Подход с точки зрения измерения величин

Схема технологического процесса ремонта асинхронных двигателей и синхронных генераторов приведена на рисунке 69 и особых пояснений не требует.
Поскольку настоящее пособие рассчитано на студентов факультетов электрификации сельхозвузов, будущих инженеров-электриков, в пособии описаны наиболее важные, по мнению авторов, вопросы ремонта электрических машин. Кроме того, необходимо учесть, что Государственный Всесоюзный ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский институт ремонта и эксплуатации машинно-тракторного парка (ГОСНИТИ) разработал технологические карты и руководства по капитальному ремонту асинхронных электродвигателей, сварочного и автотракторного электрооборудования.

Схема технологического процесса ремонта короткозамкнутых электродвигателей.
Эти документы составлены в виде таблиц, в которых перечислены номера и содержание всех технологических операций, технические условия и указания по проведению ремонта, приводятся сведения об оборудовании, приспособлениях и инструменте, необходимом для ремонта. Технологические карты дополняются схемами, разрезами, рисунками.

Различные подходы к понятию «целое неотрицательное число» (аксиоматический, теоретико-множественный, с точки зрения измерения величин).

Аксиоматический метод в математике заключается в:

-вводятся основные понятия –без определения, и указываются отношения между понятиями

-формулируются высказывания выражающие свойства между основными понятиями и отношения, которые называются аксиомами

-после введения основных понятийных отношений аксиом, строится дальнейшая теория, на основе логического рассуждения-доказ теорема

Введем понятие натур числа с т.з. аксиоматич подхода:

1.введем основные понятия-множество, элемент, отношения:непосредственно следовать за

2.сформулируем аксиомы: а)для каждого элемента а существует единственный элемент а’, который непосредственно следует за а.

б)существует элемент а, который не следует ни за каким другим элементом- этот элемент называется 1

в)если элементы р и q непосредственно следуют за элементом а, то они равны

г)ни один элемент не может непосредственно следовать за двумя различными элементами

д)аксиоматическая индукция- если подмножество А множества N содержит еденицу и вместе с каждым элементом а содержит непосредственно следующий за ним элемент а’, то множество А совпадает с множеством N.

Мн-во N назыв множ натуральных чисел, а элемент этого мн-ва называется числом. Впервые данные аксиомы ввёл Пеано.

Теоретико -множ подх:

Рассмотрим 3 множ-ва….А-пальцев одной руки, В-пальцев одной ноги, С-вершин пятиконечной звезды.

Заметим что все эти множ-ва обладают общим свойством- число-элементов 5. Эти множества конечны и эквивалентны (т.е. между элементами можно установить взаимооднозначное соответствие).

Натуральным числом называют общее свойство класса конечных эквивалентных множеств. Т.о. каждому натуральному числу можно поставить в соответствие целый класс эквивалентн множеств и наоборот.

Мн-во целых неотрицат чисел обозначается Z+ в него входят 0 и натур числа. Число 0 тождественно с пустым множеством.

1.оно линейно и упорядочено

2.огранич снизу 1 и не ограничено сверху

3.дискретность- между числами А и В непосредственно следующими друг за другом нельзя найти такого числа С, которое находилось бы между ними.

Дата добавления: 2014-12-20 ; просмотров: 47 | Нарушение авторских прав

В. Я. Бараш

В настоящей статье приводится и обсуждается функциональное для метрологии понятия «величина». Определение понятия «величина» является одним из основных с точки зрения построение теории измерений.

Приведем определения величины в известных источниках.

В [1] термин «физическая величина, величина»: Одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Термины «измеряемая физическая величина, измеряемая величина».

Физическая величина, подлежащая измерению, измеряемая или измеренная в соответствии с основной целью измерительной задачи.

В [2] термин «Величина (измеряемая)»: Свойство явления, тела или вещества, которое может быть различимо качественно и определено количественно.

В [3] термин «измеряемая величина»: Конкретная величина, подлежащая измерению.

В [4] термин «величина»: Свойство явления, тела и вещества, которое может быть выражено количественно в виде числа с указанием репера1 (как основы для сравнения). Значение величины.

В [1] термин «значение физической величины»: Выражение физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц.

В [2]: Количественное значение величины, обычно в форме произведения единицы измерения на некоторое число.

В [3] термин «значение величины» отсутствует.

В [4] термин «значение величины» отсутствует. Однако, трактовка этого термина следует из вышеприведенного Примечания 1 к термину «величина».

Из изложенного следует важное отличие в подходе, принятом в [1], [2] и [3], с одной стороны, и в [4] с другой, относительно способа представления значения величины. Если в первых трех документах оно выражается только в единицах измерения, то в [4] это значение выражается в реперах (англ. reference), разновидностью которых может быть единица измерения, методика измерения, стандартный образец или их комбинация.

Приведенные термины и определения дают возможность сравнить концепцию неопределенности и концепцию погрешности.

В основе различий двух концепций метрологии лежит, прежде всего, различие в принципиальных подходах к фундаментальному понятию метрологии, именно к понятию «величина». В концепции погрешности величина рассматривается свойство явления, тела или вещества, имеющее единственное (уникальное) значение. В соответствии с этим и результат измерения имеет единственное значение, которое находится в некотором доверительном интервале. Принимается, что в пределах этого интервала с некоторой вероятностью находится уникальное значение измеряемой величины. Разность между результатом измерения и этим истинным значением представляет собой погрешность результата измерения. Эта разность, в силу того, что и истинное значение и результат измерения являются единственными, представляет собой действительную величину. Следовательно, упомянутый интервал или область представляет собой погрешность результата измерения. В силу того, что истинное значение величины неизвестно, указанная погрешность также является неизвестной величиной.

В концепции неопределенности [5] понятие «погрешность» сохранилось, однако претерпело существенное изменение. Погрешность может использоваться только в тех случаях, когда измерению подлежит величина, имеющая условное (приписанное) значение. В этих случаях погрешность, как разность результата измерения и измеряемой величины, является известной.

В концепции неопределенности можно обходиться без понятия истинного значения величины,применяя просто термин «величина».

Кроме того, в концепции неопределенности величины характеризуется не единственным значениям, а совокупностью значений, ограниченных некоторым интервалом, представляющим собой неопределенность измеряемой величины.

В отличие от концепции погрешности, где результат измерения имеет единственное значение, в концепции неопределенности результат измерения представляет собой интервал значений, включающий неопределеность измеряемой величины, нeoпределенность, связанную с процессом измерения, и неопределенность калибровки средства измерения.

Анализ определений величины в приведенных документах свидетельствует о том, что понятие «величина» не рассматривается с точки зрения ее зависимости от времени и пространства.

Вместе с тем с теоретической точки зрения признание объекта измерения неизменяемым и, следовательно, характеризуемым неизменными величинами, с физической точки зрения является неприемлемым.

Появление новых видов измерений, например, измерений переменного тока, вибрации, удара, переменных сил, переменных давлений, геометрических параметров поверхности, а также необходимость повышения точности измерений привели к созданию средств измерений, с помощью которых можно было измерять переменные во времени и пространстве физические величины. Однако, до сих пор, несмотря на то, что в отдельных видах измерений физических величин, переменных во времени и пространстве, созданы соответствующие средства измерений и нормативно-техническая база для их проведения, важнейшие метрологические проблемы общего характера остаются практически незатронутыми. К таким вопросам относятся: связь между статическими и динамическими измерениями, методология оценки погрешности и неопределенности измерений, методы корректировки динамических характеристик средств измерений и т. п.

Анализ определений величины и ее разновидностей в приведенных документах свидетельствует об отсутствии в них указания о связи величины с временем и пространством, т.е. с формами существования материальных объектов. Это можно расценить как указание на то, что величина всегда является неизменной во времени и пространстве. Между тем, с точки зрения физики гораздо более приемлемым является утверждение о том, что величины всегда являются переменными во времени и пространстве, что является фундаментальным свойством как величин, так и объектов измерения, ими характеризуемых. Закономерности изменения величины в пространстве и времени могут быть разнообразными и, с математической точки зрения, могут описываться различными зависимостями. Однако, можно попытаться на основе законов физики предложить обобщенную математическую модель величины, по меньшей мере, не противоречащую этим законам и дающую возможность на основе этой обобщенной модели создавать частные модели, описывающие все разнообразие форм изменения величин во времени и пространстве.

Признавая изменчивость величины во времени и пространстве, следует к основному определению величины добавить следующие положения:

• величина изменяется во времени и пространстве, т. е. в разные моменты времени и в разных координатах пространства величина имеет различные значения;
• обобщенная математическая модель представляет собой нецентрированный случайный процесс, т.е. случайный процесс, математическое ожидание которого не равно нулю;
• значение величины можно представить суммой ее математического ожидания и центрированной случайной величины;
• параметр величины-комбинация значения величины за интервал времени или пространственной координаты в соответствии с определенным алгоритмом. Параметр величины не является физической (материально) величиной,так как он представляет собой результат вычисления значения входной или преобразованной в процессе измерений входной величины.

Тема 5.1. Понятие величины и ее измерения

План лекции:

1.. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

2.Основные положения, связанные с однородными величинами

3.Измерение величин

Известно, что числа возникли из потребности счета и из­мерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в каче­стве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснова­ния выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с из­мерением положительных скалярных величин — длин, площа­дей, масс, времени и др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и ее измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

1. . Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1)Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной облада­ют объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объек­тов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что раз­ные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего не ска­жешь о форме — один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» — особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения уста­навливают, что-либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные ве­личины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и про­являются при сравнении предметов и явлений по этому свой­ству, причем каждая величина связана с определенным спосо­бом сравнения.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объ­ектов, называются величинами одного рода или однородными величинами: Например, длина стола и длина комнаты — это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородны­ми величинами.

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Другими словами, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «мень-
ше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямо­угольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А

Так, если площадь треугольника F₁ меньше площади тре­угольника F₂, и площадь треугольника F₂ меньше площади треугольника F₃, то площадь треугольника F1 меньше площа­ди треугольника F₃.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате
сложения получается величина того же рода. Иными словами,
для любых двух величин А и В однозначно определяется вели-
чина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью — их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измере­ние из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х/Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз вели­чина А больше (или меньше) величины Е, принятой за еди­ницу измерения.

Если А = х/Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = тЕ(А).

Например, если А

длина отрезка а, Е — длина отрезка b (рис. 118), то А = 4/Е. Число 4- это численное значение дли­ны А при единице длины Е, или, другими словами, число 4-это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из поня­тия измерения, данного выше, эти записи можно рассматри­вать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7 кг = 2,7-кг; 13 см = 13-см; 16 с = 16 с.

Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, напри­мер, требуется выразить 1\4ч в минутах. Так как1 ч = 60 и

час = 60 мин, то ч = *60-мин = = 25 мин.

Величина, которая определяется одним численным значе­нием, называется скалярной величиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная вели­чина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются дли­на, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения ве­личин к сравнению чисел, от действий над величинами к соот­ветствующим действиям над числами, и наоборот.

В математике при записи произведения величины А на чис­ло х принято число писать перед величиной, т.е. х*А. Но раз­решается писать и так: А*х. Тогда численное значение вели­чины А умножают на х, если находят значение величины А-х.

Рассмотренные понятия — объект (предмет, явление, про­цесс), его величина, численное значение величины, единица величины — надо уметь вычленять в текстах и задачах. Напри­мер, математическое содержание предложения «Купили 3 кило­грамма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойст­во — масса; для измерения массы использовали единицу массы -килограмм; в результате измерения получили число 3 — числен­ное значение массы яблок при единице массы — килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свой­ствами, которые являются величинами. Например, для чело­века- это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависи­мость, выражаемая формулой S=V/t

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величина­ми. Так, например, длина и масса — это разнородные величины.

Основы теории измерений

Фундаментальным понятием метрологии является измерение — нахождение значения физической вели­чины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств.

Физическая величина — свойство, общее в качест­венном отношении многим физическим объектам (масса, температура и т. д.), но в количественном отношении для каждого из них различное. Количественное содержание этого свойства в объекте называется размером физичес­кой величины. Получение информации о размере физи­ческой величины составляет суть любого измерения. Ве­личину, которой присвоено числовое значение, равное единице, называют единицей физической величины.

Физическую величину характеризуют истинное и действительное значения. Истинное значение идеаль­ным образом в качественном и количественном отно­шениях отражает определенное свойство объекта. Та­кое значение физической величины считается неизвест­ным и применяется в теоретических исследованиях. Значение физической величины, найденное экспери­ментальным путем и приближающееся к истинному значению настолько, что для данной цели может при­меняться вместо него, называется действительным.

Измерение физической величины производят пу­тем ее сравнения в процессе эксперимента с величи­ной, принятой за единицу физической величины. Це­лью измерения является получение значения этой ве­личины в форме, наиболее удобной для практического использования. Классификация измерений изображе­на на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Классификация измерений

Измерения, связанные с различными методами по­лучения информации, бывают четырех типов. Наиболее распространены прямые и косвенные измерения.

Прямым называют измерение, при котором значе­ние физической величины получают путем непосред­ственного сравнения ее с мерой (взвешивание, измере­ние длины и т. д.).

Косвенным называют измерение, при котором ре­зультат определяют на основании прямых измерений величин, связанных с определяемой величиной извест­ной зависимостью (определение сопротивления по за­кону Ома, если измерены сила тока и напряжение).

Совокупные измерения связаны с определением значения величины, являющегося результатом решения системы уравнений, составляемых по итогам одновре­менных измерений нескольких однородных физичес­ких величин.

Совместные измерения представляют собой измере­ния двух или более неоднородных физических величин для определения зависимости между ними.

Под методом измерения понимают прием или сово­купность приемов использования принципов и средств измерений. При прямых измерениях используются сле­дующие основные методы: непосредственной оценки, сравнения с мерой, дифференциальный, нулевой и со­впадения. При косвенных измерениях применяют преоб­разование измеряемой величины в процессе измерений. По условиям измерения методы разделяются на контакт­ный и бесконтактный.

Различия в характере динамики измеряемой физиче­ской величины обусловили существование трех разно­видностей измерений.

• Статические измерения проводятся при измерении практически постоянной величины.

• Динамические измерения проводят при измерении величин, изменяющихся в процессе измерений.

• Статистические измерения связаны с определением параметров случайных процессов (например, уров­ня шумов).

По отношению к основным единицам измерения де­лятся на абсолютные и относительные.

• При абсолютных измерениях используют прямое измерение основной величины и физическую кон­станту (например, скорость света, постоянную План­ка и т. д.).

• При относительных измерениях устанавливают от­ношение измеряемой величины к однородной, ис­пользуемой в качестве единицы.

С точки зрения количества замеров величин разли­чают однократные и многократные измерения:

одно­кратное измерение предполагает соответствие числа измерений числу измеряемых физических величин;

многократное — большее число измерений, чем коли­чество измеряемых физических величин. Для измере­ния величин на практике применяются разнообразные средства измерений.

Средство измерений — это техни­ческое средство (комплекс технических средств), ис­пользуемое при измерениях и имеющее нормированные метрологические характеристики. С точки зрения мет­рологического назначения, средства измерений подраз­деляются на два класса — рабочие и эталоны. Рабочие средства измерений предназначены для технических измерений. Эталоны служат для передачи информации о размере единицы от более точных средств измерений к менее точным.

Эталонная база России — совокупность первичных и вторичных эталонов, а также исходных установок высшей точности для воспроизведения единиц физичес­ких величин. В наследство от СССР России досталась база, входящая в тройку лучших эталонных баз в мире, наряду с американской и японской. Современная рос­сийская эталонная база имеет в своем составе 118 госу­дарственных эталонов, более 70 установок высшей точ­ности и 250 вторичных эталонов.

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величин

Лекция 4. Натуральное число как результат измерения величины

1. Понятие величины. Однородные и разнородные величины. Положительная скалярная величина.

2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения.

3. Смысл суммы и разности.

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Понятие положительной скалярной величины

Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но, если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. В данной теме в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив натуральное число как меру величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий над ними.

Определение 1. Под величинами в математике понимают свойства объектов, которые допускают сравнение ( , =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.

Форма, цвет, материал — не являются величинами, т.к. они не допускают сравнения (например, нельзя сказать «более деревянный» или «менее деревянный»).

Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, количество, цена, стоимость, масса, время, расстояние — величины.

Однородные и неоднородные величины

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. В противном случае величины называют разнородными.

Например, длина и расстояние, длина стола и длина комнаты – это однородные величины. Масса и длина – разнородные величины.

Виды величин

— Скалярная величина (определяется одним числовым значением). Пример: длина, масса.

— Положительная скалярная величина (принимает только положительные числовые значения). Пример: длина, масса, время, стоимость, количество товара.

— Векторная величина (характеризуется числом и направлением). Пример: скорость ветра, сила.

— Тензорная величина (характеризуется несколькими числами, в школе не изучаются). Пример: физическое состояние спортсмена, паспортные данные человека.

— Латентная величина (нематематическая, им нельзя поставить в соответствие число, сравнение происходит на интуитивной основе). Пример: ум, красота.

Аксиомы положительных скалярных величин

Аксиома 1: Любые две положительные скалярные величины можно сравнить. Если a и b — однородные положительные скалярные величины, то для них справедливо одно из трех утверждений: 1) a=b или 2) a b.

Аксиома 2: Любые однородные положительные скалярные величины можно складывать. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 3: Из большей положительной скалярной величины можно вычесть меньшую положительную скалярную величину, ей однородную. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 4: Любую положительную скалярную величину можно умножить на положительное действительное число. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 5:Любую положительную скалярную величину можно разделить на величину, ей однородную. В результате получится положительное действительное число.

Положительной скалярной величине можно поставить в соответствие количественную характеристику — численное значение (меру) при выбранной единице измерения. Отыскать численное значение величины возможно в результате ее измерения.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины — длины отрезка.

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величин

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение 2. Считают, что отрезок х состоит из от­резков х₁, х₂ ,…, х_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х₁, х₂ ,…, х_n и пишут х = х_{1 +} х_{2 +} х_n.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком,а длину обозначим буквой Е.

Определение 3. Если отрезок х состоит из аотрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.

Например, отрезок х (рис. 1) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е. Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х буквой Х, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = т_Е(Х).

Из данного определения получаем, что ­что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать дли­ну отрезка е₁, (рис. 1), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: X = 3 ∙ Е ₁ или m_E (X) = 3.

2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отре­зок у — из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального чис­ла и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см 2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру,

Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Смысл суммы и разности

Теорема 1. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и дли­ны отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z со­ответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y)=a, m(Z)=b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбива­ется на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей.

Значит, m(X) = a + b = m(Y) + m(Z).▀

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел a и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа a и b

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, по­лученных в результате измерения других положительных ска­лярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач.

Пример 1. Обосновать выбор действия сложения при решении задачи: «В саду собрали 7 кг смородины и З кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

Решение: В задаче две величины — масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сло­жить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сло­жить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи,

Теорема 2. Если отрезок хсостоит из отрезков у и z и дли­ны отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка zравна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично до­казательству предыдущей.

Из этой теоремы следует, что разность натуральных чи­сел а и b можно рассматривать как меру длины такого от­резка z = х — у, что если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач

Пример 2. Обосновать выбор действия вычитания при решении задачи: «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?»

Решение: В задаче рассматривается масса овощей, известно ее чис­ленное значение. Эта масса складывается из массы картофе­ля и массы капусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофе­ля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значе­ние массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. (Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины — длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х₁, х₂. х_п, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х₁, х₂. х_п и пишут х = х₁  х₂ … х_п

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Например, отрезок х (рис. 3) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.

Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х — буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = m_Е (Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис. 1), то мера длины отрезка будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3Е₁ или m_Е1 (Х) = 3.

Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у — из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см 2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.

3. Смысл суммы и разности

Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b.

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины — масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7+3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3 получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.

Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z , что z  у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы ка­пусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах — массе моркови и массе карто­феля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

М.

Если построить вспомогательную модель задачи (рис. 4), то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс — слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел — мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание — с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы — килограмм при условии, что 1 пакет — это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице — килограмм, можно представить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁, равна а b.

Доказательство. По условию отрезок х состоит из от отрезков равных е, а отрезок е — из b отрезков, равных е₁ (рис. 5, а). Обозначим длину отрезка х буквой X, длину отрезка е — буквой Е, длину отрезка е₁ — буквой Е₁. Так как по условию , а , то Х = а  Е, Е = b  Е₁ . Нетрудно видеть, что частей отрезка х, равных е₁, будет аb, так как . Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а b. Можно записать, что Х = аЕ= а(вЕ₁) = (а b)  Е₁.

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а — мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b — мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а b — это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:а в = т_Е (Х)  т_Е1(Е) = т_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 43, если 4 и 3 — числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = m_Е (Х), 3 = m_Е1 (Е), где Х — измеряемая величина, Е — первоначальная единица величины, а Е₁ — новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 43 = m_Е1 (X), т.е. 43 – это численное значение длины Х при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х — длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4 Е. Если Е₁ — новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4 Е= 4  (3Е₁) = (4 3) Е₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?» решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице — ручка, причем известно, что коробка — это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3 кор. = 3 (6 руч.) = 3  (6 руч.) = (3 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой — ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы — килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы — пакета, причем известно, что 1 пакет — это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице — пакет, можно представить в таком виде: 6кг=6кг=6(пак.)=(6) пак. = (6:2) пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а: b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а — мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b — мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а: b — это мера длины отрезка х при единице длины Е_1: а : b = m_Е (Х) : m_Е1 (Е₁) = m_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины — метр, и известно численно значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причем известно, что платье — это 4 м, откуда метр — это платья.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице — платье, можно представить в таком виде: 12м=12м=12(пл.)=(12)пл.=(12:4)пл.

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел — мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Напомним, что умножить величину А на натуральное число х – это значит получить такую величину В того же рода, что В = х  А или В =А  х, причем

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А  х , то m_Е (В) = m_Е (А)  х.

Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2  3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А  х, где х — натуральное число, В и А — величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

зная А и В, находят число х (х = В: А), причем х = m_Е (В) : m_Е (А); это деление по содержанию;

зная В и х, находят А (А = В : х), причем m_Е (А ) = m_Е (В): х; это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи (рис. 6), то можно к. сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3-2, получим ответ на вопрос задачи.

М.