Школьная математика с точки зрения высшей

Задача этой книги — показать место основных понятий школьной математики в гораздо бо лее широкой системе представлений высшей математики и в этих рамках строго и последовательно Изложить понятия школьной (элементарной) математики с точки зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).
Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.
В первых главах рассматриваются наиболее традиционные понятия школьной математики: элементарные функции, угол, измерение углов (глава 1); вектор, плоскость, планиметрия (глава II); величина, площадь и мера плоской фигуры (глава III), геометрические построения циркулем и линейкой, решение алгебраически?, равнений низших степеней в радикалах (глава IV).
Менее элементарную направленность имеют глава V и приложение 4. Поэтому чуть подробнее коснемся их содержания. В § 1 главы V детально рассматривается построение системы натуральных чисел — основы всех числовых систем. В § 2 этой главы традиционный подход к понятию рационального числа сравнивается с другим подходом, в рамках которого, рациональное число — функция. В § 3 рассматриваются основные способы перехода от рациональ- ных чисел — дискретного объекта к вещественным и комплексным числам — непрерывным объектам (в § 5 эта линия изложения продолжается переходом от рациональных чисел к нечисловым радическим полям). В целом § 3, 4, 5 пятой главы посвящены алгебротопологическим свойствам вещественных чисел; включение этого материала связано с тем, что именно сочетание алгебраических и топологических свойств создает вещественным и комплексным числам уникальное положение в математике. Приложение 4 содержит подробное изложение элементарных вопросов неевклидовой планиметрии. Ясное понимание евклидовой планиметрии (о которой говорится в главе II), по-видимому, предполагает для контраста, знакомство с неевклидовой планиметрией.
Для согласования терминологии и обозначений после предисловия приводится материал, содержащий некоторые общие понятия высшей математики; эти понятия играют в книге подсобную роль — языка, на котором говорится о школьной математике. Правильно рассматривать их как специализированную часть русского языка, подобную языку врача, химика или биолога. Разумно обращаться к этому материалу лишь в том случае, если какие-то обозначения или термины, употребляемые в книге, оказываются для читателя новыми и их смысл не ясен из контекста.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями школьной математики на том предварительном уровне понимания, который выносится из школы и первых трех курсов пединститутов. Также предполагается некоторая опытность читателя в оперировании с основными алгебраическими, топологическими и логическими понятиями из упомянутых математических курсов; однако фактическое сбдержание этих курсов может быть не знакомо (или почти не знакомо) читателю. Поэтому изложение в книге ведется постепенно, как правило, с полными определениями и доказательствами; от читателя в основном требуется умение не спеша разбирать временами довольно длинные построения. Параграфы 5, 6 пятой главы предъявляют более высокие требования к читателю, так как изложение в них носит обзорный характер. В книге встречаются довольно абстрактные понятия, такие, как индуцированная топология, топологическое пространство, подгруппа, гомоморфизм, связность, локальная компактность, действие, модуль, однако они употребляются исключительно для случаев (. ) . Конечно, для таких простейших случаев эти понятия можно заменить соответствующими частными, внешне более простыми выражениями. Например, вместо локальной компактности можно говорить о наличии окрестности, являющейся отрезком или дугой, включающей концы. Такая замена вряд ли приведет к упрощению существа дела и в то же время сделает многие формулировки внешне тяжеловесными и специфически привязанными к каждому из отдельных случаев; тем более, что эти понятия рассматриваются в основных математических курсах. Для некоторых категорий читателей такая замена абстрактных терминов соответствующими элементарными выражениями может быть полезным упражнением, относящимся по существу не к математике, а к русскому языку.
Степень детальности в рассмотрении того или иного понятия школьной математики различна и зависит от внимания, которое ему уделяется в основных математических курсах.
Так, понятия элементарной функции, угла и измерения углов их элементарных аспектах известны студенту старших курсов врчти на том же уровне, что и выпускнику школы. Поэтому здесь Изложение носит систематический характер.
Понятие вектора обычно определяется аксиоматически, как элемент произвольного векторного пространства. При всей важности такого аксиоматического подхода нужно представлять себе и конкретные модели аксиоматического определения вектора, в том числе только простейшую модель вектора как направленного отрезка, менно разнообразие этих моделей придает понятию вектора фундаментальное значение. Поэтому подробно рассматриваются различные конструктивные подходы к понятию вектора.
Понятие геометрической плоскости тщательно изучается в курсе геометрии, поэтому мы касаемся его бегло, только в плане адекватности различных определений плоскостй интуитивному представлению о ней. Понятие планиметрии с аксиоматической точки зрения также подробно рассматривается в курсе геометрии, и мы саемся его только в обзорном порядке. Однако при всей важности Аксиоматического понимания планиметрии существенна и клейновская точка зрения на нее. Поэтому подробно рассматривается клейновский подход и, в частности, вычисляются все инварианты ортогональной группы, которые и образуют с этой точки зрения евклидову планиметрию.
Понятие величины подробно рассматривается в книге, так как а сущности оно отсутствует в основных математических курсах. Столь же подробно рассматриваются и сравниваются различные способы измерения площади многоугольника, и в этой связи напоминается аксиоматическое определение площади многоугольника.
Мера понимается как продолжение функции площади с множества многоугольников на более широкое множество криволинейных фигур. В то же время мера определяется аксиоматически и эти два подхода тщательно сравниваются. Затем на основе аксиоматического определения меры (без использования интегралов) вычисляются ее значения для круга, сектора, сегмента и т. п. элементарных плоских фигур. В курсе анализе рассматривается мера Лебега только на прямой, здесь по существу рассматривается мера Лебега на плоскости. Таким образом, в этом вопросе, как и в других, автор стремился обеспечить преемственность излагаемого материала по отношению к основным курсам.
. Подробно рассматриваются классические задачи об удвоении Объема куба, трисекции угла и построении правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. При этом доказывается невозможность таких построений.
Затем подробно изучается вопрос о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 5. Доказывается теорема Г алуа. На ее основе находятся известные формулы для решения уравнений степени, меньшей или равной 4.
В книге большинство вопросов рассматривается с точки зрения инвариантов подходящей группы преобразований, т. е. ннвариантов действия подходящей группы; иными словами, с точки зрения непрерывных гомоморфизмов простейших групп. Можно надеяться, что такая точке зрения придает книге цельный, единообразный характер.
В книге можно найти материал для факультативных занятий в школе. Однако вопросы преподавания математики в школе и вопросы изложения ее в школьных учебниках здесь не рассматриваются. В этом, как и в других отношениях, автор старался следовать духу книги Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Книга Ф. Клейна своей конкретной содержательностью мало похожа на ряд современных изложений элементарной математики, в которых на первый план выдвигаются вопросы формально-логического порядка, например вопросы такого типа, как является ли элементарная функция множеством пар или отношением; кажется, что такого рода вопросы маловажны для существа дела.
Автор неоднократно читал лекционный курс, одноименный с названием книги, для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей и студентов пятого курса математического факультета. Эти лекции были отпечатаны и после некоторой правки составили рукопись книги; поэтому особенности, терпимые в лекционном изложении, к сожалению, перешли в книгу.
Приложение 4 написано П. В. Семеновым. Автор благодарит его также за большую помощь в подготовке рукописи.
Автор глубоко признателен В. Т. Базылеву, К. И. Дуничеву, Л. Я. Куликову, В. И. Мишину, А. И. Москаленко, Р. С. Черкасову, Е. П. Шимбиревой, Е. А. Щеголькову за ценные советы и указания во время работы над курсом и книгой.
Автор посвящает книгу своим детям Василине и Елене.

Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987.

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.
Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности.
Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Логические основы теории целых чисел.
Если в деле школьного преподавания мы, естественно, не можем дойти до постановки тонких и трудных вопросов, то в современном математическом исследовании серьезные вопросы здесь, собственно, и возникают: как обосновать эти законы, как обосновать понятие числа? Здесь я намерен ориентировать вас в этом вопросе, оставаясь верным цели настоящего сочинения — осветить материал школьного преподавания с высшей точки зрения, и я делаю это тем охотнее, что эти современные идеи и помимо того проникают к вам со всех сторон в течение ваших академических занятий, между тем как психологическая сторона этого дела обычно не оговаривается в той мере, в какой это необходимо.

Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье «Энциклопедии математических наук»); здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. Из представителей этого воззрения назову из философов Канта, из математиков Гамильтона.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора
Введение
АРИФМЕТИКА
I. Действия над натуральными числами
1. Введение чисел в шкале
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел
4. Практика счета с целыми числами
II. Первое расширение понятия числа
1. Отрицательные числа
2. Дроби
3. Иррациональные числа
III. Особые свойства целых чисел
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании
2. Простые числа и разложение на множители
3. Обращение простых дробей в десятичные
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма
6. Задача о делении окружности на равные части
7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой
IV. Комплексные числа
1. Обыкновенные комплексные числа
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве
4. Комплексные числа в преподавании
V. Современное развитие и строение математики вообще
1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ
2. Краткий обзор истории математики
АЛГЕБРА
Введение
I. Уравнения с действительными неизвестными
1. Уравнения, содержащие один параметр
2. Уравнения с двумя параметрами
3. Уравнения с тремя параметрами
II. Уравнения в области комплексных чисел
A. Основная теорема алгебры
B. Уравнение с одним комплексным параметром
1. Двучленное уравнение zп = w
2. Ура册ение диэдра
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
4. Продолжение; вывод уравнений
5. О решении нормальных уравнений
6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций
7. Разрешимость в радикалах
8. Сведение общих уравнений к нормальным
АНАЛИЗ
I. Логарифм и показательная функция
1. Систематика алгебраического анализа
2. Историческое развитие учения о логарифме
3. Некоторые замечания о школьном преподавании
4. Точка зрения современной теории функций
II. О тригонометрических функциях
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме
2. Тригонометрические таблицы
3. Применения тригонометрических функций
III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых
2 Теорема Тейлора
3. Замечания исторического и педагогического характера
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Трансцендентность чисел е и п
1. Исторические замечания
2. Доказательство трансцендентности числа е
3. Доказательство трансцендентности числа п
4. Трансцендентные и алгебраические числа
II. Учение о множествах
1. Модность множества
2. Порядок элементов множества
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в шкале
Примечания
Именной указатель
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Школьная математика с точки зрения высшей

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука, 1987, — 432 с.

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.

Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости,, свежести, привлекательности.

Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
ВВЕДЕНИЕ
АРИФМЕТИКА
I. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел
4. Практика счета с целыми числами
II. ПЕРВОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
1. Отрицательные числа
2. Дроби
3. Иррациональные числа
III. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании
2. Простые числа и разложение на множители
3. Обращение простых дробей в десятичные
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма
6. Задача о делении окружности на равные части
7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой
IV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Обыкновенные комплексные числа
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве
4. Комплексные числа в преподавании
V. СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ И СТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ВООБЩЕ
1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ
2. Краткий обзор истории математики
АЛГЕБРА
I. УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
2. Уравнения с двумя параметрами
Классификация уравнений по числу действительных корней.
3. Уравнения с тремя параметрами
Дискриминантная кривая приведенного уравнения четвертой степени.
II. УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
А. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
В. УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ
1. Двучленное уравнение z^n = w
Невозможность деления угла на три равные части.
2. Уравнение диэдра
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
4. Продолжение; вывод уравнений
5. О решении нормальных уравнений
6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций
Тригонометрическое решение кубического уравнения.
7. Разрешимость в радикалах
8. Сведение общих уравнений к нормальным
АНАЛИЗ
1. Систематика алгебраического анализа
2. Историческое развитие учения о логарифме
Непер и Бюрги: уравнение в конечных разностях.
XVII столетие: площадь гиперболы.
Эйлер и Лагранж: алгебраический анализ.
XIX столетие: функции комплексной переменной.
3. Некоторые замечания о школьном преподавании
4. Точка зрения современной теории функций
II. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме
2. Тригонометрические таблицы
В. Логарифмо-тригонометрические таблицы.
3. Применения тригонометрических функций
В. Учение о малых колебаниях, в частности, о колебаниях маятника.
С. Изображение периодических функций посредством рядов из тригонометрических функций (тригонометрические ряды).
D. Общее понятие функции.
III. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых
Введение дифференциала (Лейбниц и его последователи).
Реакция против предельных переходов и бесконечно малых; исчисление производных Лагранжа.
О преподавании исчисления бесконечно малых в школе.
2. Теорема Тейлора
Оценка погрешности.
Проблемы интерполирования и разностного исчисления.
3. Замечания исторического и педагогического характера
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЕЛ e И pi
2. Доказательство трансцендентности числа e
3. Доказательство трансцендентности числа pi
4. Трансцендентные и алгебраические числа
II. УЧЕНИЕ О МНОЖЕСТВАХ
1. Мощность множества
Счетность множества рациональных и алгебраических чисел.
Несчетность континуума.
Мощность континуумов высших измерений.
Множества более высоких мощностей.
2. Порядок элементов множества
Инвариантность числа измерений при непрерывном отображении.
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе
ПРИМЕЧАНИЯ
АЛГЕБРА
АНАЛИЗ

© 2019 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Школьная математика с точки зрения высшей

С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НАУКИ

Что и требовалось
доказать: ученые
объясняют, почему
современному человеку
не обойтись без
математики

Текст: Елена Киселева

Как говорил мой учитель Владимир Игоревич Арнольд, «основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира». Суть математики составляет изучение общих закономерностей, описывающих качественную природу окружающего нас мира, — смену времен года, расположения планет, изменение климата, колебания валютных курсов или стоимости нефти, развитие грамматик естественных или принципов конструирования искусственных языков. Математики разработали и развили разнообразные методы — вычислительные, алгебраические, геометрические, метод доказательных рассуждений, логического вывода. В некоторых случаях эти методы развиты настолько, что позволяют достичь глубинного понимания действующих закономерностей, в других это понимание — дело далекого будущего. Знание же закономерностей позволяет не только объяснять уже прошедшие события, но и предсказывать будущие.

Человек, который никогда не встречался с математическими рассуждениями, испытывает серьезные трудности с тем, чтобы отличить факт от его интерпретации, истинные утверждения от ложных, понять, какие следствия вытекают из того или иного утверждения. Человеком, неспособным прикинуть порядок числовых величин, могут легко манипулировать недобросовестные экономисты и политики. Как писал в 1267 году Роджер Бэкон, «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества, а потому не ищет от него лекарства».

В наше время распространен такой подход — я не понимаю математики, физики, химии, биологии,…, поэтому пойду лучше учиться чему-нибудь гуманитарному. То есть человек с самого начала своей самостоятельной жизни соглашается на собственную ущербность, на заведомое отсутствие у себя некоторого, причем ценного, качества. Гуманитарным наукам это не идет на пользу. А хотелось бы, чтобы в гуманитарии шли люди с ярко выраженным интересом к тому, чем они хотят заниматься, к изучению человека и его деятельности. В естественных науках и математике такой интерес присутствует, по-моему, чаще. Люди осваивают их и впоследствии занимаются ими в силу внутренней потребности, вовсе не отрицающей других, в том числе гуманитарных интересов.

Вы когда-нибудь пробовали описать прелесть живописного полотна человеку, который его никогда не видел? Это не вполне неразрешимая задача — если ваш собеседник имеет достаточный опыт посещения художественных галерей, хорошо знаком со многими шедеврами мировой живописи. Если же у слушателя такого опыта нет, нет и надежды, что он получит от описания положительные эмоции. Умение воспринимать красоту математики тоже требует постоянной — или по крайней мере регулярной — работы. Его можно развить у маленьких детей, начиная разговаривать с ними про математику еще до школы. Нередки случаи, когда эта красота открывается школьнику неожиданно. Изначально на достижение этого результата были направлены школьные математические олимпиады: через призму красивых задач и красивых решений показать небольшую часть спектра красивых идей, вызвать интерес и побудить пойти дальше.

Чтобы не оставаться голословным и дать конкретное представление о математической красоте, сообщу такой факт: если на план Москвы наложить ее другой, меньший план, то в Москве обязательно найдется место, которое на двух планах будет изображаться двумя точками, лежащими одна над другой — игла, проколовшая в этих точках два плана, будет указывать одно и то же место города. Понимаете ли вы, почему так происходит? Это утверждение служит началом большой и разветвленной математической теории и применяется в огромном количестве приложений. Оно остается верным в гораздо более общей ситуации — например, если второй план Москвы искажен или скомкан.

Зачем нужна математика? Фраза Ломоносова о том, что «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит», как нельзя лучше отражает суть дела. Слухи о чудаковатых ученых сильно преувеличены. Люди, разбирающиеся в математике, ценятся не только потому, что они обладают специальными знаниями, а скорее потому, что умеют думать и анализировать.

Если физикам, химикам, биологам нужны лаборатории, установки, расходные материалы, то математика — она всегда с тобой. Едешь, например, в поезде, взял бумажку и ручку или просто закрыл глаза и работаешь над решением какой-то задачи. Красоты в математике не меньше, чем в искусстве. Если же работа по математике тяжеловесная и запутанная, скорее всего автор либо взялся за «не ту» задачу, либо над решением еще нужно поработать. Доказательство теоремы — как сборка пазла. Крутишь так и сяк имеющиеся фрагменты, известные факты и методы доказательства, и когда вдруг все сложилось — вот это красота!

Самой математике нужны приложения. Они не только гарантируют ей право на существование, но и являются средой, которая генерирует новые сугубо математические задачи. Помимо приложений в естественных науках — физике, химии, биологии — математика все чаще используется в экономике, социальных и гуманитарных науках. Особую роль математические результаты играют в мире IT. Технологические прорывы часто основаны на принципиально новых алгоритмах и теоремах, подчас из весьма абстрактных областей математики.

В марте 2014 года открылся факультет компьютерных наук Вышки и Яндекса. К нам поступают ребята, которым интересны математика и программирование. Именно они через некоторое время смогут применить арсенал математических методов к задачам информационного поиска и компьютерного зрения, автоматической обработке текстов и биоинформатике, разработке комплексов программ и созданию интернет-сервисов. Одно из направлений Computer Science — это «новая математика» для работы с большими данными. То, чего здесь можно достичь, находится на грани фантастики.

Есть ощущение, что именно сейчас гуманитарные науки вступает в «эпоху точности». Речь идет не только о возможности строить все более точные математические модели различных процессов и обсчитывать эти модели на супермощных компьютерах. Новые технологии позволяют фиксировать и хранить точную информацию о самых разных реальных событиях. Вопрос только в том, что с этой информацией делать: собранные груды данных человек или даже научный коллектив не сможет проанализировать за многие годы. Идея современного анализа данных в том, что компьютерные системы и реализованные на них алгоритмы сами работают с полученными массивами информации и выдают пользователю только окончательный результат — интересующую его статистику и те или иные обнаруженные закономерности. Это позволяет не только с математической строгостью подтвердить или опровергнуть гипотезы из гуманитарной сферы, но и обнаружить зависимости, которые были неизвестны специалистам. Математически подкованные гуманитарии тут необходимы — они могут поставить задачу, объяснить, что за данные планируется собирать и какого сорта характеристики нас будут интересовать.

Недавно в Яндексе решили провести всероссийскую контрольную для всех, кто любит математику или, быть может, хотел бы полюбить, да как-то не складывалось: школьников, мам, пап, дедушек и бабушек. Задачи несложные, по базовой школьной программе — тем не менее, для успешного решения нужно быть внимательным. Тренировочные задания уже открыты на сайте — можно проверить свои силы.

Контрольная пройдет 14 марта, в день числа Пи. Поучаствовать в контрольной можно не только онлайн — в Москве задачи можно будет порешать в Вышке, ставшей партнером проекта. Проект поддержали вузы во многих регионах России: Екатеринбурге, Новосибирске, Казани и других. Очень рекомендую освободить час от субботы и присоединиться — особенно тем, кто боится математики. После контрольной преподаватели университета разберут задачи вместе с участниками проекта.

Хромота математического образования

Почему математика в школе не выполняет функцию зарядки для ума, а баллы ЕГЭ — не показатель математической образованности?

Банально, но чтобы учиться хорошо, нужно уметь читать, писать, изъясняться и понимать сказанное; уметь анализировать, размышлять, понимать суть проблем, закономерностей, причинно-следственных связей; иметь достаточную работоспособность, упорство для освоения материалов, уроков, выполнения заданий.

Как приобрести эти столь необходимые качества? «Полигоном» для интенсивных тренировок — одновременно умственных, накопительных и физических — должны быть два предмета: родной язык и математика.

Цель этих предметов не в том, чтоб подготовить будущих литераторов или математиков. И не в том, чтобы накопить сумму знаний. Основная польза — в приобретаемых в процессе обучения качествах. Ценность умения решать тригонометрические уравнения не в них самих, ибо они многим ученикам в жизни так и не встретятся, а в дороге, которая привела к этому умению, в приобретённых по пути навыках.

Успехи по этим системообразующим предметам практически гарантируют успешность обучения по другим, избранным учеником предметным областям. При этом недостаточное внимание к умению читать, понимать, размышлять, работать делает весьма проблематичным освоение прочих материалов — отсюда многие трудности обучения.

Несмотря на то, что в учебном плане математике и родному языку отведено немало часов, мы не можем сказать, что в школе уделяется должное внимание развитию перечисленных качеств.

Первая кроется в том, чему учит школа. Вторая — в том, кого она учит.

Образование или накопление фрагментов знаний

Современная школа как будто не может определиться сама, к чему она стремится: дать полноценное образование или «научить хоть чему-то», дать набор компетенций для сдачи экзаменов.

С одной стороны, мы имеем принципиально не изменившиеся с советских времён структуру и содержание учебных программ, дополненные новыми, усложнёнными материалами. С другой стороны, в соответствии с внедрёнными за последние десятилетия контролирующими итоговыми госэкзаменами, требующими тестирующих результатов накопленных знаний, школьное обучение превратилось в гонку за овладение фрагментами знаний для разрешения тех или иных видов тестов, сетки задач со всего предмета.

В такой ситуации самое худшее и опасное в долгосрочной перспективе — это то, что массивное, но бездумное, без стержня, на кратковременный экзаменационный период накопление якобы «знаний» создаёт иллюзию обретения образованности.

Ещё по этой теме :

В нашей системе образования никого не интересуют промежуточные результаты, персональная история обучения, накапливаемые учебные достижения — рефераты, самостоятельные работы, эссе. Всё это не играет никакой роли после Последнего звонка.

В итоге достигнутый на экзамене балл выше реального понимания предмета и, в то же время, ниже истинных возможностей учеников, откровенно «не добирающих» в соответствии с собственными способностями. О чём свидетельствуют скудные, неполные знания первокурсников, порой неприкрытая необразованность, проявленная по элементарным, базовым понятиям, немного иначе сформулированным вопросам, чем в привычном тесте.

Приоритеты: для кого работает школа

Советская школа, делая упор на всестороннее образование, приносила наибольшую пользу условным «отличникам» — ученикам, готовым и способным обучаться по высоким стандартам. А что остальные? Часть фактически не обучалась, а «середняки» получали фрагментарные, неглубокие знания.

В итоге образование было по сути элитарным, эффективность достигалась при счастливом совпадении «качественных» учителя и ученика. Школа обслуживала интересы меньшинства — учеников с достаточным желанием и возможностью постичь знания при соответствующих преподавателях.

Для двоечников она бесполезна, разве что как клуб по интересам: не шататься без дела по улице. Середняки же в классах по 25-30 человек неизбежно «тормозят» процесс обучения, в том числе и отличников.

Доминирующая масса современных студентов — это бывшие школьные середняки, скажем мягко, не-до-образованные, с фрагментами знаний. И именно они определяют уровень и тенденции образования уже в высшей школе. Став дипломированными специалистами, с ложными представлениями о своей образованности, эти люди, по сути «троечники», диктуют свои взгляды в разных областях, в том числе и в образовательной среде. И так по кругу.

Поэтому насущная задача: переориентировать усилия средней школы с отличников на теперешних троечников и хорошистов, тех, у кого достаточно желаний получить требуемое образование, но нет возможности осилить трудности без дополнительной, индивидуальной помощи и постоянного контроля.

Эта группа, в силу многочисленности, создаёт основной образовательный фон, соответственно, позитивные изменения по отношению к ней повлекут улучшение качества образования в целом, в том числе и для отличников.

Обучение математике: особенности и проблемы

Из-за того, что школа ориентирована на фрагментарную подготовку к тестовым экзаменам и при этом задаёт такой быстрый темп, за которым успевают лишь наши условные «отличники», реальная картина математических знаний печальна. У большинства проблемы даже в элементарных вопросах: операции с дробями, навыки работы со скобками, понимание сути выражений, слагаемых и множителей, знание и применение формул, решение простых уравнений, элементарные знания сути и свойств функций, графиков. Не говоря о более образовательных моментах: преобразования выражений, уравнений, исследования математических объектов, понятие сути теорем, алгоритмов. Порой, вследствие недостаточного контроля, происходит укрепление ошибочных знаний, приобретение ложных навыков.

Все перечисленные недостатки немного ретушируются перед госэкзаменами: с одной стороны, за счёт огромного «зубрительного» напряжения, с другой, из-за снижения уровня, сужения требовательности контрольных заданий. В итоге лишь малая часть будущих студентов удовлетворяет минимальным стандартам истинной математической образованности.

Разумеется, это проблема многогранная. Перечислим лишь только некоторые из её сторон.

Читайте также :

Непрерывность, последовательность разделов обучения. Для освоения следующих тем требуются знания не ниже порогового уровня по предыдущим темам, зачастую давно пройденным и оттого сильно подзабытым. Так, неумение большинством справляться с числами, вычислениями сводит на нет изучение тем по функциям, анализу. Отсутствие беглых знаний, навыков решений квадратных уравнений сильно затрудняет изучение более сложных уравнений, неравенств.

Критический порог самостоятельной работы при освоении разделов. Для освоения определённого раздела или темы нужно самостоятельно решить минимально необходимый объём задач. Для каждого ученика объём индивидуален, но без оного никак! Кроме этого, большинство учеников нуждаются в детальной помощи при преодолении первых задач. Лишь малая часть одарённых или отличников способны после объяснения урока полностью самостоятельно выполнить тот самый необходимый объём заданий.

Интересно, какова статистика указанных количеств для отдельного ученика, класса в целом по школе, региону? Какова доля учеников, самостоятельно решивших менее 10 разнообразных задач по теме «логарифмические уравнения» за всё время обучения в школе? Думаю, таких подавляющее большинство! Подобная статистика, в том числе по иным разделам, показала бы реальное положение дел. Отсюда насущная необходимость в показателях обучения по разделам, темам, объёмам работ.

Это может быть интересно :

Беглость, лёгкость, интуитивность некоторых обязательных знаний и навыков. Трудно рассчитывать на понимание, скажем, в тригонометрии при проблемах в умножении простеньких чисел, преобразовании простых выражений; невозможно решать уравнения при сложностях с открытием скобок, учётом знаков, выносом множителя. Достаточно много в математике «мелких дел», операций, которые нужно уметь делать быстро, бегло, суметь предугадать результаты несложных действий. Нельзя игнорировать простое — иначе не удастся справиться с более серьёзными вещами: либо не поймёшь, либо не сможешь сосредоточиться.

Единственный путь достижения беглости — количество тренировок на похожих примерах, увеличение объёма выполняемых заданий.

Слова, понятия, предложения, смыслы. Насколько точно понимают ученики суть слов: слагаемые, переменные, сокращение, разность квадратов, упрощения, эквивалентность уравнений, вынос множителя, проекция на плоскость, накрест лежащие углы? Понимают ли смысл и ареал применения тех или иных теорем, утверждений, свойств? Умеют ли анализировать предложения на истинность/ложность?

Незнание точных смыслов слов, неумение описать процессы, озвучить и объяснить утверждения, логику мышления превращает изучение математики фактически в обучение лишь манипуляциям, без скрепляющих смыслов, логики действий.

Именно игнорирование «словесности математики» является причиной неумения абстрагировать знания, облегчать изучение новых разделов через единение смыслов. Как следствие, это приводит к появлению огромного числа «не говорящих», не умеющих объяснять школьников, а потом и студентов.

Такое формально-алгоритмическое обучение математике противоречит основному предназначению предмета: тренировке умственной деятельности, анализу разнообразных объектов, свойств и признаков, приобретению практики формулирования и использования законов.

В первую очередь от такого подхода страдают физика и геометрия. Ценность физики — в понимании процессов, законов, ими управляющих, причинно-следственных связей, взаимоотношений величин, характеризующих физические явления. В большинстве школ обучение физике сводится к зазубриванию манипуляций с вычислениями и законами. Геометрия — отличный полигон для образования элементов абстрактного мышления, анализа и применения законов, теорем, свойств, практики применения дедуктивного мышления — превращена в эрзац-обучение вычислительным процедурам. Неудивительно, что такая «декоративная» геометрия теряет позиции в системе образования. В то же время стоит напомнить, что геометрия была главным, основным образовательным элементом в системе обучения от египетских времен до середины ХХ века.

Ещё по этой теме :

Причина повсеместного превращения предметов из образовательных в вычислительные аналоги — в системе существующих требований к знаниям, которые предполагают госэкзамены. И в убеждённости учителей, что невозможно подготовить большинство учеников иначе, как «натренировать, натаскать» на решения фрагментов предмета.

Вложенные смыслы. Управление вариантными процессами. Понять и управлять многовариантными процессами решений, удерживать и не растерять суть вложенных, недовершённых смыслов, вести параллельное, порой сложноподчинённое мышление — объективная трудность для большинства учеников, не позволяющая полноценно освоить премудрости математики.

Но проблема лишь в отсутствии тренировок — школьная математика достаточно проста и не требует достижения особых высот мышления, необходимых, скажем, для научной деятельности. Поэтому отказ от обучения, тренировки навыков вариантного мышления под надуманным предлогом о «невозможности из-за индивидуальных особенностей» по факту лишает подавляющее большинство обучаемых важнейших элементов образования не только по математике, но и по другим предметам. В том числе в вопросах получения практики анализа и решений нетривиальных проблем.

Информационные технологии в помощь

Итак, для повышения математической образованности ученикам нужно больше времени для самостоятельного решения задач, а преподавателю — больше времени, чтобы уделить внимание образовательной стороне предмета.

Очевидно, что в современной массовой школе соблюсти оба эти условия невозможно без дополнительных инструментов: кто будет проверять решения тех самых необходимых 100 задач у каждого ученика по каждой теме? Кто будет помогать ученикам в их первых самостоятельных шагах, работать с индивидуальными трудностями, вести мониторинг продвижения?

Современный выход из ситуации нехватки времени и необходимости индивидуального подхода — делегирование технической части процесса обучения «виртуальным помощникам». Интерактивные онлайн-платформы могут объединять в себе «онлайн-преподавателя», задачник и электронный учебник, значительно увеличивая время непрерывной работы каждого ученика и сводя практически к нулю количество тех, кто не освоил ту или иную тему. Учитель при этом может сосредоточиться на гораздо более вдохновляющих моментах, чем проверка тетрадей и выставление оценок.

Школьная математика с точки зрения высшей

Алгебра и анализ:

• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Элементарная математика» в других словарях:

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределенное понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Большой Энциклопедический словарь

элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела. * * * ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА, несколько… … Энциклопедический словарь

Элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых пользуются общими понятиями переменной функции предела и т п. Иначе говоря Э. м. пользуется теми общими понятиями… … Большая советская энциклопедия

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в к рых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Естествознание. Энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

МАТЕМАТИКА — уч. предмет в школе, в содержание к рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем.… … Российская педагогическая энциклопедия

Элементарная геометрия — часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Нужна ли школьникам высшая математика?

Министр образования и науки РФ Андрей Фурсенко, выступавший 11 февраля 2009 г. на заседании коллегии по вопросам сохранения и укрепления здоровья школьников, заявил, что необходимо существенно уменьшить нагрузку на старшеклассников. Для этого предполагается исключить из учебной программы высшую математику. «Я глубоко убежден: не нужна высшая математика в школе. Более того, высшая математика убивает креативность», — сказал Фурсенко. Российская академия образования в настоящее время занимается разработкой новых образовательных стандартов, которые будут внедряться в школах поэтапно, начиная с этого года. По словам Фурсенко, представители академии поднимают вопрос о влиянии перегрузок на здоровье школьников, но в то же время предлагают стандарты, «в которых мы от перегрузок ни в коей степени не уходим».

Министр признал, что в российских школах есть блестящие учителя, которые могут объяснить высшую математику в пятом классе. Однако «мы должны ориентироваться не на гениальных учителей и не на выдающихся школьников, а на 13,5 млн учеников как в селе, так и в городе». Фурсенко отметил, что он лично, как и ректор МГУ Виктор Садовничий, не изучал в школе высшую математику, но при этом чувствует себя «не дурнее других». Садовничий поддержал министра. «Здесь можно абсолютно точно доказать, что это лишнее и перегрузка. А с другой стороны, школьники меньше знают настоящую школьную арифметику и математику», — заявил он.

В настоящее время основы высшей математики преподают во всех российских школах начиная с 10 класса. В школах гуманитарной направленности этому предмету отводится два часа в неделю, а математической — до восьми часов в неделю.

К невежеству в школе ведет излишнее многообразие предметов

ТрВ обратился к Ефиму Рачевскому, директору центра образования «Царицыно» № 548 (www.mhs548.ru), члену Общественной палаты (комиссия по образованию и науке), с просьбой прокомментировать громкое заявление министра Андрея Фурсенко. Беседовала Наталия Демина. (Фото, А Артамонова, МВШСЭН).

— Как бы Вы прокомментировали слова А. Фурсенко, что высшая математика в школе не нужна?

— Не нужна, и он прав абсолютно, что не нужна. Приведу один пример. В старших классах есть алгебра и начала анализа. В большинстве вузов, куда идут наши выпускники, утверждают, что им не нужны те начала анализа, которые дают в школе. Детям этим начала тоже не нужны. Мне кажется, что элементы высшей математики нужны в основном для удовлетворения профессиональных амбиций учителей математики, которые, разумеется, тоже хотят, чтобы было как лучше.

— Не приведет ли эта мера к расширению невежества?

— Нет, не приведет, потому что лишь малое число выпускников понимает эти элементы высшей математики. Может быть, они и нужны для профильной части образования, для тех ребят, которые решили пойти на мехмат, физфак На мой взгляд, к невежеству в современной школе ведет то многообразие предметов, которое в ней есть. Ни в одной старшей школе Европы нет 17−18 предметов, как у нас в России. А у нас они остались, и это абсолютная архаика, ведущая к тому, что ребенку невозможно успеть выучить их все, поэтому происходят гигантские процессы имитации. В старшей школе ребенок уже примерно знает сферу своей будущей деятельности, он выбирает из 17−18 предметов треть, которыми он занимается серьезно, еще одной третью он занимается время от времени, а оставшуюся треть он имитирует, или, как говорят, «забивает болт». Если подсчитать — а я подсчитал, — сколько это стоит денег Российской Федерации, то в год это примерно около 40 млрд рублей, которые уходят в воздух.

Нужно содержательное разнообразие

Александр Сергеев,
научный редактор журнала «Вокруг света» и модератор Клуба научных журналистов

Сокращение широты школьного образования — это огромный минус. Лучше бы сократили объемы скучной возни с тождественными преобразованиями и тригонометрическими уравнениями. А вместо этого добавили бы в обзорном порядке несколько веселых и развивающих мозги разделов из настоящей математики. Скажем, про мощность множеств и трансфинитные числа, про матрицы, про многомерные пространства, про фракталы, про логические парадоксы, про чтение и построение графиков в разных системах координат И, конечно, необходимо вернуть комплексные числа. Ключевое слово здесь: в обзорном порядке. То есть в большинстве случаев важна общая ориентировка в предмете, а не наработка навыка решения типовых примеров.

Обзорное изложение — это вовсе не разговоры в пользу бедных. Это в том числе и решение задач. Просто интересных и без фанатизма. Ведь любая теорема или свойство — это задача. И даже эксперименты с решением уравнения подбором или построением графика по точкам, если не ограничиваться тривиальными случаями, — это очень ценная практика, дающая возможность руками пощупать эту самую математику. Разбор таких случаев, самостоятельная возня с ними — непременная составляющая нормального обзорного обучения. А в традиционном подходе ее практически нет.

Если ученик всего несколько раз в ходе такого обучения сделает для себя неожиданное открытие «Ну надо же как бывает!», — то, даже забыв большую часть конкретных фактов, он сохранит правильное ощущение знания и понимания. А имея его, уже ничего не стоит восстановить забытое или узнать новое через тот же Google.

Но у нас в школе действует дурацкая установка, что ученик должен все изучаемые разделы математики непременно осваивать, вплоть до стабильного самостоятельного (без справочников) решения некоего круга стандартизированных задач. В результате школьники дрессируются на совершение символических манипуляций, смысл которых они понимают смутно. А когда начинаешь общаться, выясняется, что большинство из них не разумеют азов: что такое число, переменная, неизвестная, функция, утверждение, множество То есть базовые категории, лежащие в основе математического мышления, вообще не сформированы. Потому что их нельзя сформировать рутинной практикой на типовых задачах. Нужно содержательное разнообразие. Пусть задачи будут технически проще, но не похожи одна на другую. При этом я не отрицаю необходимости некоторые навыки (вроде раскрытия скобок или решения линейных уравнений) доводить до автоматизма. Но, во-первых, таких навыков надо немного, а во-вторых, при грамотном подходе они сами собой закрепятся от постоянного использования.

В существующем же виде стандартное школьное образование преступно неэффективно. В отношении получения знаний наша стандартная школа должна рассматриваться как пособие по безработице, в качестве источника средств к существованию. Сколько у нас детей учится в нестандартных школах? 5%? 10%? Ну вот, значит, образовательный кризис сопоставим с экономическим, при котором безработица достигает 90−95%. К сожалению, удивительно малое число родителей отдает себе отчет в том, насколько глубок образовательный кризис и насколько безответственно посылать ребенка «учиться» в обычную школу.

Неясно, как министру видится улучшение дел с «креативностью»

Сергей Попов,
старший научный сотрудник ГАИШ МГУ, член редсовета ТрВ

Интернет заполнился стонами и негодованиями по поводу фразы министра Фурсенко о высшей математике и школе. Больше всего меня поражает примитивность основной части критики.

Во-первых, надо понимать, о чем идет речь. По всей видимости, речь идет об обычных общеобразовательных школах. То есть на математические школы и классы никто не покушается. Если есть желание организовать более глубокое изучение каких-то разделов, то это можно организовать, не включая их в обязательную для всех программу. Вообще, на мой взгляд, наиболее разумна ситуация, в которой государство определяет 50−70% программы, формируя жесткий минимум, а школа или даже отдельные ученики дополняют свой учебный план, исходя из своих нужд и возможностей.

Во-вторых, надо понимать, какие могут быть альтернативы. Речь, насколько я понимаю, не идет о том, что вместо изучения высшей математики школьники идут бездельничать или изучать другие предметы, часы математики никто не сокращает. Имеется в виду, что те же часы будут потрачены на более углубленное изучение других (более простых) разделов математики. Это, на мой взгляд, вполне разумно.

Другое дело, что есть и иные возможности. Например, сокращать не начала высшей математики, а какие-то другие разделы математического курса (многие, например, обсуждают излишнюю трату времени на тригонометрию), а высвободившиеся часы использовать для углубленного рассмотрения прочих разделов.

Кроме того, не ясно, как министру видится улучшение дел с «креативностью». Конечно, лучше, если математика, во-первых, изучается глубже в своих основах, а во-вторых, ее изучение действительно способствует «приведению ума в порядок», как завещал великий Ломоносов. То есть здесь лучше не скакать по верхам, изучая всё понемногу, а закреплять важные вещи и развивать аналитические навыки. На мой взгляд, лучше ввести в школьный курс задачи из книжки «В царстве смекалки», чем тратить время на плохо усваиваемый основной массой школьников «краткий курс матана».

Так что следует внимательно, без крика и предубеждений рассмотреть разные альтернативы, а не набрасываться на вырванную из контекста фразу.

В современном мире без высшей математики не прожить

Александр Костинский,
директор по подготовке контента научно-популярных и образовательных программ ГК «Роснанотех»

Я не согласен с теми коллегами, которые считают, что изучение высшей математики нужно только для профильных классов и спецшкол. На мой взгляд, оно категорически нужно как раз тем, кто не идет на мехмат и матмех. Если вы не знаете основ высшей математики, то не сможете описать никакой процесс, где нелинейно меняются скорость, ускорение, давление , (любой переменный процесс).

Основы высшей математики мной ни в коем случае не отождествляются со знаниями курса в объеме трехтомника Фихтенгольца. Без высшей математики вы не сможете никогда ввести понятие изменения любой величины в зависимости от другой величины, например тех же скоростей, ускорений, динамики котировок акций, роста населения, вас будут обманывать клерки при вычислении сложных процентов по кредитам Как-то неудобно говорить, что мы живем в изменяющемся мире (некоторые говорят, что в очень быстро изменяющемся), но мало-мальски корректно такие изменения можно описать только аппаратом высшей математики.

Существуют, конечно, ограничения на математическое описание многих процессов, но это уже вопросы третьего, если не четвертого порядка. Для подавляющего большинства применений интеграл — это всего лишь площадь под кривой (объем в случае двух переменных). И вычислить его можно подсчетом клеточек или взвешиванием. Производная — всего лишь отношение двух величин (одна из них зависит от другой), когда они обе настолько малы, что отношение перестает изменяться с нужной для практики точностью. Они связаны. И все. В первом приближении.

Путаница с высшей математикой возникает из-за безумно сложного и формализованного преподавания высшей математики в немецко-французской традиции (ее только усилила русская школа), когда дружным и страшным для школьников строем идут аксиомы, леммы, теоремы и никто не объясняет несчастным ребятам, зачем это все нужно и каким мощнейшим аппаратом они совсем скоро начнут обладать. В этой системе за лесом строгости не видны деревья практических применений, вернее до практических деревьев (и плодов с них) доходят так нескоро, что навсегда отбивают у большинства интерес к высшей математике, и остается только страх (к этому моменту математики меня уже забросали камнями).

Но выход есть. Именно на нашей почве наиболее ярко вырос другой подход. Всем рекомендую педагогически блестящую (без преувеличения) книгу Я.Б.Зельдовича «Высшая математика для начинающих». Эта книга вызвала резкую критику за не-строгость, но благодаря славному атомному прошлому Зельдовича ему удалось отстоять эту практически ориентированную методику преподавания высшей математики.

Потом Зельдович и Мышкис развили этот подход и на вузовскую математическую физику, и на высшую алгебру (они выпустили несколько книг). У Зельдовича высшая математика возникает как выход из тупика элементарной математики, как необходимость описать переменные процессы (как и было в реальной истории науки). В книге огромное количество примеров природных процессов, и ты (школьник) вдруг видишь, что можешь посчитать, за сколько вода вытечет из ведра, как на самом деле сообщаются бассейны, когда колония бактерий съест все, что есть в кружке, и как вымрет У Зельдовича строгие доказательства на основе пределов и формализма Коши — Вейерштрасса заменены «правдоподобными рассуждениями» и алгебраическими преобразованиями. Но в большинстве простых и важных для практики случаев так можно поступать и результаты строго и «алгебраического» подхода совпадают. С педагогической точки зрения для школьников и учителей «методика Зельдовича» гораздо более плодотворна, чем «методика Колмогорова».

Конечно, каждый школьник должен иметь представление, что такое строгое доказательство, и этому надо посвятить отдельный раздел в школьной математике, например, в духе замечательной книги Лакатоса «Доказательства и опровержения». Но всю математику так сухо и бессердечно преподавать нельзя.

Мне кажется, что школьный проект Колмогорова и Ко провалился не из-за высшей математики как таковой, а из-за педагогически необоснованного абстрактного подхода к преподаванию математики. У Колмогорова преподавание идет от общего к частному, начиная с прекрасных, но слишком рано даваемых понятий множеств, конгруэнтности Сам преподавал еще в советские времена в школе по учебникам Колмогорова. Ужас, как методически и педагогически непроработано (без учета того, как мыслят реальные школьники и их учителя).

Высшая математика не виновата в том, что великий математик Колмогоров был не слишком успешным преподавателем в аудитории даже в университете, а в школе он никогда и не преподавал (и вместе с тем великим учителем и создателем мощнейшей математической школы). Как ни странно, так бывает. Для школьников гораздо органичнее (что и соответствует историческому ходу событий) путь от частного к общему. Сперва возникают важные задачи, и выясняется, что имеющегося аппарата для их описания не хватает, а потом развивается новый аппарат, и во всей красе видна его сила и мощь.

Потом уже частные результаты обобщаются на произвольные случаи, и показывается исключительная важность и незаменимость доказательного метода, который закрепляет частные победы в общий метод. Таким же путем, как Зельдович, идет другой великий педагог и прекрасный математик Дьердь Пойа («Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения»), где он рассказывает не о математике доказательства, а о математике «догадывания», получения результата до доказательства его правоты.

Прежде чем доказывать теорему Пифагора (и любую другую), ее откуда-то нужно было взять. Откуда? Об этом в школе не говорят. И невозможно объяснить (весной в душном классе), зачем эта проклятая теорема так нужна человечеству (не меньше) и почему этот странный человек (по легенде) после доказательства этой теоремы приказал принести в жертву сотню быков. Одного не было достаточно?

Я уверен, что в преподавании математики в школе есть то, чем можно гораздо более безболезненно пожертвовать, сохранив начала анализа. Например, это чудовищно раздутая тригонометрия. От школьников требуется блестящее комбинаторное владение 100−150 формулами с синусами, косинусами и тангенсами. Они не нужны не только школьникам, но и профессионалам. Моя узкая специальность связана с волновой физикой (как раз те самые синусы и косинусы). Так мне за жизнь не потребовалось знания и четверти выученных назубок тригонометрических уравнений. Я бы пожертвовал и некоторыми разделами стереометрии (но не всей стереометрией), а может и некоторыми уж слишком накрученными логарифмическими и показательными уравнениями (я говорю об обычных школьниках).

Высшая математика — это язык (одно из величайших достижений человеческой культуры), который наиболее адекватно описывает (и предсказывает) нашу изменчивую действительность, и если человек не познакомится с ее основами, то он окажется отрезанным в свою очередь от огромных культурных пластов, которые описывает именно этот язык. Высшую математику, наконец, нужно учить в школе, чтобы хотя бы ее не бояться и не приседать восхищенно перед каждым шарлатаном, который в состоянии написать интеграл или тригонометрический ряд. Что и делают зачастую «гуманитарии» — те, кому не попался в юности хороший учитель математики.

В преподавании математики важно чувство меры

Виталий Арнольд,
заместитель директора Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)

Всем, кто хоть раз лично общался с Андреем Александровичем Фурсенко, очевидно, что подобные столь резкие его слова бессмысленно воспринимать вне контекста, в котором они были произнесены. Очень жаль двух вещей: что вырывание из контекста яркой фразы («высшая математика убивает креативность») столь популярно в современной журналистике и что консультанты А.А.Фурсенко и он сам эту опасность осознают не в должной мере.

Поясню свою мысль на примере. Давайте посмотрим двумя «полярными» способами на этот текст.

Вариант А

Математика вредна. Складывать учить еще можно, а вот делить уже только на калькуляторах (или компьютерах). Уроки математики в старших классах неминуемо превращаются для любого ребенка в скучнейшее натаскивание на никому не нужную схоластическую зубрежку. Надо запретить вообще преподавание математики в школе, по меньшей мере всей той математики, которую не понимают все в обществе, «как в селе, так и в городе». «Высшей математике — решительное нет!» «Ура всеобщей разгрузке школьников!»

Правда, я думаю, что представить себе такой контекст в речах Министра ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ нашей страны все же немыслимо. Ибо после 10 лет таких идей у нас не будет ни образования, ни науки.

Вариант Б

К сожалению, в нашем обществе сегодня недостаточно выстроены связи школьных предметов друг с другом и с жизнью вне школы. Отдельные авторы учебников существенно «перегибают палку» в наличии или отсутствии научной строгости изложения. В итоге иногда получается, что школьникам в учебниках сообщаются весьма странные сведения из истории или математики. А иногда в той же математике чересчур увлекаются формальной строгостью изложения или отработкой до автоматизма некоторых алгоритмов в ущерб обсуждению идей. Иногда в обществе непонятную часть математики принято почему-то называть «высшей математикой». Так вот нужна ли такая «высшая математика» каждой школе нашей страны, особенно если она преподается подобным образом?

С таким толкованием спорить сложно. Видимо, его (это толкование) министр вполне мог иметь в виду. Поэтому позвольте мне дальше дискутировать только с последней фразой. На самом деле, нужна ли такая «высшая математика» каждой школе нашей страны, особенно если она преподается подобным образом?

1) «В каждой школе» — конечно, преподавание математики в разных возрастах и для разных детей должно быть различным. Наивно думать, что можно на одном уровне строгости осмысленно преподавать детям 10 лет и детям 17 лет. Наивно думать, что уровень глубины, широты и строгости, достигаемый в лучших математических школах в крупных городах (силами многих хороших учителей, студентов, родителей конкретных школьников), можно и нужно распространять на всю страну.

Конечно, упрек в том, что это нарушает права детей, родившихся и выросших вне таких центров, наивен: есть и система олимпиад, и несколько сильных интернатов, и заочные и выездные школы, и книгоиздание. Все это надо поддерживать, ибо оно играет роль стабилизатора всей системы.

Дальнейший разговор будем вести о «базовой школе», о среднестатистической школе в произвольном уголке страны.

2) «Так преподаваемую» — проблема качества учебников и качества подготовки учителей — существенная проблема в образовании. Так было всегда, еще острее вопрос стоит сейчас по целому ряду причин. Но это же не повод снижать «ниже плинтуса» уровень преподавания. Проблемы надо решать. Постепенно, не быстро. Не на страницах газет, не на семинаре, а в каждодневной работе.

3) Такая «высшая математика». А какая? Если говорить о том, что мы чуть упростим классические учебники для мехмата МГУ и начнем их повсеместно преподавать, — тогда, конечно, это бессмысленно и вредно.

Надо ли ребенку (хотя такой ли уж ребенок в 17−18 лет?) знать, что такое производная? Непрерывная функция? Смотря что значит слово «знать»… Если учить наизусть определения и уметь доказывать теорему о дифференцировании сложной функции, то любой учитель вам скажет, что нормально выучить этому всех: а) не нужно; б) невозможно (о спецклассах и спецшколах не говорим!).

А вот если спросить: полезно ли понимать свойства непрерывной функции? можно ли нормально изучать физику, не понимая ничего про производную или векторы? Опять же любой школьный учитель знает, что физики зачастую вынуждены объяснять те же математические понятия «на пальцах» и на год-два раньше.

Надо ли знать что-то про функцию синус? Конечно, да. А надо ли уметь решать (до автоматизма) сложные системы тригонометрических или логарифмических неравенств, да еще с параметром? Всем? Да что вы! Это просто несерьезно.

Заметим, что российское общество для себя такие проблемы уже не раз решало; смотрите, например, «подумаешь, бином Ньютона!» (у врача, выпускника знаменитого Тенишевского училища Михаила Афанасьевича Булгакова в «Мастере и Маргарите») или резолюцию Первого Всероссийского съезда учителей математики в 1913 году (см. http://math.mioo.ru/metod08/1siezd.pdf).

Существуют разные учебники по одному и тому же предмету. Как раз в математике очень сильно внимание профессионального сообщества (не только ученых, но и преподавателей и школ, и вузов) к проблемам содержания. Как раз большая часть экспертов-математиков отнюдь не настаивает на повсеместном введении в школьный курс аспирантской программы МГУ. Но начисто лишить школьников возможности воспринимать идеи математики последних двух веков тоже неправильно. Как и во всех школьных предметах, тут важно чувство меры!

Странно, учась в России, не читать Пушкина или Гоголя. Но еще более странно изучать в каждой школе все черновики «Евгения Онегина» и уметь отслеживать в них влияние тех или иных современников Александра Сергеевича на его творчество. Это все же удел специалистов (в том числе в гуманитарных специализированных классах лучших школ страны, где им, наоборот, странно мешать это делать)!

Дмитрий Баюк,
зам. гл. редактора сайта «Вокруг света» и зам. гл. редактора журнала «Вопросы истории естествознания и техники»

Мой непродолжительный опыт преподавания математики в одном московском втузе в свое время меня весьма озадачил. У первокурсников по программе теме «Теория пределов» предшествовал семинар по методам математической индукции. Мои коллеги сразу стали меня предупреждать, что тратить время на это не надо, все равно, мол, ничего не выйдет, лучше сразу начинать с пределов. Какое-то время причины такой предосторожности оставались для меня совершенно загадочными. Мы проходили принцип математической индукции в том же 8 классе по учебнику Маркушевича, ничего сложного там не было, и я совсем не помню, чтобы у кого-то из моих одноклассников возникали проблемы. Были хорошие и очень понятные статьи на эту тему в «Кванте». Одним словом, я принялся объяснять будущим инженерам, что это такое, и мое фиаско было полным! Ни один из них так ничего и не понял и пользоваться методом не научился. Вы можете сказать, что я никуда не годный преподаватель, и, возможно, будете правы. Но ведь подобный опыт был и у других моих, более опытных и более одаренных коллег. Видимо, это все-таки нечто такое, о чем лучше узнавать в 14 лет, а не в 17.

Когда-то В.И. Арнольд говорил, что преподавание математики в России остается на относительно неплохом уровне не потому, что Россия движется в этом отношении в ином направлении, нежели Запад, а потому, что и в этом, как и во всем остальном, от него отстает. На Западе мы находим примерно тот же идиотизм.

Вытеснение науки с культурной сцены цивилизации — это общемировой, естественный процесс. Деградация школы — его часть. Вытеснение наук из школ — его естественное следствие. Фурсенко с Садовничим правильно понимают движение истории и не хотят плыть против течения. Если бы хотели, никогда бы не приплыли туда, где плавают теперь. Еще раз процитирую старшего Арнольда: «Математика сейчас […] — первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы». Забивать мозги детям жеваной бумагой они прекрасно умеют и без нас. Наша задача, на мой взгляд, в том, чтобы всеми силами сопротивляться этому всемирно-историческому процессу и защищать естественные науки, которые первыми уйдут из школьного образования, — математику, физику, астрономию, химию и биологию.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.