет в длину 120 локтей (57 м), а в высоту 40 локтей (около 20 м). Размеры храма фараона Хафра 100 на 100 локтей (47 мх47 м). Даже длина школьных папирусов составляла 0,16 м, то есть ровно 10 пальцев. Приятно видеть, что и в Древнем мире была своя система СИ.

Тогда откуда же взялся «увеличенный локоть Смита» (0,635 м)? Он очень хотел выдать желаемое за действительное? Вроде бы все встало на свои логически обоснованные места, и локоть действительно равен 46,6 см, но археологи находят данные, которые гласят, что кроме «обычного» локтя для нужд простых смертных параллельно существовал еще «царский локоть», которым пользовались при возведении гробниц фараонов и храмов. И этот царский локоть действительно больше обычного (то есть у царя больше все, даже локти)! Снова есть повод выдвигать гипотезы и вычислять новые соотношения.

Так, ленинградский инженер и историк А. Снисаренко вывел некий древнеегипетский «строительный модуль» (19,98 м), равный, по его мнению, неким 108 единицам длины, кстати, реально не существовавшим в Древнем Египте. А число 108 кратно полупериоду прецессии Земли. Астральный смысл налицо!

Однако прежде чем приписывать египтянам поклонение «священному» числу 108, обратимся к некоторым особенностям их счета: они довольно своеобразно записывали дробные числа. Так, например, 7/8 египтяне представляли в виде 1/2+1/4+1/8, а 3/4 – как 1/2+1/4. Аналогично записывались и размеры объектов: сначала в больших единицах, затем – в меньших и наконец в самых маленьких.

Скажем, в святилище Абу-Симбела длина фасада составляет 80 локтей 40 ладоней (2:1), высота храма – 60 локтей 30 ладоней (2:1), длина зала – 35 локтей 5 ладоней (7:1), высота входа в тоннель – 70 локтей 10 ладоней (7:1). Подобное уменьшение числа меньших единиц в целое число раз было, видимо, обычным приемом древнеегипетских «дизайнеров». Так, если измерить в метрах сфинкса, установленного на набережной Невы напротив Академии художеств, мы не получим ничего примечательного: длина – 5 м, ширина – 1,5 м, высота – 3,5 м. А вот в древнеегипетских мерах сфинкс буквально преображается: длина – 10 локтей 5 ладоней, ширина – 3 локтя 1,5 ладони, высота – 7 локтей 3,5 ладони. То есть всюду соотношение больших и малых единиц – два к одному.

Как же все это связано с упомянутым «строительным модулем»? Он, оказывается, равен 40 локтям 20 ладоням 10 пальцам (4:2:1). Или же ровно 300 ладоней, но уж никак не 108 псевдоединиц.

Какой же все-таки должна была быть пирамида Хеопса? Высоту ее определяют то в 146,6 м (реальная), то в 148,2 м (вычисленная по углу наклона граней), то во все 150 м (пирамида осталась недостроенной). Если теоретически рассчитать высоту пирамиды Хеопса исходя из предлагаемых в различных гипотезах числовых соотношений, то мы получим довольно широкий спектр высот. Пирамида, вмещающая все эти числовые соотношения, заставляет вспомнить так называемую «невозможную» усеченную пирамиду: продолжения сторон такого объекта не пересекаются в одной точке. Так что, образно говоря, вершина Великой пирамиды представляет собой тоже великую загадку.

Вообще же вокруг пирамид нагромождено столько невежественной чепухи, что просто не знаешь, с какого конца ее разгребать.

Многие числовые фокусы с египетскими пирамидами, вошедшие в моду очень давно, убедительно высмеял восемь десятилетий назад замечательный ленинградский популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Он справедливо заметил, что говорить о точной длине стороны пирамиды, скажем, Хеопса, бессмысленно, – по той простой причине, что за тысячелетия своего существования ее размеры хоть и незначительно, но изменились из-за выветривания и частичного разрушения. И потом, если надо что-то к чему-то подогнать, то нужные пропорции всегда можно найти.

Далее, совершенно бессмысленно и абсурдно выражать эти длины в метрах. Что такое метр? Эта – опять же антропоцентрическая, то есть условная – единица длины была введена в 1791 году, во время Великой французской революции, как одна десятимиллионная доля четверти парижского меридиана. Древним египтянам эта мера длины не была да и не могла быть известна. Но изобретатели метрической системы, как и «исследователи» математических загадок египетских пирамид, не обращали на этот факт никакого внимания.

Например, аббат Море, директор Буржской обсерватории во Франции, применив метрическую систему, обнаружил поистине «удивительные» вещи. Так, умножив высоту Великой пирамиды, которую он принял в 148,21 м, на один миллион, он получил расстояние от Земли до Солнца в километрах – 148 210 000 км. То же самое можно сказать и о числе, которое, утверждает аббат Море, можно получить, сложив четыре стороны основания пирамиды Хеопса (длина каждой из которых, по его мнению, составляет 232,805 метра), и затем разделив полученный результат на две высоты пирамиды. Аббат Море, кстати, полагал, что архитекторы Великой пирамиды знали и многое другое, что сумели воплотить в камне. А именно: продолжительность високосного года, расстояние, которое Земля проходит по своей орбите за 24 часа, плотность вещества Земли, а также среднюю температуру нашей планеты, поскольку тепловая единица Великой пирамиды равна значению средней температуры поверхности Земли, и т. д. и т. п. В общем, практически все, что можно выразить в числах. Впрочем, существует и версия, что Великая пирамида, возможно, представляет собой математическую модель Северного полушария Земли. При умножении высоты пирамиды Хеопса (опять же в метрах) на 43 200 получается число, очень близкое к величине полярного радиуса Земли, а умножив периметр пирамиды на то же число, можно получить число, близкое к длине экватора.

Теперь о степенях дроби 1,08 в обоснование какой-то таинственной космической сущности числа 108. Здесь тоже заключается двойная нелепость. Во-первых, это совершенно разные числа. Они отличаются одно от другого множителем 100 – это опять-таки антропоцентрическая величина. 100 – это десять в квадрате, а 10 – основание системы счисления, которой мы пользуемся.

Наша десятичная система счисления условна, в основе ее лежит тот случайный биологический факт, что у человека на двух руках 10 пальцев. И с точки зрения космоса этот факт не очень влияет на законы мироздания. Не пристало человеку, претендующему на звание цивилизованного, не понимать антропоцентризма десятичной системы и абсолютизировать ее. Манипулируя этими числами да и любыми другими, можно «доказать» что угодно, связать все со всем. Если взять размеры или массу любого предмета – Спасской башни, тросточки Чарли Чаплина, «Эмпайр Стейт Билдинг» или Великого шелкового пути, – выраженные в аршинах, пудах, дюймах, в китайских ли, вообще в любых единицах, то можно получить цифры 1, 0 и 8 или любой другой их набор по желанию «заказчика». Удивительно, как взрослые и образованные люди не замечают простой истины: число 10, градус, метр, час, секунда – так же условны, так же формальны и не заданы природой, как переход на летнее/зимнее время, год Огненной свиньи или День студента.