Функция принятия решений является с методологической точки зрения

НЕЧЕТКОСТЬ В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

Интерес философии к управлению объясняется рядом причин. Прежде всего – местом и ролью управления в жизни как общества, так и отдельного индивида. Сегодня очевидно, что управление – атрибут не только производства, оно представляет собой неотъемлемую часть любой человеческой деятельности, где требуется задействовать знания и способности людей. В нем нуждаются университеты и заводы, магазины и больницы, общество в целом. Управление – важнейшая часть человеческого бытия, без которой невозможна никакая совместная деятельность людей. Значимость управления в обществе общепризнанна, в качестве одного из основных факторов социального прогресса. Современное управление является феноменом двадцатого столетия, и именно в последние девяносто лет оно стало самостоятельной научной дисциплиной. Значимость философско-методологического анализа проблем управления обусловлена и тем, что управление, являясь синтезом науки и искусства, знания и опыта, представляет широкое исследовательское поле для изучения человека, понимания его природы в различных ситуациях [1]. Отметим также междисциплинарный характер управления.

Первичной функцией управления, менеджмента, как отмечают многочисленные исследователи этих проблем, является принятие решений [2]. Многие из них полагают, что единственный «родовой» вид деятельности в профессии управленца – принятие решений. Нобелевский лауреат Г.Саймон называл принятие решений «сутью управленческой деятельности», а менеджмент с его точки зрения просто равнозначен «принятию решений» [3]. Это вполне естественно, так как акт принятия решений является центральным моментом любого процесса управления, присутствует во всех его функциях. Всякий процесс управления, таким образом, можно рассматривать как непрерывный процесс принятия решений.

В последние десятилетия самостоятельной научной дисциплиной стала теория принятия решений, которая рассматривает процессы управления сложными системами различной природы. Место этой дисциплины в системе наук определить довольно-таки трудно. Возникла она вследствие экономических и политических потребностей, но сегодня ее уже нельзя отнести только к экономической или политической науке. Теория принятия решений берет свое начало с работ Дж. фон Неймана и О.Моргенштерна и ее становление неотделимо от развития компьютерной техники, формирования таких научных направлений, как исследование операций, системный анализ, проблемы искусственного интеллекта. Теория принятия решений активно использует методы философии, математики, психологии, информатики, в то же время она имеет ярко выраженную прикладную направленность.

Основное, что характеризует проблемы, стоящие перед человеком двадцатого века, будь то политика, экономика, наука – это сложность и неопределенность. Именно эти факторы стали катализатором проведения современных исследований процессов принятия решений. С методологической точки зрения теория управления представляет значительный интерес в плане использования современных математических методов для исследования деятельности практически действующего и познающего социального субъекта. При этом расширение круга вопросов человеческой практики, где математика может оказаться эффективной, часто тормозится рядом предубеждений. Так, люди, не владеющие математическими методами, иногда думают, что любая проблема может быть переведена на язык математики, и, следовательно, решена ее средствами. Часто высказывается и противоположная точка зрения. Например, Норберт Винер считал принцип неопределенности настолько существенной особенностью социальных систем, что, по его мнению, математический аппарат, разработанный для описания физических и даже биологических процессов, вообще не пригоден для социально-экономических объектов [4, 98 – 100].

Отметим, что очень часто неопределенность отождествляют лишь с отсутствием полной информации о том или ином объекте. На самом деле, незнание состояний объекта, относительно которого принимается решение, не является единственной неопределенностью, обусловленной субъективными причинами. Наряду с этим можно назвать «неопределенность желаний» или целей, а также неопределенность критериев выбора решения. Действительно, во многих практических ситуациях сложность принимаемых решений определяется прежде всего двумя факторами: количеством альтернативных вариантов и количеством и разнородностью критериев оценки этих вариантов. В слабоструктурируемых проблемах принятия решений, где качественные, плохо определенные факторы имеют тенденцию доминировать, критерии оценки альтернатив носят, как правило, субъективный характер в том смысле, что сам набор критериев может быть определен только на основании предположений Лица, Принимающего Решения ( далее будем употреблять аббревиатуру – ЛПР). Термин «слабоструктурируемые проблемы» (ill-structured) был введен Г.Саймоном [5]. Представляется достаточно очевидным, что такой класс проблем охватывает широкий спектр реальных ситуаций.

Можно выделить несколько основных типов неопределенностей в задачах принятия решений [6]:

– объективная неопределенность («неопределенность природы»);

– неопределенность, вызванная отсутствием достаточной информации (гносео-логическая неопределенность);

– стратегическая неопределенность, вызванная зависимостью от действий других субъектов управления (партнеров, противников, организаций и т.п.);

– неопределенность, порожденная слабоструктрурируемыми проблемами;

– неопределенность, вызванная нечеткостью, расплывчатостью как процессов и явлений, так и информации, их описывающей.

Заметим, что в управленческих задачах могут присутствовать несколько видов неопределенности. Эффективность поиска оптимальных решений существенно зависит от методов описания и анализа имеющейся в задаче неопределенности, насколько адекватно эти методы могут отразить реальную ситуацию. Исторически первыми появились вероятностно-статистические методы, и на сегодняшний день они являются наиболее развитыми. Эти методы описания и анализа неопределенности являются основой для принятия решений в условиях риска, а большинство задач, решаемых людьми как в деловой сфере, так и в обыденной жизни, имеют рискованный характер. Несмотря на развитие вероятностных методов, они не могут являться универсальным средством для описания всех типов неопределенностей в задачах принятия решений. Это относится, прежде всего, к слабоструктурируемым проблемам и задачам с нечеткой исходной информацией.

Рассмотрим подробнее тот тип неопределенности в задачах принятия решений, который связан с нечеткими, качественными (нежесткими, неточными, расплывчатыми) свойствами процессов и явлений. Этот вид неопределенности характерен для экономических, социальных и других систем, в функционировании которых участвует человек. В таких системах часто имеет место ситуация, когда объекты исследования, условия задачи, цели не могут быть описаны точно. Неточность измерения и, как следствие, нечеткость описания реальных объектов является естественной. Однако, не смотря на такую нечеткость, в практических ситуациях обычно удается получить определенное представление об этих объектах и решать поставленные задачи. Например, следующие нечеткие утверждения типа «А существенно меньше В», или «На фондовом рынке наблюдается значительный рост» все же несут достаточную информацию.

Многочисленные исследования процессов принятия решений убедительно показывают, что человеку несвойственно мыслить и принимать решения только в «количественных» характеристиках. Он мыслит прежде всего “качественно”, и для него поиск решений, прежде всего поиск замысла решения, и здесь количественные оценки играют вспомогательную роль. Формализация нечетких понятий – одна из главных задач, которую надо решать при разработке моделей принятия решений в сложных, неопределенных ситуациях. В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Следующий этап в преодолении неопределенности, имеющей случайный характер, связан с теорией вероятностей. Затем возникла потребность в теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивающей возможность продвинуться в познании процессов принятия решений, содержащих такие понятия. Вопрос о том, как обрабатывать нечеткости, перекликается с вопросом о том, каким образом ввести в формальные модели управления субъективизм человека.

Принципиально новый шаг в развитии и применении методов принятия решений связан с появлением теории нечетких множеств. В 1965 г. в журнале “Informa-tion and Control” появилась статья Л.Заде, которая называлась «Fuzzy Sets» [7]. Название нового объекта, который рассматривается в работах Заде, было придумано им самим. При переводе этого термина на другие языки возникло немало трудностей из-за неоднозначности термина “fuzzy”. На русский язык, например, его переводили и как “нечеткий”, и как “размытый”, и как “расплывчатый”, и даже как “неопределенный”. Первый из переводов со временем занял доминирующее положение в литературе, хотя встречаются и другие варианты.

Основная идея Л.Заде состояла в том, что человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что связано с использованием естественного языка, имеет многозначную интерпретацию. Поэтому обычные количественные методы анализа не эффективны при анализе гуманистических систем (термин Л.Заде), т.е. систем, в которых существенная роль принадлежит суждениям и знаниям человека. Как правило, такие системы являются слабоструктурируемыми и гораздо более сложны, чем механистические системы, поведение которых допускает численное описание. Л.Заде подчеркивает, что по мере возрастания сложности системы наша способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность и смысл становятся взаимоисключающими [8]. Этот принцип несовместимости связан со способом восприятия и рассуждений человека. В его основе лежат обобщенные, схематизированные, а следовательно, неточные субъективные представления о реальности.

Программа Л.Заде состояла в построении новой математической дисциплины, в основе которой лежала бы не классическая теория множеств, а теория нечетких множеств. Последовательно проводя идею нечеткости, по мнению Л.Заде, можно построить нечеткие аналоги основных математических понятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирования человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач.

В фундаменте теории Л.Заде лежит достаточно очевидный факт – субъективные представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг, полагая, что оценки и ограничения субъекта также, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. В качестве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о какой-то реальной системе, своих желаний, целей и т.п. – выступает нечеткое множество. В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента множеству. Иными словами, элемент может иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.

В основу теории нечетких множеств Л.Заде положил обобщение понятия характеристической функции множества:

м 1, если x О A
c A (x) = н
о 0, если x П A

предложив вместо нее рассматривать функцию принадлежности m A: X ® [0, 1] нечеткого множества А. Нечетким множеством A в X называется совокупность пар вида (x; m A(x)), где x М X. Значение m A(x) для конкретного x называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству A. Например, если m A(x) = 1, то это означает, что x определенно принадлежит A, если m A(x) = 0, то следовательно x определенно не принадлежит A, если m (x) = 0,5, то это означает, что принадлежность множеству A определяется степенью 0,5. Затем с помощью функции принадлежности вводятся операции над нечеткими множествами [7, 9].

Отметим, что при определении нечеткого множества непосредственно с помощью функции принадлежности появляются определенные трудности в интерпретации степеней принадлежности элементов множеству. Это, в свою очередь, затрудняет моделирование субъективной информации с помощью нечетких множеств. В последние годы появились работы, где в основе определения нечеткого множества лежит понимание его как совокупности элементов, проявляющих (хотя и в различной степени) некоторое общее свойство. В рамках этого подхода функция принадлежности оказывается производным понятием.

Надо сказать, что программа построения нечеткой математики быстро нашла отклик среди ученых. Исследования стали развиваться в двух основных направлениях. Часть исследований устремилась “вширь”, вводя в рассмотрение нечеткие обобщения таких фундаментальных понятий математики, как функция, отношение, предикат. Появились нечеткие уравнения и нечеткие интегралы, нечеткая логика и нечеткая топология и многие другие подобные области. Другие исследования устремились “вглубь”. Их целью было выявление самой природы нечеткости, возможности ввести нечеткие объекты не только на основе нечетких множеств Л.Заде, а каким-либо иным способом. Оба эти направления породили огромное количество работ.

Принципиальной особенностью, отличающей развитие теории нечетких множеств, является ее прикладная направленность. Истоки такого подхода заложены работами Л.Заде, основной прагматической целью которого было создание аппарата, способного моделировать человеческие рассуждения и объяснять человеческие приемы принятия решений. Поскольку в реальных ситуациях принятия решений цели, ограничения, критерии в большей части субъективны и точно не определены, то и при построении моделей принятия решений возникает необходимость использования нечеткой логики, нечетких множеств и отношений. Нечеткие отношения позволяют моделировать плавное, постепенное изменение свойств, а также неизвестные функциональные зависимости, выраженные в виде качественных связей. Нечеткие алгоритмы, допускающие использование нечетких инструкций, широко распространенных в различных сферах человеческой деятельности, позволяют описывать приближенные рассуждения и, следовательно, являются полезным инструментом для приближенного анализа таких систем и процессов принятия решений, которые слишком сложны для применения общепринятых количественных методов.

В простейшем случае принятие решений в нечетко определенной обстановке описывается следующей схемой. Множество допустимых выборов является нечетким множеством А в некотором полном классе выборов. Задана функция f: X ® Y, значение f(x) которой описывает результат выбора конкретного элемента из X без учета допустимости или недопустимости этого выбора. Цель принятия решения описывается нечетким множеством C в полном классе исходов Y. Решение задачи выполнения нечеткой цели определяется при этом как пересечение нечетких множеств выборов и цели. Иными словами, решение есть максимальное (по включению) нечеткое множество D в X, такое что

1. D М A (допустимость решения),

2. f (D) М C (выполнение нечеткой цели), где f (D) – образ D при отображении f.

Это решение можно рассматривать как нечетко сформулированную инструкцию, исполнение которой обеспечивает выполнение нечетко поставленной цели. Нечеткость получаемого решения есть следствие нечеткости исходной задачи.

Широкие возможности для приближенного описания явлений, не поддающихся описанию в общепринятых количественных терминах, представляет лингвистическая переменная, которая отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Например, характеристика возраста является лингвистической переменной, если принимает значения – очень молодой, молодой, вполне молодой, немолодой, старый, очень старый и т.п., а не численные значения 20, 25, 40, 50 лет. Использование нечетких словесных понятий, которыми оперирует ЛПР, позволяет ввести в рассмотрение качественные описания и учесть неопределенность в задачах принятия решений, достигнуть более полного описания всех факторов, имеющих отношение к данной задаче и не поддающихся точному количественному описанию [10]. Лингвистический подход при построении моделей принятия решений позволяет использовать для описания проблемной ситуации приближенные, субъективные оценки ЛПР, выраженные с помощью нечетких понятий, отношений и высказываний профессионального языка. Этот подход дает возможность формализовать нечеткие описания с помощью нечетких множеств, лингвистических переменных и нечетких свидетельств и оперировать полученными формализованными объектами посредством аппарата нечетких множеств. С помощью лингвистической переменной можно представлять решения задачи как в виде нечетких описаний с использованием понятий и отношений профессионального языка ЛПР, так и в виде четких рекомендаций. Формализация нечетких понятий и отношений профессионального языка ЛПР обеспечивается введением понятий нечеткой и лингвистической переменных, нечеткого множества и отношения. Первые два обеспечивают переход от словесных описаний задачи к числовым, другие два являются средством численного представления нечетких понятий и отношений.

Следует отметить, что большая часть математического аппарата, применявшегося в теории решений, допускает обобщение на случай нечетких множеств и лингвистических переменных. Элементы нечеткой математики находят широкое применение в моделях принятия решений [11, 12]. Основанная на теории нечетких множеств новая методология построения компьютерных систем, а именно нечетких систем, существенно расширяет области применения компьютеров. Прикладные нечеткие системы являются одной из передовых технологий, в которых лидирует Япония [13]. Нечеткие системы сегодня широко применяются как в промышленности, так и для решения задач управления в медицине, экономике, маркетинге, страховании, обучении и других областях, где существенную роль играет субъективный опыт экспертов.

Перевод условий практической задачи на язык математических моделей всегда был трудным и приводил подчас к потере трудноформализуемой качественной информации в исходных данных. До появления теории нечетких множеств большинство качественных характеристик и присущих им неопределенностей, если они не статистической природы, просто игнорировались. Обоснование своего подхода Л.Заде начал именно с противопоставления понятий “неточности” и “случайности”. Он поставил под сомнение интуитивно принимаемое допущение, что неточность независимо от ее природы может быть отождествлена со случайностью. По его мнению, следует различать случайность и нечеткость, так как именно нечеткость является основным источником неточности во многих процессах принятия решений [14]. Под нечеткостью при этом понимается тот тип неточности, который связан с такими классами объектов, в которых нельзя указать определенную границу, отделяющую элементы, принадлежащие к данному классу, и элементы, ему не принадлежащие. Например, в класс мягких предметов входят предметы, мягкие в различной степени.

Критики подхода Л.Заде задают вопрос: “Что же нового в теории нечетких множеств? Всему этому хорошо служит теория вероятностей”. Действительно, в чем же состоит различие между случайностью и нечеткостью? На элементарном примере покажем, как могут различаться эти подходы. Обратимся к учебнику А.А.Боровкова [15, 29]. Для того, чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство б W Fс . W означает множество элементарных исходов эксперимента, а алгебра или s -алгебра F выделяет класс событий. Все остальные подмножества W , не входящие в F, событиями не являются. При этом класс событий F часто определяют как s -алгебру, порожденную той или иной алгеброй А. Выделение той или иной алгебры или s -алгебры событий F обусловлено, с одной стороны, существом рассматриваемой задачи, с другой – природой множества W . Как мы увидим, далеко не всегда можно определить вероятность так, чтобы она имела смысл для любого подмножества W .

Как действуют в теории нечетких множеств? Определим нечеткое подмножество А множества W , приписывая каждому элементу значение функции принадлежности, например: A = , т.е. – определенно принадлежит А, – определенно не принадлежит, а элементы и принадлежат с некоторой степенью.

Принципиальное же отличие между случайностью и нечеткостью заключается в том, что функция принадлежности, которая лежит в основе использования математического аппарата нечетких множеств, всегда является гипотезой. Она дает субъективное представление ЛПР об особенностях проблемной ситуации, характере целей и имеющихся ограничениях. Таким образом, эта форма утверждения гипотез открывает ЛПР новые возможности: позволяет строить оценки для альтернатив посредством формального аппарата. Затем, в схемах анализа, использующих теорию нечетких множеств, также как в традиционных методах, строится некоторая система гипотез, только теперь они формулируются в терминах «субъективной» принадлежности. В итоге анализа ЛПР получает результат, который также носит нечеткий характер.

Важно подчеркнуть, что теория нечетких множеств не призвана конкурировать с теорией вероятностей и статистическими методами, она заполняет пробел в области структурируемой неопределенности там, где нельзя корректно применять статистику и вероятность. Методы, основанные на подходе Л.Заде, не могут дать окончательного критерия отбора, их задача – отбросить неконкурентноспособные, выделить наиболее перспективные [16]. Подытоживая приведенные рассуждения, можно сказать, что использование методов теории нечетких множеств, позволяет, подобно принципу Парето “сжать” множество возможных альтернатив. Думается, что эта теория, развивающаяся по пути освоения субъективной информации и моделирования приближенных рассуждений человека, содержит в себе большой потенциал для применения в самых различных областях человеческой деятельности.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда. Проект N 98-03-04407.

1. Диев В.С. Управление как объект философского анализа // Тезисы I Российского философского конгресса. В 7 т. Т. 4. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1997. с.281-283.

2. Дункан Д.У. Основополагающие идеи в менеджменте. М.: Дело. 1996.

3. Simon H.A. The New Science of Management Decision. New York: Harper and Row. 1960.

4. Винер Н. Творец и робот. – М. 1966.

5. Simon H. The Structure of Ill-structured Problems // Artificial Intelligence. – 1973, – V. 4. – P. 181 – 202.

6. Диев В.С. Гносеологические и методологические аспекты неопределенности в принятии решений // В сб. «Личность и познание». – М. – 1991. – С. 192 – 211.

7. Zadeh L.A. Furry Sets // Information and Control. – N. 8. – 1965. – P. 338 – 353.

8. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. – М.: Знание. 1974. – С. 5 – 49.

9. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и связь. – 1982.

10. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, – 1976.

11. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. – М.: Наука, – 1986.

12. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, – 1989.

13. Прикладные нечеткие системы (Пер. с япон.) К.Асан, Д.Ватада, С.Иваи и др. – М.: Мир. – 1993.

14. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: Мир. – 1976.

15. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука. – 1976.

Принятие решения и деятельность человека в социальной, экономической, политической, идеологической, военной сферах тесно связаны. В них крайне нежелательны ошибки, которые могут привести к пагубным последствиям. Но из-за ограниченных информационных возможностей человека ошибки всегда возможны. Поэтому есть настоятельная необходимость применения научного подхода к обоснованию и принятию решений.

Принятие решений, наряду с прогнозированием, планированием и др. является функцией управления.

Все функции управления направлены так или иначе на формирование или реализацию решений.

При прогнозировании и планировании принимаются решения, связанные с выбором методов и средств, организацией работы, оценкой достоверности информации, выбором наиболее достоверного варианта прогноза и наилучшего варианта плана.

Функция принятия решений является с методологической и технологической точек зрения более общей, чем другие функции управления.

Для лица, принимающего решение (ЛПР), принятие решений является основной задачей, которую он обязан исполнять в процессе управления. Поэтому знание методов, технологий и средств решений этой задачи является необходимым элементом квалификации руководителя, базой для дальнейшего управления.

Конечным результатом любой задачи принятия решений становится решение, конструктивное предписание к действию.

Решение является одним из видов мыслительной деятельности и имеет следующие признаки:

· имеется выбор из множества возможностей;

· выбор ориентирован на сознательное достижение целей;

· выбор основан на сформировавшейся установке к действию.

Решение тем эффективнее, чем больше степень достижения целей и меньше стоимость затрат.

Принятие решения — это выбор одного из множества рассматриваемых допустимых вариантов. Обычно их число конечно, а каждый вариант выбора определяет некоторый результат (экономический эффект, прибыль, выигрыш, полезность, надежность и т.д.), допускающий количественную оценку.

Такой результат обычно называется полезностью решения. Таким образом, ищется вариант с наибольшим значением полезности решения. Возможен и подход с минимизацией противоположной оценки, например, отрицательной величины полезности.

Часто на практике встречается ситуация, когда каждому варианту решения соответствует единственный результат (детерминированность выбора решения), хотя возможны и другие случаи, например, когда каждому варианту i и условию j, характеризующему полезность, соответствует результат решения x_ij. Таким образом, можно говорить о матрице решений

Чтобы оценить решение, необходимо уметь оценивать все его последствия. Существуют различные подходы для такой оценки.

Например, если решения альтернативные, то можно последствия каждого из них характеризовать:

· суммой его наибольшего и наименьшего результатов,

· максимумом из возможных таких сумм,

· максимумом из максимумов по всем вариантам (оптимистическая позиция выбора),

· максимумом из среднего арифметического (нейтральная позиция выбора),

· максимумом из минимума (пессимистическая позиция) и др.

Классические модели принятия решений, как правило, являются оптимизационными, ставящими цель максимизировать выгоду и на основе этих моделей получить практическую прибыль.

Так как теоретиков больше интересует первая сторона, а практиков — вторая, то при разработке и использовании таких моделей необходимо их тесное сотрудничество. Практические рекомендации могут быть получены, если при построении модели принятия решений придать большее значение разработке имитационной модели принятия решений, с привлечением экспериментальных, полуэкспериментальных и теоретических методов. Кроме классических, оптимизационных процедур принятия решений существуют и ряд базовых неклассических (неоклассических) процедур, технологий принятия решений.

Классификация задач принятия решений проводится по различным признакам. Наиболее существенными являются:

· степень определенности информации;

· использование эксперимента для получения информации;

· количество лиц, принимающих решения;

На процесс принятия решения часто воздействуют различные случайные (стохастические) параметры, усложняющие процедуру. Недостаток информации об их распределении приводит к необходимости принятия гипотез об области их изменения и о характере их распределения.

Проблемы принятия решений с недетерминированными параметрами называют проблемами принятия решений в условиях недостатка информации.

Чем меньше информации у исследователей, тем больше может оказаться различие между ожидаемыми и действительными результатами принимаемых решений в целом.

Мера влияния информации (параметров) на результат решения называется релевантностью.

Особо важно в социально-экономической сфере принятие решения при наличии рисков (неплатежей, не возвратов кредитов, ухудшения условий жизни и т.д.).

Дата добавления: 2017-02-13 ; просмотров: 1132 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Функция принятия решений

Функции принятия решений в методологии процесса управления многообразны и связаны, прежде всего, с решениями: по производству, маркетингу, менеджменту, планированию, организации, мотивации, контролю, распределению власти, разрешению конфликтов и др.

При этом реализуется ряд его функций, а именно направляющей, координирующей и мотивирующей.

Направляющая функция решений проявляется в том, что они принимаются исходя из долговременной стратегии развития предприятия, конкретизируются в многообразных задачах. Одновременно решения являются направляющей основой для реализации общих функций управления планирования, организации, контроля, мотивации, которые реализуются посредством решений.

Координирующая роль решений отражается в необходимости согласования действий исполнителей для реализации решений в утверждённые сроки и соответствующего качества.

Мотивирующая функция решений реализуется через систему организационных мер (приказы, постановления, распоряжения), экономических стимулов (премии, надбавки), социальных оценок (морально-политические факторы трудовой активности: самоутверждение личности, творческая самореализация).

Эффективность каждого управленческого решения в значительной мере зависит от выполнения и соотношения указанных функций, как в ходе его подготовки, так и на этапе внедрения.

Принятие решений составная часть любой управленческой функции. Необходимость принятия решения пронизывает все, что делает управляющий, формируя цели и добиваясь их достижения. Процесс принятия обоснованных объективных решений в ситуациях исключительной сложности достигается путем использования научного подхода к данному процессу, моделей и количественных методов принятия решений. Менеджеру известно, что хорошо структурированные проблемы имеют многовариантные решения.

Разработка эффективных решений основополагающая предпосылка обеспечения конкурентоспособности продукции и фирмы на рынке, формирования рациональных организационных структур, проведения правильной кадровой политики и работы, регулирования социально-психологических отношений на предприятии, создания положительного имиджа и др.

Управленческое решение это результат конкретной управленческой деятельности менеджмента. Принятие решений является основой управления. Выработка и принятие решений это творческий процесс в деятельности руководителей любого уровня, включающий:

выработку и постановку цели;

изучение проблемы на основе получаемой информации;

выбор и обоснование критериев эффективности (результативности) и возможных последствий принимаемого решения;

обсуждение со специалистами различных вариантов решения проблемы (задачи);

выбор и формулирование оптимального решения;

конкретизацию решения для его исполнителей.

Технология менеджмента рассматривает управленческое решение как процесс, состоящий из трех стадий:

Каждое управленческое решение имеет свой конкретный результат, поэтому целью управленческой деятельности является нахождение таких форм, методов, средств и инструментов, которые могли бы способствовать достижению оптимального результата в конкретных условиях и обстоятельствах. Управленческие решения могут быть обоснованными, принимаемыми на основе экономического анализа и многовариантного расчета, и интуитивными, которые, хотя и экономят время, но содержит в себе вероятность ошибок и неопределенность. Принимаемые решения должны основываться на достоверной, текущей и прогнозируемой информации, анализе всех факторов, оказывающих влияние на решения, с учетом предвидения его возможных последствий.

На уровне предприятий и объединений число документально оформленных решений достигает в среднем трехсот в год, на более высоких уровнях их значительно больше. Выборочный анализ показывает, что четвертую часть всех решений (до 25%) можно было не принимать из-за их неисполнимости. Происходит это по самым разным причинам: нелепости целей, сложности контроля, «обтекаемости» принимаемых мер, отсутствия, сроков выполнения, закрепляемости ответственности за конкретными лицами. По существу отмеченное свидетельствует о браке в управленческой деятельности, порождающем серьезные экономические и социальные последствия (упущенную возможность, нерациональные затраты времени и средств, безответственность, снижение трудовой активности, разложение здорового психологического климата в коллективах). Поэтому организация глубокой проработки управленческих решений, грамотное оформление и соблюдение методологических принципов проведения этой работы приобретают особую актуальность.

Проблема принятия решений носит фундаментальный характер, что определяется ролью, которую играют решения в любой сфере человеческой деятельности. Исследования этой проблемы относятся к числу междисциплинарных, поскольку выбор способа действий это результат комплексной увязки различных аспектов: информационного, экономического, психологического, логического, организационного, математического, правового, технического и др.

Синтезируя различные компоненты, управленческие решения выступают способом постоянного воздействия управляющей подсистемы на управляемую (субъекта на объект управления), что, в конечном счете, ведет к достижению поставленных целей. Это постоянное связующее звено между двумя подсистемами, без которого предприятие как система функционировать не может. Данное обстоятельство подчеркивает определяющее место управленческого решения в процессе управления.

Содержание понятия «решение» по-своему интерпретируется в разных областях знаний. Так, в психологии исследуются принятие решений и решение проблем. При этом принятие решений рассматривается как этап важного акта, включающего такие психические компоненты, как цели, оценки, мотивы, установки.

Общая теория принятия решений, разработанная на основе математических методов и формальной логики, используется в экономике и имеет предпосылки для широкого распространения.

С позиции данной теории принятие решений это выбор из множества наиболее предпочтительной альтернативы. Под решением же понимается:

элемент множества возможных альтернатив;

нормативный документ, регламентирующий деятельность системы управления;

устные или письменные распоряжения необходимости выполнения конкретного действия, операции, процесса;

регламентируемая последовательность действий для достижения поставленной цели;

нечто, отражающее осуществление поставленной цели (материальный объект, число, показатель и др.);

реакция на раздражитель.

Философская наука трактует решение как процесс и результат выбора цели и способа действий.

В экономической литературе понятие «решение» также неоднозначно и рассматривается как процесс, как акт выбора и как результат выбора. Решение как процесс предполагает временной интервал, в течение которого оно разрабатывается, принимается и реализуется. Решение как акт выбора включает этап принятия решений с соблюдением особых правил. Решение как результат выбора это волевой акт, ориентированный на наличие альтернатив, сопредельных целей и мотивов поведения лица, принимающего решение.

Авторы работ по менеджменту в определение понятия «управленческое решение» включают организационные, психологические аспекты, положения общей теории принятия решений. Так, управленческое решение формулируется как:

продукт управленческого труда, организационная реакция на возникшую проблему;

выбор определенного курса действий из возможных вариантов;

выбор предварительно осмысленной цели, средств и методов ее достижения;

выбор способа действий, гарантирующего положительный исход той или иной операции.

Представляется наиболее удачным, в комплексе, учитывающем отдельные аспекты данного феномена, следующее определение.

Управленческое решение на предприятии представляет собой творческий акт субъекта управления (индивидуального или группового лица), определяющий программу деятельности коллектива по эффективному разрешению назревшей проблемы на основе знания объективных законов функционирования управляемой системы и анализа информации о ее состоянии.

Исходя из приведенного определения можно выделить ряд аспектов решения: организационный, психологический, социальный, информационный, экономический.

Организационный аспект проявляется в организации, как разработки, так и выполнения управленческого решения. При этом реализуется ряд его функций, а именно направляющей, координирующей и мотивирующей, свидетельствующих о многогранности данного понятия.

Направляющая функция решений проявляется в том, что они принимаются исходя из долговременной стратегии развития предприятия, конкретизируются в многообразных задачах. Одновременно решения являются направляющей основой для реализации общих функций управления планирования, организации, контроля, мотивации, которые реализуются через посредство решений.

Координирующая роль решений отражается в необходимости согласования действий исполнителей для реализации решений в утвержденные сроки и соответствующего качества.

Мотивирующая функция решений реализуется через систему организационных мер (приказы, постановления, распоряжения), экономических стимулов (премии, надбавки), социальных оценок (морально-политические факторы трудовой активности: самоутверждение личности, творческая самореализация).

Эффективность каждого управленческого решения в значительной мере зависит от выполнения и соотношения указанных функций как в ходе его подготовки, так и на этапе внедрения. С учетом этого управленческое решение становится реальным инструментом достижения поставленных целей. Важно социальное содержание выбранного способа действий, так как оно отражается на жизни менеджера, всех, кто с ним работает, то есть на интересе организации, коллектива. Не всякое экономически выгодное решение может быть эффективным в социальном плане. Примером тому может служить решение о росте производительности труда, сопряженное с нарушением техники безопасности, ухудшением условий труда работающих.

В связи с этим чувство ответственности не должно покидать руководителя при выборе окончательной альтернативы. Просчет функционального исполнителя в аппарате управления (например, экономиста при определении нормы выработки для рабочего) имеет частный характер, ошибка руководителя при принятии решений является своего рода браком и отражается на результатах работы, политике предприятия в целом, а в крайних случаях может привести к банкротству, потере рабочих мест, иметь глубокие социальные последствия. Управленческое решение в повседневной практике является продуктом управленческого труда, мыслительной деятельности человека.

Курсовая работа: Структуризация задач принятия решений в условиях определенности. Некорректно поставленные задачи. Регуляризирующие (робастные) алгоритмы: адаптивные, инвариантные

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

по СМПР на тему:

«Структуризация задач принятия решений в условиях определенности. Некорректно поставленные задачи. Регуляризирующие (робастные) алгоритмы: адаптивные, инвариантные»

Выполнил: ст. 440М гр.

Людям приходится принимать решения почти везде и почти всегда. В ходе военных действий, в политике, при управлении предприятием, при выборе автомобиля или варианта обмена квартиры и еще в тысячах других случаев. Занимаются люди этим интересным, нередко захватывающим и часто небезопасным делом со времен фараонов и по сей день. Поэтому достоин удивления тот факт, что люди осознали то, КАК они принимают решения совсем недавно (по историческим меркам) — вскоре после Второй мировой войны. Оказалось, что схема процесса принятия решения не зависит от той области, в которой принимается решение. Иначе говоря, законы принятия решений едины для всех предметных областей. В них крайне нежелательны ошибки, которые могут привести к пагубным последствиям. Но из-за ограниченных информационных возможностей человека ошибки всегда возможны. Поэтому есть настоятельная необходимость применения научного подхода к обоснованию и принятию решений.

Принятие решений, наряду с прогнозированием, планированием, ситуационным анализом обстановки, исполнением решений, контролем и учетом является функцией управления. Все функции управления направлены так или иначе на формирование или реализацию решений, и любую функцию управления технологически можно представить в виде последовательности каких-либо связанных общей целью решений.

При прогнозировании и планировании принимаются решения, связанные с выбором методов и средств, организацией работы, оценкой достоверности информации, выбором наиболее достоверного варианта прогноза и наилучшего варианта плана. Таким образом, функция принятия решений является с методологической и технологической точек зрения более общей, чем другие функции управления. Для лица, принимающего решение (ЛПР), принятие решений является основной задачей, которую он обязан исполнять в процессе управления. Поэтому знание методов, технологий и средств решений этой задачи является необходимым элементом квалификации руководителя, базой для дальнейшего управления.

В данной работе будут рассмотрены классификация и методы для задач принятия решений, конкретизировано понятие принятия решений в условиях определенности. Рассмотрены понятия и приведены примеры некорректно поставленной задачи, регуляризирующего алгоритма, адаптивного алгоритма.

1. Принятие решений в условиях определенности

Проблема принятия решений носит фундаментальный характер, что определяется ролью, которую играют решения в любой сфере человеческой деятельности. Исследования этой проблемы относятся к числу междисциплинарных, поскольку выбор способа действий — это результат комплексной увязки различных аспектов: информационного, экономического, психологического, логического, организационного, математического, правового, технического и др.

Общая теория принятия решений, разработанная на основе математических методов и формальной логики, используется в экономике и имеет предпосылки для широкого распространения.

С позиции данной теории принятие решений по существу есть не что иное, как ВЫБОР. Принять решение — значит выбрать конкретный вариант действий из некоторого множества вариантов. Обычно их число конечно, а каждый вариант выбора определяет некоторый результат (экономический эффект, прибыль, выигрыш, полезность, надежность и т.д.), допускающий количественную оценку. Показатель, значение которого характеризует предельно достижимую эффективность по данной задаче, называется критерием оптимальности. (Ист. №4)

Управленческие решения целесообразно группировать на основе классификационных признаков, приведенных на рис. 1. (Ист. №5)

Решения, принимаемые в условиях определенности, применяются тогда, когда есть исчерпывающая информация о проблемной ситуации. Такие решения полностью программируемы. Руководитель, сталкиваясь с различными задачами, замечает, что некоторые из них периодически повторяются.

Решения, принимаемые в условиях вероятной определенности или с элементами риска, применяются с осознанием того, что имеющейся информации недостаточно или она может быть недостоверной. Руководитель, как правило, может предвидеть все варианты последствий реализации такого решения. Эти решения частично программируемы. Решения, принимаемые в условиях неопределенности, когда информации о проблемной ситуации явно недостаточно для принятия правильного решения, совершенно непрограммируемы. В условиях неопределенности, как правило, принимаются решения по новым и творческим задачам. (Ист. №5)

Рис. 1. Классификация управленческих решений

Управленческие решения должны быть: эффективными, своевременными, рациональными, обоснованными и реально осуществимыми.

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.

Как уже говорилось выше, решений, принимаемых в условиях абсолютной определенности, в реальной жизни быть не может. Однако существуют ситуации, когда решение принимается в условиях почти полной определенности. Например, решение о вложении нераспределенной прибыли в ценные бумаги государства. В данном случае менеджер точно знает размер вкладываемой суммы, может выбрать сроки вложения, рассчитать доходность и может точно подсчитать планируемую прибыль от данного вложения и сроки ее получения. Государство может не выполнить свои обязательства только при возникновении чрезвычайных обстоятельств, вероятность возникновения которых очень мала. (Ист. №6)

Решение может быть формальным и творческим. Принято считать, что если преобразование информации выполняется с помощью математических моделей, то выработанное решение считается формальным, если решение появляется в результате скрытой работы интеллекта человека, принимающего решение, то оно — творческое.

Такое деление в достаточной степени условно, поскольку чисто формального или чисто творческого решения не существует. Если решение вырабатывается с помощью математической модели, то знания и опыт человека (элементы творчества) используются при её создании, а интуиция (тоже момент творчества) – в момент, когда он задаёт то или иное значение параметра исходной информации или выбирает из множества альтернативных вариантов, полученных с помощью математической модели, один в качестве решения на управление. Если основным инструментом выработки решения является интеллект человека, то формальные методы, носителем которых практически является вся наука, скрыто присутствуют в его знаниях и опыте.

Формализуемые решения принимаются на основе соответствующих математических методов (алгоритмов). Математическая модель задачи оптимизации формализуемого решения включает следующие элементы:

заданную оптимизируемую целевую функцию (критерий управляемости): Ф=F(x1,x2. xn), где xj (j=1,2. n) — параметры, учитываемые при принятии решения (отражающие ресурсы принятия решений);

условия, отражающие ограниченность ресурсов и действий ЛПР при принятии решений: gi(xj)

Непременным требованием для решения задачи оптимизации является условие n>m.

В зависимости от критерия эффективности, стратегий и факторов управления выбирается тот или иной метод (алгоритм) оптимизации.

Основными являются следующие классы методов:

методы линейного и динамического программирования (принятия решения об оптимальном распределении ресурсов);

методы теории массового обслуживания (принятие решения в системе со случайным характером поступления и обслуживания заявок на ресурсы);

методы имитационного моделирования (принятие решения путем проигрывания различных ситуаций, анализа откликов системы на различные наборы задаваемых ресурсов);

методы теории игр (принятие решений с помощью определения стратегии в тех или иных состязательных задачах);

методы теории расписаний (принятие решений с помощью разработки календарных расписаний выполнения работ и использования ресурсов);

методы сетевого планирования и управления (принятие решений с помощью оценки и перераспределения ресурсов при выполнении проектов, изображаемых сетевыми графиками);

методы многокритериальной (векторной) оптимизации (принятие решений при условии существования многих критериев оптимальности решения)

и другие методы. (Ист. №9)

2. Некорректно поставленные задачи

В качестве основного объекта рассматривается операторное уравнение: Az = u , где A — линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Z в гильбертово пространство U. Требуется найти решение операторного уравнения z, соответствующее заданной неоднородности (или правой части уравнения) u.

Такое уравнение является типичной математической моделью для многих физических, так называемых обратных, задач, если предполагать, что искомые физические характеристики z не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные u, связанные с z с помощью оператора A.

Французским математиком Ж. Адамаром были сформулированы следующие условия корректности постановки математических задач, которые мы рассмотрим на примере записанного операторного уравнения. Задача решения операторного уравнения называется корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия (условия корректности):

1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (решение существует ∀u ∈U);

2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (решение единственно);

3) решение устойчиво (если u n →u , , Az = u , то z n →z).

Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи. Условие 2) обеспечивается тогда и только тогда, когда оператор A является взаимно однозначным (инъективным). Условия 1) и 2) означают, что существует обратный оператор , причем его область определения D() (или множество значений оператора A, R(A)) совпадает с U.

Условие 3) означает, что обратный оператор является непрерывным, т.е. “малым” изменениям правой части u соответствуют “малые” изменения решения z. Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными). Более того, Ж. Адамар считал, что только корректные задачи должны рассматриваться при решении практических задач. Однако хорошо известны примеры некорректно поставленных задач, к изучению и численному решению которых приходится прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных задач. Нужно отметить, что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как определяется пространство решений Z. Выбор пространства решений (в том числе и нормы в нем) обычно определяется требованиями прикладной задачи. Задачи могут быть некорректно поставленными при одном выборе нормы и корректно поставленными при другом.

Многочисленные обратные (в том числе и некорректные) задачи можно найти в различных областях физики. Так, астрофизик не может активно воздействовать на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках, ему приходится делать заключения о физических характеристиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявлениям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на космических станциях). Прекрасные примеры некорректных задач можно найти в медицине, прежде всего, нужно отметить вычислительную (или компьютерную) томографию. Хорошо известны приложения некорректных задач в геофизике (на самом деле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхностью Земли, решая обратные задачи, чем заниматься бурением глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной физике и т.д., и т.п.

Хорошо известным примером некорректно поставленной задачи является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Пусть оператор A имеет вид:

Пусть ядро интегрального оператора K(x, s) — функция, непрерывная по совокупности аргументов x ∈[c, d], s ∈[a,b], а решение z(s) — непрерывная на отрезке [a,b] функция. Тем самым, можно рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах: A :C[a,b]→ C[c, d]. (Пространство C[a,b] состоит из функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Норма z ∈C[a,b]определяется как ). Покажем, что в этом случае задача решения интегрального уравнения является некорректно поставленной. Для этого нужно проверить условия корректности постановки задачи:

Существование решения для любой непрерывной на [c, d] функцииu(x) . На самом же деле, это не так: существует бесконечно много непрерывных функций, для которых решения нет.

2) Единственность решения. Это условие выполняется в том и только в том случае, если ядро интегрального оператора замкнуто.

Первые два условия корректности эквивалентны условию существования обратного оператора с областью определения D()=C[c,d]. Если ядро интегрального оператора замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с C[c,d].

Устойчивость решения. Это означает, что для любой последовательности последовательность z n →. Устойчивость эквивалентна непрерывности обратного оператора при условии, что обратный оператор существует. В данном случае это не так, что видно из следующего примера. Пусть последовательность непрерывных функций , n=1, 2, …, такая, что на промежутке и обращается в нуль вне данного интервала, max| z (s) |=1, s∈[a, b], а последовательность чисел d → 0 +0 .

Такая функция может быть выбрана, например, кусочно-линейной. Тогда для любого x ∈[c, d]

при

Последовательность функций равномерно, т.е. по норме C[c,d], сходится к = 0.

Хотя решение уравнения в этом случае = 0 , последовательность не стремится к , так как.

Интегральный оператор A является вполне непрерывным при действии из в

, при действии из C[a,b] в и при действии из C[a,b] в C[c,d]. (Пространство

состоит из функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b]. Норма z∈ определяется как ). Это означает, что любую ограниченную последовательность этот оператор преобразует в компактную. Компактная последовательность по определению обладает тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся. Легко указать последовательность , , из которой нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность. Например,

Нормы всех членов этой последовательности равны 1 в , но из любой подпоследовательности этой последовательности нельзя выделить сходящуюся, поскольку . Очевидно, что эта последовательность состоит из непрерывных на [a,b] функций и равномерно (по норме C[a,b]) ограничена, но из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность (тогда она сходилась бы и в , поскольку из равномерной сходимости следует сходимость в среднем). Если предположить, что оператор является непрерывным, то легко прийти к противоречию. Для существования обратного оператора достаточно потребовать, чтобы прямой оператор A был инъективным. Очевидно, что, если оператор B: C[c,d]→C[a,b] непрерывный, а оператор A вполне непрерывный, то BA :C[a,b] →C[a,b] — тоже вполне непрерывный оператор. Но тогда, поскольку для любого n , то последовательность компактна, что неверно. Оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, не может быть непрерывным. Аналогичное доказательство может быть проведено для любых бесконечномерных банаховых (т.е. полных нормированных) пространств.

Поскольку задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в указанных пространствах некорректно поставлена, то даже при очень малых ошибках в задании u(x) решение может либо отсутствовать, либо как угодно сильно отличаться от искомого точного решения.

Итак, вполне непрерывный инъективный оператор обладает обратным оператором, который не является непрерывным (ограниченным). Более того, при действии в бесконечномерных банаховых пространствах множество значений вполне непрерывного оператора не является замкнутым. Поэтому как угодно близко к неоднородности u(x) , для которой решение операторного уравнения существует, найдется неоднородность, для которой решение отсутствует.

Некорректность постановки математической задачи может быть связана с ошибкой в задании оператора. Простейший пример дает задача отыскания нормального псевдорешения системы линейных алгебраических уравнений и возникающая при этом неустойчивость, связанная с ошибками задания матрицы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Система может и не иметь решений. Гаусс и Лежандр в начале XIX века ввели метод наименьших квадратов, а именно, вместо решения СЛАУ предложили минимизировать квадратичный функционал (невязку):

— сопряженная (транспонированная) матрица. Поскольку матрица неотрицательно

определена, то Ф(x)- выпуклый функционал. Для выпуклого функционала задача отыскания эквивалентна отысканию стационарной точки, т.е. решения уравнения Ф'(x) = 0 . Легко видеть, что Ф’ (x) = 2 ⋅ (Ax −b), Ф»(x) = 2 ⋅A ≥0.

Из равенства градиента нулю получается система линейных алгебраических уравнений с квадратной неотрицательно определенной матрицей (система нормальных уравнений):

В конечномерном случае легко доказать, что для любого вектора b система нормальных

уравнений всегда имеет решение (для исходного же уравнения это не обязательно), которое называется псевдорешением системы Ax = b . Псевдорешение может быть неединственным (если определитель det(A) =0; если же det(A) ≠0, то псевдорешение единственно). Множество псевдорешений образует аффинное (или линейное) подпространство и является выпуклым и замкнутым.

Если же система Ax =b имеет решение, то оно совпадает с решением системы Ax = b . В этом случае minФ(x) =μ=0. Если же minФ(x) =μ>0, система Ax = b не имеет решений, но, как уже указывалось выше, имеет псевдорешение (возможно, неединственное). Число μ обычно называется мерой несовместности системы Ax = b .

Определение . Нормальное псевдорешение системы Ax = b – это псевдорешение с

минимальной нормой, что является решением задачи отыскания минимума .

Можно привести много др. примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными. (Ист. №10)

Пусть дано операторное уравнение: Az = u , где A — линейный оператор, действующий из нормированного пространства Z в нормированное пространство U. В 1963 г. А.Н.Тихонов дал знаменитое определение регуляризирующего алгоритма (РА), которое лежит в основе современной теории некорректно поставленных задач.

Определение. Регуляризирующим алгоритмом (регуляризирующим оператором) называется оператор, обладающий двумя следующими свойствами :

1) определен для любых δ > 0 , ∈U , и отображает (0,+ ∝) ЧU в Z;

2) для любого z ∈ Z и для любого ∈U такого, что Az = u ,

.

Задача решения уравнения первого рода называется регуляризируемой, если существует хотя бы один регуляризирующий алгоритм. Непосредственно из определения следует, что если существует хотя бы один РА, то их существует бесконечно много.

В настоящее время все математические задачи можно разделить на следующие классы:

1) корректно поставленные задачи;

2) некорректно поставленные регуляризируемые задачи;

3) некорректно поставленные нерегуляризируемые задачи.

Понятно, что корректно поставленные задачи являются регуляризируемыми, поскольку можноположить . Отметим, что знание δ > 0 в этом случае необязательно.

Далеко не все некорректно поставленные задачи можно регуляризировать, причем это часто зависит от выбора пространств Z, U. Российский математик Л.Д.Менихес построил пример интегрального оператора с непрерывным замкнутым ядром, действующего из пространства C[0,1] в , обратная задача для которого (т.е. решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода) является нерегуляризируемой. Это связано со свойствами пространства C[0,1]. Ниже будет показано, что если пространство Z гильбертово, а оператор A ограниченный и инъективный, то задача решения операторного уравнения первого рода является регуляризируемой. Этот результат справедлив и для некоторых банаховых пространств, но не для всех. В частности, пространство C[0,1] к таким банаховым пространствам не относится.

Можно дать эквивалентное определение регуляризирующего алгоритма и регуляризируемости операторного уравнения. Пусть задан оператор (отображение) , причем определен для любых δ > 0, ∈U , и отображает (0,+ ∝) ЧU в Z. Погрешность решения операторного уравнения в точке z ∈ Z с помощью оператора при условии, что правая часть u задана с погрешностью δ >0, определяется как

Оператор называется регуляризирующим оператором, если для любого z ∈ Z . Легко видеть, что данное определение эквивалентно данному выше.

Аналогично можно дать определение регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления значений оператора (см. конец предыдущего параграфа), т.е. для задачи вычисления значений отображения G : D(G) → Y, D(G) ⊆ X при условии, что аргумент задан с погрешностью (X, Y – метрические или нормированные пространства). Разумеется, задача решения операторного уравнения при условии, что A – инъективный оператор, может рассматриваться как задача вычисления значений оператора .

Огромное значение имеет ответ на следующий очень важный вопрос, можно ли решить некорректную задачу, т.е. построить регуляризирующий алгоритм, не зная погрешность δ Если задача корректна, то устойчивый метод, очевидно, можно построить и без знания δ.

Так, в случае решения операторного уравнения . В случае некорректных задач это невозможно. Приведенная ниже теорема принадлежит А.Б.Бакушинскому и была им доказана для задачи вычисления значений оператора. Аналогичная теорема имеет место и для решения операторного уравнения.

Теорема. Если для вычислений значений оператора G на множестве D(G) ⊆ X существует регуляризирующий оператор, не зависящий от δ (явно), то существует продолжение G на X , которое непрерывно на D(G) ⊆ X.

Итак, построение регуляризирующих алгоритмов, не зависящих явно от погрешности,

возможно только для задач, корректных на своей области определения.

Следующим свойством некорректно поставленных задач является невозможность оценить погрешность решения, даже если известна погрешность задания правой части операторного уравнения или погрешность задания аргумента в задаче вычисления значений оператора. Этот принципиально важный результат был также впервые доказан А.Б.Бакушинским для решения операторного уравнения.

Теорема. Пусть для любого z ∈ D ⊆ Z . Тогда сужение обратного оператора на множество AD: непрерывно на AD. Таким образом, равномерная по z оценка погрешности решения операторного уравнения на множестве D ⊆ Z возможна только в том случае, когда обратный оператор непрерывен на AD. Таким образом, равномерная по z оценка погрешности решения операторного уравнения на множестве D ⊆ Z возможна только в том случае, когда обратный оператор непрерывен на AD. Данная теорема справедлива и для нелинейных операторных уравнений, причем в метрических пространствах.

Из определения регуляризирующего алгоритма легко следует, что, если есть хотя бы один регуляризирующий алгоритм, то их может быть сколько угодно. Выбрать же тот, который дает наименьшую ошибку, или сравнивать алгоритмы, сравнивая ошибки полученных приближенных решений, при решении некорректных задач, невозможно при отсутствии априорной информации, которая фактически преобразует такие задачи в корректные.

Регуляризирующие алгоритмы для операторных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах нельзя сравнивать и по скорости сходимости приближенного решения к точному при стремлении погрешности входных данных к нулю. Этот важный результат принадлежит В.А.Винокурову. (Ист. №1)

Адаптивные регуляризирующие алгоритмы

Пусть Z,U – гильбертовы пространства, а A – линейный ограниченный оператор, действующий из Z в U. Рассмотрим операторное уравнение

Без ущерба для общности будем считать, что ||A|| 0. Алгоритмы такого рода предлагаются в данной заметке.

Сформулируем основные положения. Пусть известно, что нормальное псевдорешение задачи (1) истокообразно представимо с помощью степени оператора . Поскольку такое представление не единственно, будем иметь ввиду, что

где р>0 – максимально возможное число. В общем случае число р полагается неизвестным, но при этом считается, что дана величина r.

Ниже будет использована величина — устойчивая оценка меры несовместимости уравнения (1), удовлетворяющая требованиям:

.

В качестве можно выбрать, например, упомянутое выше число .

Методику построения алгоритмов рассмотрим на примере специализированного метода невязки. Предлагаемый РА основан на решении экстремальной задачи: при заданном параметре найти элемент такой, что

(C=const > 1). Алгоритм состоит из двух шагов:

Вычислить при решение задачи (3) и применять элемент в качестве приближения к .

Экстремальные задачи (3), (4) обладают важными свойствами.

Теорема 1. Пусть выполнено (2). Тогда задача (3) однозначно разрешима при всяком Для каждого , найдется такое число , что при любом , для решения задачи (3) справедлива оценка:

Теорема 2. Если выполнено (2), то решение задачи (4) конечно, и при каждом , для него верна оценка

.

Теорема 3. Если , то для решения задачи (3) при выполнено неравенство .

Сходимость приближенных решений устанавливает

Теорема 4. Если выполнено условие (2), то при и обеспечены сильные сходимости в Z:

. При этом .

Введем множество . Ясно, что . Тогда из приведенной в теореме 4 оценки и из теории оценивания погрешности приближенных решений некорректных задач на множествах типа вытекает

Теорема 5. При выполнении условий (2) метод (3), (4) гарантирует при любом р>0 оптимальный порядок точности приближенного решения для задач (1), у которых .

Рассмотрим случай, когда оператор А – вполне непрерывный. Тогда множество — образ слабого компакта в Z – является сильным компактом. Это следует из того, что оператор также будет вполне непрерывным. По этой причине задача решения уравнения (1) приобретает интересные свойства. На основе этих свойств могут быть построены регуляризирующие алгоритмы, допускающие апостериорную оценку погрешности решения.

Отметим теперь следующий тривиальный результат.

Теорема 6. Если в дополнение к условиям теоремы 5 известны, что оператор А нормально разрешим, то алгоритм (3), (4) при любом р > 0 дает точность .

Из теорем 5,6 следует, что алгоритм (3), (4), не используя данных о степени р истокообразной представимости элемента , в процессе решения задачи сам «настраивается» на нужную величину р. В связи с этим дадим

Определение. Регуляризирующий алгоритм называется адаптивным для задач (1) с решениями из некоторого семейства множеств >, зависящих от параметра р, если: 1) он не использует явно величину р, определяемую включением ; 2) он оптимален по порядку точности для всякого независимо от допустимого параметра р.

Примером адаптивного РА служит алгоритм (3), (4). Имеются и другие адаптивные РА, для которых справедливы такие же результаты, как в теоремах 4-6. К числу таких РА относятся специализированный метод регуляризации А.Н. Тихонова, эквивалентный методу (3), (4), специализированный метод квазирешений, получаемый из обычного метода квазирешений [5] по схеме, которая использована в методе (3), (4). Все эти адаптивные алгоритмы были программно реализованы в системе MATLAB и показали свою высокую эффективность в численных эксперементах.

Остановимся особо на случае, когда при выполнении условий (2) степень истокопредсавимости р точного решения задачи (1) известна. Тогда нет необходимости использовать величину r. В качестве приближения к в этом случае можно взять элемент — решение задачи (3) при

Теорема 7. Гарантированы сильные сходимости: . Приближение имеет оптимальный порядок точности . Если оператор А нормально разрешим, то при всяком р > 0 верна оценка: . (Ист. №7)

Кроме специализированного метода невязки, адаптивными являются также и некоторые другие регуляризующие алгоритмы. Сформулируем и кратко обсудим важнейшие из них.

Специализированный метод регуляризации А. Н. Тихонова. Он основан на решении следующей параметрической задачи: при фиксированном β > 0 и при заданном параметре α>0 найти элемент , такой что

(5.1)

Алгоритм этого метода состоит из таких шагов: 1) выбор параметра регуляризации α(δ,β)>0 для каждого β > 0 по (обобщенному) принципу невязки , то есть как решение уравнения

(5.2)

2)использование элементов , получаемых в результате решения задачи (5.1) с

, для нахождения числа по правилу

3) принятие в качестве приближения к элемента Имеется тесная связь метода регуляризации с выбором параметра регуляризации по (обобщенному) принципу невязки и метода невязки.

Теорема 8. Элемент , вычисляемый в шагах 1, 2 алгоритма специализированного метода регуляризации, по крайней мере при достаточно малых δ совпадает с элементом , полученным в специализированном методе невязки. Число , определяемое этими алгоритмами, — одно и то же при таких δ.

Доказательство . Существование единственного решения задачи (5.1) следует из общей теории метода регуляризации линейных некорректных задач в гильбертовых пространствах. Существование и единственность параметра регуляризации , выбираемого из условия (5.2), при каждом фиксированном β вытекает из результатов работ. Установлена эквивалентность принципа и метода невязки при решении линейных операторных уравнений в гильбертовых пространствах в случае, если и δ достаточно мало. Поэтому при каждом > 0. Но тогда задача нахождения величины оказывается одной и той же для обоих специализированных алгоритмов и поэтому имеет одно и то же решение.

В силу установленной в теореме 4.1 эквивалентности алгоритмов специализированного метода регуляризации и специализированного метода невязки для первого из них справедливы те же результаты о сходимости и оптимальности порядка точности приближений, что и для второго. Это можно суммировать так.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (2). Тогда для величин , и , полученных по специализированному методу регуляризации, гарантируются сходимости при .

Этот метод оптимален по порядку точности при всяких и при каждом p > 0. Он обеспечивает неулучшаемый порядок точности на всем классе , каково бы ни было p > 0, причем гарантированная верхняя оценка точности есть .

Теорема 9 обосновывает адаптивность алгоритма специализированного метода регуляризации.

Специализированный метод квазирешений. Он базируется на решении экстремальной задачи: при фиксированном числе β > 0 найти элемент , для которого

(6.1)

В задаче (6.1) минимизируется непрерывный выпуклый (квадратичный) функционал на замкнутом, выпуклом, ограниченном множестве гильбертова пространства. Известно, что такая задача разрешима. Будем использовать далее произвольное ее решение при каждом рассматриваемом β > 0. Алгоритм специализированного метода квазирешений состоит из следующих шагов: 1) найти число

(6.2)

здесь числовое множество определяется так:

(6.3)

2) решить при = задачу (6.1) и по ее решению найти приближение

.

Множество из задачи (6.2) не пусто по крайней мере для «малых δ»: 0 Вывод

Решение – это выбор альтернативы. Принятие решений – связующий процесс, необходимый для выполнения любой управленческой функции. Лицо,принимающее решение своими решениями может повлиять на судьбы многих людей и организаций.

В зависимости от уровня сложности задач, среда принятия решений варьируется в зависимости от степени риска. Условия определенности существуют, когда руководитель точно знает результат, который будет иметь каждый выбор.

Методы приближённого решения некорректно поставленных задач и их применений к решению обратных задач имеют важное значение для автоматизации обработки наблюдений и для решения проблем управления. Имеется много работ (особенно советских математиков), посвященные этим методам.

Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

Из определения регуляризирующего алгоритма легко следует, что, если есть хотя бы один регуляризирующий алгоритм, то их может быть сколько угодно. Выбрать же тот, который дает наименьшую ошибку, или сравнивать алгоритмы, сравнивая ошибки полученных приближенных решений, при решении некорректных задач, невозможно при отсутствии априорной информации, которая фактически преобразует такие задачи в корректные.

К числу адаптивных регуляризирующих алгоритмов относятся специализированный метод регуляризации А.Н. Тихонова, специализированный метод квазирешений, получаемый из обычного метода квазирешений по определенной схеме. Все эти адаптивные алгоритмы были программно реализованы в системе MATLAB и показали свою высокую эффективность в численных эксперементах.

Список использованных источников

Бакушинский А. Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 199 с.

Большая советская энциклопедия. — Статья 34622. Корректные и некорректные задачи С.1154 [Электронный ресурс] http://www.diclib.com/cgibin/d1.cgi?l=ru&base=bse&page=show >

Гимади Э.Х. О некоторых математических моделях и методах планирования крупномасштабных проектов / Э.Х. Гимади //Модели и методы оптимизации. Труды Института математики. — Новосибирск.: Наука. Сиб. Отд–ние. — 1988. — С. 89–115

Горский П. Введение в прикладную дисциплину «поддержка принятия решений» С. 1-5 [Электронный ресурс] http://www.devbusiness.ru/development/dms/dms_intro.htm

Грищенко О.В. Управленческий учет / О.В.Грищенко // Понятие об управленческих решениях и их классификация // Конспект лекций. — Таганрог.: ТТИ ЮФУ, 2007. – 69 с. [Электронный ресурс] http://www.aup.ru/books/m166/6_1.htm

Казиев В.М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем. / В.М. Казиев // Лекция 13: Основы принятия решений и ситуационного моделирования. – М.: Интернет универ. – 2006. — С.49-53 [Электронный ресурс] http://www.intuit.ru/department/expert/intsys/13/4.html

Леонов А.С., Ягола А.Г. Адаптивные регулизирующие алгоритмы для решения некоректных задач / М.: Вестник Московского университета. — 1998. — No. 2 (март-апрель). — С. 62-63 [Электронный ресурс]

Леонов А.С., Ягола А.Г. Оптимальные методы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями / М.: Фундамент. и прикл. матем. — 1998 том4, выпуск3. – С. 1029–1046 [Электронный ресурс] http://www.mathnet.ru/links/def37868bce5b5f5d14bfa300b7b6912/fpm_340_card_rus.pdf

Планкетт Л., Выработка и принятие управленческих решений, М.: Наука, 1984 г. – 146с.

Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации//Доклады АН СССР. – 1963. – 151. – №3. – С.501-504.