Приложения Приложение 1 Математика относительности Это приложение предназначено для тех, кто хотел бы видеть и понимать алгебру и конкретные расчеты, стоящие за теми результатами, которые мы обсуждали в тексте. В специальной теории относительности каждому событию соответствуют положение в пространстве x и время t . Чтобы не усложнять ситуацию, давайте считать остальные пространственные координаты – y и z – равными нулю. Обозначим координаты и время событий во второй системе координат, движущейся относительно первой со скоростью v , заглавными буквами X и T . Эйнштейн определил, что верные отношения x, t, X и T задаются преобразованиями Лоренца:
X = γ(x − vt ) T = γ(t − xv /c ²),
где c – скорость света, а коэффициент замедления времени гамма представлен греческой буквой γ и задается как γ = 1/√(1 − β²), где греческая буква β (бета) представляет отношение скорости объекта к скорости света (β = v /c ). По умолчанию в этих уравнениях считается, что особое событие (0, 0) в обеих системах отсчета имеет одинаковые координаты. Хендрик Лоренц был первым, кто записал эти уравнения и показал, что Максвелловы уравнения электромагнетизма им удовлетворяют. Но только Эйнштейн сумел понять, что они представляют реальные изменения в поведении пространства и времени, а затем и применить их для вывода новых уравнений физики. Уравнения Максвелла при этом изменять не потребовалось, а вот уравнения Ньютона пришлось менять, и Эйнштейн заключил, помимо всего прочего, что масса движущихся объектов увеличивается (я говорю здесь о релятивистской массе, рассчитываемой как γm ) и что E = mc ². У преобразования Лоренца есть замечательное свойство: при решении его уравнений относительно x и t получаются уравнения одинакового вида, за исключением знака при скорости. (При решении используется довольно хитрая алгебра, и придется использовать приведенное выше определение γ, но попытайтесь.) Вот результат:
x = γ(X + vT ); t = γ(T + Xv /c ²).
В сравнении с предыдущими уравнениями изменение знака (с − на +) – это именно то, чего и следовало ожидать, поскольку по отношению ко второй СО первая система движется со скоростью −v . Тем не менее кажется поразительным, что уравнение имеет тот же вид. Я бы ни за что не догадался, что так получится. Этот факт – часть чуда теории относительности, согласно которой все инерциальные системы отсчета равно годятся для записи уравнений физики. Растяжение времени А теперь рассмотрим растяжение времени. Мы будем пользоваться той же терминологией, что и в примере с парадоксом близнецов, о котором шла речь в главе 4. Напомню, что Мэри там отправляется к далекой звезде, тогда как Джон остается дома. Назовем первую систему отсчета системой Джона, а вторую, которая движется относительно первой со скоростью v , системой Мэри. (Это их собственные системы отсчета.) Рассмотрим два события: 1-й и 2-й дни рождения Мэри. Обозначим их время и место в системе Джона как x 1, t 1 и x 2, t 2. Место и время этих же событий в системе Мэри обозначим как X 1, T 1 и X 2, T 2. А теперь подставим эти величины в уравнения Лоренца. Воспользуемся второй системой:
t 2 = γ(T 2 + X 2v /c ²); t 1 = γ(T 1 + X 1v /c ²).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
t 2 − t 1 = γ[T 2 − T 1 + (X 2 − X 1)v /c ²].
Возраст Мэри, измеренный в системе отсчета Мэри, составит T 2 − T 1. В этой системе отсчета Мэри не движется, поэтому X 2 = X 1, то есть X 2 − X 1 = 0. Поэтому уравнение упрощается до вида:
t 2 − t 1 = γ(T 2 − T 1).
Можно записать это уравнение в еще более простом виде, если использовать обозначение Δt = t 2 − t 1 и ΔT = T 2 − T 1. (Δ – заглавная греческая буква дельта, которая часто используется для обозначения разностей. Вслух Δt читается как «дельта тэ».) С использованием этого обозначения уравнение принимает вид:
Δt = γΔT .
Это и есть растяжение времени. Промежуток времени между двумя событиями в системе отсчета Джона больше, чем промежуток времени между теми же событиями в системе отсчета Мэри, в γ раз. В примере с парадоксом близнецов, описанном в главе 4, коэффициент γ равнялся 2, так что Мэри, чтобы постареть на 8 лет, потребуется (в системе отсчета Джона) 16 лет. Линейное сжатие А теперь посмотрим на линейное сжатие, или изменение длины. При измерении расстояния между объектами в любой системе отсчета мы отмечаем положение (координаты) объектов в один и тот же момент времени и вычитаем одно из другого. Расстояние между двумя одновременными событиями (t 2 = t 1) в собственной системе отсчета Джона составляет x 2 − x 1. Применим первую систему уравнений Лоренца к этим двум событиям:
X 2 = γ(x 2 − vt 2); X 1 = γ(x 1 − vt 1).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
X 2 − X 1 = γ[x 2 − x 1 − v (t 2 − t 1)].
Поскольку для этого примера два события одновременны в системе отсчета Джона, t 2 = t 1, множитель (t 2 − t 1) = 0. При подстановке этого значения уравнение упрощается до вида:
X 2 − X 1 = γ(x 2 − x 1).
Расстояние между двумя событиями в собственной системе отсчета Джона составляет x 2 − x 1; обозначим эту величину Δx . Длина того же объекта в собственной системе отсчета Мэри (в которой объект покоится) составляет X 2 − X 1; обозначим это ΔX . Получаем уравнение:
Δx = ΔX /γ.
Это и есть уравнение линейного сжатия. Если длина объекта в собственной системе отсчета составляет ΔX , то при измерении в другой системе отсчета эта длина изменится в 1/γ раз. (Обратите внимание: γ всегда больше 1, поэтому длина, то есть линейный размер объекта уменьшится.) Одновременность Временна я разница между двумя событиями равна t 2 − t 1 = Δt . В другой системе отсчета эти события происходят в моменты времени T 2 и T 1, а временно й интервал в этой системе отсчета составит T 2 − T 1 = ΔT . Мы также обозначим разницу координат двух событий (то есть расстояние между ними) в системе Джона Δx , а расстояние между ними в системе Мэри ΔX . Воспользовавшись первым преобразованием Лоренца для времени, получим:
T 2 = γ(t 2 − x 2v /c ²); T 1 = γ(t 1 − x 1v /c ²).
Вычитаем одно уравнение из другого и подставляем Δt , ΔT и Δx :
ΔT = γ(Δt − Δxv /c ²).
В особом случае, когда в системе Джона оба события происходят одновременно (то есть когда Δt = 0), уравнение упрощается до вида:
ΔT = −γΔxv /c ².
Замечательность результата в том, что ΔT – необязательно нуль. Это значит, что в собственной СО Мэри эти события необязательно одновременны, хотя в собственной СО Джона они происходят в один и тот же момент времени. Если я обозначу расстояние между двумя событиями Δx = −D (знак здесь может быть как плюс, так и минус, в зависимости от расположения x 1 и x 2), уравнение примет вид:
ΔT = γDv /c ².
Если ни v , ни D не равны нулю, ΔT тоже не равно нулю, и это означает, что два события не одновременны в системе Мэри. Это «временно й скачок», который возникает у отдаленного события при переключении с одной системы отсчета на другую. Скачка не возникает, если D = 0, то есть если два события происходят в одной точке (скажем, если Джон и Мэри вновь соединятся). ΔT может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знаков D и v . Скорости объектов и скорость света Здесь я покажу, почему скорость света одинакова во всех системах отсчета. Если некоторый объект движется, мы можем обозначить как x 1 его координату в момент времени t 1 и как x 2 – его координату в момент t 2. Представьте, что на самом деле это два события. Скорость нашего объекта такова: v = (x 2 − x 1)/(t 2 − t 1) = Δx /Δt . В другой системе отсчета: V = (X 2 − X 1)/(T 2 − T 1) = ΔX /ΔT . Мы можем воспользоваться преобразованием Лоренца, чтобы сравнить эти две величины. Обозначим буквой u относительную скорость двух СО, чтобы можно было использовать v и V для обозначения скорости объекта в каждой из двух систем. Запишем преобразование для двух событий и вычтем одно из другого:
ΔX = X 2 − X 1 = γ[(x 2 − x 1) − u (t 2 − t 1)] = γ[Δx − u Δt ]; ΔT = T 2 − T 1 = γ[(t 2 − t 1) − u (x 2 − x 1)/c ²] = γ[Δt − u Δx /c ²].
А теперь разделим одно уравнение на другое, чтобы исключить γ:
Это уравнение для преобразования скорости, позволяющее выразить скорость V во второй системе отсчета через v – скорость в первой системе отсчета. Пусть v = c , то есть объект (к примеру, фотон) движется со скоростью света в первой СО. Во второй системе отсчета его скорость равна:
вне зависимости от u , относительной взаимной скорости двух систем отсчета. Если v = c , то V = c . Объекты, движущиеся со скоростью света в какой-то одной системе отсчета, движутся с той же скоростью и во всех остальных системах. Попробуйте подставить в уравнение v = −c и посмотрите, что получится. Удивлены? Аналогичный вывод показывает, что c не меняется даже при произвольном направлении света 277 . Этот результат объясняет неудачу опыта Майкельсона−Морли в 1887 году, когда исследователи хотели обнаружить разницу скорости света в двух направлениях, первое из которых параллельно движению Земли, а второе – перпендикулярно этому движению. Время-перевертыш Очень интересные вещи происходят, если два разделенных события близки по времени. Воспользуемся еще одним уравнением (взятым из приведенных выше рассуждений об одновременности):
ΔT = γ(Δt − v Δx /c ²) = γΔt [1 − (Δx /Δt )(v /c ²)].
Определим ∆x /∆t = V E. Это псевдоскорость, которая «соединяет» два события. Записанное нами вовсе не означает, что чему-то действительно придется двигаться от одного события к другому; это просто скорость, с которой нужно было бы двигаться, чтобы присутствовать при обоих событиях. Может ли V E быть больше c ? Да, конечно. Любые два разделенных события, которые происходят одновременно, имеют бесконечную V E. Это не физическая скорость. Используя эту новую величину, мы можем записать:
ΔT = γΔt (1 − V Ev /c ²).
Будем считать для примера, что разность ∆t положительна. Уравнение показывает, что ∆T , в принципе, может быть и отрицательной. Для этого нужно всего лишь, чтобы отрицательное слагаемое в скобках было по модулю больше 1. Это означает, что в новой системе порядок событий может смениться на обратный. Такой результат может повлечь за собой самые разные следствия для причинной зависимости. Чтобы V Ev /c ² было больше единицы, V E/c должно быть больше, чем c /v . Не забывайте, v – это скорость, связывающая две системы отсчета; она в любых обстоятельствах должна быть меньше c . Это означает, что c /v всегда будет больше единицы. Это уравнение говорит, что если V E/c больше, чем c /v (что тоже делает его больше единицы), то порядок событий в двух системах отсчета меняется на обратный. Еще раз обратите внимание, что величина V E ничем не ограничена, поскольку это всего лишь псевдоскорость, призванная «соединить» два события, и что для двух сильно разнесенных в пространстве событий, но происходящих одновременно, величина V E будет бесконечна. Математика парадокса шеста и сарая Обратимся вновь к главе 4. В системе отсчета, связанной с сараем, шест входит концом в дверь и продолжает двигаться, пока не упрется в заднюю стену. Определим t 1 = 0 как момент, когда передний конец шеста доходит до задней стены, и выберем систему координат так, что в этой точке x 1 = 0. Из-за лоренцева сжатия в системе отсчета, связанной с сараем, задний конец шеста поравняется с дверью в этот же момент, при t 2 = 0, в точке x 2 = −6 м. Теперь рассчитаем, что происходит в системе отсчета, связанной с шестом. Передний конец шеста упрется в заднюю стену сарая в момент T 1 с учетом уравнения преобразования Лоренца:
T 1 = γ(t 1 − x 1v /c ²) = 2(0 − 0v /c ²) = 0.
Задний конец шеста поравняется с дверью в момент:
T 2 = γ(t 2 − x 2v /c ²) = 2(0 + 6v /c ²).
Вычислив v /c из γ = 2, получаем β = v /c = 0,866. Таким образом:
T 2 = 2(0 + 5,196/c ) = 10,392/c .
Воспользовавшись значением скорости света c = 3·108 метров в секунду (м/с), получим, что шест целиком войдет в сарай за T 2 = 34,64/109 с = 34,64 × 10−9 с. Так что в момент, когда передний конец шеста упрется в стену, задний его конец еще не дойдет до двери. Она поравняется с ней через 34,64 наносекунды (миллиардной доли секунды). Вычислим в системе отсчета, связанной с шестом, где будет находиться его задний конец, когда передний упрется в стену. Воспользуемся уравнением:
x 2 = γ(X 2 + vT 2).
Решив его относительно X 2 и подставив v = 0,866c, x 2 = −6 метров и T 2 = 10,392/c , получаем:
X 2 = x 2/γ − vT 2 = −6/2 − 9 = −12 (метров).
Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии −12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров. Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12-метровой длины, проломив при этом какую-то из стен сарая или обе. Математика парадокса близнецов Поскольку для Мэри замедление времени составляет γ = 2, мы можем рассчитать, что отношение ее скорости к скорости света равно β = 0,866. В этом примере парадокса близнецов есть несколько важных систем отсчета: СО Джона (мы будем называть ее системой Земли ), удаляющаяся система отсчета Мэри (собственная СО Мэри на пути туда, движущаяся со скоростью v = 0,866c ) и приближающаяся система отсчета Мэри (ее собственная СО на обратном пути, движущаяся со скоростью v = −0,866c ). Наконец, собственная система отсчета Мэри представляет собой комбинацию двух перечисленных, поскольку она какое-то время движется с ускорением и переходит из одной лоренцевой системы в другую 278 . В системе Земли мы можем вычислить расстояние до интересующей нас звезды из того факта, что Мэри летит к ней со скоростью, равной 0,866 скорости света, и весь путь занимает 8 лет; это расстояние равно 0,866 × c × 8 = 6,92c , или 6,92 световых года. В собственных системах отсчета Мэри при удалении от Земли и возвращении к ней расстояние составляет 6,92c , деленное на коэффициент лоренцева сжатия γ, то есть 3,46c . В системе Мэри время, которое занимает у нее путь к звезде, равно расстоянию 3,46c , деленному на скорость 0,866c , и равно 4 годам. Так что и в системе Земли, и в удаляющейся системе Мэри, когда она долетит до звезды, будет 4 года. Точно так же на обратном пути она подрастет еще на четыре года, и по возвращении ей будет 8 лет. Джон в системе Земли покоится. В этой системе путешествие Мэри занимает 8 лет в одну сторону. Когда Мэри вернется, Джон будет старше нее, ему исполнится 16 лет. А теперь рассмотрим те же события в системе отсчета, связанной с Мэри. Эта система движется с ускорением, поэтому мы будем проводить вычисления в три этапа. Сначала воспользуемся ее удаляющейся системой, которая движется со скоростью +v относительно систем Земли. Затем она на какое-то время остановится у далекой планеты; ее собственная система станет идентична системе Джона; наконец, она отправится в обратный путь, разгонится, и ее собственная система будет двигаться со скоростью −v относительно системы Земли. На первом этапе, от Земли до звезды, Мэри в своей собственной системе покоится. Джон движется со скоростью −v и взрослеет со скоростью 1/γ лет. Мэри летит до звезды 4 года (конечно, в этой системе именно звезда движется к ней; сама она покоится). За это время Джон взрослеет всего на 4/γ = 2 года. Затем Мэри останавливается у звезды (вероятно, на какой-то близлежащей планете, не на самой звезде). Теперь ее собственная система отсчета идентична системе Земли, так что, хотя ей 4 года, Джону (в этой системе) одновременно уже 8 лет. Это первый временно й скачок. Дело не в том, что Джон мгновенно взрослеет; дело в том, что Мэри сменила одну лоренцеву систему отсчета на другую, и в новой ее собственной системе события, которые были одновременными в старой, больше не одновременны. Мэри знает, что в удаляющейся системе отсчета (в которой она больше не покоится), Джон по-прежнему младше нее. Но в системе планеты, идентичной земной системе, Джон старше. И Джон, и Мэри согласились бы с этими рассуждениями. Обратите внимание: «скачок» в одновременном возрасте Джона составил 6 лет (с 2 до 8). Это соответствует уравнению временно го прыжка, приведенному выше:
Δt = γ(ΔT − ΔXv /c ²).
Здесь Δt – скачок возраста Джона. (Его возраст на Земле идет в соответствии с временем в земной системе отсчета.) Далее Мэри второй раз меняет собственную систему отсчета: ускоряется для движения обратно к Земле. Подставляем ΔX = −3,46c (расстояние в возвращающейся системе), ΔT = 0 (события одновременны), γ = 2 и v /c = −0,866, получаем:
Δt = 2(0 + 3,46 × 0,866) = 6 (лет).
Это второй скачок возраста Джона, от значения в системе отсчета у звезды к его возрасту в возвращающейся системе; то и другое совпадает по времени с четвертым днем рождения Мэри. Одновременный возраст Джона в ускоряющейся собственной системе отсчета Мэри сменяется с 8 на 14. За время обратного полета Мэри Джон взрослеет еще на 2 года – и когда Мэри наконец возвращается, ему 16 лет. Таким образом, при вычислении как в системе Джона (не испытывающей ускорений), так и в системе Мэри (испытывающей ускорения), получаем, что когда они вновь встретятся, Джону будет 16 лет, а Мэри лишь 8. Вообще, не стоит вычислять что бы то ни было в ускоряющихся системах отсчета, если этого можно избежать. Скачки одновременности настолько контринтуитивны, что с ними трудно разбираться. Просто держитесь за любую неускоряющуюся систему отсчета – и можете быть уверены, что в любой другой системе, пойдя в вычислениях по сложному пути, вы получили бы ровно те же результаты. Математика тахионного убийства Назовем событием 1 выстрел из тахионного ружья, а событием 2 – смерть жертвы. Δt = t 2 − t 1 = +10 наносекунд, и Δx = x 2 − x 1 = 12 метров. Это означает, что тахион движется со скоростью 12/10 = 1,2 метра в наносекунду, то есть примерно 4c . Знак плюс означает, что жертва умирает после того , как я стреляю, поскольку значение времени смерти больше, чем значение времени выстрела. А теперь рассмотрим эти два события в системе отсчета, движущейся со скоростью v = ½c . Тогда β = 0,5; γ = 1/√(1 − β²) = 1,55. Используем уравнение скачка времени:
ΔT = γ(Δt − Δxv /c ²) = γΔt [1 − (Δx /Δt )(v /c ²)].
Подставляем γ = 1,55; Δt = 10 наносекунд; v /c = 0,5 и Δx /Δt = 4с и сокращаем c , получаем:
ΔT = (1,55)(10 наносекунд)[1 − (0,5)(4)] = −15,5 наносекунды.
То, что интервал времени получился отрицательным, означает, что порядок событий изменился на обратный. Жертва застрелена в момент времени T 2, но поскольку T 2 − T 1 меньше нуля, число T 1 больше. Следовательно, T 1, момент выстрела, происходит в большее – то есть более позднее – время. Обратите внимание также, что если Δx /Δt = V E меньше, чем скорость света c , – то есть если пуля движется с досветовой скоростью, – такая смена порядка событий невозможна. Чтобы события поменялись местами, V E/c должно быть больше, чем c /v , а c /v всегда больше 1. Так что для любых двух событий, которые можно связать с помощью сигнала, движущегося со скоростью меньше скорости света, порядок, в котором они происходят, будет одинаковым для всех допустимых систем отсчета – то есть для всех систем, для которых v меньше c . Мы называем такие события времениподобными. Пространственноподобными называют события, разделенные таким большим расстоянием, что для их соединения скорости света недостаточно. Математика гравитационного эффекта времени Эйнштейн постулировал, что течение времени в гравитационном поле можно рассчитать исходя из предположения, что оно эквивалентно течению времени в ускоряющейся системе отсчета. Этим мы сейчас и займемся. Предположим, у нас имеется ракета высотой h , которая находится в такой области пространства, где отсутствует гравитация. Ракета движется носом вперед с ускорением, соответствующим ускорению свободного падения в поле тяготения Земли, g = 32 фута в секунду в квадрате (9,8 м/с2). Будем считать, что верх и низ ракеты ускоряются одновременно в системе отсчета, связанной с первоначальной позицией ракеты. Через время Δt система отсчета, связанная с ракетой, движется со скоростью v = g Δt относительно первой СО (при условии, что начальная скорость ракеты равна нулю). Воспользуемся уравнением из примера про тахионное убийство , чтобы вычислить соответствующий интервал времени в верхе ракеты:
ΔT = γ(Δt − Δxv /c ²).
Подставив Δx = h и v = g Δt и считая приближенно (для нерелятивистских скоростей), что γ = 1 (β ≈ 0), получим:
ΔT = Δt − hg Δt /c ².
Разделим на Δt :
ΔT /Δt = 1 − gh /c ².
Отсюда видно, что на высоте h интервал времени для верха, ΔT , меньше, чем интервал времени в нижней части, Δt . Часы в верхней части ракеты идут быстрее. В более общем случае это уравнение часто записывается как:
ΔT /Δt = 1 − ø/c ²,
где ø – разность гравитационных потенциалов. К примеру, потенциал на поверхности Земли, в сравнении с бесконечностью, будет: ø = GM /R , где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная, а R – радиус Земли. Во многих учебниках эта формула выводится совершенно иначе, из красного смещения света, направленного с верхушки некоего ящика к его основанию. Я предпочитаю тот подход, который только что изложил, потому что в нем явно используется принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности Эйнштейна; в этом подходе видно, что эффект возникает благодаря слагаемому xv /c ² в уравнениях Лоренца – тому самому слагаемому, которое приводит и к нарушению одновременности. Приложение 2 Время и энергия 279 Самое завораживающее, точное и (для физика) практичное определение энергии оказывается в то же время и самым абстрактным – слишком абстрактным даже для того, чтобы говорить о нем в первые несколько лет обучения университетской физике. Оно основано на наблюдении, что истинные уравнения, такие как E = mc ², завтра будут не менее истинными, чем сегодня. Это гипотеза, которую большинство людей принимает на веру как нечто само собой разумеющееся, хотя кое-кто не прекращает ее тестировать. Если вдруг обнаружится какое-то отклонение, это станет одним из самых глубоких и важных открытий в истории науки. На физическом жаргоне то, что уравнения не меняются, называется инвариантностью во времени (временн ой инвариантностью, то есть неизменностью) . Это не означает, что в физике ничего не меняется; если объект движется, его положение в пространстве изменяется со временем, его скорость изменяется со временем, вообще, множество вещей в физическом мире меняется со временем – но только не уравнения, которые описывают это движение. В следующем году мы вновь будем рассказывать студентам, что E = mc ², потому что это по-прежнему будет правдой. Свойство временно й инвариантности кажется тривиальным, но его математическое выражение может привести к поразительному выводу – доказательству того, что энергия сохраняется. Это доказательство обнаружила Эмми Нётер. Как и Эйнштейн, она бежала из нацистской Германии и поселилась в США. Следуя описанной Нётер процедуре и начав с уравнений физики, мы всегда можем найти такую комбинацию параметров (координата, скорость и т. п.), которая не будет изменяться со временем. Когда мы применяем этот метод в простых случаях (в классической физике с силой, массой и ускорением), величиной, которая не меняется со временем, оказывается сумма кинетической и потенциальной энергии – иными словами, классическая (полная) энергия системы. Вот это открытие. Мы и так знаем, что энергия сохраняется. Но теперь получаем интереснейшую философскую связь. Вот и причина, по которой сохраняется энергия: все дело во временно й инвариантности! Есть и еще более значительный результат: такая процедура работает даже тогда, когда мы применяем этот метод к гораздо более сложным уравнениям современной физики. Представьте следующий вопрос: что, собственно, сохраняется в теории относительности? Энергия или энергия плюс энергия, заключенная в массе? Или еще что-нибудь? А как насчет химической энергии? Или потенциальной? Как рассчитать энергию электрического поля? Что по поводу квантовых полей, тех, к примеру, что сдерживают ядро атома? Их тоже включать? Вопрос за вопросом, и ни на один нет интуитивно понятного ответа. Сегодня, когда возникают подобные вопросы, физики прибегают к открытому Нётер методу и получают однозначный ответ. Примените этот метод к релятивистским уравнениям движения Эйнштейна, и получите новую энергию, в которую войдет и энергия массы, mc ². Применяя метод Нётер к квантовой физике, получите слагаемые, описывающие квантовую энергию. Значит ли это, что «старая энергия» не сохранялась? Да, значит; если мы доработали уравнения, то, оказывается, не только частицы движутся иначе, чем предсказывалось ранее, но и вещи, которые, как мы считали, сохраняются, на самом деле не сохраняются. Классическая энергия больше не константа; мы должны включить в нее энергию, скрытую в массе, – и энергию квантовых полей. По традиции «энергией» системы называем сохраняемую величину. Так что, хотя сама энергия и не меняется со временем, меняется ее определение, поскольку мы продолжаем копать и открываем все более глубокие уравнения физики. Подумайте вот о чем: правда ли те же самые физические уравнения, что работают в Нью-Йорке, действительны и в Беркли? Конечно. На самом деле такое наблюдение нетривиально; у него чрезвычайно важные следствия. Мы говорим, что уравнения не зависят от местоположения. Разными могут быть массы или электрические токи – но это все переменные параметры. Ключевой вопрос в том, различаются ли в разных географически местах уравнения, которые описывают физику поведения объектов и полей. Уравнения, с которыми мы сегодня имеем дело в физике, – те, что входят в стандартную науку и экспериментально проверены, – работают всюду. Кое-кто считает это настолько поразительным, что тратит жизнь на поиск исключений из этого правила. Такие люди вглядываются в очень далекие объекты, как отдаленные галактики или квазары, и надеются увидеть, что там законы физики чуть-чуть отличаются от наших. До сих пор не удалось найти ничего подобного. А теперь о замечательном следствии. Та же самая математика Нётер, что работает с уравнениями, не изменяющимися со временем, действительна также и для уравнений, которые не изменяются с местоположением. Воспользовавшись методом Нётер, мы можем найти комбинацию параметров (массы, координат, скорости, силы), которая и с переменой локации остается прежней. Применив эту процедуру к классической физике Ньютона, мы получим величину, равную произведению массы на скорость, – то есть классический импульс. Мы знаем, что импульс сохраняется, а теперь знаем также, почему сохраняется. Дело в том, что уравнения физики инвариантны относительно положения в пространстве. Той же процедурой можно воспользоваться в теории относительности и квантовой физике, а также в их комбинации, известной как релятивистская квантовая механика . Комбинация, которая не меняется со временем, здесь выглядит немного иначе, но мы все равно называем ее импульсом. Она содержит релятивистские члены – а также электрическое и магнитное поля и квантовые эффекты, – но по традиции мы продолжаем называть ее импульсом. Тесная связь между временем и энергией переносится и в квантовую физику с ее принципом неопределенности. Согласно квантовой физике, энергия и импульс части системы обычно неопределенные, хотя мы и можем их определить. Вероятно, нет возможности точно измерить энергию конкретного электрона или протона, но принцип не предусматривает аналогичной неопределенности для полной энергии системы. В большом наборе частиц энергия может перемещаться между различными частями системы, но полная ее энергия фиксирована; она сохраняется. В квантовой физике поведение волновой функции во времени имеет слагаемое eiEt , где I = √−1, E – энергия, t – время. Когда Дирак решил свое уравнение для электрона, обнаружил, что в нем содержатся отрицательные энергии; именно это вынудило его предположить, что Вселенная представляет собой бесконечное море электронов с отрицательной энергией. Фейнман нашел этому другую интерпретацию. Он предположил, что отрицательной величиной оказывается не энергия E , а время t , тоже присутствующее в качестве сомножителя. Вместо отрицательной энергии у него появились электроны, движущиеся назад во времени, и Фейнман опознал в них позитроны. В теории относительности физики видят пространство и время тесно переплетенными, а их комбинация носит название пространство-время . Инвариантность физики во времени ведет к сохранению энергии системы. Инвариантность в пространстве ведет к сохранению импульса. Если совместить то и другое, то инвариантность физики в пространстве-времени ведет к сохранению величины, известной как энергия-импульс . Ученые рассматривают энергию и импульс как два аспекта одного и того же. С этой точки зрения они скажут, что энергия – четвертый компонент четырехмерного вектора энергии-импульса. Если три компонента импульса обозначить как px, py и pz , то вектор энергии-импульса будет выглядеть как (px, py, pz, E ). Разные физики расставляют эти четыре компонента в разном порядке. Некоторые считают энергию настолько важной, что ставят ее на первое место. Тогда они называют энергию нулевым, а не четвертым компонентом вектора: (E, px, py, pz ). Электрическое и магнитное поля тоже объединены в теории относительности, но более сложным способом. Вместо трехмерного вектора электрического поля (Ex, Ey, Ez ) и трехмерного вектора магнитного поля, обычно записываемого (Bx, By, Bz ), в теории относительности они становятся компонентами четырехмерного тензора F (от field – поле), который записывается так:
Матрица кажется сложной, и каждый компонент в ней повторяется дважды, но у нее есть преимущество: чтобы получить новый тензор F в другой системе отсчета, мы пользуемся теми же релятивистскими уравнениями, которые применяли при поиске пространственных координат и времени. Кроме того, вместо включения в наши уравнения отдельно электрического и магнитного полей просто включаем туда F . Уравнения при этом выглядят проще. Это позволило объединить электрическое и магнитное поля – то есть сделать их как бы частями одного более крупного объекта, тензора поля, а не двух отдельных сущностей. Приложение 3 Доказательство иррациональности √2 Если предположить, что число √2 рационально, это будет означать, что это число можно записать в виде I /J , где I и J – целые числа. А теперь, если удастся свести это утверждение к противоречию, мы докажем, что наше первоначальное предположение ложно. Если I и J четные, можем упростить дробь на общий делитель 2 и повторить это действие столько раз, сколько понадобится, чтобы хотя бы одно из этих чисел стало нечетным. Это значит, что если √2 = I /J , то можно записать также √2 = M /N , где по крайней мере одно из чисел M и N или оба нечетные. M/N = √2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N , получим M ² = 2N ². Поскольку M ² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное. Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K , где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M ² = 4K ². Чуть ранее мы показали, что M ² = 2N ², поэтому 2N ² = 4K ². Разделив на 2, получим N ² = 2K ². Следовательно, число N ² четное, а значит, и N – тоже четное. Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √2 можно записать как I /J , – неверно. Таким образом, иррациональность √2 доказана. Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание. Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число √4. Разумеется, это не так; √4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает. Приложение 4 Вначале было лишь ничто – и не существовало ни Солнца, ни Земли, ни космоса, ни времени – и пустота зияла.
Возникло время – и раздался взрыв: ничто изверглось, словно лава, наполнилась огнем живым в волнении затрепетало.
Стремительно как свет росло пространство, а огненные бури утихали, Необычайно хрупкие песчинки, из коих состоит Вселенная, перемешались в беспорядке, казалось, ожидая мощной силы, которая бы усмирила их.
Вселенная остыла, материя начала дробиться. Она дробилась и дробилась до предела. Мельчайшие частицы (электроны, глюоны, кварки) бросалися друг к другу, но бело-голубое пламя, что жгло нещадно, не позволяло им соединиться.
Пространство расширялось, а пламя остывало от бела до красна, и наступила темнота.
И вот остановилось жженье, частицы сжались и слилися то были водород и гелий, из которых все в нашем мире состоит.
Затем под силой притяженья Те атомы соединились, Из них возникли облака, и звезды, и галактики, и их скопленья. И в пустоте впервые Пространство появилося пустое.
И в звездном облаке и зажглась, и вот он – свет!
И ядра, что сокрыты внутри таинственной звезды, вдруг обратились в топливо и через много лет наполнили Вселенную всем, веществом – то были углерод и кислород, железо – материя, что зарождалась долго в недрах звезд.
Горело и страдало сердце таинственной большой звезды. И обессилело вконец, забилось в судорогах… Но… О чудо! Вспышка – гравитационная энергия наружу вырвалась и, обрушая жар, воспрянула и стала ярче тысяч звезд Сверхновая звезда! Да, ярче, ярче тысяч, мириадов звезд, светлее, чем галактики. Крупицы углерода, железа, кислорода исторглись в космос, свободу обрели – и обратились в пыль. То пепел был звезды В галактике с названьем Млечный Путь, что в сверхскопленье Девы, пылинки делятся, соединяются, рождая новую звезду. А рядом из звездной пыли появляется планета. И молодое Солнце сжимается и зажигает, согревая своим теплом младую, девственную Землю. Приложение 5 Математика неопределенности Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами. Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа 280 и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов. В Фурье-анализе есть одна очень важная теорема. Суть ее такова: если волна состоит из одного короткого импульса, такого, что большая его часть располагается в небольшой области ∆x (читается «дельта икс»), то для ее описания с помощью синусов и косинусов потребуется много различных длин волн. Длины волн в математике обычно описываются числом k . Это такое число, что k /2π – это число целых волн (полных циклов), которое укладывается в единицу длины. Физики называют k пространственной частотой, или волновым числом (связанное понятие – волновой вектор: вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление перпендикулярно волновому фронту) . Волна, целиком заключенная в интервал ∆x , должна содержать некоторый диапазон пространственных частот ∆k. Тогда, по теореме Фурье, два этих интервала должны быть связаны следующим образом:
∆x ∆k ≥ 1/2.
Это уравнение не имеет никакого отношения к квантовому поведению; оно получено методами интегрального исчисления. Теорема появилась раньше трудов Гейзенберга; Жан Батист Фурье умер в 1830 году. Это всего лишь математика волн: водяных, звуковых, световых, сейсмических, колебаний натянутой веревки и рояльной струны, волн в плазме и в кристалле. И эта математика верна для любых волн. В квантовой физике импульс волны равен постоянной Планка h , деленной на длину волны (формула де Бройля). Длина волны равна 2π/k . Это означает, что мы можем записать импульс (традиционно обозначаемый буквой p ) как p = (h /2π)k . Взяв разницу между двумя значениями p , получим ∆p = (h /2π)∆k . Если умножить уравнение Фурье-анализа ∆x ∆k ≥ 1/2 на h /2π, получим:
(h /2π)∆x ∆k ≥ 1/2(h /2π).
Далее подставим ∆p = (h /2π)∆k и получим:
∆x ∆p ≥ h /4π.
(Иногда можно увидеть запись ∆x ∆p ≥ ħ /2, где ħ = h /2π – приведенная постоянная Планка, порой называемая постоянной Дирака.) Это знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга. Вот почему я сказал, что если мы примем предположение, что все частицы движутся как волны, то принцип неопределенности станет просто математическим следствием из этого факта. В математике эта теорема не считается настоящим принципом неопределенности; скорее, она описывает диапазон пространственных частот, необходимых для получения короткого импульса. Но в квантовой физике диапазон частот превращается в неопределенность импульса, а ширина импульса становится неопределенностью положения частицы в пространстве. Все дело в копенгагенской вероятностной интерпретации волновой функции. Если для волновой функции доступны разные значения импульса (скорости) и пространственных координат, то акт измерения (к примеру, наблюдение за тем, как она отклоняется в магнитном поле) означает выбор одного из возможных значений. Как сказала мать Форреста Гампа о жизни: «[Это] как коробка шоколадных конфет. Никогда не знаешь, что у каждой конфеты внутри». Приложение 6 Физика и бог Физика не религия. Если бы она была религией, нам гораздо проще было бы добывать на нее деньги. Леон Ледерман (первооткрыватель мюонного нейтрино)
Физикализм – это отрицание любой реальности, которую невозможно измерить. Многие физики принимают физикализм как основу для своих исследований, но продолжают считать духовный мир важной, если не важнейшей, частью реальности и своей жизни. У некоторых людей сложилось ошибочное представление, что все физики атеисты. Его, в общем-то, стоит развенчать. Ученый имеет полное право выступать против религии, когда та вторгается в науку – будь то утверждение церкви, что Вселенная создана всего лишь 4000 лет назад, или заявление, что эволюции не было. Но точно так же он имеет полное право критиковать атеистов/физикалистов, которые утверждают, будто только логики и разума достаточно, чтобы отрицать духовную реальность. В продолжение темы приведу образцы высказываний некоторых великих ученых. Значительная часть этого списка составлена с помощью находящегося в свободном доступе электронного сборника «50 нобелевских лауреатов и других великих ученых, которые верят в Бога», составленного Тихомиром Димитровым. Чарльз Таунс (он просил всех, включая и магистрантов, называть себя «Чарли»), один из изобретателей лазера и мазера 281 , профессор в Беркли и мой близкий друг, говорил, что считает атеизм глупым. По его мнению, атеизм отрицает очевидное существование Бога. В книге Шерон Бигли Science Finds God («Наука находит Бога») приводится такая его цитата:
Я глубоко убежден в существовании Бога, основываясь на интуиции, наблюдениях, логике, а также научных знаниях.
Обратите внимание, что Таунс не включил в свой список веру. Если вы что-то видите, то чтобы признать существование этого чего-то, вера не нужна. Он писал:
Как человек религиозный, я глубоко чувствую присутствие и действия Творца, намного превосходящего меня, но притом всегда личного и близкого… Более того, мне кажется, что Откровение можно рассматривать как внезапное открытие того, что такое человек и каковы его отношения со Вселенной, Богом и другими людьми.
Арно Пензиас , один из первооткрывателей космического микроволнового фонового излучения, подтвердившего теорию Большого взрыва, писал:
Бог проявляет Себя во всем сущем. Вся реальность, в большей или меньшей степени, обнаруживает замысел Бога. Во всех аспектах человеческого опыта присутствует какая-то связь с этим замыслом и мировым порядком.
Исидор Раби 282 , первооткрыватель ядерного магнитного резонанса (используемого в МРТ, магнитно-резонансной томографии) и председатель Комиссии по атомной энергии (США), писал в журнале Physics Today:
Физика наполнила меня благоговением, позволила прикоснуться к ощущению настоящих истоков. Физика приблизила меня к Богу. Это ощущение я испытывал все годы своей научной деятельности. Всякий раз, когда кто-то из моих студентов приходил с новым научным проектом, я задавал ему лишь один вопрос: «Это позволит вам приблизиться к Богу?»
Энтони Хьюиш 283 , один из первооткрывателей пульсаров, писал в 2002 году:
Я считаю, что и наука, и религия нужны, чтобы понять наше место во Вселенной. Наука открывает нам, как устроен мир (хотя множество вопросов еще остается без ответа, и, думаю, так будет всегда). Но наука поднимает вопросы, на которые сама не в состоянии ответить. Почему Большой взрыв в конечном счете привел к появлению разумных существ, задающих вопросы о смысле жизни и цели существования Вселенной? Чтобы ответить на них, приходится обращаться к религии… Религия играет чрезвычайно важную роль, подчеркивая, что в жизни есть нечто гораздо большее, чем эгоистичный материализм.
Одних только научных законов недостаточно – должно быть что-то еще. Сколько бы наука ни развивалась, она не ответит на все вопросы, которые мы задаем.
Джозеф Тейлор 284 , получивший свою Нобелевскую премию за открытие быстро вращающихся звезд, излучающих, как оказалось, гравитационные волны, писал:
Мы верим, что в каждом человеке есть нечто божественное, поэтому человеческая жизнь священна. В людях нужно искать глубину духовного присутствия, даже в тех, с кем вы расходитесь во взглядах.
Физикализм может быть религией, но может и просто определять рабочие параметры физических исследований и не восприниматься как нечто, охватывающее всю реальность целиком. |
