С точки зрения классической логики высказывание может быть

Предлагаемый тест поможет в изучении логики. Он может использоваться для самостоятельной подготовки, а также – при контроле и закреплении основного аудиторного материала. Он также может быть использован преподавателями для проведения контрольных и зачетно-экзаменационных мероприятий по курсу логики.

Тест включает в себя 100 заданий закрытого типа, что намного ускоряет проверочную работу преподавателя. Задания охватывают все разделы логики и позволяют не только проверить наличие у учащихся нужной суммы знаний, но и оценить уровень их логической культуры.

Предлагаемые варианты ответов составлены таким образом, что каждый из них может быть выбран неподготовленным учащимся в качестве правильного, поэтому тест невозможно выполнить формально, наугад выбирая подходящий вариант ответа. Для его успешного выполнения необходимы реальные знания и навыки по курсу логики. Такое построение тестовых заданий делает их более сложными, но в то же время более интересными и намного повышает эффективность контроля знаний и навыков учащихся.

При оценке результатов теста можно использовать следующую систему:

• наука об умозаключениях и доказательствах;

• наука о правилах мышления;

• наука о формах и законах мышления;

• наука о формах и законах познания.

2. Формальная логика появилась:

• в эпоху Возрождения.

3. Формальная логика является:

4. Создателем логики считается древнегреческий философ:

5. С точки зрения формальной логики высказывание: «Все Снегурочки – это геометрические фигуры»:

• представляет собой абсурд;

• лишено всякого смысла;

• выражает пример классической нелепости;

• построено по форме: «Все A есть B».

6. Математическая или символическая логика появилась:

• тогда же, когда и традиционная логика;

• в начале нашей эры;

• в середине XX в.

7. Интуитивная логика – это:

• совершенное незнание законов правильного мышления, приводящее любое рассуждение к многочисленным ошибкам и ложным выводам;

• стихийно сформированное в процессе жизненного опыта знание форм и принципов правильного мышления;

• теоретические знания, оставшиеся у человека после изучения курса логики в школе или вузе;

• полное искажение теоретической логики;

• ничто из перечисленного.

8. Древнегреческие философы, которые изобретали разнообразные приёмы нарушения логических законов с целью доказать всё, что угодно, – это:

• слово или словосочетание;

10. Любое понятие имеет:

11. Любое понятие выражается в форме:

• слова или словосочетания;

12. Содержание понятия – это:

• совокупность всех объектов, которые оно охватывает;

• наиболее важные признаки того объекта, который оно выражает;

• то суждение, в котором оно может употребляться;

• слово или словосочетание, в котором оно выражается;

• объект, который оно обозначает.

13. Объём понятия – это совокупность:

• объектов, охватываемых этим понятием;

• всех слов или словосочетаний, которые могут его выражать;

• всех значений, которые могут в него вкладываться;

• наиболее важных признаков того объекта, который оно обозначает;

• всех рассуждений, в которых оно употребляется;

• всех людей, которым известно это понятие.

3.1.1 Алфавит логики высказываний

Самая простая логическая теория – классическая логика высказываний. Она предполагает абстрагирование от содержаний простых высказываний, от их внутренней структуры, а учитывает лишь то, с помощью каких связок и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория,
формализованный язык которой содержит один тип нелогических терминов – пропозициональные переменные, а также один тип логических терминов – пропозициональные связки.

Законами классической логики высказываний будут формы таких высказываний, логическая истинность которых обусловлена логическими свойствами содержащихся в них пропозициональных связок. Правильными, с точки зрения пропозициональной логики, являются те умозаключения, в которых наличие логического следования между посылками и заключением обусловлено теми же факторами.

Язык классической логики высказываний не обязательно должен содержать все истинностно-функциональные связки. Если некоторый набор истинностно-функциональных связок позволяет выразить любую функцию истинности, то такой набор является функционально полным. Одной из функционально полных систем является множество функций, представленных связками Ø, É, ˅ и ˄.

Иногда в алфавит логики высказываний включают логические знаки – « » (константа истинности) и « » (константа ложности). Таким высказываниям соответствуют выражения, все переменные которых фиктивны. Поэтому эти символы относятся к нульместным пропозициональным связкам.

Алфавит пропозициональной логики состоит из нелогических и логических терминов, а также технических символов. Множество нелогических символов составляет бесконечное множество пропозициональных переменных Эти символы используются в качестве параметров простых высказываний при выявлении логических форм контекстов естественного языка. Логическими символами данного языка являются истинностно-истинностные пропозициональные связки. Система функций истинности должна быть функционально полной. Исходными логическими символами являются: Ø (в качестве аналога этого знака часто используется просто черта над выражением), É, ˅ и ˄. Техническими символами являются левая и правая круглые скобки.

Формулы логики высказываний. В языке пропозициональной логики есть только один вид правильно построенных выражений – формулы. Рекурсивное определение формулы гласит:

1. Всякая пропозициональная переменная, константа истинности и константа ложности есть формула (такие формулы называются элементарными).

2. Если А – формула, то ØА также является формулой (такие формулы являются сложными).

3. Если А и В – формулы, то выражения (А˄ В), (АÚ В), (АÉ В) также являются формулами (данные формулы также являются сложными).

4. Ничто иное не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее подформулой.
В сложной формуле всегда можно выделить связку, которая называется ее главным знаком.

При переводе высказываний естественного языка на язык пропозициональной логики прежде всего необходимо выделить простые суждения, входящие в состав сложного. Каждому простому высказыванию сопоставляется пропозициональная переменная
(). Далее необходимо выяснить, какой смысл в данном высказывании выражает каждый логический термин. Наконец, устанавливается порядок и способ сочленения простых высказываний в сложное посредством логических терминов.

В контекстах естественного языка простые высказывания могут сочленяться с помощью таких логических союзов, которым не соответствует никакая пропозициональная связка из алфавита формализованного языка. В этом случае сложное высказывание переформулируется таким образом, чтобы оно содержало то же самое утверждение, но включало при этом только те союзы, которым соответствуют по смыслу какие-либо связки из алфавита.

Приведем пример: «Ни студенты первого курса, ни студенты второго курса экзамен по логике не сдали».Пропозициональная связка, адекватная союзу «ни …, ни …», обозначается так называемым знаком Нико. В формализованном виде данное высказывание может быть записано как . Однако она может быть выражена посредством основных связок:

,

т. е. связка Нико равносильна по определению конъюнкции отрицаний. Следовательно, приведенное выше высказывание можно записать так: «Неверно, что студенты первого курса сдали экзамен по логике, и неверно, что студенты второго курса сдали экзамен по логике».

ЛОГИКА: ТЕСТЫ К ТЕМАМ

Тема 1. ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ

1. Логика – это:

А) наука об умозаключениях и доказательствах

Б) наука о правилах мышления

В) наука о формах и законах правильного мышления

Г) наука о формах и законах познания

2. С точки зрения формальной логики высказывание: «Все Снегурочки – это геометрические фигуры»:

А) представляет собой абсурд

Б) является фантастическим

В) лишено всякого смысла

Г) построено по форме: «Все A есть B»

Понятие – это

А) слово или словосочетание

Б) форма мышления

В) истинный тезис

Г) некий предмет

4. Истинность в логике означает:

В) соответствие мысли объекту

5. Принцип верификации – это:

А) распространенный софистический прием

Б) критерий научного знания

В) главное требование аналогии

Г) одно из правил силлогизма

6. Символическая логика является разделом:

А) формальной логики

Что означает слово «logos»?

А) человеческое слово вообще.

Б) всеобщий закон, основа мира.

В) закон, мысль, слово, смысл.

Г) беседа, суждение.

8. Модальная логика относится к:

А) неклассической логике

Б) интуитивной логике

В) классической логике

Г) житейской логике

9. Укажите вид модальности высказывания «Возможно, что снежный человек существует»:

А) аксиологическая модальность

Б) алетическая модальность

В) деонтическая модальность

Г) эпистемическая модальность

10. Укажите вид модальности высказывания «Запрещено переходить перекресток на красный сигнал светофора»:

А) аксиологическая модальность

Б) алетическая модальность

В) деонтическая модальность

Г) эпистемическая модальность

11. Укажите вид модальности высказывания «Плохо, что он не принял замечание во внимание»:

А) алетическая модальность

Б) аксиологическая модальность

В) деонтическая модальность

Г) эпистемическая модальность

Тема 2. ИСТОРИ Я ЛОГИКИ

1. Формальная логика появилась:

А) в Средние века

В) в Новое время

Г) в эпоху Возрождения

2. Формальная логика является:

4. Интуитивная логика – это:

А) совершенное незнание законов правильного мышления, приводящее любое рассуждение к многочисленным ошибкам и ложным выводам

Б) стихийно сформированное в процессе жизненного опыта знание форм и принципов правильного мышления

В) теоретические знания, оставшиеся у человека после изучения курса логики в школе или вузе

Г) полное искажение теоретической логики

5. Древнегреческие философы, которые изобретали разнообразные приёмы нарушения логических законов с целью доказать всё, что угодно, – это:

6. Создателем логики считается древнегреческий философ:

7. Математическая или символическая логика появилась:

А) в начале нашей эры

Б) в Средние века

8. Немецкий ученый XVIII века, разработавший закон достаточного основания в логике:

9. Английский ученый конца XVI — начала XVII века, разработавший в произведении «Новый Органон» основы индуктивной логики:

10. Английский ученый XIX века, развивший теорию научной индукции:

Тема 3. ЛОГИКА И ЯЗЫК

1. Какая из формул соответствует суждению: «Уж полночь близится, а Германа всё нет»:

2. Сложное суждение: «Когда вечереет, становится прохладнее», – является:

3. Импликация ложна только тогда, когда:

А) ее основание и следствие истинны

Б) ее основание и следствие ложны

В) ее основание ложно, а следствие истинно

Г) ее основание истинно, а следствие ложно

4. Конъюнкция истинна только тогда, когда:

А) хотя бы один ее элемент истинен

Б) хотя бы один ее элемент ложен

В) ложны все ее элементы

Г) истинны все ее элементы

5. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда:

А) истинны все ее элементы

Б) хотя бы один элемент ее ложен

В) истинен только один ее элемент, а остальные ложны

Г) половина ее элементов истинна, а половина ложна

6. Нестрогая дизъюнкция ложна тогда, когда:

А) все ее элементы истинны

Б) все ее элементы ложны

В) один ее элемент ложен, а остальные – истинны

Г) один ее элемент истинен, а остальные ложны

7. Знаковая система, служащая для хранения, передачи и наращивания информации:

8.Язык логики высказываний включает:

А) Пропозициональные переменные, логические союзы, технические знаки и определение формулы.

Б) Пропозициональные переменные, логические союзы, технические знаки.

В) Предметные переменные, предметные константы, предикатные символы, логические союзы, кванторы и технические знаки.

Г) Пропозициональные переменные, логические союзы, технические знаки и определение правильно построенного выражения.

9.Сложное высказывание «Если он умный человек, то он увидит свою ошибку, и если он искренний человек, то он признает ее» имеет формулу:

10.Алфавит логики предикатов включает кванторы:

А) Квантор существования (для некоторых …) и квантор множественности (для большинства …).

Б) Квантор всеобщности (для всех …) и квантор существования (для некоторых …).

В) Квантор всеобщности (для всех …) и квантор множественности (для большинства …).

Г) Квантор плюральности (для большинства …) и квантор сингулярности (существует только один…).

11.Импликация (→) – это логический союз:

А) Который делает истинным сложное высказывание только в том случае, когда его составляющие – ложные высказывания.

Б) Который делает ложным сложное высказывание только в том случае, когда его составляющие – истинные высказывания.

В) При помощи которого из истинного высказывания получается ложое, а из ложного высказывания – истинное.

Г) Который делает ложным сложное высказывание только в том случае, когда первое высказывание (основание) – истинно, а второе высказывание (следствие) – ложно.

Тема 4. ПОНЯТИЕ

1. Любое понятие имеет:

2. Понятию «Созвездие Ориона» соответствует логическая характеристика:

А) общее, собирательное, конкретное, положительное

Б) единичное, собирательное, абстрактное, положительное

В) нулевое, собирательное, абстрактное, положительное

Г) ни одна из перечисленных

3. Любое понятие выражается в форме:

А) простого предложения

Б) сложного предложения

В) слова или словосочетания

Г) связного текста

4. «Глупость» – это понятие:

5. Содержание понятия – это:

А) совокупность всех объектов, которые оно охватывает

Б) наиболее важные признаки того объекта, который оно выражает

В) то суждение, в котором оно может употребляться

Г) слово или словосочетание, в котором оно выражается

6. «Неряха» – это понятие:

7. Объём понятия – это совокупность:

А) объектов, охватываемых этим понятием

Б) всех слов или словосочетаний, которые могут его выражать

В) всех значений, которые могут в него вкладываться

Г) наиболее важных признаков того объекта, который оно обозначает

8. «Солнце» – это понятие:

9. Логической характеристике: общее, собирательное, конкретное, положительное, соответствует понятие:

А) сборная России

Г) все перечисленные

10. Понятие, большее по объёму, называется:

11. Понятия «кодекс» и «уголовный кодекс» находятся в отношениях:

12. Отношения между понятиями изображаются:

А) круговыми схемами Бойлера

Б) круговыми схемами Пейджера

В) круговыми схемами Аристотеля

Г) круговыми схемами Эйлера

13. Определение: «Экзистенциализм – это философское направление ХХ в., в котором рассматриваются различные экзистенциальные вопросы и проблемы», – является:

Б) включающим тавталогию

14. Деление понятия раскрывает его:

15. В делении: «Люди бывают мужчинами, женщинами, спортсменами и танцорами», – допущена ошибка:

А) скачок в делении

Б) учетверение терминов

В) подмена основания

Г) поспешное обобщение

16. Возможным результатом обобщения для понятия «колесо автомобиля» будет понятие:

Б) средство передвижения

В) огромное колесо

Г) изделие человека

17. Возможным результатом ограничения для понятия «карандаш» будет понятие:

А) письменная принадлежность

Б) деревянный предмет

В) сломанный карандаш

Г) изделие человека

18. Пределом логической цепочки ограничения любого понятия всегда будет какое-либо:

А) нулевое понятие

Б) конкретное понятие

В) «единичное понятие

Г) родовое понятие

19. Возможным результатом ограничения для понятия «уровень преступности» является понятие:

Б) тяжкое преступление

В) квартирная кража

Г) высокий уровень преступности

20.Логические приемы образования понятий это:

А) абстрагирование, обобщение, определение и деление.

Б) анализ, синтез, обобщение и ограничение.

В) абстрагирование, анализ, синтез, сравнение и обобщение.

Г) сравнение, отношение и классификация.

Тема 5. СУЖДЕНИЕ

1. Суждение – это:

Б) незаконченная мысль

В) обобщённое понятие

Г) форма мышления

2. Суждение выражается в форме:

А) повествовательного предложения

Б) вопросительного предложения

В) побудительного предложения

3. Истинным или ложным может быть:

4. Предмет суждения называется:

5.Простые (атрибутивные) суждения делятся на утвердительные и отрицательные:

Б) по количеству.

Г) по отношению между субъектом и предикатом.

6.Суждения типа А (общеутвердительные) и типа Е (общеотрицательные) находятся в отношениях:

7.Суждения типа А (общеутвердительные) и типа I (частноутвердительные) находятся в отношениях:

8.Суждения типа А (общеутвердительные) и типа О (частноотрицательные) находятся в отношениях:

9.Суждения типа I (частноутвердительные) и типа О (частноотрицательные) находятся в отношениях:

10. Субъект и предикат в суждении: «Все сосны – не берёзы», – находятся в отношениях:

11. Суждение: «Бога нет», – является:

12. Атрибутивным является суждение:

А) Москва основана раньше Санкт-Петербурга.

Б) Аристотель жил задолго до Лейбница.

В) Человек – это разумное живое существо.

Г) Счастье есть, его не может не быть.

13. Субъект и предикат находятся в отношении пересечения в суждении:

А) Все планеты – это не звёзды.

Б) Некоторые треугольники являются равносторонними.

В) Антарктида – это ледовый материк.

Г) Некоторые учёные являются древними греками

14. В суждении: «Некоторые россияне являются олимпийскими чемпионами»:

А) и субъект, и предикат распределены

Б) ни субъект, ни предикат не распределены

В) субъект распределён, а предикат не распределён

Г) субъект не распределён, а предикат распределён

15. Субъект распределён, а предикат не распределён в суждении:

А) Все квадраты – это геометрические фигуры.

Б) Все квадраты – это равносторонние прямоугольники.

В) Ни один квадрат не является треугольником.

Г) Некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными

16. Термин простого атрибутивного суждения является нераспределённым, если в этом суждении:

А) речь идёт обо всех объектах, входящих в объём этого термина

Б) речь не идёт ни об одном объекте, входящем в объём этого термина

В) речь идёт о части объектов, входящих в объём этого термина

Г) речь идёт о реальном существовании объектов, входящих в объём этого термина

17.Суждение это:

А) Форма мышления, посредством которой из известного знания выводится новое знание.

Б) Форма мышления, которая указывая на некоторый отличительный признак, выделяет из универсума и собирает в класс (обобщает) предметы, обладающие этим признаком.

В) Форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, его свойствах или отношениях между предметами.

Г) Метод мышления, при котором частное положение логическим путём выводится из общего.

18.По своим логическим свойствам единичные суждения относятся к:

Классическая логика высказываний

Исследование языка и семантики классической логики высказываний. Алгоритм построения таблицы истинности. Характеристика законов утверждения консеквента и отрицания антецедента. Анализ отношений совместимости по правде, ложности и логического следования.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕМА: «КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ»

Павлюкевич В.И.

1. Язык и семантика КЛВ

2. Основные законы КЛВ

3. Логические отношения между формулами КЛВ

4. Основные способы умозаключений КЛВ

Список использованных источников

Слово «логика» происходит от древнегреческого «логож», что переводится как «разум», «мысль», «суждение». Логика является одной из самых древних наук.

Первоначально она разрабатывалась в связи с запросами практики судопроизводства. От логической доказательности речи обвиняемого или обвинителя часто зависело решение суда — особенно в сложных и запутанных правовых ситуациях. Неумение четко и ясно формулировать свои мысли, изобличать подвохи и «ловушки» своих оппонентов могло стоить оратору очень дорого. Этим пользовались так называемые софисты — платные учителя мудрости. Непросвещенной публике они могли «доказать» что белое — это черное, а черное — это белое, после чего за большие деньги обучали своему искусству всех желающих.

Известен следующий случай. Однажды знаменитый софист Протагор повстречал способного, но бедного юношу по имени Эватл. Они заключили договор, согласно которому Эватл должен был заплатить за обучение не сразу, а после первого выигранного им судебного процесса. Но обещанных денег Протагор так и не увидел, поскольку юноша после обучения ни разу не появился в суде. Тогда учитель обвинил его в неблагодарности и подал на него в суд. «Если судьи признают, что я прав, — рассуждал Протагор, — он заплатит мне по решению суда, а если они его оправдают, то это будет первый выигранный им судебный процесс, и тогда он заплатит согласно договору». Но Эватл привел свои доводы: «Если я выиграю, то ничего платить не буду, ведь победитель побежденному платить не обязан; если же я проиграю, значит он плохо меня учил, и тогда я не должен ему платить по договору.» Складывается впечатление, что оба они правы — но ведь этого быть не может!

Внешне правильное рассуждение, содержащее какую-то скрытую уловку, называется софизмом. В процессе аргументации умение разоблачать софизмы необходимо, но все же недостаточно. Особенно если речь идет о научной аргументации, целью которой является не победа в споре, а отыскание истины.

Быстро развивавшаяся античная наука была вторым важным источником возникновения логики. В рамках философии, физики, геометрии, биологии постепенно вырабатывались самые разнообразные познавательные приемы, которые нужно было методологически обосновать, обобщить и систематизировать.

Этим занимались многие мыслители, но как стройная научная теория логика впервые сформировалась в IV веке до н.э. в трудах выдающегося древнегреческого философа Аристотеля (384-322 до н.э.).

Логические трактаты Аристотеля — «Категории», «Об истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических рассуждениях» — были объединены его последователями под общим названием «Органон». Слово «органон» по-гречески означает «орудие», и для самого Аристотеля логика выступает прежде всего как орудие, инструмент любого рационального познания.

С другой стороны, аристотелевскую логику часто называют «каноном», то есть правилом, образцом. Она не только объясняет, как должна строиться любая наука, но и сама показывает пример строгой научности и рациональности. Примечательно, что логическая система Аристотеля является первой в истории человечества формальной аксиоматической теорией — идеал, к которому стремятся все точные науки.

Целью работы в реферате является изучение классической логики высказываний.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть язык и семантику КЛВ.

2. Изучить основные законы КЛВ.

3. Дать характеристику логическим отношениям между формулами КЛВ.

4. Изучить основные способы умозаключений КЛВ.

В ходе изучения классической логики высказываний основным методом работы стал метод теоретического анализа литературы по этой теме.

Реферат состоит из введения, основной части, заключения, списка использованных источников (включает ____ позицию).

Общий объем реферата составляет ____ страниц.

1. Язык и семантика КЛВ

Логика высказываний (пропозициональная логика) — это теория, изучающая логическую структуру сложных суждений без учета структуры простых суждений, входящих в их состав.

Несмотря на то, что отдельные фрагменты этой теории разрабатывались еще античными мыслителями, как стройная система она сложилась лишь к концу XIX в. Её аксиоматизацию впервые осуществил немецкий логик Готлоб Фреге.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых суждений, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:

1) пропозициональные переменные — p, q, r, s, .

Пропозициональные переменные (от лат. «propositio» — высказывание) замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет дождь» можно обозначить символом p, высказывание «светит солнце» — символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.

— отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

? — дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

? — строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

? — импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

? — эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) пропозициональные переменные являются формулами; (2) если А и В — формулы, то А, А & В, А ? В, А ? В, А ? В, А ? В — тоже формулы; (3)ничто другое не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой более сложной формулы, называется ее подформулой и выделяется скобками. Часто используется соглашение об опускании скобок. Считается, что каждая следующая связка в приведенном выше перечне связывает слабее, чем предыдущая. Так, например, дизъюнкция связывает переменные слабее, чем конъюнкция, эквиваленция — слабее, чем импликация, и т.д.

Приоритет 1 2 3 4 5 6

Упражнение. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p ? q & r ? s & q ? p ? s ? q ? r

б) p & q ? r & s ? q ? p ? s ? q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Ромео любит Джульетту», q — «Джульетта любит Ромео», r — «Джульетта красивая», s — «Ромео храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

— «Ромео храбрый и любит Джульетту» s & p

— «Неверно, что Джульетта некрасивая

или Ромео ее не любит» (r ? p)

— «Если Джульетта красива, а Ромео храбр,

то они любят друг друга» (r & s) ? (p & q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность — как .

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей:

p q p p & q p ? q p ? q p ? q p ? q

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 0

Математические аналоги логических функций:

Лог. функция символ Мат. функция символ

1 отрицание x инверсия 1 — х

2 конъюнкция x & y умножение х · у

3 дизъюнкция x ? y сложение х + у

4стр. дизъюнкция x ? y не равно х ? у

5 импликация x ? y меньше или равно х ? у

6 эквиваленция x ? y равно х = у

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Ромео и Джульетта любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p & q) ? ( p ? q).

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n, где k — количество строк, а n — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных (для этого существует очень простой метод. Колонку под первой переменной делим пополам — половину раз пишем 1, половину — 0; для каждой следующей переменной чередование 1 и 0 в столбцах учащается в два раза).

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

Логика ответы

ТЕМА 1, 2. ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ

1.1. Логика – это:
наука о формах и законах правильного мышления
да
1.2. С точки зрения формальной логики высказывание: «Все Снегурочки – это геометрические фигуры»:
построено по форме: «Все A есть B»
да
1.10. Укажите вид модальности высказывания «Запрещено переходить перекресток на красный сигнал светофора»:
деонтическая модальность
да
1.11. Укажите видмодальности высказывания «Плохо, что он не принял замечание во внимание»:
аксиологическая модальность
да
1.12. Формальная логика появилась:
в Античности
да
1.13. Формальная логика является:
аристотелевской
да
1.14. Интуитивная логика – это:
стихийно сформированное в процессе жизненного опыта знание форм и принципов правильного мышления
да
1.15. Древнегреческие философы, которые изобретали разнообразныеприёмы нарушения логических законов с целью доказать всё, что угодно, – это:
софисты
да
1.16. Создателем логики считается древнегреческий философ:
Аристотель
да
1.17. Математическая или символическая логика появилась:
в XIX в.
да
1.18. Немецкий ученый XVIII века, разработавший закон достаточного основания в логике:
Лейбниц
да
1.19. Английский ученый конца XVI — начала XVII века, разработавший впроизведении «Новый Органон» основы индуктивной логики:
Ф. Бэкон
да
1.20. Английский ученый XIX века, развивший теорию научной индукции:
Д.С. Милль
да
1.3. Понятие – это
форма мышления
да
1.4. Истинность в логике означает:
соответствие мысли объекту
да
1.5. Принцип верификации – это:
критерий научного знания
да
1.6. Символическая логика является разделом:
формальной логики
нет
1.7.Что означает слово»logos»?
закон, мысль, слово, смысл.
да
1.8. Модальная логика относится к:
неклассической логике
да
1.9. Укажите вид модальности высказывания «Возможно, что снежный человек существует»:
алетическая модальность
да

ТЕМА 3. ЛОГИКА И ЯЗЫК

3.1. Какая из формул соответствует суждению: «Уж полночь близится, а Германа всё нет»:
А ∧ В
да
3.10.Алфавит логики предикатов включает кванторы:
Кванторвсеобщности (для всех …) и квантор существования (для некоторых …).
да
3.2. Сложное суждение: «Когда вечереет, становится прохладнее», – является:
импликацией
да
3.3. Импликация ложна только тогда, когда:
ее основание истинно, а следствие ложно
да
3.4. Конъюнкция истинна только тогда, когда:
истинны все ее элементы
да
3.5. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда:
истинны все ее элементы
нет
3.6. Нестрогаядизъюнкция ложна тогда, когда:
все ее элементы ложны
да
3.7. Знаковая система, служащая для хранения, передачи и наращивания информации:
язык
да
3.8.Язык логики высказываний включает:
Пропозициональные переменные, логические союзы, технические знаки и определение формулы.
да
3.9.Сложное высказывание «Если он умный человек, то он увидит свою ошибку, и если он искренний человек, то он признает ее» имеетформулу:
(p→q) ∧ (r→s)
да

ТЕМА 4. ПОНЯТИЕ
4.1. Любое понятие имеет:
объём
да
4.10. Понятие, большее по объёму, называется:
родовым
да
4.11. Понятия «кодекс» и «уголовный кодекс» находятся в отношениях:
субординации
да
4.12. Отношения между понятиями изображаются:
круговыми схемами Эйлера
да
4.13. Определение: «Экзистенциализм – это философское направление ХХ в., в котором рассматриваютсяразличные экзистенциальные вопросы и проблемы», – является:
включающим тавталогию
да
4.14. Деление понятия раскрывает его:
объём
да
4.16. Возможным результатом обобщения для понятия «колесо автомобиля» будет понятие:
изделие человека
да
4.17. Возможным результатом ограничения для понятия «карандаш» будет понятие:
сломанный карандаш
да
4.18. Пределом логической цепочки ограничения любого понятия всегда будеткакое-либо:
единичное понятие
да
4.2. Понятию «Созвездие Ориона» соответствует логическая характеристика:
ни одна из перечисленных
да
4.20.Логические приемы образования понятий это:
абстрагирование, анализ, синтез, сравнение и обобщение.
да
4.3. Любое понятие выражается в форме:
слова или словосочетания
да
4.4. «Глупость» – это понятие:
абстрактное
да.

Чтобы читать весь документ, зарегистрируйся.

Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач

Логика высказываний: определение и применение

Логика высказываний, называемая также пропозициональной логикой — раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Высказываниями принято считать такие предложения (написанные на «словесном» либо математическом языке), о которых можно сказать одно из двух: либо они являются истинными, либо ложными.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху — иллюстрация явления, известного как «Парадокс лжеца». При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет «истины» или «лжи» оцениваются только отдельно взятые высказывания. И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений «ложь» или «истина», от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, «флаг» («flag») и подразумевается, что «флаг поднят», когда значение этой переменной — «истина» и «флаг опущен», когда значение этой переменной — «ложь». В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем «ПользовательЗарегистрирован» (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение «истина» при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение («истина» или «ложь») имеет переменная «ПользовательЗарегистрирован». В других случах переменной, например, с именем «ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней», может быть присвоено значение «Истина» до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на «ложь» и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами «истина» и «ложь», а для высказываний, сделанных на «словесном» языке, понятия «истинности» и «ложности» несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как «Иди домой» и «Идёт ли дождь?», не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается. Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями «истина» и «ложь».

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь».

Например, даны суждения: «собака — животное», «Париж — столица Италии», «3 A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой «и».

Таблица истинности для конъюнкции:

2. Вторая логическая операция над высказываниями A и B — дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой «или». Однако здесь мы имеем не разделительное «или», которое понимается в смысле «либо-либо», когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B.

Таблица истинности для дизъюнкции:

3. Третья логическая операция над высказываниями A и B, выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой, B — следствием, а высказывание A → B — следованием, называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке «если — то»: «если A, то B«. Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B. Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: «из ложного следует всё, что угодно». В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A, и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: «из истинного не может следовать ложное».

Таблица истинности для следования (импликации):

4. Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается

A (можно встретить также употребление не символа

, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A).

A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

A

Л И И Л

5. И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики, которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

3) («Сосна» = «Дуб») ИЛИ («Вишня» = «Клён») ;

6) («Глаза даны, чтобы видеть») И («Под третьим этажом находится второй этаж») ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно «истина», значение выражения во вторых скобках — также истина. Оба высказывания соединены логической операцией «И» (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания — «истина».

2) Значение высказывания в скобках — «ложь». Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания — «истина».

3) Значение высказывания в первых скобках — «ложь», значение высказывания во вторых скобках — также «ложь». Высказывания соединены логической операцией «ИЛИ» и ни одно из высказываний не имеет значения «истина». Поэтому логическое значение всего данного высказывания — «ложь».

4) Значение высказывания в скобках — «ложь». Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания — «истина».

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение «ложь», следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение «истина». Высказывание во вторых скобках имеет значение «ложь». Два этих высказывания соединены логической операцией «И», то есть получается «истина И ложь». Следовательно, логическое значение всего данного высказывания — «ложь».

6) Значение высказывания в первых скобках — «истина», значение высказывания во вторых скобках — также «истина». Два этих высказывания соединены логической операцией «И», то есть получается «истина И истина». Следовательно, логическое значение всего данного высказывания — «истина».

7) Значение высказывания в первых скобках — «истина». Значение высказывания во вторых скобках — «ложь». Два этих высказывания соединены логической операцией «ИЛИ», то есть получается «истина ИЛИ ложь». Следовательно, логическое значение всего данного высказывания — «истина».

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) «Пользователь не зарегистрирован»;

2) «Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе»;

3) «Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными».

1) p — одиночное высказывание «Пользователь зарегистрирован», логическая операция: ;

2) p — одиночное высказывание «Сегодня воскресенье», q — «Некоторые сотрудники находятся на работе», логическая операция: ;

3) p — одиночное высказывание «Пользователь зарегистрирован», q — «Отправленные пользователем данные признаны годными», логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) («В минуте 70 секунд») ИЛИ («Работающие часы показывают время») ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) («Телевизор — электрический прибор») И («Стекло — дерево») ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ («Жажду можно утолить водой»)) ;

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) «Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия»;

2) «В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж — столица США»;

3) Не «дуб — дерево».

Пример 5. Определите логическое значение выражения

q = «Яблоко = Апельсин» ,

s = «Шапка покрывает голову» .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний.

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения «истина» и «ложь». Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами.

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул — левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B — формулы логики высказываний, то

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p — одиночное высказывание (атом) «Все рациональные числа являются действительными», q — «Некоторые действительные числа — рациональные числа», r — «некоторые рациональные числа являются действительными». Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

1) «нет действительных чисел, которые являются рациональными»;

2) «если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными»;

3) «если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа — рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными»;

4) «все действительные числа — рациональные числа и некоторые действительные числа — рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами»;

5) «все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными»;

6) «не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными».

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений («истина» или «ложь») для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно «лжи» тогда, когда из «истины» следует «ложь».

Заметим, что никакой атом не имеет вида

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций «по старшинству»:

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак

— самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая «порядок старшинства». А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака

(при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C) и

(A → B) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) — это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно «истина» и «ложь») всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией.

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием.

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из «истины» следует «ложь». Все значения исходного высказывания равны «истине». Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

Пример 10. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

Среди значений данного высказывания одно — «ложь», остальные — «истина». Следовательно, данная формула логики высказываний не является ни тавтологией, ни противоречием.

Заставляем компьютер понимать «если . то. «

То, что мы называем логическими операциями, впервые появилось предположительно в Древней Греции для доказательства философских постулатов. А в наше время логические операции наиболее широко применяются в компьютерной технике. Но при всём этом компьютер «не умеет» выполнять логическую операцию импликации. Она компьютеру «не понятна». Есть, однако, способ заставить компьютер понимать условие «если . то», соответствующее, как известно, импликации. Для этого вместо составного оператора «если p, то q» нужно использовать составной оператор «не p или q«. То есть, вместо .

Как видно ниже, таблица истинности для такой замещающей логической операции идентична таблице истинности для импликации.

Пример 11. Перепишите формулу логики высказываний без использования импликации и эквиваленции, пользуясь тождеством и законами де Моргана:

;

.

Заменяем импликацию между двумя парами скобок, отрицая самый левый знак отрицания:

.

Убираем эквиваленцию между p и q и между q и не r :

.

Используя закон де Моргана, немного упрощаем и окончательно получаем:

.

Посылки и выводы. Валидный и не валидный аргумент

Пусть есть высказывания, которые можно назвать посылками. Пусть также есть высказывание, которое можно назвать выводом. Словосочетание «можно назвать» используется при условии, что посылки связываются с выводом. То есть, из посылок логически следует вывод. Тогда, если посылки имеют значения «истина» и вывод тоже имеет значение «истина», то аргумент является валидным. Если же посылки имеют значения «истина», а вывод имеет значение «ложь», то аргумент не является валидным. Синонимы понятия «валидность» (в рассматриваемом здесь значении) — «логическая правильность», «резонность».

Пример валидного аргумента:

• Посылка. A и B — программисты
• Посылка. A и B разрабатывают программы для бухгалтеров
• Вывод. Есть программисты, которые разрабатывают программы для бухгалтеров

То есть, из посылок логически следует вывод.

Пример не валидного аргумента:

• Посылка. Запись числа может содержать запятую
• Посылка. В предложении может быть запятая
• Вывод. Есть числа, которые называются предложениями

То есть, из посылок логически не следует вывод.

Пример 12. Проверьте валидность аргумента, если

• Посылка.
• Посылка.
• Вывод.

Решение. Составляем таблицу истинности:

В третьей строке обе посылки истинны, а вывод — ложный. Следовательно, аргумент не валидный. Таким образом, в аналогичных задачах подозрительными являются те строки, в которых все посылки истинны. Если вывод также истинный, то аргумент валидный, если ложный, то аргумент не валидный, как в этом примере. Если же посылки или обе ложны, или ложна одна из них, то такие строки не играют роли в проверке аргумента на валидность, каким бы ни было значение вывода.