Скопенков алгебраическая топология с геометрической точки зрения

Топология — (от греч. tоpos место и …логия (См. . Логия) часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… … Большая советская энциклопедия

Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю) раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Происхождение термина «Г. , что… … Большая советская энциклопедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Пуанкаре, Анри — Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия

МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — над коммутативным люльцом с единицей однородный многочлен от n=n(q)переменных с коэффициентами Обычно R это поле С, R или Q, либо кольцо Z, кольцо целых элементов алгебраич. числового поля, а также их пополнения по неархимедовым нормам.… … Математическая энциклопедия

С44 Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. — М: МЦНМО, 2015. — 272 c.

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, важные для приложений: маломерные многообразия и векторные поля на них, непрерывные отображения и их деформации. Показано, как при решении геометрических проблем естественно возникают

основные идеи, понятия и методы алгебраической топологии: группы

гомологий, препятствия и инварианты, характеристические классы.

Основные идеи представлены на простейших частных случаях, свободных от технических деталей, со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. За счет этого книга доступна для начинающих, хотя содержит красивые сложные результаты. Для ее изучения желательно минимальное знакомство с графами, векторными полями и поверхностями, хотя все необходимые определения приводятся в начале. Часть материала преподнесена в виде задач, к большинству из которых приведены указания.

Книга предназначена для студентов, аспирантов, работников науки и образования, изучающих и применяющих алгебраическую топологию.

Это обновляемая версия, в некоторых местах отличающаяся от изданной.

c Скопенков А. Б., 2015 c МЦНМО, 2015 ISBN 978-5-4439-0293-7 Оглавление Введение

0.1. Зачем эта книга. 9

0.2. Содержание и используемый материал. 12

0.3. Для специалистов. 15

0.4. Благодарности. 16

0.5. Обозначения и соглашения. 17 § 1. Графы на плоскости

1.1. Словарик по теории графов. 19

1.2. Графы на плоскости и раскраски карт. 20

1.3. Индекс пересечения ломаных на плоскости. 23

1.4. Планарность дисков с ленточками. 27

1.5. Планарность утолщений. 30

1.6. Иероглифы и ориентированные утолщения *. 33 Ответы, указания и решения к некоторым задачам. 34 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

2.1. Примеры поверхностей. 39

2.2. Разрезания и вырезания..

11.3. Определение групп гомологий и формы пересечений. 230

11.4. Характеристические классы для n-многообразий. 233 Ответы, указания и решения к некоторым задачам. 236 § 12. Непогружаемость и невложимость

12.1. Основные результаты о непогружаемости и невложимости. 240

12.2. Доказательства непогружаемости. 243

12.3. Нормальные классы Уитни как препятствия (набросок) 247

12.4. Степени двойки и классы Штифеля—Уитни (набросок) 249 Ответы, указания и решения к некоторым задачам. 252

§ 15. Гомотопическая классификация и ее применения

15.1. Введение. Групповая структура. 294

15.2. Точная последовательность расслоения. 297

15.3. Классификация погружений. 300

15.4. Набросок доказательства теоремы Кервера. 306

15.5. Гомотопические группы сфер (набросок). 309

15.6. Реализация циклов подмногообразиями (набросок).. 311 Ответы, указания и решения к некоторым задачам. 313 8 Оглавление

0.1. Зачем эта книга Лучшие результаты любой математической теории — важные и интересные теоремы, в формулировках которых нет понятий из этой теории, но при доказательствах которых без нее не обойтись.

К сожалению, в большинстве учебников такие результаты недостаточно доступны. Формулировки красивых результатов и важных проблем, ради которых была придумана теория, приводятся только после продолжительного изучения этой теории (или не приводятся совсем). Это способствует появлению представления о математике как о науке, изучающей немотивированные понятия и теории. Такое представление принижает ценность математики.

Таких блистательных результатов в алгебраической топологии много. Для удобства читателя в этой книге они выделены жирным шрифтом и, как правило, собраны в начале параграфов (вместе с краткой историей вопроса). Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и в любой фундаментальной теории, ее основные мотивировки и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний. Такому изложению посвящена эта книга (вместе с [ST34, BE82, Pr15, An03, PS97, E84, FT07, Sk09, Sk, Sk ] и другими книгами). Ее особенность — возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на «олимпиадных» примерах, т. е. на простейших частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. Благодаря этому я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной и инНичего не изменилось, но теперь все было понятно. (У. К. Ле Гуин. Изначальное место. Пер. автора.) 10 Оглавление тересной — в первую очередь студентам и работающим в других областях математикам.

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, полезные для приложений: маломерные многообразия и векторные поля на них, непрерывные отображения и их деформации. Приводятся естественные построения для решения интересных топологических проблем и изящные доказательства красивых теорем с ясными и доступными формулировками. Показано, как при этом возникают полезные алгебраические понятия (группы гомологий, характеристические классы и т. д.)1. Именно на таких естественных построениях и доказательствах можно понастоящему прочувствовать более общий теоретический материал (а при наличии некоторой математической культуры — и воссоздать его). Изучение, начинающееся с длительного освоения немотивированных общих понятий и теорий, делает малодоступными замечательные методы алгебраической топологии2. Часто изучившие курс могут воспроизвести сложную теорию, но не могут применить ее в простейшей ситуации, если не указано, что этой теорией нужно воспользоваться.

Новые вводимые понятия мотивированы тем, что интересно человеку, не считающему их интересными «сами по себе», и человеку, не интересующемуся специально топологией (но уже имеюВажнейшие геометрические проблемы, ради которых была создана алгебраическая топология, в свою очередь были мотивированы предыдущим развитием математики (причем не только геометрии, но и анализа и алгебры). Мотивировать эти геометрические проблемы не входит в цели настоящей книги. Я либо привожу ссылки, либо апеллирую к непосредственной геометрической любознательности читателя.

Приведу лишь один пример из многих. Еще в XIX веке был придуман очень простой, наглядный и полезный инвариант многообразий — форма пересечений, т. е. умножение в гомологиях поверхностей (п. 6.5, [Hi95]). Замечательным открытием Колмогорова и Александера 1930-х годов явилось обобщение этого инварианта на произвольные полиэдры (умножение в когомологиях). Умножение Колмогорова—Александера менее наглядно и определяется более громоздко, чем форма пересечений, но зато имеет более продвинутые применения. Определение формы пересечений через умножение Колмогорова—Александера делает малодоступными ее замечательные применения. Поэтому форму пересечений иногда просто переоткрывают [Mo89].

0.1. Зачем эта книга 11 щему некоторое математическое образование). Например, доказательством красивой теоремы, решением важной задачи, осмыслением естественной идеи. Определения новых понятий естественно появляются (и будут четко сформулированы) в этой ситуации, и потому их не обязательно знать заранее. В то же время для тех, кто уже изучал алгебраическую топологию, ее применение к конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным и интересным.

Изложение построено «от частного к общему», «от простого к сложному», см. п. 0.2. Путь познания в какой-то мере повторяет путь развития. Такое изложение продолжает традицию, восходящую к древности [P]. В современном преподавании математики она представлена, например, журналом «Квант» и книгами «квантовских» авторов. Более подробно см. [Z09, стр. 9—14].

Интересно, что приводимое изложение мне приходилось сначала переоткрывать и лишь потом убеждаться, что первооткрыватели рассуждали так же, ср. [Hi95].

Надеюсь, принятый стиль изложения не только сделает материал более доступным, но позволит сильным студентам (для которых доступно даже абстрактное изложение) приобрести математический вкус. Он необходим, чтобы разумно выбирать проблемы для исследования, а также ясно излагать собственные открытия, не скрывая ошибок (или известности полученного результата) за чрезмерным формализмом. К сожалению, такое (непреднамеренное) сокрытие ошибок часто происходит с математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах. Такое происходило и с автором этих строк; к счастью, почти все мои ошибки исправлялись перед публикациями.

Чтение этой книги и решение задач потребуют от читателя усилий. Однако эти усилия будут сполна оправданы тем, что вслед за великими математиками XX века в процессе изучения геометрических проблем читатель откроет некоторые основные понятия алгебраической топологии. Надеюсь, это поможет ему совершить собственные настолько же полезные открытия (не обязательно в математике)!

12 Оглавление Основная идея. Алгебраическая топология основана на следующей простой идее, часто встречающейся при решении школьных (в частности, олимпиадных) задач. Невозможность некоторой конструкции можно доказывать путем построения алгебраического препятствия (называемого также инвариантом). Примером служит четность. Точно так же неэквивалентность конструкций часто доказывается путем построения алгебраического инварианта, их различающего (этот инвариант является препятствием к эквивалентности). Многие непохожие друг на друга задачи топологии естественно приводят к похожим препятствиям.

В этой книге препятствия-инварианты, являющиеся целыми числами или вычетами по модулю 2, есть почти в каждом параграфе.

А группы гомологий появляются только в п. 4.9 и § 6.

Таким образом, значительная часть алгебраической топологии — это изучение геометрических задач при помощи дискретных, комбинаторных (в частности, алгебраических) методов. Алгебраическую топологию раньше называли комбинаторной.

Применения теории препятствий разбиваются на два шага.

Первый и обычно более простой шаг — получение необходимого условия на языке теории препятствий. Он приводится в этой книге. Второй и более сложный шаг — вычисление появляющихся препятствий. Он приводится лишь в виде наброска, цикла задач или просто ссылки (поскольку, по моему мнению, второй шаг лучше описан в литературе, чем первый). Замечу, что в простейших ситуациях очевидно, что полученное необходимое алгебраическое условие является достаточным. А вот для более сложных геометрических проблем, которые здесь не приводятся (например, о классификации многообразий или вложений), труднее всего именно доказать достаточность полученного необходимого условия.

0.2. Содержание и используемый материал Книга предназначена в первую очередь для читателей, не владеющих алгебраической топологией (хотя, возможно, часть ее будет интересна и специалистам). Все необходимые алгебраические

0.2. Содержание и используемый материал 13 объекты (со страшными названиями «группы гомологий», «характеристические классы» и т. д.) естественно возникают и строго определяются в процессе исследования геометрических проблем.

Для удобства читателя в п. 1.1, 2.1 приведены определения графов и простейших поверхностей.

В книге сначала показаны те идеи, которые видны на двумерных многообразиях («поверхностях») (§ 2—7). Затем — идеи, которые видны на трехмерных многообразиях (§ 8—10; § 8 интересен даже для частного случая трехмерных многообразий). Только потом рассматриваются многомерные многообразия. При этом двумерные и трехмерные многообразия все-таки интересны мне не сами по себе, а как простые объекты для демонстрации идей, приносящих наиболее значительные плоды для многомерного случая.

Характеристические классы по-настоящему незаменимы только для многообразий размерности выше трех.

Для многообразий методы алгебраической топологии наиболее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов. В этой книге собраны некоторые результаты и методы, касающиеся именно многообразий, а не полиэдров («многомерных графов»). Впрочем, для более глубокого изучения многообразий полиэдры все-таки понадобятся.

Ниже приведена схема существенной зависимости параграфов. Явные ссылки приведены и в тексте. Такие ссылки не отражены в схеме, если в одном параграфе используется результат из другого, но необходима только формулировка результата, а не более глубокое его понимание. Пунктир в схеме означает, что один параграф нужен для мотивировки другого, но формально не используется в нем. Номера пунктов у стрелки означают, что используются только эти пункты (п. 15.5 используется только в п. 16.7 параграфа 16). Итак, начинать изучение книги можно с § 2 или § 3.

Сложность материала (и количество используемых понятий) внутри каждого параграфа растет. Поэтому вполне разумно переходить к новому параграфу, отложив на потом изучение окончания старого.

При изучении примеров, мотивирующих общее понятие групп гомологий, возникают все новые и новые частные случаи (п. 4.6, 4.7, 4.9, 5.8, 6.1—6.4, 7.3, 8.3, 8.6, 9.3, 11.2). Полезно продумать несколько таких примеров перед знакомством с абстрактным изложением этого понятия в п. 11.3. Формально п. 11.3 не зависит от многих предыдущих параграфов. Но в нем нет ответа на вопрос «зачем», важного для начала изучения любой теории.

Большя часть материала сформулирована в виде задач. Краа сивые наглядные задачи, для решения которых не нужно никаких знаний, приведены уже в самом начале. Обучение путем решения задач не только характерно для серьезного изучения математики, но и продолжает древнюю культурную традицию. Например, послушники дзэнских монастырей обучаются, размышляя над загадками, данными им наставниками [S].

Следует подчеркнуть, что многие задачи не используются в остальном тексте. В задачах сформулированы интересные и полезные факты или изложены идеи доказательства теорем. Читателю полезно ознакомиться с самими фактами и понимать идеи доказательств, даже если детали останутся недоступными. Приводимые формулировки задач могут быть путеводителем по другим учебникам по алгебраической топологии, позволяя намечать интересные конечные цели и отбрасывать материал, не являющийся для этих целей необходимым. Полезнее всего обсуждать со специалистом как решения задач, так и возникающие при решении трудности.

0.3. Для специалистов 15 Для решения каждой задачи (без звездочки) достаточно знакомства с настоящим текстом и не требуется никаких дополнительных понятий и теорий. Если используемые в задаче термины не определены в этом тексте и вам незнакомы, то соответствующую задачу следует просто игнорировать. К важнейшим задачам приводятся указания и решения. Они расположены в конце каждого параграфа. Однако к ним стоит обращаться после прорешивания каждой задачи.

Если задача выделена словом «теорема» («следствие» и т. д.), то ее утверждение важное. Как правило, мы приводим формулировку красивого или важного утверждения (в виде задачи) перед его доказательством. (Часто происходит обратное, см. начало п. 0.1.) В таких случаях для доказательства утверждения могут потребоваться следующие задачи. Это всегда явно оговаривается в подсказках, а иногда и прямо в тексте. Поэтому если некоторая задача не получается, то читайте дальше. (На занятии задача-подсказка дается только тогда, когда студент подумал над самой задачей.) Такой процесс обучения полезен, поскольку моделирует реальную исследовательскую ситуацию.

В указаниях к некоторым задачам встречаются ссылки на web-страницу книги ([A] по состоянию на 20 февраля 2015 г.).

Если, паче чаяния, ее адрес изменится, ее можно будет найти с помощью поисковых систем (возможно, через домашнюю страницу автора).

0.3. Для специалистов

В § 9 приводится набросок простого доказательства теоремы Штифеля о параллелизуемости ориентируемых трехмерных многообразий. Оно получено из обычно приводимого в книгах отбрасыванием обозначений и терминов, не нужных для него, но нужных для чего-то другого. Оно проще и доказательства из [Ki89], см. п. 9.2. В § 11—13 приводится набросок простого доказательства теорем об алгебрах с делением и о невложимости проективных пространств. В п. 16.2, 16.3, 16.6 приведены красивые важные 16 Оглавление задачи по основам теории гомологий, которые могут быть использованы на семинарах по этой теме.

По возможности приводятся ссылки на книги и обзоры, а не на оригинальные статьи.

Стандартная терминология теории препятствий не используется там, где (по мнению автора) она неудобна для начинающего. Приведем здесь сравнение обычной терминологии и принятой в книге. Расстановки элементов группы G на i-симплексах триангуляции T — то же самое, что i-мерные цепи на T с коэффициентами G. Группа таких расстановок обычно обозначается Ci (T ; G). Множество 1 (0) всех циклов образует подгруппу группы Ci (K; G), обозначаемую Zi (T ; G). Множество Ci+1 (T ; G) всех границ образует подгруппу группы Ci (K; G), обозначаемую Bi (T ; G). Когда G = Z2, мы пропускаем коэффициенты в обозначениях цепей, циклов, границ и гомологий.

В этой книге препятствия лежат в группах гомологий, а не в группах когомологий (изоморфных группам гомологий для многообразий). Обозначения для характеристических классов используются для классов, двойственных им по Пуанкаре. Эта точка зрения (двойственная принятой в учебниках, но обычная для первооткрывателей) позволяет наглядно изображать препятствия.

0.4. Благодарности

Выражаю благодарность А. Н. Дранишникову, Д. Б. Фуксу, А. Т. Фоменко и Е. В. Щепину: я учился алгебраической топологии по книге [FF89] и на семинаре Дранишникова—Щепина в Математическом институте Российской академии наук.

Настоящая книга основана на лекциях, прочитанных автором на мехмате Московского государственного университета им.

М. В. Ломоносова, в Независимом московском университете, на ФОПФ и ФИВТ Московского физико-технического института, в Летней школе «Современная математика», а также в Кировской и Петербургской летних математических школах в 1994—2016 гг.

0.5. Обозначения и соглашения 17 (Материал статей [RS00, RS02] содержится в настоящей книге в существенно доработанном и расширенном виде.) Благодарю С. Я. Аввакумова, П. М. Ахметьева, Ю. М. Бурмана, М. Н. Вялого, А. А. Заславского, С. К. Ландо, С. В. Матвеева, С. А. Оленчука, В. В. Прасолова, Н. А. Приходько, М. Б. Скопенкова, А. Б. Сосинского, В. В. Успенского, Б. Р. Френкина и В. В. Шувалова за многочисленные обсуждения, способствовавшие улучшению изложения. Благодарю С. Я. Аввакумова, С. А. Оленчука и всех слушателей лекций за предоставление записок лекций и решений некоторых задач. Благодарю С. А. Оленчука, В. В. Прасолова и В. В. Шувалова за возможность использовать подготовленные ими компьютерные версии рисунков.

Эта книга посвящена памяти Юрия Петровича Соловьва — замечательного математика, считавшего важным изложение математики на конкретном, доступном (и в то же время строгом) языке, в отличие от «птичьего» языка излишней абстракции.

Грантовая поддержка. Автор поддержан РФФИ, гранты номер 07-01-00648a, 06-01-72551-NCNILa, 12-01-00748-a и 15-01-06302, грантом Президента РФ МД-4729.2007.1, стипендией П. Делиня, основанной на его Премии Бальзана 2004 года, грантами фонда Саймонса 2011—2016 годов и стипендией фонда Д. Зимина «Династия» 2014 года.

Интернет-страница автора: www.mccme.ru/

0.5. Обозначения и соглашения

Если вектор обозначен одной буквой (а не указанием его начала и конца), то мы не пишем над ним знак вектора и не выделяем его жирным.

Вот другие основные обозначения:

• |X| — число элементов в множестве X;

• prk — проекция на k-й сомножитель декартова произведения;

• 2 — приведение по модулю два;

• Z(i) — группа Z для четного i и Z2 для нечетного i;

• f x или f (x) — образ элемента x при отображении f ;

• — гомотопическая эквивалентность пространств (п. 16.1);

• — гомотопность отображений (п. 3.1);

18 Оглавление • — диффеоморфность многообразий (п. 4.5), кусочно линейная гомеоморфность гиперграфов и симплициальных комплексов (п. 5.2, 5.9), гомеоморфность подмножеств пространства Rm (п. 3.1), изоморфизм групп.

Номера задач обозначаются жирным шрифтом. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то в задаче требуется это утверждение доказать. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой *. Если некоторая задача не получается, то читайте дальше — следующие задачи могут оказаться подсказками.

§ 1. Графы на плоскости

1.1. Словарик по теории графов Вероятно, вводимые здесь понятия знакомы читателю, но мы приводим четкие определения, чтобы фиксировать терминологию (которая бывает другой в других книгах).

Графом без петель и кратных ребер называется конечное множество V вместе с набором E двухэлементных подмножеств (т. е. неупорядоченных пар) множества V. Элементы данного множества V называются вершинами. Элементы набора E называются ребрами. Вершина v называется концом ребра e если v e.

При работе с графами удобно пользоваться их изображениями. Вершины изображаются точками (например, на плоскости или в пространстве). Каждое ребро изображается ломаной, соединяющей его концы. На изображении ломаные могут пересекаться, но точки пересечения (кроме двух концов ребра) не являются вершинами. Важно, что граф и его изображение — не одно и то же.

Рис. 1. Изображения графов (не все вершины отмечены!)

В большей части данного текста можно пользоваться понятием графа без петель и кратных ребер. Однако все написанное справедливо для следующего обобщение, которое кое-где даже необходимо (например, в задаче ) Графом (с петлями и кратными ребрами) (или мультиграфом) называется квадратная таблица E размера V V из целых неотрицательных чисел, симметричная относительно главной диагонали. Элемент k таблицы называется ребром (или петлей) кратности k, если соответствует паре разГрафы на плоскости личных (или совпадающих) вершин. Вершины, ребра и изображения мультиграфов читатель легко определит самостоятельно.

Грубо говоря, подграф данного графа — это его часть. Формально говоря, граф G называется подграфом графа H, если каждая вершина графа G является вершиной графа H и каждое ребро графа G является ребром графа H. При этом две вершины подграфа, соединенные ребром в графе, не обязательно соединены ребром в подграфе. Путем в графе называется последовательность v1 e1 v2 e2. en1 vn, в которой для любого i ребро ei соединяет вершины vi и vi+1. (Ребра e1, e2. en1 не обязательно попарно различны.) Циклом в графе называется последовательность v1 e1 v2 e2. en1 vn en, в которой для любого i n ребро ei соединяет вершины vi и vi+1, а ребро en соединяет вершины vn и v1. Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить путем. Граф называется деревом, если он связен и не содержит циклов, не проходящих дважды ни по одному ребру. Ясно, что в любом связном графе существует максимальное дерево, т. е. дерево, содержащее все его вершины.

Граф с n вершинами, любые две из которых соединены ребром, называется полным и обозначается Kn. Через Km,n обозначается полный двудольный граф с долями из m и из n вершин:

в нем имеются все ребра между вершинами разных долей.

1.2. Графы на плоскости и раскраски карт Проблема вложимости (т.е. реализуемости без самопересечений) графов или графов с дополнительной структурой в плосГрафы на плоскости и раскраски карт 21 кость (а также в тор, в ленту Мебиуса и в другие поверхности, см.

§2) — одна из основных в топологической теории графов [MT01].

Изображение без самопересечений графа на плоскости, или плоский граф — изображение, для которого любые два ребра пересекаются только по их общим вершинам (в частности, если таких вершин нет, то ребра не пересекаются). Более строго, плоский граф — конечный набор несамопересекающихся ломаных на плоскости, любые две из которых пересекаются только по их общим концам, если такие концы есть.

Рис. 3. Разные изображения графа на плоскости

Иногда плоский граф называют просто графом, но это неточно, поскольку один и тот же граф можно изобразить на плоскости (если можно) разными способами.

Граф называется планарным или реализуемым на плоскости, если его можно нарисовать без самопересечений на плоскости. Или, более строго, если он «изоморфен» плоскому графу.

1.1. (a) Граф K5 без одного из ребер планарен.

(b) Граф K5 не планарен. (c) Граф K3,3 не планарен.

Для доказательства теорем 1.1.bc и 1.2 полезна нижеприведенная формула Эйлера 1.3.c.

1.2. Картой на плоскости называется разбиение плоскости на конечное число многоугольников (возможно, ‘бесконечных’). Раскраска карты называется правильной, если разные многоугольники, имеющие общий граничный отрезок, имеют разные цвета.

(a) Любую карту на плоскости можно правильно раскрасить в 6 цветов.

(b)* То же для 5 цветов. (Знаменитая гипотеза четырех красок утверждает, что и 4 цветов хватит, но ее доказательство гораздо более сложно.) 22 § 1. Графы на плоскости Подмножество плоскости называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, лежащей в этом подмножестве. (Осторожно, в для более общих подмножеств, чем рассматриваемые здесь, определение связности другое!) Гранью называется каждая из связных частей, на которые распадается плоскость R2 при разрезании по всем ребрам плоского графа G, т.е. любое максимальное связное подмножество в R2 G. Заметим, что одна из таких частей будет «бесконечной».

1.3. (a) Нарисуйте без самопересечений граф на плоскости, чтобы некоторое ребро лежало в границе только одной грани.

(b) Для любого плоского графа с E 1 ребрами и F гранями верно неравенство 3F 2E.

(c) Формула Эйлера. Для любого связного плоского графа с V вершинами, E ребрами и F гранями верно равенство V E + F = 2. (Для доказательства докажите и используйте лемму о четности 1.10.a.)

1.4. В любом плоском графе есть (a) вершина, из которой выходит не более 5 ребер.

(b) грань, имеющая не более 5 соседних граней.

Ясно, что гомеоморфные графы являются или не являются планарными одновременно.

Критерий Куратовского. [Pr14, Sk05, ST07] Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного графу K5 или K3,3 (рис. 2).

Одна из красивых форм решения проблемы вложимости — найти несколько таких подграфов, что произвольный граф G вложим в плоскость (или данную поверхность) тогда и только тогда, когда G не содержит ни одного из таких подграфов. Несмотря на красоту и простоту этого критерия, соответствующий алгоритм распознавания планарности графов медленно работает. Поэтому интересны другие способы распознавания планарности.

Теорема Фари. [Pr14] Плоский граф можно нарисовать без самопересечений на плоскости так, что все ребра будут отрезками.

1.3. Индекс пересечения ломаных на плоскости 23

1.5. Существует алгоритм распознавания планарности графов. (Говоря более формально, это означает существование алгоритма вычисления функции, которая по графу выясняет, планарен ли он. Аналогичные формальные версии других алгоритмических результатов не приводятся.) Здесь можно использовать без доказательства критерий Куратовского или теорему Фари.

Доказательство этого результата, не использующее ни критерия Куратовского, ни теоремы Фари, намечено в п. 1.5 (см. утверждения 1.13.f и 1.15.a). Построение полиномиального (по количеству ребер) алгоритма (не использующее этих результатов и допускающее многомерные обобщения), приведено в [Sk, п. «Алгоритм ван Кампена распознавания вложимости графов»]. Намного более сложно доказывается следующий результат.

Теорема Хопкрофта-Тарджана. Существует линейный (по количеству ребер) алгоритм распознавания планарности графов.

1.3. Индекс пересечения ломаных на плоскости Проиллюстрируем основную идею на следующих задачах.

1.6. На плоскости имеется 14 точек: 7 красных и 7 желтых.

Точки общего положения, т.е. никакие три не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки.

(a) Может ли количество всех точек пересечения красных отрезков (т.е. отрезков, соединяющих красные точки) и желтых отрезков быть равным 7?

(b) По красным отрезкам течет ток. Сумма токов, входящих в любую красную точку, равна сумме токов, из нее выходящих.

По желтым отрезкам течет ток с выполнением того же правила Кирхгофа. Ориентируем каждый красный или желтый отрезок направлением тока, идущего по нему. В каждой точке пересечения ориентированных красного и желтого отрезков поставим

• произведение ‘красного’ и ‘желтого’ токов на пересекающихся отрезках, если минимальное вращение, которым желтый ориенГрафы на плоскости тированный отрезок получается из красного, происходит против часовой стрелки, и

• минус это произведение в противном случае.

Могли ли так располагаться точки и течь токи, что сумма всех поставленных чисел (т.е. поток красного тока через желтый) равна 42А2 ?

1.7. Для любых 3 красных и 3 желтых точек общего положения (a) количество точек пересечения красных отрезков и желтых отрезков четно.

(b) поток красного тока через желтый равен нулю.

If we prove the Jordan Theorem (1.9.d below) for a triangle, then (a) would follow because the outline of the yellow triangle comes into the red triangle as many times as it comes out. The proof below is easier and can be generalized [SS].

Proof of 1.7.

a. The intersection of the rst triangle and the outline of the second triangle is a nite union of polygonal lines (non-degenerate to points). The outlines of the triangles intersect at the endpoints of the polygonal lines. The number of endpoints is even, so part (a) follows.

Рис. 4. Пути велосипедистов пересекаются

1.8. (a) Из одной точки выехало два велосипедиста: первый на север, второй на восток. Оба они приехали в эту же точку: первый с юга, второй с запада.

(b) Из одной точки выехало три велосипедиста: первый на север, второй на восток и третий на запад. Все они приехали в другую точку: первый с запада, второй с юга и третий с запада.

1.3. Индекс пересечения ломаных на плоскости 25 Докажите, что один из велосипедистов пересекал следы другого. См. рис. 4; можете считать, что улицы города (с двусторонним движением) идут либо с севера на юг, либо с запада на восток.

Для решения задач 1.8 и 1.9.abd докажите и используйте лемму о четности 1.10.a.

1.9. (a) На плоскости была нарисована замкнутая несамопересекающаяся ломаная и две точки вне нее. Взяли некоторый квадрат, содержащий данные точки, и стерли часть ломаной, лежащую вне квадрата. Как выяснить, можно ли данные точки соединить некоторой ломаной (на плоскости, а не в квадрате), не пересекающей исходной ломаной?

(b) Придумайте алгоритм, который по замкнутой несамопересекающейся ломаной на плоскости и двум точкам вне нее выясняет, можно ли эти точки соединить некоторой ломаной, не пересекающей данной ломаной.

(d) Теорема Жордана. Замкнутая несамопересекающаяся ломаная M на плоскости разбивает плоскость, т.е. R2 M несвязно. 1 Two polygonal lines in the plane are in general position, if

• each side of one of them and each side of the other either are disjoint or intersect at their common interior point;

• each two sides of one of them and each side of the other have no common point.

1.10. Леммы о четности. (a) Any two general position closed polygonal lines in the plane intersect each other at an even number of points. 2 Будьте осторожны: в доказательстве теоремы 1.2 из [Pr14] лемма о четности 1.10.a используется неявно, когда в первом предложении на стр. 20 написано, что четность меняется непрерывно.

This is non-trivial because polygonal lines may have self-intersections, и поскольку теорема Жордана 1.9.d нетривиальна. Выводить лемму о четности из теоремы Жордана или формулы Эйлера 1.3.c неразумно, ибо их доказательства используют лемму о четности.

26 § 1. Графы на плоскости (b) Assume that the outlines of two triangles in the plane intersect at a unique point, and a line suciently close to this point intersects the outlines by four distinct points. Then the points X, Y corresponding to one triangle are unlinked with the points Z, T corresponding to the other triangle, i.e. the segment XY contains either both or none of the points Z, T.

Иными словами, если две ломаные в квадрате ABCD соединяют его противоположные вершины, то ломаные пересекаются.

(c) Точка x пересечения двух несамопересекающихся ломаных на плоскости называется трансверсальной, если любая достаточно малая окружность Sx с центром в x пересекает ломаные по парам точек, чередующимся вдоль окружности (т.е. если обозначить через A1, B1 точки пересечения первой ломаной с Sx и через A2, B2 точки пересечения второй ломаной с Sx, то эти точки пересечения расположены на окружности в порядке A1 A2 B1 B2 ). Иными словами, если два звена одной ломаной, выходящие из точки пересечения, находятся ‘по разные стороны’ от другой ломаной в малой окрестности точки пересечения.

Две замкнутые несамопересекающияся ломаные на плоскости, пересекающиеся в конечном числе точек трансверсально, пересекаются в четном числе точек.

Леммы (b,c) сводятся к (a), а лемма (a) сводится к ее частному случаю 1.7.a. If one of the polygonal lines is a triangle, part (a) can be proved analogously to the statement 1.7.a. We present a dierent proof of this particular case, which generalizes to a proof of the general case. The proof is by reduction to the statement 1.7.a, using singular cone idea which formalizes in a short way the motion-to-innity idea [BE82, §5].

Proof of the Parity Lemma 1.10.a. First assume that one of the polygonal lines b is the outline of a triangle. Take a point A such that (AM N ) and b are in general position for each edge M N of a. Denote by T Будьте осторожны: утверждение [Pr14, задача 1.2] неверно для ‘восьмерки’ и треугольника, проходящего через точку самопересечения ‘восьмерки’.

1.4. Планарность дисков с ленточками 27

Here the summation is over edges M N of a, and the last congruence follows by statement 1.7.a.

The general case is reduce to the above particular case analogously to the above reduction of the particular case to statement 1.7.a. Just replace b by the second polygonal line.

1.4. Планарность дисков с ленточками Пусть дано слово длины 2n из n букв, в котором каждая буква встречается дважды. Возьмем двумерный диск (например, выпуклый многоугольник на плоскости). Ориентируем его краевую (=граничную) окружность. Отметим на ней непересекающиеся отрезки, отвечающие буквам слова, в том порядке, в котором буквы идут в слове. Для каждой буквы соединим (не обязательно в плоскости) соответствующие ей два отрезка ленточкой-прямоугольником так, чтобы разные ленточки не пересекались. При этом стрелки на окружности должны быть противонаправлены «при переносе» вдоль ленточки (рис. 5). Иероглифом (или диском с неперекрученными ленточками), отвечающим данному слову, называется объединение построенных диска и ленточек.

Рис. 5. Стрелки, противонаправленные «при переносе» вдоль ленточки

(Точнее, иероглифом называется любая фигура, полученная такой конструкцией; ср. с замечанием перед задачей 2.49. Еще точнее, иероглифом называется пара из этого объединения и лежащего в нем объединения петель, отвечающих ленточкам. Эта разница в терминологии не важна для реализуемости, изучаемой 28 § 1. Графы на плоскости

Рис. 6. Построение утолщения по отображению графа в плоскость

здесь, но важна для подсчета числа иероглифов, см. п. 1.6 и [Sk, п. «Ориентируемость и классификация утолщений»].) Это нестрогое определение формализуется понятиями гомеоморфности и склейки (п. 2.8 и 5.2; ср. п. 1.6).

Например, кольцо и цилиндр — иероглиф с одной ленточкой, а диск с n дырками — иероглиф с n ленточками. Другие примеры иероглифов приведены на рис. 6 слева, 7 и 8.

Ленточки a и b в иероглифе называются перекрещивающимися, если отрезки, по которым они приклеиваются к диску, чередуются на краевой окружности диска — идут в циклическом порядке (abab), а не (aabb).

1.11. Иероглиф можно вырезать из плоскости тогда и только тогда, когда у него нет перекрещивающихся ленточек.

Краевая окружность иероглифа — связный кусок множества тех его точек, к которым он подходит «с одной стороны». Это нестрогое определение формализовано в п. 5.2. Краевые окружПланарность дисков с ленточками 29

Рис. 8. Диски с четырьмя ленточками (не реализуемые на торе) ности выделены жирным на рис. 7. Например, у иероглифов на рис. 6 слева и рис. 7 одна, две и две краевые окружности.

1.12. (a) Сколько краевых окружностей может быть у иероглифа с двумя ленточками?

(b) Сколько краевых окружностей у иероглифов на рис. 8?

(c) По слову длины 2n из n букв, в котором каждая буква встречается дважды, постройте граф, число компонент связности которого равно числу краевых окружностей иероглифа, отвечающего данному слову. (Значит, это число можно находить на компьютере, не рисуя рисунка.) (d) Число краевых окружностей иероглифа с n ленточками не превосходит n + 1.

(e) Для иероглифа с n ленточками каждое из условий утверждения 1.11 равносильно тому, что краевых окружностей ровно n + 1.

30 § 1. Графы на плоскости

Конструкция утолщения возникает во многих задачах топологии и ее приложений (синонимы: граф с вращениями, эскиз [Ha, KPS, LZ, MT01]). Нам она полезна для распознавания реализуемости графов.

Для данного графа рассмотрим объединение попарно непересекающихся дисков, число которых равно числу вершин графа.

На каждой краевой окружности дисков выберем ориентацию и отметим непересекающиеся отрезки, отвечающие выходящим из соответствующей вершины ребрам, в указанном ориентированном циклическом порядке. Для каждого ребра графа соединим (не обязательно в плоскости) соответствующие ему два отрезка ленточкой-прямоугольником так, чтобы разные ленточки не пересекались (рис. 9). При этом стрелки на окружностях должны быть противонаправлены «при переносе» вдоль ленточки (рис. 5). Заметим, что каждый из двух способов на рис. 9 может отвечать такому соединению дисков ленточками. Ориентированным утолщением графа называется объединение построенных дисков и ленточек.

(Справедливо замечание, аналогичное данному в начале п. 1.4.

Граф называется спайном, или утощением этого объединения.) Например, ориентированные утолщения графов K3,2 и K3,3 изображены на рис. 6 справа и рис. 10 справа. Иероглиф (п. 1.4) — ориентированное утолщение вершины с петлями.

Если граф нарисован без самопересечений на плоскости (или на сфере с ручками, см. п. 2.1), то легко взять окрестность этого графа, являющуюся его ориентированным утолщением (рис. 11).

Более общо, если дано отображение общего положения графа G в плоскость (или в сферу с ручками), то можно построить ориенПланарность утолщений 31 Рис. 10. Ориентированные утолщения графов K4 и K3,3

тированное утолщение графа G, «соответствующее» этому отображению (рис. 6, 10).

Ориентированное утолщение называется планарным, если его можно вырезать из плоскости.

1.13. (a) Любое ориентированное утолщение дерева планарно.

(b) Любое ориентированное утолщение цикла планарно.

(c) Любое ориентированное утолщение унициклического графа планарно. (Граф называется унициклическим, если он становится деревом после удаления некоторого ребра.) (d) Планарно ли ориентированное утолщение графа K3,2 на рис. 6 справа?

(e) Какие из ориентированных утолщений графа K4 (рис. 10) планарны?

32 § 1. Графы на плоскости (f) Граф планарен тогда и только тогда, когда он имеет планарное ориентированное утолщение.

Ясно, что любой граф имеет конечное число ориентированных утолщений. Поэтому распознавание планарности графов сводится к распознаванию планарности ориентированных утолщений, см.

1.14. (a) Определите операцию стягивания ребра ориентированного утолщения, чтобы она давала операцию стягивания ребра графа и сохраняла планарность.

(b) Нарисуйте ориентированные утолщения, полученные из утолщений графа K4 (рис. 10) стягиванием «верхнего горизонтального» ребра.

1.15. (a) Теорема. Существует алгоритм распознавания планарности ориентированных утолщений.

(b) Теорема. Каждое из следующих условий на ориентированное утолщение связного графа G равносильно планарности этого утолщения.

(I) Для любого максимального дерева T в G в соответствующей утолщению циклической последовательности ребер, не лежащих в T, в которой каждое ребро встречается два раза (рис. 12), любые два ребра не чередуются, т.е. идут в циклическом порядке (aabb), а не (abab).

(E) V E + F = 2, где V и E — количества вершин и ребер графа, а F — количество краевых окружностей утолщения.

1.6. Иероглифы и ориентированные утолщения * 33 (О краевых окружностях написано перед задачей 1.12.) (S) Утолщение «не содержит» ориентированных подутолщений изображенных на рис. 6.

(Более точно, G не содержит подграфа, гомеоморфного одному из изображенных на рис. 6 вверху, сужение утолщения на который гомеоморфно одному из изображенных на рис. 6 внизу.) 1.16. (a) У любого ориентированного утолщения дерева одна краевая окружность.

(b) У любого ориентированного утолщения цикла две краевых окружности.

(d) По ориентированному утолщению постройте граф, число компонент связности которого равно числу краевых окружностей утолщения. (Значит, это число можно находить на компьютере, не рисуя рисунка.)

1.6. Иероглифы и ориентированные утолщения * В этом пункте мы приведем интерпретацию конструкций из п. 1.4 и 1.5. Иероглифом называется слово длины 2n из n букв, в котором каждая буква встречается два раза, с точностью до переименования букв и циклического сдвига.

Рис. 13. Иероглифы из четырех букв (заменить в соответствии с рис. 8) Иероглифы изображаются рисунками типа рис. 4 слева и 13.

Т.е. семейством петель с общей вершиной на плоскости. ЦиклиГрафы на плоскости ческий порядок задается перечислением выходящих из вершины отрезков при обходе вокруг вершины против часовой стрелки.

Иероглиф можно также изобразить фигурой из 2n отрезков с общей вершиной на плоскости (‘плоской звездой с 2n лучами’), отрезки которой пересекаются друг с другом только по общей вершине и разбиты на пары в соответствии со словом-иероглифом.

Если отрезки из каждой одной пары соединить ломаной (ломаные могут пересекаться), то получится предыдущее представление.

Иероглиф можно задавать и как соответствующий диск с неперекрученными ленточками (п. 1.4). Например, на рис. 8 изображены диски с ленточками, соответствующие иероглифам с рис. 13.

1.17. (a) Сколько иероглифов из 3 букв? (b) А из 4?

Полуребром графа называется «половинка» ребра. При этом петле кратности k отвечает 2k полуребер. Ориентированным утолщением (одномерным) графа называется этот граф вместе с указанием для каждой его вершины ориентированного циклического порядка выходящих из нее полуребер. См. примеры на рис. 10.

В п. 1.5 приведеное «эквивалентное двумерное определение»

ориентированного утолщения. Оно сложнее тем, что двумерно (а не одномерно), но именно оно возникает в других областях математики. Кроме того, иногда с ним удобнее работать.

1.18. (a) Сколько ориентированных утолщений c занумерованными вершинами у графа K4 ?

(b)* То же c незанумерованными вершинами (т.е. сколько ориентированных утолщений c точностью до изоморфизма у графа K4 ?).

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 1.1. (a) Возможное решение изображено на рисунке 14.

(b) Пусть граф K5 нарисован на плоскости без самопересечений. Тогда по формуле Эйлера 5 10 + F = 2. Значит, F = 7. Воспользовавшись утверждением 1.4, получаем 21 = 3F 20. Противоречие.

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 35

(c) Доказательство аналогично пункту (a). Так как граф K3,3 не содержит циклов длины три, то в границе каждой грани не менее четырех стрелок.

1.2. (a) Этот факт следует из утверждения 1.4.b. Или при помощи конструкции двойственного графа (ср. с п. 6.5) он сводится к аналогичному факту о раскраске вершин графа, который следует из утверждения 1.4.a.

1.3. (b) Идея доказательства. Граница каждой грани состоит не менее чем из трх рбер. Следовательно, 3 количества рбер, ограничивающих первую грань 3 количества рбер, ограничивающих вторую грань.

3 количества рбер, ограничивающих F -ую грань Просуммируем значения в колонках. Сумма значений левой колонки равна 3F. В сумме значений из правой колонки каждое ребро посчитано не более двух раз, так как принадлежит двум граням. Следовательно, сумма не превосходит 2E.

Замечание. Приведнное рассуждение не является строгим, поскольку каждое из указанных неравенств неверно, например, 36 § 1. Графы на плоскости для графа, указанного на рис. 15 слева, и слова ‘посчитано’, ‘граница грани состоит’, ‘количество рбер, ограничивающих грань’ не имеют формального смысла. Однако это рассуждение формализуется методом подсчта двумя способами.

Доказательство. Поставим около каждого ребра плоского графа две стрелки в две грани, примыкающие к ребру (даже если эти грани совпадают, стрелок две). Тогда число стрелок (иными словами, «гранербер») равно 2E = 20. В границе каждой грани не менее трех стрелок (этот факт мы не доказываем аккуратно).

1.4. Если степень каждой вершины не меньше 6, то 2E 6V.

Можно считать, что граф связен и E 1. Тогда по утверждению 1.3.b 2E 3F. По формуле Эйлера V E + F = 2. Значит, 6 = 3(V E + F ) 3V E, откуда E 3V 6. Противоречие.

1.5. Выясните, на сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, и примените теорему Фари.

1.10. (b) Denote the point by O and the triangles by OX Y and OZ T (so that X, Y, Z, T are the intersection points of the line and OX, OY, OZ, OT, respectively). Let a := (OX Y ) and b := (OZ T ). The Lemma follows because |XY | = |XY b| = |(OXY ) b| 1 |a b| + |(XY Y X ) b| 1 0.

Here the last congruence holds because |a b| = 1 and by (a) (in fact, we need the case when b is a triangle).

1.11. Часть «только тогда» (фактически доказанная при решении задачи 1.8.a) следует из леммы о четности 1.10.b.

Докажем часть «тогда». В качестве диска возьмем дополнение до внутренности некоторого выпуклого многоугольника (на сфере). Тогда ленточки можно реализовать прямолинейно внутри многоугольника.

(e) Если нет перекрещивающихся ленточек, то краевых окружностей ровно n + 1. Иначе краевых окружностей менее n.

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 37 1.13. (f) Рассмотрите регулярную окрестность графа (см. рис.

11 и определение после него).

1.15. (a) Следует из (b) или получается при помощи задачи

(b) Критерий (I) следует из утверждения 1.11.

Критерий (E) следует из утверждения 1.12.e.

Необходимость условия (S) следует из (I).

Набросок доказательства достаточности условия (S). Выделим в N ориентированное подутолщение максимального дерева T.

Покрасим оставшиеся ребра в красный цвет. Из каждого красного ребра вырежем его «среднюю треть», как на рис. 16. Останется ориентированное утолщение дерева T. Его можно изобразить (с учетом ориентированного циклического порядка) без самопересечений на плоскости вне (внутренности) многоугольника A1. An так, чтобы вершины дерева были бы вершинами многоугольника.

(Это доказывается по индукции с удалением висячей вершины.) Пусть существуют вершины A, B, A1, B1 дерева T, лежащие на границе многоугольника в этом порядке, причем вершины A и A1 лежат на одном красном ребре, а вершины B и B1 — на другом. Соединим путями в дереве вершину A с A1 и B с B1. Если эти пути пересекаются ровно в одной точке, то N содержит ’восьмерку’ с рис. 6. Если эти пути пересекаются ровно по одному отрезку, то N содержит ’тету’ с рис. 6. Остальные случаи сводятся к рассмотренным. Итак, N содержит ориентированное подутолщение, гомеоморфное одному из изображенных на рис. 6.

Поэтому если вершины A, A1 лежат на одном красном ребре, а B, B1 — на другом, то вершины A, A1, B, B1 лежат на границе многоугольника в этом циклическом порядке (или в противоНаглядные задачи о поверхностях Wissen war ein bisschen Schaum, der uber eine Woge tanzt. Jeder Wind konnte ihn wegblasen, aber die Woge blieb.

E. M. Remarque. Die Nacht von Lissabon1

2.1. Примеры поверхностей В § 2, п. 4.1—4.4 и § 7 слово «поверхность» можно понимать не как математический термин (определенный в п. 4.5), а как собирательное название определенных ниже фигур.

Если вы не знакомы с декартовыми координатами в пространстве, то в начале книги координатные определения можно опустить и работать с наглядными описаниями и изображениями на рисунках (приводимыми после четких определений).

Сферой S 2 называется множество точек (x, y, z) R3, для которых x2 + y 2 + z 2 = 1:

Сфера получена из прямоугольника ABCD «непрерывной деформацией» и «склейкой» пар его соседних сторон AB и AD, CB и CD с указанными направлениями (рис. 17). Здесь и далее под прямоугольником понимается двумерная часть плоскости (а не ее граница), и «склейка» включает «непрерывную деформацию», подтягивающую склеиваемые точки друг к другу.

Знание здесь — только пена, пляшущая на волне. Одно дуновение ветра — и пены нет. А волна есть и будет всегда. (Э. М. Ремарк. Ночь в Лиссабоне. Пер. Ю. Плашевского.) 40 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

Рис. 17. Поверхности, полученные склейкой сторон квадрата Кольцом называется (рис. 66).

Боковой поверхностью цилиндра (рис. 19 справа) называется

Рис. 20. Склейки прямоугольника, дающие тор и ленту Мбиуса. Нестандартные ленты Мбиуса (перенести в п. 2.2).

Лентой Мбиуса называется множество точек в R3, заметаемое стержнем длины 1, равномерно вращающимся относительно своего центра, при равномерном движении этого центра по окружности радиуса 9, при котором стержень делает пол-оборота, см. (рис. 19 в середине).

Лента Мбиуса получена из прямоугольника ABCD «склейкой» двух его противоположных сторон AB и CD «с противоположным направлением», (рис. 20 в середине).

Сферой с g ручками Sg при g 1 называется множество точек (x, y, z) R3, для которых

Сферой с нулем ручек называется сфера S 2. Сфера с одной ручкой — тор. Сферы с двумя и с тремя ручками изображены на рис. 21.

Рис. 22. «Цепочка окружностей» на плоскости g Уравнение ((z 4k)2 + y 2 4) = 0 задает «цепочку окружk=1 ностей» на плоскости Oyz (рис. 22). Сфера с g ручками является границей «трубчатой окрестности» этой цепочки в пространстве.

Поэтому сфера с g ручками получена из сферы «вырезанием»

2g дисков и последующей «заклейкой» g пар краевых окружностей этих дисков криволинейными боковыми поверхностями цилиндров (рис. 23).

Сферой с g ручками и дыркой Sg,0 называется часть сферы с g ручками, лежащая не выше той плоскости, которая расположена чуть ниже касательной плоскости в верхней точке (т. е. расположена в области z 4g + 2). Эта фигура получена из сферы с ручками «вырезанием дырки».

Рассмотрим в R4 окружность x2 + y 2 = 1, z = t = 0 и семейство ее нормальных трехмерных плоскостей. Бутылкой Клейна K

2.1. Примеры поверхностей 43

Рис. 24. Бутылка Клейна: (a) склейка квадрата; (b) изображение в R3 называется множество точек в R4, заметаемое окружностью, центр которой равномерно описывает рассматриваемую окружность, а окружность в то же время равномерно поворачивается на угол (поворачивается в движущейся нормальной трехмерной плоскости относительно своего диаметра, движущегося вместе с нормальной трехмерной плоскостью).

Проекция бутылки Клейна на R3 изображена на рис. 24 (b).

Бутылка Клейна получена из прямоугольника ABCD «непрерывной деформацией» и такой «склейкой» пар противоположных сторон, при которой одна пара AB и DC склеивается «с одинаковым направлением», а другая пара BC и DA — «с противоположным направлением» (рис. 24 (a)).

Неформально говоря, проективная плоскость RP 2 получена

• из сферы S 2 «склейкой» диаметрально противоположных точек, или

• из круга «склейкой» диаметрально противоположных точек на его граничной окружности, или 44 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

• из прямоугольника ABCD такой «склейкой» пар противоположных сторон, при которой каждая пара AB и CD, BC и DA склеивается «с противоположным направлением» (рис. 17).

Формально говоря, проективной плоскостью RP 2 называется образ отображения S 2 R4, заданного формулой (x, y, z) (x2, xy, yz, zx), или, что эквивалентно,

2.2. Разрезания и вырезания

2.1. Любой граф можно нарисовать без самопересечений (a) в пространстве; (Придумайте алгоритм, который по числу n строит n точек общего положения в пространстве.) (b) в книжке с некоторым количеством листов, зависящим от графа (рис. 25; определение дано после него);

Рис. 25. Книжка с тремя листами

Возьмем в трехмерном пространстве n прямоугольников XY Bk Ak, k = 1, 2. n, любые два из которых пересекаются только по отрезку XY. Книжкой с n листами называется объединение этих прямоугольников, см. рис. 25 для n = 3.

Нестандартным кольцом называется любая фигура, полученная из прямоугольника склейкой ее двух противоположных сторон «с одинаковым направлением» (рис. 18). Это нестрогое определение формализуется понятиями гомеоморфности и склейки (п.

2.8 и 5.2). Аналогично определяются нестандартные лента Мбиуса (рис. 20 справа), тор с дыркой, сфера с ручками и дыркой,

2.2. Разрезания и вырезания 45 бутылка Клейна с дыркой и т. д. Они используются только в этом пункте (из стандартных фигур вырезаются нестандартные); слово «нестандартные» опускается.

2.2. Разрежьте ленту Мбиуса так, чтобы получилось (a) кольцо; (b) кольцо и лента Мбиуса.

2.3. Разрежьте бутылку Клейна (рис. 24) так, чтобы получилось (a) две ленты Мбиуса; (b) одна лента Мбиуса.

2.4. Вырежьте из книжки с тремя листами (рис. 25) (a) ленту Мбиуса;

(d) бутылку Клейна с дыркой.

2.5. (a) Из плоскости невозможно вырезать тор с дыркой.

(b) Из сферы c меньшим числом ручек невозможно вырезать сферу c бльшим числом ручек и дыркой.

о (c) Из ленты Мбиуса невозможно вырезать две непересекающиеся ленты Мбиуса.

Для решения пунктов (a,b,c) этой задачи необходимы утверждения 1.10.b, 2.8.a, 2.42.c, соответственно.

2.6. Для каждого g 0 склейте сферу с g ручками из правильного 4g-угольника.

2.7. (a) Нарисуйте на торе замкнутую кривую, при разрезании по которой тор не распадается на куски.

(a ) То же для ленты Мбиуса.

(b) Нарисуйте две замкнутые кривые на торе, при разрезании по объединению которых тор не распадается на куски.

(с) Нарисуйте на сфере с g ручками g замкнутых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает ее.

(d) Нарисуйте на сфере с g ручками 2g замкнутых несамопересекающихся кривых, объединение которых не разбивает ее.

Оказывается, при разрезании тора по объединению любых трех замкнутых кривых на нем или по объединению любых двух 46 § 2. Наглядные задачи о поверхностях непересекающихся замкнутых кривых на нем тор обязательно распадается на куски. (Здесь кривые могут быть самопересекающимися; однако интересен случай несамопересекающихся кривых, а случай самопересекающихся к нему легко сводится.) Эти результаты — частные случаи следующих.

2.8. (a) Теорема Римана. Объединение любых g + 1 попарно непересекающихся замкнутых кривых на сфере с g ручками разбивает ее.

(b)* Теорема Бетти. Объединение любых 2g + 1 замкнутых кривых на сфере с g ручками разбивает ее.

В этом параграфе теоремой 2.8.a можно пользоваться без доказательства. Ее нетрудно доказать после изучения п. 2.7.

2.3. Графы на поверхностях и раскраски карт Определение и обсуждение изображения без самопересечений графа на поверхности аналогично случаю плоскости, см. п. 1.2.

Формализация приведена в п. 5.3, но для первого знакомства она на обязательна.

Тор, лента Мбиуса (и другие фигуры) предполагаются прозрачными, т. е. точка (или подмножество), «лежащая на одной стороне поверхности», «лежит и на другой стороне». Это аналогично тому, что при изучении геометрии мы говорим, например, о треугольнике на плоскости, а не о треугольнике на верхней (или нижней) стороне плоскости.

2.9. Нарисуйте на торе без самопересечений граф (a) K5 ; (b) K3,3 ; (c) K6 ; (d) K3,4 ; (e) K7 ; (f) K4,4.

Определение реализуемости графа на торе (или на сфере с ручками, или на ленте Мебиуса) аналогично определению планарности. Оказывается, ни граф K8, ни граф K5,4 не реализуемы на торе. Это частные случаи следующего результата.

2.10. Теорема. (a) Граф Kn не реализуем на сфере менее чем с (n 3)(n 4)/12 ручками.

(b) Граф Km,n не реализуем на сфере менее чем с (m 2)(n 2)/4 ручками.

2.3. Графы на поверхностях и раскраски карт 47 В доказательствах теорем 2.10, 2.14 используйте неравенство Эйлера 2.15.a.

2.11. Нарисуйте на ленте Мбиуса без самопересечений граф (a) K3,3 ; (b) K3,4 ; (c) K5 ; (d) K6.

2.12. (a) Любой граф реализуем на сфере с некоторым количеством ручек, зависящим от графа.

(b) Теорема. Для любого g существует алгоритм распознавания реализуемости графов на сфере с g ручками.

(Для доказательства используйте теорему 2.23.a.) Ориентируемым родом g(G) графа G называется наименьшее число g, для которого G реализуем на сфере с g ручками. Например, у графов K3 и K4 ориентируемый род равен 0, у графов K5, K6 и K7 он равен 1, а у графа K8 он равен 2. Задача 2.10 означает, что (n 3)(n 4)/12 и g(Km,n ) (m 2)(n 2)/4.

g(Kn ) На самом деле в этих формулах неравенство можно заменить на равенство [Pr14, 13.1].

2.13. Картой на торе называется разбиение тора на (криволинейные и изогнутые) многоугольники. Раскраска карты на торе называется правильной, если разные многоугольники, имеющие общую граничную кривую, имеют разные цвета. Любую ли карту на торе можно правильно раскрасить в (a) 5 цветов? (b) 6 цветов?

Оказывается, любую карту на торе можно правильно раскрасить в 7 цветов. Это частный случай следующего результата. Карта на сфере с g ручками и правильность ее раскраски определяются аналогично случаю тора.

2.14. Теорема Хивуда. Если 0 g (n 2)(n 3)/12, то любую карту на сфере с g ручками можно правильно раскрасить в n цветов.

Аналог этой теоремы для g = 0 верен: это гипотеза четырех красок. Ввиду результатов Рингеля о вложениях графа Kn 48 § 2. Наглядные задачи о поверхностях (см. замечание и ссылку после задачи 2.12) n 1 цветов не хватит при g (n 2)(n 3)/12.

2.4. Неравенство Эйлера для сфер с ручками Пусть на поверхности нарисован без самопересечений граф.

Назовем гранью каждый из связных кусков, на которые распадается поверхность при разрезании по всем ребрам графа.

На торе можно нарисовать замкнутую кривую двумя способами так, чтобы при разрезаниях по ней при первом и при втором способе тор распадался на разное количество кусков (задача 2.7 (a)). То же справедливо для ленты Мбиуса (задача 2.7 (a )).

Итак, количество граней зависит от способа изображения графа на данной поверхности.

Однако аналог формулы Эйлера для поверхностей имеется.

2.15. (a) Неравенство Эйлера. 1 Пусть на сфере с g ручками нарисован без самопересечений связный граф с V вершинами и E ребрами. Обозначим через F число граней. Тогда

V E+F 2 2g.

(b) Выведите неравенство Эйлера из теоремы Римана 2.8.a. (Если не получается, вернитесь к доказательству после утверждения 2.40.b.) (c)* Выведите теорему Римана 2.8.a из неравенства Эйлера.

(Я не знаю прямого вывода для произвольного g.) Далее неравенством Эйлера можно пользоваться без доказательства. Его нетрудно доказать после изучения п. 2.7, ср. с [Pr14].

2.16. (a) Граф K8 не реализуем на торе.

(b) Для любой сферы с ручками найдется граф, не реализуемый на ней.

2.17. (a) В любом графе, нарисованном без самопересечений на торе, есть вершина, из которой выходит не более 7 ребер.

Обычно в книгах вместо неравенства Эйлера, достаточного для решения многих интересных задач, приводится более сложная формула Эйлера 5.4, для формулировки которой нужно понятие клеточного подграфа.

2.5. Реализуемость ориентированных утолщений 49 (b) Если 0 g (k 1)(k 2)/12, то в любом графе, нарисованном без самопересечений на сфере с g ручками, есть вершина, из которой выходит не более k ребер.

2.18. (a) Неравенство Эйлера. Пусть на ленте Мбиуса нарисован без самопересечений связный граф с V вершинами и E ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через F число граней. Тогда V E + F 1.

(b) Граф K7 не реализуем на ленте Мбиуса.

(Обобщения см. в задаче 2.43.)

2.5. Реализуемость ориентированных утолщений Определение реализуемости ориентированного утолщения на торе (на сфере с g ручками) получается из определения его планарности заменой плоскости на тор (на сферу с g ручками).

2.19. (abc) Иероглифы, отвечающие словам (abab), (abcabc) и (abacbc) (рис. 4 или 6 слева и рис. 7) реализуемы на торе.

2.20. Иероглифы, изображенные на рис. 8, (abcd) не реализуемы на торе.

(a’b’c’d’) реализуемы на сфере с двумя ручками.

В задаче 2.20.

abcd и далее используйте теорему Римана 2.8.a.

2.21. (a) Существует иероглиф, не реализуемый на сфере с двумя ручками.

(b) Для каждого g придумайте иероглиф, не реализуемый на сфере с g ручками.

(c) Если иероглиф не реализуем на сфере с g ручками, а при удалении любой его ленточки получается иероглиф, реализуемый на сфере с g ручками, то в исходном иероглифе 2g + 2 ленточки.

2.22. (a) Любой иероглиф с 3 ленточками реализуем на торе.

(b) Существует ли иероглиф с 4 ленточками, имеющий 2 краевые окружности?

50 § 2. Наглядные задачи о поверхностях (d) Любой иероглиф с n ленточками, имеющий не менее n 1 краевых окружностей, реализуем на торе.

(c’) Любой иероглиф с 4 ленточками, имеющий 1 краевую окружность, не реализуем на торе.

(d’) Любой иероглиф с n ленточками, имеющий менее n 1 краевых окружностей, не реализуем на торе.

2.23. (a) Теорема. Для каждого g существует алгоритм распознавания реализуемости иероглифов на сфере с g ручками.

(b) Теорема. Каждое из следующих условий на иероглиф с n ленточками равносильно его реализуемости на сфере с g ручками.

(E) 2g n + 1 F, где F — количество краевых окружностей иероглифа.

(I) Построим n n-матрицу следующим образом. Если a = b и ленточки a и b перекрещиваются, то в клетке a b поставим единицу. В остальных клетках поставим нули. Тогда среди любых 2g + 1 строк найдутся несколько (не менее одной) строк, сумма которых нулевая.

(d)* Для каждого g существуют такие (запрещенные) иероглифы E1. Es со следующим свойством: данный иероглиф реализуем на сфере с g ручками тогда и только тогда, когда он не содержит ни одного из иероглифов E1. Es.

Существует ли ориентированное утолщение (a) графа K4 ;

(a) графа K5 не реализуемое на торе?

2.24. (a) Теорема. Для каждого g существует алгоритм распознавания реализуемости ориентированных утолщений на сфере с g ручками.

(b) Теорема. Каждое из следующих условий на ориентированное утолщение связного графа G с V вершинами и E ребрами равносильно его реализуемости на сфере с g ручками.

(E) 2g 2 V + E F, где F — количество краевых окружностей утолщения.

2.6. Триангуляции поверхностей 51 (I) Для любого максимального дерева T в G занумеруем ребра, не лежащие в T, числами от 1 до n := E V + 1. Утолщению соответствует циклическая последовательность ребер, не лежащих в T, в которой каждое ребро встречается два раза (рис. 12). Построим матрицу n n следующим образом. Если a = b и ребра a и b в полученной циклической последовательности чередуются (т.е. идут в порядке (abab), а не (aabb)), то в клетке a b поставим единицу. В остальных клетках поставим нули. Тогда среди любых 2g + 1 строк найдутся несколько (не менее одной) строк, сумма которых нулевая.

(c)* Для каждого g существуют такие (запрещенные) ориентированные утолщения E1. Es со следующим свойством: данное ориентированное утолщение реализуемо на сфере с g ручками тогда и только тогда, когда он не содержит ни одного из утолщений E1. Es.

2.6. Триангуляции поверхностей

В приложениях поверхность обычно задается «триангуляцией», а не описанием типа «количество ручек». «Триангуляции»

необходимы также для доказательства теоремы Римана 2.8.a и неравенства Эйлера 2.15.a.

Триангуляцией поверхности называется такое ее разбиение на конечное число криволинейных треугольников, что любые два треугольника пересекаются либо по пустому множеству, либо по вершине, либо по ребру. (Строгое определение поверхности и криволинейного треугольника приведено в п. 4.5; вместо них можно использовать чисто комбинаторные понятия локально евклидова 2-гиперграфа и его грани, п. 5.2.) Вершины и ребра треугольников называются вершинами и ребрами триангуляции, а сами треугольники — гранями.

Замечание. (a) Для плоскости теорема Жордана и формула Эйлера выведены из леммы о четности 1.10. Хотя аналог этой леммы для сферы с g ручками имеется, он сложен. Поэтому его удобнее выводить из более базовых утверждений, из которых наНаглядные задачи о поверхностях прямую (т.е. без доказательства аналога леммы о четности) следуют теорема Римана и неравенство Эйлера.

(b) Формула Эйлера для любой триангуляций треугольника может быть доказана при помощи подсчета сумм углов треугольников триангуляции. Из этого случая формулы Эйлера следует теорема Жордана и, видимо, общий случай. По-видимому, формула Эйлера для триангуляций сферы с g ручками может быть доказана аналогично. При g = 1 понадобится предельный переход, а при g 1 — геометрия Лобачевского.

2.25. Постройте хотя бы одну триангуляцию (a) сферы; (b) кольца; (c) тора; (d) ленты Мебиуса;

(e) сферы с g ручками; (f) сферы с g ручками и дыркой;

(g) сферы с g ручками и h дырками;

(h) бутылки Клейна; (i)* проективной плоскости.

Приведенные ниже определения изоморфности и гомеоморфности триангуляций аналогичны случаю графов (п. 5.1).

Триангуляции T1 и T2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение f множества V1 вершин триангуляции T1 на множество V2 вершин триангуляции T2, удовлетворяющее следующим условиям:

• вершины A, B V1 соединены ребром в том и только в том случае, если вершины f (A), f (B) V2 соединены ребром.

• вершины A, B, C V1 лежат в одной грани в том и только в том случае, если вершины f (A), f (B), f (C) V2 лежат в одной грани.

Триангуляции с точностью до изоморфизма — чисто комбинаторный объект (локально евклидов 2-гиперграф, см. п. 5.2 и 5.5).

Операция подразделения ребра изображена на рис. 26 слева.

2.26. Операция подразделения грани на рис. 26 справа выражается через операцию подразделения ребра и обратную к ней.

Две триангуляции гомеоморфны, если одну можно получить из другой операциями подразделения ребра и обратными к ним.

2.7. Эйлерова характеристика 53

Рис. 26. Подразделения ребра и грани

2.27. (a) Любая триангуляция треугольника гомеоморфна простейшей.

(b) Утверждение. Любые две триангуляции одной поверхности гомеоморфны.

Для принятого нами определения сферы с ручками (п. 2.1) утверждение 2.27.b — нетривиальный результат. 1 В доказательствах теоремы Римана 2.8.a и неравенства Эйлера 2.15.a мы используем его без доказательства. Для этого мы «примем его за определение», т.е. будем изучать поверхности как классы гомеоморфности триангуляций (ср. с п. 5.2). Это удобно для читателя, ориентированного на комбинаторику и программирование.

2.7. Эйлерова характеристика

2.28. При добавлении к графу на поверхности ребра количество связных частей дополнения до графа в поверхности увеличивается не более чем на 1. Более аккуратно, если G — граф на поверхности M (являющийся подграфом некоторой триангуляции поверхности) и e — его ребро, то количество связных частей в M G не превосходит количества связных частей в M (G e), увеличенного на 1.

Осторожно, красивые наглядные пояснения этого или аналогичных результатов могут не являться строгими доказательствами.

54 § 2. Наглядные задачи о поверхностях Пусть дан связный граф на связной поверхности (например, триангуляция). Выберем максимальное дерево в объединении ребер и произвольную последовательность ребер вне максимального дерева. Рангом называется количество таких ребер в этой последовательности, к которым примыкает два треугольника, но которые не разбивают дополнение до объединения максимального дерева и всех предыдущих ребер.

Связь между леммой о четности 1.10 и теоремой Жордана показывает, что ранг триангуляции поверхности измеряет «сложность пересечений» на ней (точнее, ранг равен рангу формы пересечений поверхности, см. задачу 2.29.d и п. 6.5).

Ввиду следующего утверждения 2.29.a ранг не зависит от выбора максимального дерева и последовательности.

2.29. (a) Пусть на (связной) поверхности, имеющей h краевых окружностей, дан (связный) граф, имеющий V вершин, E ребер и F граней. Тогда ранг равен 2 V + E F h (для любого выбора максимального дерева и последовательности).

(b) Ранг подграфа не превосходит ранга графа.

(d)* Лежащему в поверхности объединению ребер триангуляции соответствует его утолщение, см. п. 1.5 и п. 2.10. Тогда ранг триангуляции равен рангу, определенному в условии (I) критерия

2.24.b и в задаче 2.59.b. (Докажите это утверждение хотя бы для случая, когда получается ориентируемое утолщение, тогда п. 2.10 и задача 2.59.b не понадобятся.) (e)* Для ориентированного утолщения связного графа выберем максимальное дерево и произвольную последовательность ленточек, отвечающих ребрам вне максимального дерева. Назовем сложностью утолщения количество таких ленточек в этой последовательности, которые соединяют различные краевые окружности объединения утолщения максимального дерева и всех предыдущих ленточек. (Это понятие фактически уже появилось при доказательстве утверждения 2.23.b.) Докажите, что если лежащему в поверхности объединению ребер триангуляции соответствуЭйлерова характеристика 55 ет ориентированное утолщение, то его сложность равна половине ранга триангуляции. (В частности, ранг четен!) Ввиду утверждений 2.29.c и 2.27.b можно говорить о ранге поверхности.

Ввиду утверждения 2.29.a ранг связан со следующим понятием. Эйлеровой характеристикой триангуляции K с V вершинами, E ребрами и F гранями называется число (K) := V E + F.

Это понятие менее естественно: и его определение менее мотивировано, и его монотонность (т.е. неравенство Эйлера 2.33.b) доказывается через монотонность ранга 2.29.c, которая очевидна. Но оно более удобно для вычислений.

2.30. (a)-(i) Найдите эйлеровы характеристики (или ранги) триангуляций, построенных Вами при решении задачи 2.25.

Эйлерову характеристику удобно вычислять (например, в задаче 2.30) не по определению, а с использованием ее свойств. Они приведены ниже.

2.31. (a) Сформулируйте и докажите формулу для эйлеровой характеристики объединения.

(b) Эйлеровы характеристики гомеоморфных триангуляций равны.

Из триангуляции поверхности можно получить новые триангуляции новых поверхностей операциями вырезания дырки (или, формально, удаления грани, к каждому ребру которой примыкает две грани) и приклеивания ручки, см. рис. 23 (или, формально, последовательного вырезания двух дырок и приклейки к их краям некоторой триангуляции цилиндра).

2.32. (a) Вырезание дырки уменьшает эйлерову характеристику на 1.

(b) Триангуляции сфер с разными количествами ручек, построенные Вами в задаче 2.25.e, не гомеоморфны. (Этот факт неочевиден ввиду гомеоморфности фигур, кажущихся совсем непохожими, см. п. 2.8 и особенно п. 2.9.) 56 § 2. Наглядные задачи о поверхностях (c) Найдите эйлерову характеристику проективной плоскости или бутылки Клейна с g ручками соответственно.

(d) Найдите эйлерову характеристику объединения шапочек и ленточек, построенных по графу G, как на рис. 28 справа и 11 (т.

е. ориентированного утолщения графа G, см. п. 1.5).

С помощью эйлеровой характеристики (т.е. ранга) можно сформулировать «комбинаторные» версии теоремы Римана 2.8.a и неравенства Эйлера 2.15.a. Они и удобны для приложений, и достаточно просты для доказательства в этой книге. Прежние «топологические» версии выводятся из них и утверждения 2.27.b.

2.33. (a) Теорема Римана. Пусть в триангуляции K поверхности даны g + m попарно непересекающихся циклов, причем при разрезании по каждому из g первых образуется две краевые окружности, а при разрезании по каждому из m последних — одна. Если 2g + m 2 (K), то объединение этих циклов разбивает поверхность.

(b) Неравенство Эйлера. Связный подграф G с V вершинами и E ребрами триангуляции K поверхности разбивает поверхность не менее, чем на E V + (K) частей.

Иными словами, (G) (K).

(с)* На какое наименьшее количество частей может разбивать поверхность с триангуляцией K ее подграф с V вершинами, E ребрами и s компонентами связности?

Неравенство Эйлера 2.15.a вытекает из неравенства Эйлера

2.33.b, результатов задач 2.30.e, 2.27.b и 2.31.b. Аналогично теорема Римана 2.8.a выводится из теоремы Римана 2.33.b. Теорема Римана 2.33.b вытекает из следующего утверждения.

2.34. Разрежем поверхность по неразбивающей кривой, составленной из некоторых ребер триангуляции. Полученная поверхность имеет ту же эйлерову характеристику, что исходная, т.е. имеет либо

• на 2 краевые окружности больше и ранг на 2 меньше, либо

• на 1 краевую окружность больше и ранг на 1 меньше.

2.8. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) 57

2.8. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность)

2.35. Можно ли нарисовать без самопересечений граф K5 (a) на сфере; (b) на боковой поверхности цилиндра (рис. 19)?

В этом параграфе понятие гомеоморфности (топологической эквивалентности) не определяется строго, см. строгое определение в п. 5.2. Для «доказательства» гомеоморфности в этом параграфе нужно нарисовать цепочку картинок, аналогичную рис. 27.

При этом разрешается временно разрезать фигуру, а потом скле

Понятие гомеоморфности следует отличать от изотопности, см. задачу 6.24 (b) и п. 17.1.

58 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

Рис. 28. Гомеоморфны ли эти фигуры?

2.36. (a, b) Фигуры на рис. 7 гомеоморфны тору с двумя дырками.

(d) Гомеоморфна ли фигура на рис. 10 справа сфере с ручками и дырками? Если да, то чему равно их число?

2.37. (a, b, c, d) Фигуры на рис. 8 гомеоморфны сфере с двумя ручками и одной дыркой.

Регулярной окрестностью графа в поверхности называется объединение шапочек и ленточек, соответствующих вершинам и ребрам графа, см. рис. 11 (строгое определение см. в п. 5.4).

2.38. Регулярные окрестности разных изображений без самопересечений графа на плоскости (т. е. изоморфных плоских графов, см. рис. 3) гомеоморфны.

2.39. (a) Любой иероглиф с двумя ленточками гомеоморфен либо диску с двумя дырками, либо тору с дыркой.

(b) Чему может быть гомеоморфно ориентированное утолщение графа K4 ?

2.40. (a) Два иероглифа с одинаковым числом ленточек гомеоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковое количество краевых окружностей.

(b) Формула Эйлера. Иероглиф с n ленточками, имеющий F краевых окружностей, гомеоморфен сфере с (n + 1 F )/2 ручками и F дырками.

(c)* Формула Мохара. Иероглиф с n ленточками ранга r (см.

условие (I) критерия 2.23.b) гомеоморфен сфере с r/2 ручками и n + 1 r дырками.

2.9. Неориентируемые поверхности * 59 Эти задачи показывают одну из основных идей доказательства теоремы о классификации 2-многообразий (п. 5.7).

Названия «формула Эйлера» и «формула Мохара» применительно к утверждениям 2.40, 2.41 и 2.46 (см. ниже) не общеприняты. Ср. с задачами 5.4 и 6.30 (f, g).

2.41. (a) Два ориентированных утолщения одного графа гомеоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковое количество краевых окружностей.

(b) Формула Эйлера. Ориентированное утолщение связного графа с V вершинами и E ребрами, имеющее F краевых окружностей, гомеоморфно сфере с (2 V + E F )/2 ручками и F дырками.

условие (I) критерия 2.24.b) связного графа с V вершинами и E ребрами гомеоморфно сфере с r/2 ручками и 2 V + E r дырками.

2.9. Неориентируемые поверхности * Неравенство Эйлера для диска с лентами Мбиуса Диском с m лентами Мбиуса называется объединение круга и m «отделенных» ленточек, при котором каждая ленточка приклеивается двумя отрезками к граничной окружности S круга и направления на этих отрезках, задаваемые произвольным направлением на S, «сонаправлены вдоль ленточки», см. рис. 29.

Рис. 29. Диск с лентами Мбиуса60 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

2.42. (a) Нарисуйте на диске с m лентами Мбиуса m замкнутых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.

(b) Объединение любых m + 1 замкнутых кривых на диске с m лентами Мбиуса разбивает его.

(d) Для каждого m 0 склейте диск с m лентами Мбиуса из правильного 4m-угольника.

2.43. (a) Неравенство Эйлера. Пусть на диске с m лентами Мбиуса нарисован без самопересечений связный граф с V вершинами и E ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через F количество граней. Тогда V E + F 2 m.

(b) Сформулируйте и докажите аналоги задачи 2.10 для диска с лентами Мбиуса.

Гомеоморфность неориентируемых поверхностей

2.44. (a) Лента Мбиуса с ручкой гомеоморфна ленте Мбиуса с вывернутой ручкой, рис. 23, 30 (a).

(b) Фигура на рис. 30 (b) (т. е. диск с двумя «перекрученными» «отделенными» ленточками) гомеоморфна бутылке Клейна (рис. 24) с дыркой.

(d) Фигуры на рис. 31 (a) гомеоморфны.

Рис. 31. (a) Равноправны ли краевые окружности ленты Мбиуса с дыркой? (b) Гомеоморфны ли кольца с двумя лентами Мбиуса?

(e) Фигуры на рис. 31 (b) (т. е. кольцо с двумя «перекрученными» «отделенными» ленточками, приклеенными к одной краевой окружности кольца, и кольцо с двумя «перекрученными» ленточками, приклеенными к разным краевым окружностям кольца) гомеоморфны.

Красивые примеры из задач 2.44 (d, e) важны, ибо показывают, что непохожие фигуры могут все-таки быть гомеоморфными.

Диски с перекрученными ленточками Пусть имеется слово длины 2n из букв 1, 2. n, в котором каждая буква встречается дважды, и отображение w : . Возьмем двумерный диск. Ориентируем его краевую окружность. Отметим на ней непересекающиеся отрезки, отвечающие буквам данного слова, в том порядке, 62 § 2. Наглядные задачи о поверхностях в котором буквы идут в слове. Для каждой буквы соединим (не обязательно в плоскости) соответствующие ей два отрезка ленточкой-прямоугольником (так, чтобы разные ленточки не пересекались). При этом стрелки на окружности должны быть противонаправлены «при переносе» вдоль ленточки k, если w(k) = 0, и сонаправлены, если w(k) = 1. Диском с n ленточками, отвечающим данным слову и отображению w, называется объединение построенных диска и ленточек.

Рис. 32. Лента Мебиуса — диск с перекрученной ленточкой

На рис. 30 (b, c) и 32, 29 изображены соответственно

• диск с ленточками, отвечающий слову (aabb) с соответствием w(a) = w(b) = 1,

• диск с ленточками, отвечающий слову (aabcbc) с соответствием w(a) = 1 и w(b) = w(c) = 0,

• диск с n лентами Мбиуса, т. е. диск с ленточками, отвечающий слову (1122. nn) с соответствием w(1) = w(2) =. = w(n) = 1.

2.45. (a) Сколько краевых окружностей может быть у диска с двумя ленточками?

(b) Чему может быть гомеоморфен диск с двумя ленточками?

2.46. (a) К одной из краевых окружностей диска с n лентами Мбиуса и k 0 дырками приклеим перекрученную (относительно этой краевой окружности) ленточку. Полученная фигура гомеоморфна диску с n + 1 лентой Мбиуса и k дырками.

(b) Формула Эйлера. Диск с n ленточками, среди которых есть перекрученная, имеющий F краевых окружностей, гомеоморфен диску с n + 1 F лентами Мбиуса и F 1 дыркой.

(c)* Формула Мохара. Пусть имеется слово длины 2n из букв 1, 2. n, в котором каждая буква встречается дважды, и ненуРеализуемость утолщений * 63 левое отображение w : . Построим n n-матрицу следующим образом. Если a = b и ленточки a и b перекрещиваются, то в клетке a b поставим единицу. В диагональной клетке a a поставим число w(a). В остальных клетках поставим нули. Обозначим через r ранг над Z2 полученной матрицы. Тогда соответствующий диск с ленточками гомеоморфен диску с r лентами Мбиуса и некоторым количеством дырок.

Реализуемость иероглифов Интересны описания иероглифов и ориентированных утолщений, реализуемых на сфере с g ручками, отличные от приведенных в утверждениях 2.23.b и 2.24.b. Например, аналогично теореме Куратовского и задачам 1.15.(bS), 2.23.c. См. [Cu81].

(Оценка количества реализуемых иероглифов связана с знаменитой задачей о количестве многоугольников, склейкой которых получается сфера с g ручками.) Графом петель иероглифа называется граф, вершинами которого являются петли иероглифа; две вершины соединены ребром, если соответствующие две петли образуют иероглиф (abab) (т.е.

Ввиду утверждения 1.11 планарность иероглифа эквивалентна отсутствию ребер в его графе петель.

Редукцией иероглифа называется композиция некоторого числа следующих преобразований.

(D) Удаление некоторой изолированной петли (т.е. такой петли, которая в циклическом порядке задается двумя подряд идущими буквами (aa. )).

(R) Замена двух ’параллельных’ петель a и a (т.е. петель, соответствующие которым буквы в циклическом порядке находятся на соседних местах и не чередуются: (aa. a a. )) на одну.

Ввиду утверждения 1.11 планарность иероглифа эквивалентна тому, что он редуцируется до иероглифа () (так обозначается иероглиф без петель).

64 § 2. Наглядные задачи о поверхностях 2.47. (a) Редукция иероглифов сохраняет реализуемость на сфере с g ручками (для данного g).

(b) [Cu81, KPS] Следующие условия на иероглиф эквивалентны.

(1) реализуем на торе.

(2) не содержит ни одного иероглифа с рис. 8.

(3) его граф петель иероглифа является объединением изолированных вершин и полного трехдольного графа Kp,q,r.

(4) редуцируется до одного из иероглифов (), (abab), (abcabc).

2.48. * Для каждого g существуют такие (универсальные) иероглифы E1. Es со следующим свойством: иероглиф реализуем на сфере с g ручками тогда и только тогда, когда он редуцируется до одного из иероглифов E1. Es.

Реализуемость иероглифа (ориентированного утолщения) на ленте Мебиуса, на бутылке Клейна и на диске с лентами Мебиуса определяется аналогично реализуемости на сфере с ручками.

2.49. (a) Иероглифы (abab) и (abcabc) (рис. 4 слева и рис. 7 слева) реализуемы на ленте Мебиуса.

(b) Редукция иероглифов не обязательно сохраняет реализуемость на ленте Мебиуса.

(c)* Следующие условия на иероглиф равносильны:

• реализуем на ленте Мебиуса.

• не содержит иероглифов (ababcdcd) (рис. 8 слева) и (abacbc) (рис. 7).

• его граф петель является объединением изолированных вершин и полного графа.

2.50. * (Нерешенные задачи) Опишите иероглифы, реализуемые на (a) бутылке Клейна.

(b) диске с m лентами Мебиуса (для данного m).

Реализуемость ориентированных утолщений 2.51. * Гипотеза (А. Ошемков, А. Грабежной, Г. Погудин) Пусть из каждой вершины связного графа выходит 3 ребра. ОриРеализуемость утолщений * 65 Рис. 33. Ориентированные утолщение, не реализуемые на торе ентированное утолщение этого графа реализуемо на торе тогда и только тогда, когда оно не содержит подутолщений, изображенных на рис. 33. (См. задачу 2.52.)

2.52. Пусть N — ориентированное утолщение связного графа G степени 3 (т.е. из каждой вершины которого выходит 3 ребра), не реализуемое на торе, любое связное подутолщение которого реализуемо на торе.

(a) В G нет петель. (b) В N одна краевая окружность.

(d)* Любой связный граф степени 3 с условиями (a) и (c) изоморфен одному из графов на рис. 33 (даже одному из 1-го, 3-го, 4-го, 6-го и 8-го) или на рис. 34.

2.53. Пусть N — ориентированное утолщение связного графа G степени 4, не реализуемое на торе, любое подутолщение которого реализуемо на торе.

(a) В G нет петель. (b) В N одна краевая окружность.

66 § 2. Наглядные задачи о поверхностях (c) Сколько в G вершин и ребер?

(d)* (Нерешенная задача) Опишите ориентированные утолщения графов степени 4, реализуемые на торе, в терминах запрещенных подутолщений.

Реализуемость обобщенных иероглифов Обобщенным иероглифом называется иероглиф вместе с некоторой расстановкой нулей и единиц на его петлях (рис. 35, 36).

Рис. 35. Запрещенные обобщенные иероглифы для бутылки Клейна Обобщенный иероглиф называется реализуемым на ленте Мебиуса, если его петли можно изобразить без самопересечений на ленте Мебиуса так, чтобы

• при обходе по ленте Мебиуса вокруг вершины выходящие из нее отрезки проходились бы в соответствии с указанным циклическим порядком, и

• вдоль петель, на которых стоит единица, менялась бы ориентация, а вдоль петель, на которых стоит ноль, не менялась бы.

Реализуемость обобщенного иероглифа на бутылке Клейна и на диске с лентами Мебиуса определяется аналогично.

2.10. Реализуемость утолщений * 67

Рис. 36. Универсальные обобщенные иероглифы для бутылки Клейна

2.54. Сформулируйте и докажите аналоги задач 2.40 для обобщенные иероглифов.

Редукцией обобщенного иероглифа называется композиция некоторого числа преобразований (D) и (R) для петель с нулем, а также следующего преобразования.

(R’) Замена двух ‘параллельных’ петель a и a с единицей (т.е. для которых в циклическом порядке буквы, соответствующие этим петлям, находятся на соседних местах и чередуются:

2.55. * Гипотезы (ср. [Cu81]). (a) Следующие условия на обобщенный иероглиф равносильны:

68 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

• реализуем на ленте Мебиуса.

• не содержит ни одного обобщенного иероглифа из (abab), (aBaB), (ABAB), (ABCABC), ср. с рис. 35 (большими буквами изображаются петли с единицей, а маленькими — с нулем).

• редуцируется к обобщенному иероглифу с одной петлей с единицей.

(b)* (А. Телишев) Следующие условия на обобщенный иероглиф равносильны

• реализуем на бутылке Клейна;

• не содержит ни одного обобщенного иероглифа с рис. 35;

• редуцируется к одному из двух обобщенных иероглифов с рис. 36.

2.56. * (Нерешенная задача) Опишите обобщенные иероглифы, реализуемые на диске с m листами Мебиуса, в терминах запрещенных подиероглифов и редукций.

Реализуемость утолщений

Утолщением называется граф вместе с расстановкой нулей и единиц на его ребрах и, для каждой вершины графа, ориентированным циклическим порядком выходящих из нее полуребер.

«Двумерное определение» утолщения аналогично приведенному в начале п. 1.5, только стрелки на окружностях должны быть противонаправлены, если на ребре стоит 0, и сонаправлены, если на ребре стоит 1. (При этом каждый из двух способов на рис. 9 может отвечать как ленточке с нулем, так и ленточке с единицей.) Например, см. рис. 32. Если дано отображение общего положения графа G в диск с лентами Мебиуса, то можно построить утолщение графа G, «соответствующее» этому отображению.

Иероглифы не являются частными случаями утолщений, ибо для иероглифов два полуребра одной петли равноправны.

Утолщение называется реализуемым на сфере с g ручками, если его можно изобразить без самопересечений на диске с сфере с g ручками и окружить каждую вершину маленькой ориентированной окружностью так, чтобы

2.10. Реализуемость утолщений * 69

• для каждой вершины обход выходящих из нее полуребер вдоль ориентированной окружности давал бы заданный ориентированный циклический порядок.

• на ребре стоит 0 тогда и только когда, когда ориентации окружностей, построенных вокруг концов этого ребра, согласованы вдоль этого ребра (рис. 37).

Определение реализуемости утолщения на диске с лентами Мебиуса аналогично; в реализации вершины не должны лежать на краю.

2.57. Сформулируйте и докажите аналоги для утолщений задач об ориентированных утолщениях.

2.58. (a) Утолщения на рис. 38 не реализуемы на ленте Мебиуса.

(b) Любое утолщение унициклического графа реализуемо на ленте Мебиуса.

(E,I) Сформулируйте и докажите аналоги утверждения 2.24.b для реализуемости утолщения на диске с m лентами Мебиуса.

2.59. (a) Формула Эйлера. Утолщение связного графа V вершинами и E ребрами, имеющее F краевых окружностей и цикл с нечетной суммой чисел на его ребрах, гомеоморфно диску с сфере с 2 V + E F листами Мебиуса и F дырками.

70 § 2. Наглядные задачи о поверхностях Рис. 38. Утолщения, не реализуемые на ленте Мебиуса (добавить. ) (b) Формула Мохара. Для каждого ребра i вне максимального дерева рассмотрим несамопересекающийся путь в максимальном дереве, соединяющий концы этого ребра. Поставим в диагональной клетке i i матрицы суму по модулю 2 чисел на ребрах этого пути и на ребре i. Поставим числа в остальные клетки матрицы, как раньше. Обозначим через r ранг над Z2 полученной матрицы. Тогда если на диагонали есть хотя бы одна единица, то данное утолщение гомеоморфно диску с r листами Мебиуса и некоторым количеством дырок.

Инвертированием в вершине для утолщения графа называется изменение ориентации цикла полуребер, выходящих из этой вершины, одновременно с заменой нулей единицами, а единиц нулями на всех ребрах, выходящих из этой вершины (при этом числа на петлях не меняются).

Два утолщения называются эквивалентными, если от одного можно перейти к другому несколькими инвертированиями (возможно, в разных вершинах).

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 71 Иероглиф можно рассматривать как класс эквивалентности утолщений.

2.60. * (a) Гипотеза (Д. Пермяков) Утолщение реализуемо на ленте Мебиуса тогда и только тогда, когда оно не содержит подутолщений, подутолщения, эквивалентного одному из изображенных на рис. 38.

(b) (Нерешенная задача) Найдите такие утолщения E1. Es, что утолщение графа степени 3 реализуемо на бутылке Клейна тогда и только тогда, когда оно не содержит подутолщения, эквивалентного одному из E1. Es.

2.61. * (a) Опишите X-графы, реализуемые на сфере. См.

определение X-графа и его реализуемости в [Sk10].

(b) (Нерешенная задача) Опишите X-графы, реализуемые на торе.

(c) Графом с неориентированными вращениями называется граф, для каждой вершины которого указан неориентированный циклический порядок выходящих из нее полуребер. (Граф степени 4 с неориентированными вращениями — то же, что X-граф.) Сформулируйте и докажите аналоги вышеизложенных теорем и задач для графов с неориентированными вращениями.

См. также задачи для исследования в [Sk10] и (о степенных последовательностях) в [GDI, §10].

Ответы, указания и решения к некоторым задачам

2.1. (a) Нарисуем данный граф (возможно, с самопересечениями) на плоскости так, чтобы ребра не самопересекались. Если образовались точки пересечения (кроме вершин) более чем двух ребер, то подвинем некоторые ребра так, чтобы остались только двукратные точки пересечения. Поднимем одно из каждых двух пересекающихся ребер в пространство так, чтобы каждое пересечение пропало.

и лежат на одной прямой. Прилепим третий лист по этой прямой. Теперь в малой окрестности каждой из точек пересечения § 3. Векторные поля на плоскости

3.1. Интересные примеры и теоремы Исследование векторных полей начал Анри Пуанкаре в качественной теории дифференциальных уравнений. Эта теория имеет приложения во многих областях естествознания. Сам Пуанкаре применял ее, в частности, к проблеме трех тел и небесной механике. С тех пор векторные поля являются одним из важнейших объектов топологии и ее приложений. Подробные мотивировки см. в «похвальном слове векторным полям» [An03].

В этом параграфе на языке векторных полей будут доказаны основная теорема топологии 3.20 и близкие красивые теоремы 3.1, 3.3.

3.1. Основная теорема алгебры. Любой непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Этот результат вы сможете доказать после решения задачи 3.17.

«Нульмерной версией» основной теоремы топологии является теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

3.2. (a) На плоскости дано 2n красных и 2n синих точек общего положения (т. е. никакие три данные точки не лежат на одной прямой). Тогда существует прямая, по каждую сторону от которой находится по n красных и синих точек.

(b) На плоскости дан выпуклый многоугольник и точка z вне него. Тогда существует прямая, содержащая z и делящая многоугольник на две части равной площади.

(c) Для любого (выпуклого) многоугольника на плоскости существует прямая, делящая его на две части с равными площадями и периметрами.

(d) Любой ли бутерброд с маслом можно разрезать прямолинейным разрезом на две равноценные части?

82 § 3. Векторные поля на плоскости (e) То же для бутерброда с маслом и сыром.

(f) Вокруг любого выпуклого многоугольника на плоскости можно описать квадрат.

(g)* Любую плоскую выпуклую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильном шестиугольнике, расстояние между противоположными сторонами которого равно 1.

Векторным полем на подмножестве плоскости называется семейство векторов v(x) на плоскости в его точках x.

Если начало каждого вектора перенести в начало координат на плоскости, то получится отождествление свободных векторов и точек плоскости. Поэтому векторное поле на подмножестве плоскости — то же, что отображение из этого подмножества в плоскость.

Примеры векторных полей на плоскости (см. рис. 45): a(x, y) := (x, y) (радиальное), b(x, y) := (y, x) (центральное), c(x, y) := (y, x) (седловое), u(x, y) := (1, 0) (постоянное).

Рис. 45. Векторные поля на подмножествах плоскости

Пусть N Rm и Y Rn. Отображение f : N Y называется непрерывным, если для любых x N и 0 существует такое 0, что при любых y N, удовлетворяющих условию |x y|, выполнено неравенство |f (x) f (y)|. Если N замкнуто и ограничено, то это условие равносильно следующему условию равномерной непрерывности: для любого 0 существует такое 0, что при любых x, y N, удовлетворяющих условию |x y|, выполнено неравенство |f (x) f (y)|.

Далее все отображения и векторные поля считаются непрерывными и прилагательное «непрерывное» опускается.

3.1. Интересные примеры и теоремы 83 Отождествим R2 и C. Обозначим окружность и круг (диск) через

Векторное поле называется ненулевым, если все его векторы ненулевые.

3.3. Следующие утверждения эквивалентны.

(1) Теорема непродолжаемости. Радиальное векторное поле a(x, y) = (x, y) на граничной окружности S 1 круга D2 не продолжается до ненулевого векторного поля на круге.

(2) Несминаемость круга на окружность. Не существует отображения круга в его граничную окружность, тождественного на этой окружности, т. е. отображения f : D2 S 1, для которого f (x) = x при x S 1.

(Или, говоря неформально, барабан нельзя смять на его обод.) (3) Теорема Брауэра о неподвижной точке. Любое отображение f : D2 D2 круга в себя имеет неподвижную точку, т. е. такую точку x D2, что f (x) = x.

В этой задаче требуется именно доказать эквивалентность, доказывать сами утверждения не требуется. Утверждение (1) задачи 3.3 вытекает из задачи 3.17 (a) — см. ниже.

Два подмножества евклидова пространства называются гомеоморфными, если существуют взаимно обратные непрерывные отображения между ними.

3.4. (a) Отрезок не гомеоморфен квадрату.

(b) Теорема. Квадрат не гомеоморфен кубу.

Пункт (a) вы сможете решить прямо сейчас, а для пункта (b) нужны утверждения задач 3.3 и 4.6.

84 § 3. Векторные поля на плоскости

3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений

Пусть на круге D2 задано семейство vt векторных полей, зависящее от параметра t [0, 1]. Эта зависимость называется непрерывной, если для любого 0 существует такое 0, что при любых x D2 и s, t [0, 1], удовлетворяющих условию |s t|, выполнено неравенство |vs (x) vt (x)|. Например, семейство vt (x) := tx непрерывно зависит от параметра t, a vt (x) := x — нет.

По семейству vt, t [0, 1], векторных полей можно определить отображение V : D2 [0, 1] R2 формулой V (x, t) := vt (x).

3.5. Если зависимость от параметра непрерывная, то построенное отображение непрерывно.

Зависимость семейства vt, t [0, 1], векторных полей, заданных на подмножестве N R2, называется непрерывной, если соответствующее отображение V : N [0, 1] R2 непрерывно. Для N = D2 это определение эквивалентно вышеприведенному, а если N не замкнуто или не ограничено, то не эквивалентно.

3.6. Для любых двух векторных полей на плоскости существует непрерывная деформация одного в другое, т. е. семейство vt векторных полей, непрерывно зависящее от параметра t [0, 1], для которого v0 есть первое поле и v1 есть второе поле. (В отличие от дальнейшего, векторное поле vt не предполагается ненулевым.) Два ненулевых векторных поля называются гомотопными, если одно можно получить из другого непрерывной деформацией, в процессе которой поле остается ненулевым. Такой деформацией называется семейство vt ненулевых векторных полей, непрерывно зависящее от параметра t [0, 1], для которого v0 есть первое поле и v1 есть второе поле.

3.7. (a) Любое ненулевое векторное поле v на плоскости гомотопно полю v.

(b) Радиальное векторное поле на окружности гомотопно центральному.

3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений 85 (Из задач 3.6 и 3.7 (b) видно, что при непрерывной деформации векторного поля его траектории меняются разрывно.)

3.8. Любые два ненулевых векторных поля на N гомотопны, если (a) N = 0 [0, 1]; (b) N = D2 ; (c) N = 0 R;

(d) N — вся плоскость;

(e) N — произвольное дерево на плоскости (см. определение в п. 1.1).

3.9. (a) Каждое из утверждений задачи 3.3 равносильно тому, что () радиальное векторное поле на окружности S 1 не гомотопно постоянному.

(b) Ненулевое векторное поле на окружности S 1 гомотопно постоянному тогда и только тогда, когда оно продолжается на круг D2.

3.10. Для любых ненулевых векторных полей u, v, w на любой части плоскости (a) v гомотопно v (рефлексивность);

(b) если u гомотопно v, то v гомотопно u (cимметричность);

Векторное поле называется единичным, если все его векторы единичные.

3.11. (a) Любое ненулевое векторное поле гомотопно единичному.

(b) Два единичных векторных поля гомотопны тогда и только тогда, когда существует семейство vt единичных векторных полей, непрерывно зависящее от параметра t [0, 1], для которого v0 есть первое поле и v1 есть второе поле.

Единичное векторное поле на подмножестве плоскости — то же, что непрерывное отображение из этого подмножества в окружВекторные поля на плоскости ность. Гомотопность отображений определяется аналогично гомотопности векторных полей.

Два отображения f, g : N S 1 из подмножества N R2 называются гомотопными, если существует семейство ht : N S 1 отображений, непрерывно зависящее от параметра t [0, 1], для которого h0 = f и h1 = g. Непрерывная зависимость означает непрерывность соответствующего отображения H : N [0, 1] S 1.

Гомотопность отображений между подмножествами N Rm и Y Rn определяется аналогично. Для гомотопности отображений справедливы свойства, аналогичные гомотопности векторных полей. Например, гомотопность отображений — отношение эквивалентности; любые два отображения круга в окружность гомотопны.

3.12. Обозначим через A := стандартное кольцо (п. 2.1).

(a) Существует отображение r : A S 1, тождественное на S 1.

(b) Любое отображение S 1 S 1 продолжается до отображения A S 1.

(c) Для любых двух отображений A S 1 любая гомотопия между их сужениями на S 1 продолжается до гомотопии между исходными отображениями.

3.13. (a) Для любого отображения f : [0, 1] S 1 любая гомотопия отображения f | продолжается до некоторой гомотопии отображения f.

(b) Для любого отображения f : D2 S 1 любая гомотопия отображения f |S 1 продолжается до некоторой гомотопии отображения f.

(c) Теорема Борсука о продолжении гомотопии. Для любых подграфа A плоского графа N (см. определения в п. 1.1 и 1.2) и отображения f : N S 1 любая гомотопия отображения f |A продолжается до некоторой гомотопии отображения f.

(d) Приведите пример подмножеств A N плоскости, отображения f : N S 1 и гомотопии отображения f |A, не продолжаемой до гомотопии отображения f.

3.3. Число оборотов вектора и его применения 87

где k (1/2, 1/2) при uk uk1 1/M однозначно определяется из условия v(eiuk ) = v(eiuk1 )e2ik.

88 § 3. Векторные поля на плоскости Нужно доказать корректность определения степени, т. е. то, что deg v действительно целое число, не зависящее от выбора числа M. Это можно доказать аналогично доказательству независимости определенного интеграла от выбора последовательности разбиений из его определения. Более удобный способ — задачи 3.15 (c, d).

3.14. (a) Найдите, хотя бы для одного M, степень стандартной n-намотки wn, т. е. отображения S 1 S 1 (или, что то же самое, векторного поля на S 1 ), заданного формулой

wn (z) = z n.

(b) Если u и v — ненулевые векторные поля на окружности S 1 и для любой точки z S 1 векторы u(z) и v(z) симметричны относительно касательной к окружности в точке z, то deg u + deg v = 2.

Нам понадобится также непрерывная зависимость степени от векторного поля (точнее, независимость от его гомотопии). Это удобно доказать при помощи следующего обобщения определения степени.

Поднятием (или угловой функцией) отображения s : N S 1 называется отображение s : N R, для которого eis = s.

3.15. (a) Найдите все поднятия пути (т. е. отображения отрезка) s : [0, 2] S 1, s(t) = eit.

(b) Найдите все поднятия композиции пути s из п. (a) и стандартной n-намотки wn.

(c) По единичному векторному полю v на окружности определим путь sv : [0, 1] S 1 формулой sv (t) = v(e2it ). Если sv — подs (1) s (0) нятие пути sv, то deg v = v v.

(d) Поднятие единственно, т. е. если s, s : [0, 1] R — два поднятия одного и того же пути [0, 1] S 1, причем s(0) = s (0), то s = s.

3.16. (a) Лемма о поднятии пути. Любой путь s : [0, 1] S 1 имеет поднятие s : [0, 1] R.

3.4. Гомотопическая классификация векторных полей 89 (a ) Для любых пути s : [0, 1] S 1 и точки x R, удовлетворяющих условию eix = s(0), существует поднятие s : [0, 1] R пути s, для которого s(0) = x.

(b) Лемма о поднятии гомотопии. Любое отображение H : [0, 1]2 S 1 имеет поднятие.

(Название связано с тем, что в применениях отображение H рассматривается в качестве гомотопии.) (c) Степени гомотопных единичных векторных полей равны.

(d) Стандартная n-намотка wn не гомотопна wm при m = n.

(e) Существует отображение S 1 S 1, не имеющее поднятия.

3.17. (a) Ненулевое векторное поле на окружности не продолжается на круг, если число оборотов вектора при обходе этой окружности (точнее, степень) не равно нулю.

(b) Отображение f : S 1 S 1 называется нечетным, если f (x) = f (x) для любого x S 1. Степень любого нечетного отображения S 1 S 1 нечетна.

(b ) Никакое нечетное отображение S 1 S 1 не продолжается на круг D2.

(c) Если u и v — ненулевые векторные поля на окружности S 1, причем |u(x)| |v(x)| для любой точки x S 1, то deg u = deg(u + v).

(d) Найдите степень векторного поля v(z) := 9z 3 2z 2 + z 1.

3.18. (a) Для любого ненулевого векторного поля на кольце степени его сужений на две граничные окружности кольца равны.

(Напомним, что при определении степени используются ориентации окружностей против часовой стрелки.) (b) Для любого ненулевого векторного поля на круге с дырками (рис. 46) степень его сужения на внешнюю граничную окружность равна сумме степеней его сужений на внутренние граничные окружности.

3.4. Гомотопическая классификация векторных полей 3.19. (a) Любое единичное векторное поле степени n на окружности гомотопно wn.

(b) Любые два ненулевых векторных поля на окружности равных степеней гомотопны.

90 § 3. Векторные поля на плоскости

(c) Теорема продолжаемости. Ненулевое векторное поле продолжается с граничной окружности круга на круг тогда и только тогда, когда число оборотов вектора при обходе этой окружности (точнее, степень) равно нулю.

Обозначим через VN (R2 ) множество единичных векторных полей на подмножестве N плоскости с точностью до гомотопности в классе единичных векторных полей (т. е. с точностью до непрерывной деформации, в процессе которой векторное поле остается единичным). «Нормировка» определяет взаимно однозначное соответствие между VN (R2 ) и множеством ненулевых векторных полей на N с точностью до гомотопности (задача 3.11). Множество VN (R2 ) находится также во взаимно однозначном соответствии с множеством отображений N S 1 с точностью до гомотопности.

3.20. Основная теорема топологии. Любое единичное векторное поле v на окружности гомотопно стандартной deg v-намотке, и единичные векторные поля разных степеней на окружности не гомотопны.

Любое отображение f : S 1 S 1 гомотопно стандартной deg f -намотке, и отображения S 1 S 1 разных степеней не гомотопны.

Иными словами, степень deg : VS 1 (R2 ) Z является взаимно однозначным соответствием, переводящим класс d-кратной намотки в число d.

Этот результат назван основной теоремой топологии по аналогии с основной теоремой алгебры (из него основная теорема алгебры и вытекает). Суть дела, конечно, лучше отражали бы названия «основная теорема алгебры полиномов» и «основная теоГомотопическая классификация векторных полей 91 рема одномерной топологии», но эти названия не используются.

Обобщения см. в § 8.

3.21. (a) Пусть N — несвязное объединение или букет k замкнутых кривых (рис. 1 в п. 1.1). Фиксируем произвольно направление на каждой из этих кривых. Для векторного поля v на N поставим на каждой из этих кривых степень сужения поля v на нее. Полученную расстановку k целых чисел обозначим deg v. Тогда deg определяет биекцию VN (R2 ) Zk.

(b) Для плоского графа N постройте биекцию VN (R2 ) ZEV +C = = ZF 1. Здесь и в п. (c) используются определения из п. 1.1, 1.2;

через E, V, C и F обозначаются количества ребер, вершин, компонент связности и граней графа.

(c) Для графа N (не обязательно плоского) постройте биекцию между множеством отображений N S 1 с точностью до гомотопности и ZEV +C.

3.22. Опишите VN (R2 ) для кругa N с n дырками (начните с n = 0, 1).

Здесь «описать» означает построить «естественное» взаимно однозначное соответствие между VN (R2 ) и некоторым «известным» множеством. «Известность» множества означает как минимум описание количества его элементов, а как максимум — наличие «естественных» операций на множестве и на VN (R2 ), сохраняемых соответствием.

3.23. Теорема гомотопности. Любые два единичных векторных поля на диске D2, совпадающие на его границе, гомотопны неподвижно на границе (т. е. гомотопны так, что vt (x) = v0 (x) для любых x S 1 и t [0, 1]).

Полем направлений на подмножестве плоскости называется семейство прямых l(x) в точках x, непрерывно зависящих от точки x. Поля направлений связаны с лоренцевыми метриками, возникающими в физике [Ko01].

3.24. Определите гомотопность полей направлений и классифицируйте поля направлений с точностью до гомотопности на окружности в плоскости.

§ 4. Векторные поля на двумерных поверхностях

4.1. Касательные векторные поля для сферы Проблемы существования и классификации векторных полей и их наборов (вместе с близкой проблемой о гомотопической классификации отображений) определяют лицо теории препятствий.

Ее методы можно применять ко многим другим задачам (см., например, другие параграфы этой книги и [Sk]).

Красивые результаты этого параграфа — теоремы о существовании (4.1 (b), 4.15, 4.29 (b), 4.33 (a)) и гомотопической классификации (4.6 (d), 4.7 (c), 4.11 (b), 4.20) векторных полей и отображений, а также теорема Борсука—Улама 4.8.

#– #– Расстоянием между касательными векторами AA1 и BB1 #– #– к сфере S 2 в точках A, B S 2 называется |AB| + |A1 B1 |. С использованием этого понятия расстояния непрерывность отображения из S 2 в множество всех касательных векторов к S 2 определяется аналогично п. 3.1.

Касательным векторным полем на подмножестве сферы S 2 называется семейство касательных к ней векторов v(x) в его точках x, непрерывно зависящих от точки x.

Рис. 49. Касательные векторные поля на сфере 98 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях

Единичным нормальным векторным полем на окружности R2 R3 в трехмерном пространстве называется семейство S1 нормальных к ней (т. е. к касательной прямой к S 1 ) единичных

4.2. Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы 99 векторов v(x) в точках x окружности, непрерывно зависящих от точки x S 1.

Понятие гомотопности единичных нормальных векторных полей вводится дословно так же, как и для единичных касательных векторных полей.

Будем называть единичное нормальное векторное поле просто нормальным полем.

4.4. (a) Постройте нормальное поле на окружности S 1.

(b) Постройте нормальное поле на окружности S 1, не гомотопное уже построенному.

Далее в этом параграфе можно либо считать, что m = 4 (даже для этого случая приводимые факты интересны), либо пропускать тот материал, в котором упоминается пространство Rm (либо воспринимать задачи буквально, если вы не боитесь работать с пространством Rm ). Так как Rm = R2 Rm2 R2 0, можно рассматривать S 1 как подмножество в Rm при m 2. Нормальные поля на S 1 Rm определяются аналогично.

4.5. Любые два нормальных поля на S 1 Rm гомотопны при m 4.

Доказывать это удобнее всего на другом языке.

4.6. (a) Постройте взаимно однозначное соответствие между классами гомотопности нормальных векторных полей на S 1 R4 и классами гомотопности отображений S 1 S 2.

(b) Любое отображение S 1 S 2, образ которого не совпадает с S 2, гомотопно отображению в точку.

(c) Любое отображение S 1 S 2 гомотопно кусочно линейному (определите, что это такое, ср. §8.1) или гладкому (определите, что это такое).

(d) Теорема. Любое отображение S 1 S 2 гомотопно отображению в точку.

Единичным нормальным векторным полем на сфере S 2 R3 называется семейство единичных нормальных к ней (т. е. к касаВекторные поля на двумерных поверхностях тельной плоскости к S 2 ) векторов v(x) в точках x S 2, непрерывно зависящих от точки x S 2. Пример: v(x) := x. Нормальные поля на сфере S 2 Rm определяются аналогично.

4.7. (a) Постройте взаимно однозначное соответствие между классами гомотопности нормальных векторных полей на S 2 R4 и классами гомотопности отображений S 2 S 1.

(b) Любое отображение S 2 S 1 продолжается на трехмерный шар.

(d) Любые два нормальных поля на сфере в R4 гомотопны.

Каждое из эквивалентных утверждений следующей задачи 4.8 является маломерным случаем теоремы Борсука—Улама. Отображение f : S 2 S 1 называется эквивариантным (или нечетным), если f (x) = f (x) для любого x S 2.

4.8. (a) Для любого отображения f : S 2 R2 существует такое x S 2, что f (x) = f (x) (т. е. в любой момент времени на Земле найдутся диаметрально противоположные точки, в которых температура и давление совпадают).

(b) Не существует эквивариантного отображения S 2 S 1.

(c) Если сфера S 2 является объединением трех замкнутых множеств, то одно из них содержит диаметрально противоположные точки.

4.9. (a)* В пространстве дано 2n красных, 2n желтых и 2n синих точек общего положения (т. е. никакие четыре данные точки не лежат в одной плоскости). Тогда существует плоскость, по каждую сторону от которой находится по n красных, по n желтых и по n синих точек.

(b) (Ham sandwich theorem) В бочку с медом вбросили ложку дегтя. (Мед и деготь распределились по бочке, не обязательно равномерно.) Докажите, что существует плоскость, делящая объем бочки пополам, вес меда пополам и вес дегтя пополам.

Научная формулировка: для любого выпуклого многогранника существует плоскость, делящая пополам его объем, площадь поверхности и сумму длин ребер.

4.3. Векторные поля и гомотопии для тора 101

4.3. Векторные поля и гомотопии для тора Будем называть единичное касательное векторное поле просто полем (кроме п. 4.7).

Примеры полей на торе — «параллельное» и «меридиональное» (см. рис. 50).

Рис. 50. «Параллельное» и «меридиональное» касательные векторные поля на торе 4.10. (a) «Параллельное» поле на торе гомотопно «меридиональному».

(b) Любое поле v на на торе гомотопно полю v.

(c, d) Сформулируйте и докажите аналог задачи 3.11 для тора.

(e) Приведите пример двух негомотопных полей на торе.

Доказать негомотопность полей на торе хочется при помощи числа Dp (v) оборотов вектора поля v при обходе по параллели тора (т. е. по окружности z 2 + x2 = 9, y = 0). Но количество оборотов вектора поля при обходе по замкнутой кривой в пространстве не определено. Поэтому для определения числа Dp (v) нужно непрерывно отождествить касательные плоскости в разных точках тора (подумайте, что это значит и как это сделать). Вместо этого представим поле на торе в виде склейки единичного векторного поля на квадрате, лежащем в плоскости. Точнее, воспользуемся без доказательства наличием взаимно однозначного соответствия между V (T 2 ) и множеством таких полей на квадрате [0, 1]2 R2, что v(x, 0) = v(x, 1) и v(0, x) = v(1, x) для любого x с точностью до гомотопии в классе таких полей. Для такого поля на квадрате определим Dp (v) как число оборотов вектора поля v при обходе по отрезку [0, 1] 0 (см. п. 3.3).

102 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях Наличием такого соответствия (и аналогичного соответствия для других поверхностей) можно и далее пользоваться без доказательства. (Заметим, что в [Pr15, § 7] оно используется даже без явной формулировки.) Ср. с решениями задач 4.1 (b), 4.2 и 4.3.

Аналогично определяется число Dm (v) оборотов вектора поля при обходе по меридиану тора (меридиан — окружность (x 2)2 + y 2 = 1, z = 0, ср. с рис. 50). Аналогичное число можно получить, взяв другую замкнутую кривую на торе.

4.11. (a) Обозначим через T0 тор с дыркой, т. е. пересечение тора T 2 с полупространством x 5/2. Отображение Dp Dm : V (T0 ) Z Z, определенное формулой Dp Dm (v) := (Dp (v), Dm (v)), является взаимно однозначным соответствием.

(b) Теорема классификации векторных полей на торе.

Отображение Dp Dm : V (T 2 ) Z Z является взаимно однозначным соответствием.

4.12. (a) Опишите множество нормальных полей на торе T 2 R4 с точностью до гомотопности.

(b) Опишите множество отображений T 2 S 1 с точностью до гомотопности.

Полем направлений на поверхности называется семейство касательных к ней прямых l(x) в точках x, непрерывно зависящих от точки x. (Определите непрерывность сами.) По поводу связи с лоренцевыми метриками см., например, [Ko01]. Гомотопность полей направлений определяется аналогично гомотопности полей.

4.13. Классифицируйте поля направлений на торе с точностью до гомотопности.

4.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей В каждой точке сферы с ручками Sg имеется касательная плоскость.

4.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей 103 4.14. (a) На Sg,0 (см. п. 2.1) существует поле.

(b) Опишите V (Sg,0 ).

Для решения этой задачи полезно «изображение» сферы с ручками Sg,0 в виде диска с неперекрученными ленточками (см. п. 1.4, аналогично рис. 7, 8). Или можно представить поле на Sg,0 в виде склейки поля на плоском 8g-угольнике.

4.15. Теорема Эйлера—Пуанкаре (частный случай). Среди сфер с ручками только тор имеет ненулевое касательное векторное поле.

4.16. Подмножество A X Rm называется ретрактом множества X, если существует отображение X A, тождественное на A.

(a) Теорема Хопфа. Замкнутая гладкая кривая S Sg в сфере с ручками Sg является ее ретрактом тогда и только тогда, когда Sg S связно.

(b)* При каком условии замкнутая гладкая кривая в диске с ленточками является его ретрактом?

Диск с ленточками определен в п. 1.4; это то же, что сфера с ручками, пленками Мбиуса и хотя бы одной дыркой (см. п. 5.7), или связное 2-многообразие с непустым краем (см. п. 4.5).

4.17. (a) Опишите множество отображений Sg S 1 с точностью до гомотопности.

(b) Опишите множество нормальных полей на Sg R4 с точностью до гомотопности.

4.18. (a) Опишите множество отображений диска с n ленточками в S 1 с точностью до гомотопности.

(b) Любое отображение диска с ленточками в S 2 гомотопно отображению в точку.

4.19. (a) Постройте поле на ленте Мбиуса.

(b) Гомотопно ли построенное вами поле v полю v?

104 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях (c) Верно ли, что сужения на краевую окружность ленты Мбиуса M любых двух полей на M гомотопны?

Для решения этой задачи представьте поле на ленте Мбиуса в виде склейки единичного векторного поля на квадрате, лежащем в плоскости. Точнее, воспользуйтесь без доказательства наличием взаимно однозначного соответствия между V (M ) и множеством таких полей на квадрате [0, 1]2 R2, что для любого y вектор v(0, y) получен из вектора v(1, 1 y) симметрией относительно оси Ox (с точностью до гомотопии в классе таких полей).

4.20. Теорема классификации векторных полей на ленте Мбиуса. Существует ровно два класса гомотопности единичных касательных векторных полей на ленте Мбиуса.

4.21. (a) Постройте нормальное поле на стандартной ленте Мбиуса M, рассматриваемой как подмножество в R4.

(b) Опишите множество нормальных полей на M R4 с точностью до гомотопности.

4.22. (a) На бутылке Клейна K существует поле.

(c, d*) То же, что в задаче 4.21, для стандартной бутылки Клейна в R4.

(e)* Любое отображение RP 2 S 1 гомотопно отображению в точку.

Для решения пунктов (a, b) этой задачи представьте поле на бутылке Клейна в виде склейки единичного векторного поля на квадрате, лежащем в плоскости. Точнее, воспользуйтесь без доказательства наличием взаимно однозначного соответствия между V (K) и множеством таких единичных векторных полей на квадрате [0, 1]2 R2, что для любого x выполняется равенство v(x, 0) = v(x, 1) и v(0, x) получен из v(1, 1 x) симметрией относительно оси Ox (с точностью до гомотопии в классе таких полей).

4.23. (a) Если на поверхности существует поле, то существует и поле направлений.

(b) Обратное тоже верно (даже для многомерных подмногообразий, определяемых аналогично п. 4.5).

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия 105

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия Обозначим I := [0, 1]. Гладкой регулярной параметризованной двумерной поверхностью называется бесконечно дифференцируемое отображение r: I 2 Rm (т. е. упорядоченный набор m отображений x1, x2. xm : I 2 R), для которого векторные частные производные r/u r/u линейно независимы в каждой точке;

в точках границы одна или обе частные производные берутся односторонними. (Или, более учено, производная которого невырождена в любой точке.) Двумерным гладким подмногообразием в Rm называется подмножество N Rm, для любой точки x N которого существует такая ее замкнутая окрестность Ox в Rm, что N Ox является образом r(I 2 ) некоторой инъективной гладкой регулярной параметризованной двумерной поверхности r : I 2 Rm. Двумерные гладкие подмногообразия мы будем коротко называть 2-многообразиями или 2-поверхностями.

4.24. Следующие подмножества в R3 (определения и рисунки см. в п. 2.1) являются 2-многообразиями в R3 :

(a) D2 R2 R3 ; (b) боковая поверхность цилиндра;

(f) прообраз нуля при бесконечно дифференцируемой функции f : R3 R, производная (т. е. градиент) которой ненулевая в каждой точке.

4.25. Следующие подмножества в R4 являются 2-многообразиями в R4 :

(a) любое 2-многообразие в R3 (если рассматривать R3 как подмножество в R4 );

(b) бутылка Клейна; (c) проективная плоскость RP 2.

4.26. Не являются 2-многообразиями ни объединение двух (или трех) координатных плоскостей в R3, ни конус z 2 = x2 + y 2 в R3.

Касательной плоскостью TP N = TP к 2-многообразию N r r в точке P называется плоскость, содержащая векторы (u, v), (u, v) a b для некоторого отображения r : I 2 Rm из определения 2-многоВекторные поля на двумерных поверхностях образия, для которого r(u, v) = P (или, более учено, образ плоскости R2 при производной в точке (u, v) отображения r; производная — отображение, у него есть образ).

4.27. Это определение корректно, т. е. не зависит от выбора отображения r.

Теперь касательные и нормальные векторные поля на 2-многообразиях, обычные и единичные, определяются аналогично п. 4.1.

Подмногообразие в Rm называется связным, если любые две его точки можно соединить лежащим в нем путем. (Это свойство называют линейной связностью, но для подмногообразий оно равносильно связности.)

4.28. Опишите единичные нормальные поля с точностью до гомотопности для заузленной гладкой замкнутой кривой в R3 (т. е. на линейно связном замкнутом 1-подмногообразии в R3 ;

определение аналогично вышеприведенному; см. замечание после задачи 3.22).

Множество всех тех точек x 2-многообразия N, для которых существуют такие Ox Rm и r : I 2 Rm из определения 2-многообразия, что x r((0, 1)2 ), называется внутренностью Int N 2-многообразия N. Если N компактно (т. е. замкнуто в общетопологическом смысле и ограничено [Pr14, § 4]) и Int N = N, то N называется замкнутым (в смысле многообразий). Краем 2-многообразия N называется N := N Int N.

Примеры замкнутых 2-многообразий: сфера, тор и сфера с g ручками в R3, а также бутылка Клейна в R4.

Примеры 2-многообразий с непустым краем: кольцо, цилиндр, лента Мбиуса, тор с дыркой.

Примеры некомпактных 2-многообразий без края: плоскость, внутренность 2-многообразия с непустым краем.

4.29. (a) На любом связном 2-многообразии с непустым краем существует ненулевое касательное векторное поле.

(b) Теорема Эйлера—Пуанкаре. На замкнутом связном 2-многообразии имеется ненулевое касательное векторное поле

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия 107 тогда и только тогда, когда эйлерова характеристика этого 2-многообразия нулевая.

Определим эйлерову характеристику 2-многообразия.

Для плоского выпуклого многоугольника гладкая регулярная параметризованная двумерная поверхность r : Rm определяется аналогично вышеприведенному определению с заменой I 2 на и — в точках границы — частных производных на производные по двум неколлинеарным направлениям. Если r инъективно, то образ r() называется криволинейным многоугольником или гранью. Образы вершин и ребер многоугольника называются вершинами и ребрами грани. Разбиением 2-многообразия на многоугольники называется такой набор граней, что его объединение есть данное 2-многообразие и любые две грани пересекаются либо по пустому множеству, либо по вершине, либо по ребру.

Теорема о триангулируемости. [MS74, теорема 10.6 из дополнения; Pr14, 17.2] Для любого 2-многообразия и любого числа 0 существует такое разбиение 2-многообразия на многоугольники, что расстояние между любыми двумя точками любой одной грани меньше.

Эйлеровой характеристикой разбиения T 2-многообразия N на многоугольники называется число (T ) := V E + F, где V, E, F — количества вершин, ребер и граней. Эйлеровой характеристикой (N ) 2-многообразия N называется эйлерова характеристика произвольного его разбиения на многоугольники.

Это определение корректно ввиду п. (a) теоремы на с. 129 и задач 2.31 (b), 5.4. Важно, что существуют простые способы вычислять эйлерову характеристику (см. п. 2.7). (Триангуляцией 2-многообразия называется его разбиение на многоугольники, каждый из которых является треугольником. При определении можно было бы обойтись триангуляциями, но разбиения на многоугольники понадобятся уже в п. 4.7.) Теорема Эйлера—Пуанкаре доказана в следующих двух пунктах. Мы приводим два независимых (но по сути эквивалентных) доказательства. Первое более простое, но использует общее положение (те, кто не владеют этой техникой, могут считать это докаПостроение касательных векторных полей по триангуляции 111 Рис. 52. Векторное поле в окрестности вершины, особых точек внутри грани и на ребре вую достаточно мелкую триангуляцию, для которой особые точки изображенного на рис. 51 векторного поля лежат внутри ее граней. (Кроме того, из рис. 21 (b) видно, что e(Sg ) = 2 2g.) Отсюда следует необходимость в теореме Эйлера—Пуанкаре 4.29 (b). Для доказательства достаточности нужно при e(N ) = 0 получить ненулевое касательное векторное поле из касательного векторного поля общего положения «сокращением» точек разных знаков. Это делается аналогично [Pr14, § 18.3].

4.7. Построение касательных векторных полей по триангуляции Приведем определение числа Эйлера через триангуляции и соответствующее доказательство теоремы Эйлера—Пуанкаре 4.29 (b).

Оно похоже на [BE82, § 14], ср. [Pr14, § 18]. Его идея в том, чтобы сначала построить ненулевое касательное векторное поле на вершинах некоторой триангуляции, затем продолжить его на ребра и потом продолжить его на грани1. Аналогичная идея работает для нормальных векторных полей на 2-многообразиях (п. 4.8) и многомерных многообразий (п. 8.3). При развитии этой идеи числовой инвариант обобщается до групповых, см. п. 4.9, 5.8, 6.1—6.4 (рассматриваемая в этих пунктах проблема в чем-то даже проще проблем о векторных полях), 7.3, 8.3, 8.6, 9.3, 11.2.

Эта идея реализуется с использованием определенного ниже двойственного разбиения на многоугольники. Можно было бы реализовать ее и для исходного разбиения, но тогда возникающие объекты будут менее естественны — см. определение границы в этом пункте и правило Кирхгофа в п. 4.9.

112 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях Замечание. Роль теории препятствий состоит в сведении топологических задач на произвольном многообразии к похожим задачам для простейших, модельных многообразий. Важно, что для применения теории препятствий можно воспользоваться результатом решения этих простейших задач, не вникая в его доказательство. Указанные простейшие задачи могут решаться, в частности, средствами теории препятствий. Мы будем использовать понятие количества оборотов (п. 3.3) и теорему продолжаемости 3.19 (c).

Определение двойственного разбиения на многоугольники для разбиения U на многоугольники некоторого 2-многообразия (рис. 53).

Выберем внутри каждой грани разбиения U точку. Обозначим поРис. 53. Двойственное разбиение на многоугольники

соседним вдоль ребра a граням. Сделаем это так, чтобы разные кривые пересекались (если вообще пересекались) только по общим концам. Кривая a называется двойственным ребром к a.

Объединение кривых a разбивает 2-многообразие на многоугольники. Получится разбиение 2-многообразия на многоугольники.

Это разбиение называется двойственным к U и обозначается U.

Для сферы следующие рассуждения иллюстрируются рисунком 54.

Начало доказательства теоремы Эйлера—Пуанкаре 4.29 (b).

Возьмем некоторое разбиение U 2-многообразия N на многоугольПостроение касательных векторных полей по триангуляции 113 Рис. 54. Векторное поле на объединении ребер разбиения на многоугольники ники. Обозначим через U двойственное разбиение. Выберем U настолько мелким, чтобы касательные плоскости в любых двух точках любой грани разбиения U не были ортогональны.

В этом пункте слово «поле» означает «ненулевое касательное векторное поле». Очевидно, что можно построить поле на U0. Ясно, что это поле единственно (с точностью до гомотопии в классе полей на U0 ). Поэтому и ввиду аналога для векторных полей теоремы Борсука о продолжении гомотопии 3.13 (c) существование поля на N равносильно продолжаемости построенного поля с U0 на N.

Построение препятствующей расстановки. Возьмем произвольное ребро a разбиения U. Ввиду мелкости разбиения U ортогональная проекция касательной плоскости в произвольной точке этого ребра на касательную плоскость Ta в некоторой фиксированной точке этого ребра переводит ненулевые векторы в ненулевые. Значит, касательные плоскости в разных точках этого ребра можно отождествить с одной плоскостью Ta. Если на плоскости лежит отрезок и в его концах заданы ненулевые векторы (лежащие в плоскости), то это поле из двух векторов можно продолжить до поля на всем отрезке. Поэтому построенное на U0 поле

мем произвольную грань разбиения U. Ввиду мелкости разбиения U ортогональная проекция касательной плоскости в произвольной точке этой грани на касательную плоскость T в некоторой фиксированной точке этой грани переводит ненулевые векторы в ненулевые.

Возьмем ориентацию грани, т. е. направление на замкнутой кривой. Оно дает ориентацию на T. При обходе этой замкнутой кривой вдоль взятого направления ортогональная проекция вектора поля v на T повернется на некоторое целое число оборотов (п. 3.3). Ясно, что полученное число оборотов не зависит от ориентации грани. Поставим это число в вершину исходного разбиения U, лежащую в грани. (Например, для случая на рис. 54 в обоих вершинах будут стоять единицы. Придумайте, как придать смысл этому утверждению, несмотря на то что для этого разбиения не выполнено условие неортогональности касательных плоскостей из начала доказательства.) Полученная расстановка целых чисел в вершинах разбиения U называется препятствующей и обозначается (v). По теореме о продолжаемости 3.19 (c) продолжение поля v с U1 на N возможно тогда и только тогда, когда (v) = 0.

можно измерять (и задавать) так. Возьмем направленное ребро a разбиения U. Выберем также ориентацию на объединении двух граней разбиения U, в которых лежит a. Возьмем такое направленное ребро a разбиения U, пересекающее ребро a ровно в одной точке, что «базис (a, a )» положительный в точке a a.

Пусть точка x движется по ребру a вдоль направления, а потом обратно. При движении «туда» будем рассматривать вектор u(x), а при движении «обратно» — вектор v(x). Поставим на направленПостроение касательных векторных полей по триангуляции 115 ном ребре a разбиения U число оборотов ортогональной проекции рассматриваемого вектора на Taa при этом движении. (Например, для поля u на рис. 55 и поля v, направленного вертикально вверх, на ребре, направленном вправо, стоит 1.) Полученную расстановку целых чисел на направленных ребрах разбиения U назовем различающей и обозначим d(v, u).

µ Рис. 55. Подкручивание векторного поля, направленного вверх, на один оборот При изменении ориентации на объединении двух граней разбиения U, в которых лежит a, меняются и направление ребра a, и положительное направление отсчитываемых оборотов. Поэтому число на ребре a не зависит от выбора ориентации. А вот при замене направления на ребре a это число меняет знак.

Изменение препятствующей расстановки и определение границы ребра. При изменении поля на ребре a «на +1 оборот»

(рис. 55) к (v) прибавляется расстановка +1 в начале ребра a и 1 в его конце (и 0 на всех остальных вершинах). Эта расстановка называется границей ребра a и обозначается a. Нетрудно проверить, что если

Завершение доказательства. Из последней формулы вытекает, что сумма чисел препятствующей расстановки не зависит от v.

Из рис. 51 видно, что эта сумма равна (N ), см. пояснение в конце п. 4.6.

116 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях Приведем другое завершение доказательства. Оно длиннее предыдущего, но является иллюстрацией общего подхода теории препятствий.

Определение группы H0 (U ; Z), класса e(U ) и другое завершение доказательства. Назовем границей сумму с целыми коэффициентами n1 a1 +. + ns as границ нескольких ребер разбиения U. Назовем расстановки 1 и 2 целых чисел в вершинах гомологичными, если 1 2 есть граница. Ясно, что (i) при изменении поля v на U1 препятствующая расстановка

d(v, v ) = n1 a1 +. + ns as, тогда получим (v ) = 0.) Нульмерной группой гомологий H0 (U ; Z) разбиения U (с коэффициентами Z) называется группа расстановок целых чисел в вершинах с точностью до гомологичности.

Классом Эйлера разбиения U называется класс гомологичности препятствующего цикла:

e(U ) := [(v)] H0 (U ; Z).

Это определение корректно ввиду утверждения (i).

Теперь теорема Эйлера—Пуанкаре вытекает из утверждений (i) и (ii) вместе с нижеследующей задачей 4.30 (b).

4.30. Возьмем произвольное разбиение U на многоугольники замкнутого связного 2-многообразия N.

(a) Определите группу H0 (U ; Z) независимо от рассуждений, в которых она появилась.

(b) Существует изоморфизм H0 (U ; Z) Z, при котором e(U ) = переходит в (U ) = (N ).

§ 5. Двумерные многообразия

5.1. Гомеоморфность графов Графы G1 и G2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение f множества V1 вершин графа G1 на множество V2 вершин графа G2, удовлетворяющее следующему условию: вершины A, B V1 соединены ребром в том и только в том случае, если вершины f (A), f (B) V2 соединены ребром.

Неформально говоря, телом |G| графа G называется фигура, получающаяся из конечного числа отрезков отождествлением некоторых их концов в соответствии с графом G. Формально тело определяется, например, в [Sk, п. «Графы и их планарность»].

Рис. 58. Подразделение ребра

Операция подразделения ребра графа показана на рис. 58. Два графа называются гомеоморфными, если один можно получить из другого операциями подразделения ребра и обратными к ним.

Или, что эквивалентно, если существует граф, который можно получить из каждого из данных графов подразделениями ребер.

Определение гомеоморфности подмножеств евклидова пространства приведено в п. 3.1. Оказывается, графы G1 и G2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда фигуры |G1 | и |G2 | гомеоморфны. Этот критерий является мотивировкой для определения гомеоморфности графов, которое позволяет перевести изучение некоторых фигур на чисто комбинаторный язык.

Одномерным полиэдром называется класс гомеоморфности графов. Топологу интересны именно полиэдры (часто тополог наОпределение и примеры гиперграфов 127 зывает их графами). Но графы и тела — удобные средства изучения полиэдров и хранения их в компьютере. А комбинаторщику и дискретному геометру интересны графы и тела. Но и полиэдры оказываются им полезными.

5.2. Определение и примеры гиперграфов Дадим комбинаторное определение двумерного многообразия.

Оно удобно как для теории, так и для хранения в памяти компьютера.

A 2-dimensional hypergraph (shortly: 2-hypergraph) is a collection of three-element subsets of a nite set. (2-гиперграф называют также 3-однородным гиперграфом или размерно однородным двумерным симплициальным комплексом, см. §5.9.) Гранью (или гиперребром) называется трехэлементное подмножество семейства. Ребром называется двухэлементное подмножество множества вершин, содержащееся в некоторой грани.

Рис. 59. Построение тела полного 2-гиперграфа с 4 вершинами Полным 2-гиперграфом с n вершинами (или двумерным остовом (n 1)-мерного симплекса) называется семейство всех трехэлементных подмножеств n-элементного множества. См. рис. 59 для n = 4 (этот 2-гиперграф называется сферой) и рис. 60 для n = 5.

Книжкой с n листами называется 2-гиперграф с вершинами a, b, 1, 2. n и гранями , . . Для n = 3 см. рис. 25.

128 § 5. Двумерные многообразия

Рис. 60. Полный 2-гиперграф с 5 вершинами

По триангуляции плоского многоугольника (или сферы с ручками, или диска с ленточками, или поверхности в Rm, см. п. 2.1, 2.4, 4.5) естественно строится 2-гиперграф.

Если задан 2-гиперграф и такая склейка его ребер, при которой никакие вершины двух пересекающихся граней не склеиваются, то можно построить новый 2-гиперграф, полученный этой склейкой ребер. Например, на рис. 17 изображены 2-гиперграфы, полученные склейкой сторон квадрата, и их тела (там не нарисована триангуляции квадрата, необходимые для определения 2-гиперграфа).

Неформальное замечание о теле 2-гиперграфа Как и по графу, по 2-гиперграфу строится геометрическая фигура, называемая его телом. Неформально говоря, эта фигура получена склейкой треугольников, соответствующих граням 2-гиперграфа.

Склейка осуществляется не обязательно в трехмерном пространстве: либо в многомерном пространстве, либо даже абстрактно, независимо от объемлющего пространства. Формальное определение см. в [Sk].

Например, на рис. 59 изображено построение тела полного 2-гиперграфа с 4 вершинами. Тело 2-гиперграфа, построенного по триангуляции поверхности, является этой поверхностью.

Более общим образом, 2-гиперграфы, как и графы, можно задавать фигурами, в том числе «гладкими» и самопересекающимися, т. е. их телами. См. третью и четвертую строки на рис. 17. ОдГомеоморфность гиперграфов 129 на фигура задает много гиперграфов; все они гомеоморфны (см.

Несмотря на наличие тела, 2-гиперграф — комбинаторный объект. Невозможно, например, взять точку на его грани. Однако «взятие точки на грани тела 2-гиперграфа» формализуется «взятием новой вершины нового 2-гиперграфа, образовавшегося при подразделении этой грани», см. рис. 26 справа. Мы не будем доводить наглядные рассуждения до такого формализма.

5.3. Гомеоморфность гиперграфов

Определение изоморфности 2-гиперграфов аналогично случаю графов и триангуляций (п. 5.1, 2.6).

Два 2-гиперграфа гомеоморфны, если один можно получить из другого операциями подразделения ребра (рис. 26) и обратными к ним.

5.1. 2-гиперграфы в каждой одной колонке на рис. 17 гомеоморфны между собой (для некоторых триангуляций квадратов), а из разных колонок — нет. (Указание: негомеоморфность можно доказывать по мере чтения следующих пунктов.) Теорема. (a) 2-гиперграфы, соответствующие двум триангуляциям одной поверхности в Rm (см. определение в п. 4.5), гомеоморфны.

(b) 2-гиперграфы гомеоморфны тогда и только тогда, когда их тела гомеоморфны.

Определения n-многообразий и n-гиперграфов аналогичны случаю n = 2, ср. п. 10.1. Заметим, что аналог

• результата п. (a) верен и для n-многообразий,

• части «только тогда» в п. (b) верен и для n-гиперграфов,

• части «тогда» в п. (b) неверен для 5-гиперграфов.

Эйлеровой характеристикой 2-гиперграфа K с V вершинами, E ребрами и F гранями называется число (K) := V E + F.

130 § 5. Двумерные многообразия Для эйлеровой характеристики 2-гиперграфов справедливы многие свойства эйлеровой характеристики триангуляций (п. 2.7).

Они доказываются аналогично.

5.2. (a) Теорема. 2-гиперграф гомеоморфен сфере S 2 (т. е. полному 2-гиперграфу с 4 вершинами) тогда и только тогда, когда он связен, локально евклидов, и его эйлерова характеристика равна 2.

Источники:

http://pdf.knigi-x.ru/21fizika/253067-1-skopenkov-s44-algebraicheskaya-topologiya-geometricheskoy-tochki-zreniya-m-mcnmo-2015-272-isbn-978-5-4439-0293-7-knige.php