Магнитное поле с точки зрения физики

Магнитное поле (МП) это то, что существует в области пространства, в которой на электрически нейтральный проводник с током действует сила, называемая магнитной. ИСТОЧНИКОМ МП является движущаяся электрически заряженная частица (заряд), которая создает также и электрическое поле.

Если вблизи одной движущейсяп заряженной частицы (заряда №1) будет находиться вторая движущаяся с такой же скоростью V заряженная частица (заряд №2), то на второй заряд будут действовать 2 силы: электрическая (кулоновская) и магнитная сила , которая будет меньше электрической в раз, где с – скорость света.

Для практически любых ПРОВОДОВ с током выполняется ПРИНЦИП КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТИ: несмотря на наличие и движение заряженных частиц внутри проводника, любой (не слишком малый) его отрезок имеет нулевой суммарный электрический заряд. Поэтому между обычными проводами с током наблюдается только магнитное взаимодействие.

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ — характеристика силового действия МП на проводник с током, векторная величина, обозначаемая символом .

ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ — линии, в любой точке которых вектор индукции МП направлен по касательной.

Анализ взаимодействия движущихся зарядов с учетом эффектов теории относительности (релятивизма) дает выражение для индукции МП, создаваемого элементарным отрезком c током I , расположенным в начале координат (закон Био-Савара-Лапласа или Б-С-Л):

,

где — радиус-вектор точки наблюдения, — единичный радиус-вектор, направленный в точку наблюдения, m — магнитная постоянная.

МП подчиняется ПРИНЦИПУ СУПЕРПОЗИЦИИ: индукция МП нескольких источников является суммой индукций полей, создаваемых независимо каждым источником .

ЦИРКУЛЯЦИЕЙ МП называется интеграл по замкнутому контуру от скалярного произведения индукции МП на элемент контура: .

ЗАКОН ЦИРКУЛЯЦИИ МП: циркуляция МП по замкнутому контуру L пропорциональна суммарному току, пронизывающему поверхность S(L), ограниченную этим контуром L . .

Закон Б-С-Л и принцип суперпозиции МП позволяют получить многие другие закономерности, в частности, индукцию магнитного поля прямого бесконечно длинного проводника с током: .

Линии магнитной индукции поля прямого проводника с током представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводнику, с центрами, расположенными на его оси.

Индукция МП на оси кругового контура (витка) радиуса R с током I на расстоянии r от центра: ,

где — МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ витка площадью S, — единичный вектор нормали к поверхности витка.

СОЛЕНОИДОМ называется длинная прямая катушка с током. Величина индукции МП вблизи центра соленоида меняется очень мало. Такое поле можно считать практически однородным.

Из закона циркуляции МП можно получить формулу для индукции МП в центре соленоида B = mIn , где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Закройте окно теории. Рассмотрите внимательно рисунок, изображающий компьютерную модель. Найдите на нем все основные регуляторы и поле эксперимента. Зарисуйте необходимое в конспект.

ТАБЛИЦА 1. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ

ТАБЛИЦА 2. Значения величины тока (не перерисовывать)

Магнитное поле

Магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущихся электрических зарядов – токов.

Источниками магнитного поля являются постоянные магниты, проводники с током. Обнаружить магнитное поле можно по действию на магнитную стрелку, проводник с током и движущиеся заряженные частицы.

Для исследования магнитного поля используют замкнутый плоский контур с током (рамку с током).

Впервые поворот магнитной стрелки около проводника, по которому протекает ток, обнаружил в 1820 году Эрстед. Ампер наблюдал взаимодействие проводников, по которым протекал ток: если токи в проводниках текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если токи в проводниках текут в противоположных направлениях, то они отталкиваются.

Свойства магнитного поля:

• магнитное поле материально;
• источник и индикатор поля – электрический ток;
• магнитное поле является вихревым – его силовые линии (линии магнитной индукции) замкнутые;
• величина поля убывает с расстоянием от источника поля.

Важно!
Магнитное поле не является потенциальным. Его работа на замкнутой траектории может быть не равна нулю.

Магнитным взаимодействием называют притяжение или отталкивание электрически нейтральных проводников при пропускании через них электрического тока.

Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов объясняется так: всякий движущийся электрический заряд создает в пространстве магнитное поле, которое действует на движущиеся заряженные частицы.

Силовая характеристика магнитного поля – вектор магнитной индукции ​ \( \vec \) ​. Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального значения силы, действующей со стороны магнитного поля на проводник с током, к силе тока в проводнике ​ \( I \) ​ и его длине ​ \( l \) ​:

Обозначение – \( \vec \) , единица измерения в СИ – тесла (Тл).

1 Тл – это индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила 1 Н.

Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки (направление, которое указывает северный полюс магнитной стрелки), свободно установившейся в магнитном поле.

Направление вектора магнитной индукции можно определить по правилу буравчика:

если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Для определения магнитной индукции нескольких полей используется принцип суперпозиции:

магнитная индукция результирующего поля, созданного несколькими источниками, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

Поле, в каждой точке которого вектор магнитной индукции одинаков по величине и направлению, называется однородным.

Наглядно магнитное поле изображают в виде магнитных линий или линий магнитной индукции. Линия магнитной индукции – это воображаемая линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной к ней.

Свойства магнитных линий:

• магнитные линии непрерывны;
• магнитные линии замкнуты (т.е. в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам);
• магнитные линии имеют направление, связанное с направлением тока.

Густота расположения позволяет судить о величине поля: чем гуще расположены линии, тем сильнее поле.

На плоский замкнутый контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, действует момент сил ​ \( M \) ​:

где ​ \( I \) ​ – сила тока в проводнике, ​ \( S \) ​ – площадь поверхности, охватываемая контуром, ​ \( B \) ​ – модуль вектора магнитной индукции, ​ \( \alpha \) ​ – угол между перпендикуляром к плоскости контура и вектором магнитной индукции.

Тогда для модуля вектора магнитной индукции можно записать формулу:

где максимальный момент сил соответствует углу ​ \( \alpha \) ​ = 90°.

В этом случае линии магнитной индукции лежат в плоскости рамки, и ее положение равновесия является неустойчивым. Устойчивым будет положение рамки с током в случае, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.

Взаимодействие магнитов

Постоянные магниты – это тела, длительное время сохраняющие намагниченность, то есть создающие магнитное поле.

Основное свойство магнитов: притягивать тела из железа или его сплавов (например стали). Магниты бывают естественные (из магнитного железняка) и искусственные, представляющие собой намагниченные железные полосы. Области магнита, где его магнитные свойства выражены наиболее сильно, называют полюсами. У магнита два полюса: северный ​ \( N \) ​ и южный ​ \( S \) ​.

Важно!
Вне магнита магнитные линии выходят из северного полюса и входят в южный полюс.

Разделить полюса магнита нельзя.

Объяснил существование магнитного поля у постоянных магнитов Ампер. Согласно его гипотезе внутри молекул, из которых состоит магнит, циркулируют элементарные электрические токи. Если эти токи ориентированы определенным образом, то их действия складываются и тело проявляет магнитные свойства. Если эти токи расположены беспорядочно, то их действие взаимно компенсируется и тело не проявляет магнитных свойств.

Магниты взаимодействуют: одноименные магнитные полюса отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Магнитное поле проводника с током

Электрический ток, протекающий по проводнику с током, создает в окружающем его пространстве магнитное поле. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле.

Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.

Направление линий магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику.

Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика: если поступательное движение буравчика (1) совпадает с направлением тока (2) в проводнике, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий (4) магнитного поля вокруг проводника.

При изменении направления тока линии магнитного поля также изменяют свое направление.

По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля уменьшается.

Направление тока в проводнике принято изображать точкой, если ток идет к нам, и крестиком, если ток направлен от нас.

Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют катушкой.

В проводнике, согнутом в виде витка, магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается.

Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки.

Магнитное поле катушки с током имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита: силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят в другой ее конец. Поэтому катушка с током представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такую катушку называют электромагнитом.

Направление линий магнитной индукции катушки с током находят по правилу правой руки:

если мысленно обхватить катушку с током ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в ее витках, тогда большой палец укажет направление вектора магнитной индукции.

Для определения направления линий магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика:

если вращать ручку буравчика по направлению тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Полярность электромагнита (направление магнитного поля) можно определить и с помощью правила правой руки.

Сила Ампера

Сила Ампера – сила, которая действует на проводник с током, находящийся в магнитном поле.

Закон Ампера: на проводник c током силой ​ \( I \) ​ длиной ​ \( l \) ​, помещенный в магнитное поле с индукцией ​ \( \vec \) ​, действует сила, модуль которой равен:

где ​ \( \alpha \) ​ – угол между проводником с током и вектором магнитной индукции ​ \( \vec \) ​.

Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ​ \( B_\perp \) ​ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера.

Сила Ампера не является центральной. Она направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Сила Ампера широко используется. В технических устройствах создают магнитное поле с помощью проводников, по которым течет электрический ток. Электромагниты используют в электромеханическом реле для дистанционного выключения электрических цепей, магнитном подъемном кране, жестком диске компьютера, записывающей головке видеомагнитофона, в кинескопе телевизора, мониторе компьютера. В быту, на транспорте и в промышленности широко применяют электрические двигатели. Взаимодействие электромагнита с полем постоянного магнита позволило создать электроизмерительные приборы (амперметр, вольтметр).

Простейшей моделью электродвигателя служит рамка с током, помещенная в магнитное поле постоянного магнита. В реальных электродвигателях вместо постоянных магнитов используют электромагниты, вместо рамки – обмотки с большим числом витков провода.

Коэффициент полезного действия электродвигателя:

где ​ \( N \) ​ – механическая мощность, развиваемая двигателем.

Коэффициент полезного действия электродвигателя очень высок.

Алгоритм решения задач о действии магнитного поля на проводники с током:

• сделать схематический чертеж, на котором указать проводник или контур с током и направление силовых линий поля;
• отметить углы между направлением поля и отдельными элементами контура;
• используя правило левой руки, определить направление силы Ампера, действующей на проводник с током или на каждый элемент контура, и показать эти силы на чертеже;
• указать все остальные силы, действующие на проводник или контур;
• записать формулы для остальных сил, упоминаемых в задаче. Выразить силы через величины, от которых они зависят. Если проводник находится в равновесии, то необходимо записать условие его равновесия (равенство нулю суммы сил и моментов сил);
• записать второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях;
• решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
• решение проверить.

Сила Лоренца

Сила Лоренца – сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

Формула для нахождения силы Лоренца:

где ​ \( q \) ​ – заряд частицы, ​ \( v \) ​ – скорость частицы, ​ \( B \) ​ – модуль вектора магнитной индукции, ​ \( \alpha \) ​ – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.

Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ​ \( B_\perp \) ​ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если заряд частицы отрицательный, то направление силы изменяется на противоположное.

Важно!
Если вектор скорости сонаправлен с вектором магнитной индукции, то частица движется равномерно и прямолинейно.

В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы.

Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то частица движется по окружности, радиус которой равен:

где ​ \( m \) ​ – масса частицы, ​ \( v \) ​ – скорость частицы, ​ \( B \) ​ – модуль вектора магнитной индукции, ​ \( q \) ​ – заряд частицы.

В этом случае сила Лоренца играет роль центростремительной и ее работа равна нулю. Период (частота) обращения частицы не зависит от радиуса окружности и скорости частицы. Формула для вычисления периода обращения частицы:

Угловая скорость движения заряженной частицы:

Важно!
Сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца изменяется направление скорости частицы.

Если вектор скорости направлен под углом ​ \( \alpha \) ​ (0° \( \alpha \) \( \vec_2 \) ​, параллелен вектору \( \vec \) , а другой, \( \vec_1 \) , – перпендикулярен ему. Вектор \( \vec_1 \) не меняется ни по модулю, ни по направлению. Вектор \( \vec_2 \) меняется по направлению. Сила Лоренца будет сообщать движущейся частице ускорение, перпендикулярное вектору скорости \( \vec_1 \) . Частица будет двигаться по окружности. Период обращения частицы по окружности – ​ \( T \) ​.

Таким образом, на равномерное движение вдоль линии индукции будет накладываться движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору \( \vec \) . Частица движется по винтовой линии с шагом ​ \( h=v_2T \) ​.

Важно!
Если частица движется в электрическом и магнитном полях, то полная сила Лоренца равна:

Особенности движения заряженной частицы в магнитном поле используются в масс-спектрометрах – устройствах для измерения масс заряженных частиц; ускорителях частиц; для термоизоляции плазмы в установках «Токамак».

Алгоритм решения задач о действии магнитного (и электрического) поля на заряженные частицы:

• сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного (и электрического) поля, нарисовать вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;
• изобразить силы, действующие на заряженную частицу;
• определить вид траектории частицы;
• разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному;
• составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил;
• выразить силы через величины, от которых они зависят;
• решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
• решение проверить.

14. Физическая природа магнитных свойств вещества.

Прежде чем начать изложение поставленного в заголовке настоящего параграфа вопроса, отметим, что природа магнитных свойств вещества является существенно квантовой.

14.1. Формулировка проблемы в терминах классической физики.

Существуют два аспекта проблемы магнитных свойств вещества, которые однако, взаимосвязаны с собой.

Отсутствие силового механизма магнитного упорядочения.

Как было показано выше (§ 12, 13) магнитное поле не совершает работы, и на магнитный момент в магнитном поледействует момент сил

(14.1)

Под действием этого поля момент магнитного диполя только прецессирует в пространстве. При этом никакого упорядочения магнитных моментовне происходит (см. рис. 12.1).

В формуле (14.1) есть одна небольшая тонкость, которую следует сразу же отметить. Действительно, в формулах классической микрофизики фигурировала магнитная напряженность (см. § 12). После перехода к макроскопической электродинамике изменилось обозначение и название этой величины. Как видно из формул § 6 (см. (6.235)) место напряженностив них заняла индукция магнитного поля. Тем не менее итоговый результат – прецессия магнитного момента во внешнем магнитном поле (без какого-либо упорядочения) остался неизменным.

Рассмотрим частицу во внешнем магнитном поле в рамках классической физики. Эта частица массы описывается (как следует из § 4) лагранжианом

(14.2)

где ,– потенциалы внешнего магнитного поля. Построим по лагранжиану (14.2) соответствующий гамильтониан. Для этого найдем классический канонический импульс частицы

(14.3)

По формулам (14.2), (14.3) строится гамильтониан теории.

Итого, гамильтониан в классической физике имеет вид:

(14.4)

Для замкнутой системы «частица + магнитное поле» гамильтониан имеет физический смысл энергии. Эта энергия такова, что в ней полностью отсутствует магнитное поле. Поэтому полене совершает работы и никак не сказывается на энергетических характеристиках частиц.

Итак, вопрос об упорядочении во внешнем магнитном поле не может быть решён с точки зрения энергетической выгодности упорядоченного состояния.

Разумеется оба критерия – 1) и 2) – связаны друг с другом однозначно. Однако, классическое выражение для энергии частиц состоит из величин, которые с точки зрения квантовой физики принципиально неизмеримы.

Действительно в классической физике существует понятие траектории частицы, и скорость на траектории движения измерима лишь только точно, когда измерены два значения координат

(14.5)

После выбора калибровки легко найти и соответствующее значение потенциала . В квантовой же теории скорость неизмерима принципиально, так как отсутствует понятие траектории движения.

Таким образом, можно сделать вывод, что в классической физике проблема принципиально не решаема и использованные нами классические понятия неприменимы к магнитным явлениям и измерениям.

14.2. Частица во внешнем поле с точки зрения квантовой механики.

Квантовая теория является, в настоящее время феноменологической. При построении квантовой теории учитывается эффект целостности микромира – макрообстановки и микрообъекта. Сам по себе микрообъект не обладает какими-либо свойствами. Он приобретает их, взаимодействуя с макрообстановкой. Квантовый мир является миром целостных и разорвать сложные нелокальные связи микрообъекта с остальным миром невозможно. Мерой квантовой целостности является постоянная Планка

(14.6)

Тот способ учета квантовой целостности, который реализован в квантовой механике (и в квантовой теории поля) неоднократно подтвержден экспериментально.

В квантовой механике каждому измерительному прибору сопоставляется оператор. Сами измерительные приборы считаются классическими макроскопическими телами. По виду уравнения квантовой механики для операторов совпадают с уравнениями классической физики для классических макроскопических величин. Последнее утверждение составляет содержание аксиомы квантовой механики – принципа соответствия. Другая аксиома – принцип неопределенности – утверждает, что импульс и координата частицы не измеримы одновременно. Имеет место коммутационное соотношение для операторов импульса и координаты

(14.7)

откуда следует связь между дисперсиями импульса и координаты

(14.8)

При имеет место предельный переход в классическую физику (объекты,превращаются в коммутирующие).

Запишем принцип соответствия в форме гамильтоновых уравнений для операторов

(14.9)

При из (14.9) следуют обычные числовые уравнения классической физики. Отличие коммутатора (14.7) от нуля придаёт уравнениям (14.9) операторный характер, а из них (при учете коммутационных соотношений между операторами (14.7)) выводятся уравнения Шредингера для вектора состояния, сопоставляемого в гильбертовом пространстве микрообъекту

(14.10)

На другом языке квантовая целостность означает взаимодействие макроприбора и микрообъекта неизвестным нам способом.

Итак, совместно ,измерить нельзя, но по отдельности, можно. Критерий измеримости состоит в том, что за исключением координаты, которая измеряется путем измерения положения частицы в пространстве все остальные величины должны быть интегралами движения для замкнутых систем, иначе они вообще неизмеримы. Для того, чтобы измерить импульс, надо измерить импульс макроприбора, переданный ему микрообъектом. Такое измерение возможно. Поэтому для замкнутой системы импульс – сохраняющая величина. Вот почему в соотношении неопределенности присутствует (как и в уравнениях Гамильтона) канонический импульс. Только такой импульс фигурирует в квантовой механике. Все интегралы движения для замкнутых систем строятся по каноническому импульсу. Сумма всех импульсов частиц для замкнутой системы постоянна.

Отметим также, что весьма употребительным в квантовой механики является координатное представление, в котором, грубо говоря, операторы импульса и координаты заменяются следующими выражениями

(14.11)

Отметим здесь, что выражение (14.11) для импульса относится к каноническому импульсу (тому импульсу, который фигурирует в соотношениях неопределенности).

Отметим здесь, что сущестнаивные (сильно упрощенные) представления об импульсе частицы

(14.12)

В то же время канонический импульс в классической теории есть более сложная величина

(14.13)

Именно канонический импульс входит в законы сохранения для замкнутых систем, и именно он наблюдаем. Последняя формула на языке квантовой механики (с учетом принципа соответствия) переписывается как

(14.14)

что обеспечивает само существование лагранжиана как функции от операторов

(14.15)

Именно формула (14.15) для лагранжиана диктуется принципом соответствия. Отметим, что вне зависимости от явного выражения для лагранжиана, для канонического импульса в координатном представлении справедливо выражение (14.11).

Проведем вычисления гамильтониана магнитных явлений в квантовой теории. Согласно принципу соответствия квантовой механики, лагранжиан (14.2) надо переписать в операторном виде

(14.16)

Используя и далее принцип соответствия построим по оператор канонического импульса.

(14.17)

Отметим в связи с выражением (14.17), что – функция оператора координаты и, поэтому, – измеримая величина.

Координата измерима сама по себе с любой точностью.

Импульс измерим сам по себе с любой точностью, но не одновременно с координатой.

Зададимся вопросом, а измерима ли скорость сама по себе в квантовой механике? Ответ на этот вопрос однозначен: ни прямыми ни косвенными методами скорость неизмерима, так как для измерения нужна траектория движения (или хотя бы два последовательных положения частицы в пространстве).

Аналогичный вывод прямо следует из постулатов квантовой механики. Действительно, пусть первое измерение точно. Неопределенность импульса после него равна бесконечности . Тогда после первого же точного измерения координаты получится столь большой импульс, что в следующий момент времени частица может оказаться в любой точке пространства. В целом, ситуация перестает быть объектом локальных измерений. Существует ли косвенный метод измерения скорости? Нет не существует, потому что идея такого измерения могла бы заключаться в независимом измерении компонент потенциалаи. Однако координаты и импульсы независимо неизмеримы. Найдем выражение дляиз (14.17)

(14.18)

и будем выражать гамильтониан теории через,.

(14.19)

Выразим согласно (14.18) и получим

Получили канонический гамильтониан как функцию координат и импульсов

(14.20)

В выражении (14.20) перейдем к координатному представлению квантовой механики. Получаем

(14.21)

В выражении (14.21) учтена физическая тонкость. Операторы наблюдаемых физических величин в квантовой механике обязаны быть эрмитовыми. Эрмитовость гамильтониана достигается симметризацией второго слагаемого правой части. Получили правильное выражение для гамильтониана частицы, находящейся во внешнем поле. Из выражения (14.21) в квантовой механике исходят для расчета многих наблюдаемых эффектов. В частности это относится к эффекту Зеемана – расщеплению спектральных линий атома во внешнем магнитном поле. Разобьем гамильтониан (14.21) на два слагаемых

(14.22)

(14.23)

гамильтониан частицы без учета взаимодействия с внешним полем;

(14.24)

гамильтониан взаимодействия частицы с внешним полем. Все проделанные до сих пор выкладки выполнены по строгим правилам квантовой механики.

А теперь задумаемся над полученным выражением (14.22). Видим, что в квантовой теории магнитное поле приобрело совершенно определенные энергетические функции. В частности, появилась энергия взаимодействия частицы с полем . Отметим, что в квантовой механике совершенно определенно зафиксированы иные, чем в классической физике представления о наблюдаемых, и в частности, это относится к представлениям об энергии.

Классические представления, примененные к проблеме магнетизма оказываются неверными (о чем свидетельствует эксперимент). Квантовую динамику системы определяет оператор энергии , и в свою очередь, эта динамика зависит от магнитного поля, чего не было в классической физике. Делаем вывод, что классическая физика слишком груба для описания магнитных явлений. Она теряет воздействие магнитного поля на формирование энергетического спектра системы. Эту ситуацию можно пояснить следующим образом. При качественном использовании классических образов «на пальцах» нам удается построить картины или, что более точно, – результаты физических явлений. Видимо, это соответствует тому, что человек сам является макроскопическим существом – классическим макроскопическим объектом. При этом возникает проблема, как же в классических терминах объяснить энергетику магнитного поля? Но после использования квантовой теории, приходим к новому для нас результату – энергетический спектр квантовых систем зависит от магнитного поля. (Это есть следствие зависимости отгамильтониана системы). Еще раз остановимся на мотивации использованного подхода. Следствием чего он является? Он является следствием зависимости от постояннойгамильтониана теории. В постояннойзафиксирован принцип целостности микро и макро миров. Эта целостность подтверждена многими физическими эффектами. В частности энергетикой излучения абсолютно черного тела и эффектом Зеемана атомной физики. Соответствующие физические явления описать адекватно в классической физике совершенно невозможно. Отсюда делаем важный для дальнейшего вывод: природу магнетизма мы понимаем так, как понимаем квантовую теорию вообще. Заметим, что нет другого выхода, как воспользоваться для описания магнитных явлений феноменологической квантовой схемой, оправданной экспериментом. В той же мере, в которой верны принципы квантовой теории правильно и наше понимание магнитных явлений.

Обобщим выражения (14.21) для на случай системы тождественных частиц, находящихся во внешнем поле. Получим, суммируяпо всем частицам

(14.25)

где не содержит магнитного поля.

Возьмем классическое выражение для магнитного момента

(14.26)

и исключим с помощью (14.18) ненаблюдаемую в квантовой теории скорость

(14.27)

Получим выражение для дипольного магнитного момента

(14.28)

которое легко переписывается для системы тождественных частиц ,

(14.29)

Магнитный момент складывается из двух слагаемых. Первое из них характеризует систему в целом и к наличию или отсутствию магнитного поля отношение не имеет (как не имеет его величина ). Эта первая часть моментаназывается моментом орбитального движения, и для системы тождественных частиц переписывается через момент количества движения системы

(14.30)

Вторая часть носит название индуцированный (магнитным полем ) дипольный момент

(14.31)

Почему в квантовой теории возникает наблюдаемый индуцированный эффект от магнитного поля? В основе этого эффекта лежит принцип неопределенности. Так же как невозможно точно сказать, в какой же точке пространства находится частица, имеющая импульс, так и невозможно точно определить силу, действующую на частицу. Частица предстает перед наблюдателем как делокализованный (размазанный по пространству) объект. В то же время, сила Лоренцасодержит скорость, принципиально ненаблюдаемую в квантовой теории. Вот почему классическое выражение дляв квантовой теории смысла не имеет и ее работа, следовательно, тоже. Практически ненаблюдаемость скоростив квантовой теории ликвидирует все классические соображения о производстве работы. Но общие принципы квантовой теории помогают разобраться в сути дела. Действительно, в квантовой теории имеется выражение для гамильтониана, содержащее энергетический эффект от магнитного поля. Напомним, что согласно принципу соответствия магнитный момент в квантовой теории является оператором и его собственные значения квантуются.

Для того, чтобы разобраться в сути дела необходимо вспомнить, что орбитальный момент частицы в квантовой механике квантуется (эта информация необходима, хотя бы, ввиду выражения (14.30)).

Для одновременно измеримых величин – (проекции момента на ось «») и его квадратасуществуют спектральные формулы квантовой механики:

(14.32)

(14.33)

где ;– вектор состояния, принадлежащий ансамблю квантовых частиц, совершающих орбитальное движение.

Перепишем все формулы для важного частного случая постоянного магнитного поля . Рассматриваемая теория, прежде всего, будет прилагаться к атомам, находящимся в магнитном поле. Так, что система частиц, о которой идет речь – это, прежде всего, электроны в атоме. На масштабах же атома магнитное поле меняется очень слабо. Так, что рассматриваемое приближение адекватно такой квантовой системе.

Выразим потенциал постоянного магнитного поля через магнитную индукцию. Для чего используем формулы

(14.34)

(14.35)

(14.36)

Формула (14.36) является догадкой, которую, однако, легко обосновать. Перепишем всю систему (14.34)-(14.36) в тензорной форме. Получим

(14.37)

Приведенные выкладки выполнены весьма подробно и не требуют дополнительных комментариев. В результате удалось показать, что угаданная для векторного потенциала формула (14.36) является правильной и не противоречит двум другим формулам исследованной системы (14.34)-(14.36). То есть, эта система при использовании (14.36) обращается в тождество.

Пользуясь этими выражениями, перепишем гамильтониан (14.25) для системы тождественных частиц ,.

Подставляя выражение (14.36) в (14.25), получаем

(14.38)

Используя цикличность смешанного произведения векторов, образуем в первом члене (14.38) момент орбитального движения частиц

(14.39)

В физике принято под без индексов «орбитальное движение» понимать собственно магнитный момент, сочетания буквобозначать индуцированный магнитный момент. Это всего лишь соглашение об обозначении физических величин, смысл которого от этого не меняется.

Итого выражение для гамильтониана системы частиц во внешнем магнитном поле приобретает вид

(14.40)

До сих пор не учитывалось то, что частицы обладают еще собственным моментом количества движения – спином – учитывался лишь орбитальный момент.

Как же теперь учесть спиновой момент? Ответ заключается в том, что квантовая наблюдаемая под названием «спин» (собственный момент количества движения частицы) не подчиняется принципу соответствия в квантовой механике частиц.

В классической механике частиц нет анализа квантовой наблюдаемой под названием «спин». Это связано с тем, что

В классической механике элементарные частицы являются точечными.

Существуют экспериментальные факты, прямо противоречащие модели частицы, как обладающей моментом вращающегося волчка.

Если модель прямо противоречит экспериментальным фактам, то она несостоятельно и лучше ее не привлекать для объяснения физических явлений.

В предыдущих строках не случайно подчеркивалось, что речь идет о квантовой механике частиц. Кроме нее существует еще и квантовая теория поля. В нерелятивистской теории она выбирает волны в качестве исходного обзора микрообъекта, а в качестве способа описания – поле. Такая возможность диктуется корпускулярно-волновым дуализмом, реально существующим в нерелятивистской квантовой теории.

В отличие от квантовой механики частиц квантование поля делает из делокализованного поля корпускулы. Такая модель имеет два преимущества:

В теории естественным образом появляется понятие «спин».

Число спиновых компонент должно в квантовой теории поля (КТП) совпадать с числом внутренних компонент поля, определенных его трансформационными свойствами относительно преобразований поворота в пространстве.

КТП допускает, в отличие от квантовой механики частиц, внутренне непротиворечивое релятивистское обобщение.

После проведенного обсуждения естественным является конструктивный путь введения спина в теорию магнетизма. Удобно в данном случае, сохранить образ микрообъекта как частицы, а образ спина ввести на основе математических аналогий с орбитальным моментом, возникающим при экспериментах с квантовыми элементарными частицами.

Из опыта известно, что с собственным моментом количества движения частицы массы «» и заряда «» связан собственный магнитный момент. Согласно эксперименту

(14.41)

В теории спина последняя формула приобретает характер постулата. Совокупность экспериментальных данных и существующая теория (см. (14.30)) дают для момента орбитального движения частицы аналогичную связь с магнитным моментом орбитального движения

(14.42)

Именно отсутствие в выражении (14.41) коэффициента «» в знаменателе этой формулы заставляет полностью отказываться от модели спина, как вращающегося волчка.

Спин есть специфическая характеристика частицы в квантовой теории.

Теперь необходимо определить магнитный момент системы частиц с учетом ее спина. Этот магнитный момент получается суммированием формул (14.41), (14.42). Поэтому (на основании экспериментальных данных) в теории магнетизма фигурирует магнитный момент

(14.43)

Такое выражение типично для квантовой механики частиц. В КТП выражение (14.43) выводится из общих принципов этой теории.

На основании формулы (14.43) под величиной будем теперь понимать магнитный момент, связанный как с орбитальным движением, так и со спином частицы.

Проведем теперь классификацию атомов по их магнитным свойствам. Используем построенный выше (14.40) гамильтониан, описывающий магнитные явления в атомах вещества

(14.44)

При всех разумных оценках магнитных полей последний член в (14.44) очень мал (это релятивистский малый член, так он содержитв знаменателе). Поэтому им, как правило, можно пренебречь. Учитывать его необходимо только в случае равенства нулю скалярного произведения

(14.45)

Выпишем еще раз гамильтониан взаимодействия, содержащий все магнитные явления в веществе

(14.46)

В гамильтониане (14.46) первого члена нет во внешнем поле , если

(14.47)

Компенсация спина и орбитального момента для атомов практически невероятна, поэтому остается единственная, практически, возможность, когда выполняется (14.47). Это

, (14.48)

Этому требованию удовлетворяет например атом в основном «» состоянии. В более же сложных атомах выполнение равенств (14.47), (14.48) зависит от строения их электронных оболочек.

В случае говорят, что компенсация микроскопических магнитных моментов атомных электронов происходит на внутриатомном уровне. Такие вещества называются диамагнитными.

Существует возможность, когда компенсация магнитных моментов типа существующей в на внутриатомном уровне нет (например, в водороде). Таким образом, существуют атомы в целом обладающие некомпенсированным внутриатомным магнитным моментом. Но это еще не означает, что магнитным моментом обладает вещество в целом. Действительно, моменты атомов могут быть направлены хаотически и компенсироваться на расстояниях порядка межатомных.

Вещества, состоящие из атомов, имеющих магнитный момент, но не имеющие магнитного момента в свободном состоянии называются парамагнитными.

Если вещество состоит из атомов, обладающих магнитными моментами и в основном состоянии стремится к спонтанному магнитному упорядочению, то оно является веществом магнитоактивного типа. Такие магнитоактивные вещества различаются по типу упорядочения в них магнитных моментов атомов. Они являются: либо 1) ферромагнетиками, 2) либо ферримагнетиками, 3) либо антиферромагнетиками.

Выделим класс гомогенных систем, состоящих из атомов одного сорта. Если такая гомогенная система способна к спонтанному магнитному упорядочению, то она называется ферромагнетиком.

Два других типа 2) и 3) – это гетерогенные системы из атомов разных сортов, занимающих то или иное положение в решетке твердого тела.

Выделим в решетке вещества подсистемы, состоящие из магнитоактивных атомов и обладающие магнитным моментом. Пусть эти подсистемы в веществе упорядочены в противоположном направлении (рис. 14.1) так, что компенсация магнитных моментов происходит на уровне подсистем. Такие вещества называются антиферромагнетиками.

Все другие варианты магнитного упорядочения (например на рис. 14.1) существую в веществах – ферримагнетиках.

В заключении отметим, что при анализе пара-, ферро-, ферри- и антиферромагнетизма достаточно учитывать лишь первый член в гамильтониане (14.46). Прейдем теперь к детальному анализу классифицированных выше типов магнетизма.