Евклидова геометрия с проективной точки зрения

Издавна художники изображали на картинах перспективу при помощи линий, пересекающихся на горизонте. Один из замечательных этапов в истории геометрии начался, когда французский математик и архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) решил придать этим представлениям художников точный математический смысл. Он предложил добавить к обычным конечным точкам плоскости еще дополнительные бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются параллельные прямые. Бесконечно удаленные точки называли несобственными или идеальными, чтобы подчеркнуть их отличие от настоящих точек. Но дальше Дезарг призывал как можно быстрее забыть об этом различии, утверждая, что только тогда может быть польза от рассмотрения бесконечно удаленных точек.

Сколько бесконечно удаленных точек нужно добавить к плоскости? Естественно было бы считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке, которую и нужно добавить к точкам этих прямых. Важно было догадаться, что все эти точки для разных направлений прямых заполнят одну бесконечно удаленную прямую, которой на картинах художников служит линия горизонта. Полученная в результате плоскость называется расширенной или проективной.

В евклидовой геометрии взаимное положение точек и прямых регулируется двумя утверждениями: через две различные точки проходит единственная прямая, а две различные прямые или пересекаются в единственной точке, или параллельны. На расширенной плоскости эти утверждения становятся проще, поскольку любые две прямые там пересекаются, при этом различные свойства параллельных прямых превращаются в частные случаи утверждений для пересекающихся прямых. Пусть, например, мы имеем две точки: одну — конечную , а другую — бесконечно удаленную . Для задания достаточно указать какую-нибудь прямую , которой принадлежит (все параллельные прямые пересекаются в ). Тогда утверждение о том, что через и проходит, и притом единственная, прямая, равносильно тому, что через точку , не лежащую на , проходит единственная прямая, параллельная . Рассмотрев еще несколько подобных ситуаций, нетрудно убедиться, что очень удобно считать параллельность частным случаем пересечения.

В этих рассуждениях мы решительно разделяли конечные и бесконечно удаленные точки. Чтобы стереть эти различия, Дезарг предлагает рассуждать следующим образом. Различные плоскости в трехмерном пространстве воспринимаются как образы одной и той же плоскости, а картинки на этих плоскостях сравниваются при помощи центрального проектирования. А именно, фиксируется точка в пространстве (рис. 1); точки на плоскости и на плоскости считаются соответствующими друг другу (изображениями одной и той же точки на разных «картинах»), если и лежат на одной прямой, проходящей через . Так что если на имеется некоторая фигура , то се точки соединяются с прямыми, а из пересечений этих прямых с плоскостью собирается фигура на , соответствующая ( называется центральной проекцией на из точки фигуры ). Такого рода преобразования фигур уже возникали раньше при построении изображений.

«Основная идея этой чистой геометрии родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную» геометрию. Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить в плоскости чертежа?». С. Г. Гульд

Присмотритесь более внимательно к возникающему преобразованию. Может случиться так, что прямая, соединяющая точку с точкой , будет параллельна плоскости и в результате точка на плоскости не будет соответствовать никакой точке. Дезарг предлагает считать, что образом тогда является бесконечно удаленная точка на (образ «ушел на бесконечность»). Если провести через плоскость, параллельную , то в пересечении с получится прямая , которой в силу сказанного естественно поставить в соответствие на плоскости бесконечно удаленную прямую. Если же, напротив, провести через точку плоскость, параллельную , то при пересечении с получится прямая , в точки которой при проектировании не будут переходить никакие конечные точки плоскости , и принимается, что в переходит бесконечно удаленная прямая плоскости . Итак, по Дезаргу, одни и те же фигуры по-разному изображаются на разных плоскостях в пространстве. В частности, одна и та же прямая на одной плоскости предстанет перед нами как бесконечно удаленная, а на другой как конечная. Поэтому если мы не хотим, чтобы точки на одних картинах исчезали, а на других возникали из ничего, то мы должны рассматривать расширенную (проективную) плоскость.

Для того чтобы сделать эту точку зрения рабочей, надо выяснить, насколько же различаются изображения одних и тех же объектов. Ясно, что искажение при центральном проектировании весьма велико, но присущи ли различным изображениям хоть какие-то общие черты? Прежде всего сохраняется прямолинейность: прямые переходят в прямые, пересекающиеся прямые в пересекающиеся (параллельность частный случай!). Обратите внимание на то, сколько исключений пришлось бы оговорить уже здесь, не введи мы бесконечно удаленных элементов.

Замечательная догадка Дезарга заключалась в том, что имеются содержательные геометрические утверждения, в которых речь идет лишь о пересечениях прямых. Теорема, приведенная ниже, носит его имя. Пусть для треугольников и прямые (рис. 2), соединяющие вершины, и , и , и пересекаются в одной точке . Тогда точки пересечения соответствующих сторон ( и , и , и ) лежат на одной прямой. Верна и обратная теорема. Самое известное сегодня доказательство теоремы Дезарга очень красиво и связано с переходом к ее пространственному варианту. Весьма поучителен и другой способ рассуждения. Поскольку в теореме речь идет лишь о взаимном положении точек и прямых, сохраняющихся при центральном проектировании, из справедливости теоремы в одной картине следует ее справедливость в любой другой. Другими словами, можно сделать центральную проекцию так, чтобы ситуация стала особенно простой. Например, если сделать точки бесконечно удаленными (соответствующие стороны будут параллельны), то получится элементарное утверждение, которое легко доказать, пользуясь подобием треугольников. Общий случай будет получаться автоматически!

«Художнику необходима математика его искусства. Учение о перспективе — это и вожатый, и врата; без него ничего хорошего в живописи создать невозможно». Леонардо да Винчи

«Рисунок предмета — это сечение конуса, состоящего из прямых, проведенных из глаза художника к различным точкам изображаемого предмета». С. Г. Гульд

Следует заметить, что в проективной геометрии понятие треугольника нуждается в уточнении. Собственно говоря, надо прежде всего уточнить понятие отрезка. Проективную прямую следует себе мыслить как замыкающуюся через свою бесконечно удаленную точку, и пара точек определяет на прямой два отрезка (с точки зрения евклидовой геометрии, отрезок и его дополнение — пару лучей). Как всегда, проверка правильности определения производится при помощи центральной проекции. Ясно, что если точки переходят в и какая-то точка отрезка уходит при проектировании на бесконечность, то переходит при проектировании во внешность отрезка , т.е. действительно, в проективной геометрии отрезки и их внешности нельзя различать. Соответственно три точки на проективной плоскости (не лежащие на одной прямой) определяют 4 треугольника. Впрочем, для теоремы Дезарга это несущественно, так как в ней фактически фигурируют лишь вершины и прямые, на которых лежат стороны.

Мы обсудили ситуацию с взаимным положением точек и прямых в проективной геометрии. А как обстоит дело с другими фигурами? Например, окружность при центральном проектировании, хотя и не остается окружностью, все же не искажается «бесконтрольно»: она всегда изображается коническим сечением (эллипсом, гиперболой или параболой). Проективная геометрия открыла новую эпоху в изучении конических сечений. Одну из первых теорем в этом направлении доказал Б. Паскаль (1623-1662) в возрасте 16 лет: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой (рис. 3). Заметим, что центральная проекция позволяет свести случай произвольного конического сечения к случаю окружности.

О замечательных работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля забыли на полтора века. Новая жизнь проективной геометрии началась с работ французских математиков Г. Монжа (1746-1818) и его ученика Ж. Понселе (1788-1867). Последний задумался над вопросом, почему эллипсы обычно пересекаются в четырех точках, а окружности — только в двух. Он обнаружил, что мы не замечаем двух других точек пересечения в случае окружностей, поскольку они являются не только бесконечно удаленными, но и мнимыми. Таким образом в геометрии появились комплексные числа.

Дальнейшее развитие проективной геометрии состояло в том, что геометры находили соотношения, не изменяющиеся при центральном проектировании. Очень непросто было обнаружить числовые соотношения, обладающие этим свойством, ведь расстояния изменяются существенно. Оказывается, что если взять четыре точки на одной прямой (см. рисунок выше) и составить так называемое сложное, или двойное отношение четырех точек , то оно не будет изменяться при центральных проектированиях и их композициях — проективных преобразованиях (см. Геометрические преобразования). Не нужно опасаться, что некоторые из приведенных здесь расстояний могут принимать бесконечные значения: если бесконечность есть в числителе, то она есть и в знаменателе, и нужно условиться формально сокращать их. Двойное отношение четырех точек равно величине

,

которая называется двойным отношением четырех прямых , проходящих через одну точку (оно также сохраняется при проективных преобразованиях).

Для каждого понятия и утверждения проективной геометрии, в котором участвуют точки, прямые, а также конические сечения, можно построить двойственное утверждение, в котором роль точек будут играть прямые и наоборот, а принадлежность точек прямым сохраняется; при этом множеству точек конического сечения будет двойственно множество всех касательных к коническому сечению прямых. Например, теореме Паскаля (рис. 3) двойственна такая теорема Брианшона (рис. 4): три прямые, соединяющие вершины шестиугольника, описанного вокруг конического сечения, пересекаются в одной точке. Конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых (рис. 2) двойственна самой себе.

Обобщения понятия проективной плоскости — конечные проективные плоскости, -мерные (вещественные и комплексные) проективные пространства — в наши дни широко применяются в различных разделах математики и ее приложениях — комбинаторике, теории алгебраических кривых и поверхностей.

Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки зрения.

В этой главе рассмотрим проективную иллюстрацию аффинной, евклидовой геометрии. Выясним сходство и разницу геометрии аффинной и евклидовой плоскости.

§ 1. Проективная плоскость с фиксированной прямой.

Теорема 1. Множество проективных преобразований проективной плоскости Р₂образует группу.
 Для доказательства этой теоремы проверим два условия:

1. Выберем на проективной плоскости точки общего положения А, В, С. А₁, В_1, С₁,А₂,В_2,С₂

Рассмотрим f, g – проективные преобразования плоскости Р₂. Преобразование f переводит точку А в точку А_1, В → В_1, С → С_1, а преобразование g переводит . А₁→ А₂, В₁ → В₂,

Композиция двух проективных преобразований f ж g единственным образом переводит А→ А₂, В → В₂, С → С₂. Такое преобразование f ж g является проективным преобразованием.

2. Рассмотрим проективное преобразование f , которое переводит точки А → А_1,

В → В_1, С → С_1. Для точек А, В, С и А₁, В_1, С₁ существует единственное преобразование f 1 , которое переводит точки А₁ → А_, В₁ → В_, С₁ → С. Такое преобразование f -1 будет являться проективным преобразованием.

Таким образом, множество проективных преобразований проективной плоскости Р₂ образует группу. ■.
П.2

Рассмотрим проективную плоскость Р₂, на которой зафиксируем проективную

Прямая р m называется абсолютом проективной плоскости Р₂m , где Р₂m — проективная плоскость с фиксированной прямой р m . Все точки, принадлежащие абсолюту обозначают так: А m , В m , С m … . А все точки, не принадлежащие абсолюту обозначают так: А, В, С.

2) Преобразование f : U → U является автоморфизмом относительно множества U, тогда преобразование f -1: U → U также является автоморфизмом относительно множества U.

3) Рассмотрим проективную плоскость Р₂m и фиксированную на ней прямую р*.

Проективное преобразование f*: р* → р* также является автоморфизмом относительно прямой р*.

Таким образом, рассмотренное множество всех автоморфизмов относительно U G образуют группу. ■.

Определение. Автоморфизмы абсолюта плоскости Р₂m называются аффинными коллинеациями. Прямые плоскости называются сходящимися, если их точки пересечения принадлежат абсолюту.
Замечание. Из определения аффинной коллинеации следует, что если f* — аффинная коллинеация, то она переводит точку, непринадлежащую фиксированной прямой р*, в точку, принадлежащую прямой р* ; а точку, которая лежит на прямой р*, f* переводит в точку, также лежащую на прямой р*.
Теорема. Если даны три пары точек общего положения, непринадлежащих абсолюту, то существует единственная аффинная коллинеация плоскости Р₂m такая

f*: С → С‘.
 Рассмотрим точки общего положения А, В, С, А’, В’, С’, принадлежащие проективной плоскости Р₂. По основной теореме о проективных преобразованиях следует, что всегда существует единственное проективное преобразование f плоскости Р₂, которое переводит точки А, В, С в точки А’, В’, С’. Тогда преобразование f переводит фиксированную прямую р* в прямую р*.Таким образом, преобразование f является аффинной коллинеацией. ■.
Определение. Аффинной гомологией называется аффинная коллинеация, если она не является тождественной и имеет прямую инвариантных точек, т.е. аффинная гомология – это аффинная коллинеация, которая является гомологией.
Теорема. Если ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, то центр гомологии принадлежит абсолюту.
 На проективной плоскости Р₂m рассмотрим проективную прямую s и абсолют р*. на фиксированной прямой р* выберем такую точку S, которая не принадлежит прямой s.

Рассмотрим нетождественное проективное преобразование f, которое является аффинной коллинеацией с осью s и центром S. На фиксированной прямой выберем произвольную точку М*, которую аффинная гомология f* переводит в точку М*’, принадлежащую прямой р*.

f* — гомология с центром в точке S, а точки М* и М*’ являются соответственными точками , то, по свойству гомологии, центр S принадлежит прямой (М*М*’), которая совпадает с фиксированной прямой р*.

Таким образом, ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, но центр гомологии принадлежит абсолюту. ■.

Классификация аффинной гомологии плоскости Р₂ * .

§2. Аффинная геометрия с проективной точки зрения.

Поскольку на проективной плоскости все прямые равноправны (они образуют класс проективно эквивалентных фигур), то нет оснований отдавать предпочтение какой – либо одной из них: в качестве несобственной прямой ( абсолюта) можно взять произвольную прямую . Теперь можно определить все аффинные понятия в терминах проективной геометрии.

Определение. Аффинной точкой на проективной плоскости с фиксированной прямой называется любая прямая, не принадлежащая абсолюту.
Определение. Аффинной прямой на проективной плоскости с фиксированной прямой называется любая проективная прямая, не совпадающая с абсолютом, из которой выкинута точка пересечения с абсолютом.
Определение. Аффинной плоскостью называется проективная плоскость с фиксированной прямой без абсолюта.
Определение. Несобственными точками называются точки, принадлежащие абсолюту.
Определение. Параллельными прямыми на аффинной плоскости называются сходящиеся прямые на проективной плоскости с фиксированной прямой.
Определение. Аффинными преобразованиями плоскости называются автоморфные преобразования относительно абсолюта.
Определение. Пусть А и В – какие – либо точки аффинной плоскости , (АВ) – проективная прямая, — точка пересечения этой прямой с несобственной прямой . Тогда точка С, принадлежащая прямой (АВ), называется лежащей между А и В, если пары А, В и С, разделяют друг друга. Множество точек, лежащих между двумя точками, называется открытым отрезком.
Пусть А, В, С – коллинеарные точки аффинной плоскости. Тогда простое отношение (АВС) определяется формулой (АВС) = — (АВС ),

где = (АВ) ∩ . Точка С – середина отрезка, если (АВС ) = -1.

§ 3. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.

Любое проективное преобразование f из Н₁ порождает некоторое преобразование f ‘ множества точек А₂. Следовательно, множество $₁ всех этих преобразований можно рассматривать как группу преобразований плоскости А₂.
П.2.

Запишем аналитическое выражение преобразований из множества Н₁. Для этого будем пользоваться только такими реперами плоскости Ā₂, в которых циклические точки имеют координаты I₁ (1, i, 0), I₂ (1, — i, 0). Репер, удовлетворяющий этому условию, обозначим через R₁. Докажем, что существует бесконечное множество таких реперов. Вершины и единичную точку репера (А, В, С, Е) выберем так: В – произвольная точка прямой d₁, С – произвольная точка проективной плоскости Ā₂, ен лежащая на прямой d₁. Точку А на прямой d₁ и точку Е вне этой прямой выберем так, чтобы

Пользуясь формулой , находим:

Учитывая равенства (1), получаем а= 0, b = 1, т. е. циклические точки имеют координаты

В дальнейшем предполагаем, что все рассматриваемые реперы являются реперами R₁. Каждому такому реперу на плоскости А₂ соответствует аффинный репер = (С, Е₁, Е₂), который назовём декартовым репером (см. рис.32.).

В соответствии с формулами

Но для преобразований группы Н₁ на коэффициенты с_ij накладываются дополнительные ограничения, которые нам предстоит установить. Так как преобразования f циклические точки переводит в циклические точки, то возможны два случая.

Получим теперь аналитическое выражение преобразований из множества $₁ в реперах , которые соответствуют реперам R₁. Для точек множества А₂х₃ ≠ 0, х‘₃ ≠ 0, поэтому, разделив почленно первое и второе из равенств (3) на третье, получаем:

Введём новые параметры, положив а = k cosφ, b = k sinφ, где k > 0, а –π ≤ φ ≤ π. Тогда формулы (4) принимают вид:

у‘ = k(х sinφ + εу cosφ)+ с₂. (5)
Такой же вид имеют и формулы преобразований подобия, поэтому группа подобий евклидовой плоскости изоморфна группе Н₁. Таким образом, евклидову геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию, изучающую те свойства фигур плоскости А₂, которые инвариантны относительно группы $₁.
П.3.

Обозначим через $_Т множество преобразований из $₁ плоскости А₂, состоящее из всех преобразований, заданных в репере формулами

где с₁ и с₂ – произвольные действительные числа. Формулы (6) получены из формул (5) при k = 1, cosφ = 1, ε= 1.

Это множество является подгруппой группы Н₁ (предлагаем читателю самостоятельно убедиться в этом). Любое преобразование $_Т называется параллельным переносом. Следовательно, множество $_Т параллельных переносов можно рассматривать как группу преобразований плоскости А₂. Множество $_Т называется группой параллельных переносов. Единицей этой группы, очевидно, является тождественное преобразование, т. е. преобразование, которое задаётся формулами (6) при с₁ = с₂ = 0.

Пользуясь формулами (6), легко доказать следующие свойства параллельных переносов плоскости. Доказательство этих свойств предлагаем читателю.

1 0 . Параллельный перенос, отличный от тождественного преобразования, не имеет инвариантных точек.

2 0 . В параллельном переносе , отличном от тождественного преобразования, прямые, проходящие через соответственные точки, параллельны или совпадают.

3 0 . Каковы бы ни были точки М и М‘ плоскости А₂, существует единственный перенос, который точку М переводит в точку М‘.

В заключении отметим, что формулы (6) в точности совпадают с формулами параллельного переноса на евклидовой плоскости.

Лекция 8. Проективная геометрия

Основная идея этой чистой геометрии родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную геометрию». Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить в плоскости чертежа

Проективная геометрия является одним из самых красивых разделов геометрии. Она резко отличается от евклидовой геометрии, где все необходимо строго доказывать, причем, некоторые доказательства весьма сложны, в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов, и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. В проективной геометрии ненужная информация отбрасывается, и в результате доказательство проходит просто и легко. К тому же она возникла в первую очередь, как практический предмет. Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей), возникла именно из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д., а на позднем этапе — из запросов машиностроения и техники. В связи с развернувшимся строительством различных сооружений возродилось и расширилось применение употреблявшихся в античном мире элементов проекционных изображений. Это поставило художников и архитекторов перед необходимостью начать разработку учения о живописной перспективе на геометрической основе. В эпоху Возрождения к проективной геометрии обратились живописцы, пытавшиеся изображать на плоскости объемные предметы именно так, как их видит глаз человека.

Хотя проективная геометрия возникла первоначально как один из разделов евклидовой геометрии, но позже математики поняли, что она является самостоятельным предметом, и даже больше – все остальные известные геометрии сводятся к ней. Английский математик А.Кэли сформулировал свое отношение к проективной геометрии так: «проективная геометрия – это вся геометрия». Именно поэтому практическая ценность проективной геометрии не только в ее применении для нужд архитекторов, фотографов, а в том, влиянии, которое она оказывает на другие области математики.

Проективная геометрия применяется в дизайнерском деле, в разнообразных фантастических проектах ведущих мировых архитекторов.

Проективная геометрия удивительна, она изобилует невозможностями: параллельные прямые в ней пересекаются, все параллельные прямые имеют одну общую точку, параллельные плоскости также пересекаются – по прямой. Если в ней что-то надо доказать, то это делается достаточно легко и обычно просто. Ведь если художник хочет нарисовать картину, разве будет он что-то усложнять и доказывать, его цель – нарисовать и, по возможности, как можно более правдоподобно.

Как и все другие геометрии, проективная строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемых «точками» и «прямыми». Между этими объектами есть некоторые отношения, схожие с точками и прямыми евклидовой плоскости, и для них выполняется ряд свойств, отличающихся от присущих евклидовым.

Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Но какие именно свойства относятся к проективным? Нарисуем произвольный куб, воображаемый или стоящий перед вами. Рисунок каждого будет отличаться, и зависеть от места, занимаемого каждым по отношению к кубу. Да и сам рисунок будет во многом отличаться от реального куба. Например, известно, что у куба все углы прямые.

На рисунке это сделать достаточно затруднительно. Не будет сохранено даже соотношение длин. Но, тем не менее, некоторые факты, касающиеся заданного куба, останутся неизменными и на этом рисунке. Так, например, прямая не превратится ни в кривую, не в окружность – она останется прямой. Изображение точки есть точка. Если некоторая точка принадлежала прямой, то и на чертеже она будет принадлежать той же прямой. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не сохранится. Вот сохраняющиеся свойства и называются проективными. Именно ими и занимается проективная геометрия, остальные, изменяющиеся свойства, она игнорирует.

Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов. Введение этих элементов – заслуга другого математика, француза Жерара Дезарга.

Он предложил добавить к обычным конечным точкам плоскости еще дополнительные, так называемые бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются параллельные прямые. Бесконечно удаленные точки называли несобственными, или идеальными, чтобы подчеркнуть их отличие от настоящих точек. Но дальше Дезарг призывал забыть как можно быстрее об этом различии, иначе пользы от новых точек уже не будет.

Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований.

Следуя за Дезаргом, дополним пространство Е₃ новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства — несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью. Вот и построена нами новая геометрия, которая занимает не менее важное место, чем евклидова.

Другим важнейшим результатом работы Дезарга является его исследование так называемого инволюционного соответствия точек прямолинейного ряда. Здесь и самый термин «инволюция» принадлежит Дезаргу и взят им из ботанического словаря, в котором слово «инволюция» означает скручивание молодых листьев. Прямую, на которой расположен ряд точек, он называет «древом», точку отсчета отрезков – «стволом», самые отрезки – «ветвями» и т.д. Это соответствие находит свое применение в принципе двойственности проективной геометрии: «если справедливо утверждение Δ, в котором говорится о точках и прямых на плоскости и об их взаимном расположении, то справедливо и двойственное предложение Δ* которое получается из Δ заменой слова «точка» словом «прямая», а слова «прямая» словом «точка».

Например, если рассматривать предложение Δ= «Каждой прямой принадлежит бесконечное множество точек», то двойственное примет вид Δ*= «Каждой точке принадлежит бесконечное множество прямых» — или, перефразируя «Через каждую точку проходит бесконечное множество прямых». Причем, если справедливо исходное утверждение, то справедливо и ему двойственное. Аналогичный принцип двойственности существует и в пространстве, причем слово «точка» заменяется словом «плоскость», а «плоскость» — «точка», а прямая остается прямой. Впервые принцип двойственности был открыт в 1825 году французским математиком Ж.Жергонн. Он впервые предложил записывать аналогичные утверждения для плоскости и пространства в два столбца. Например, для утверждения «В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну» двойственным будет «В любой тетраэдр можно вписать сферу, и притом только одну!» Пользуясь этим принципом, совсем не обязательно каждый раз доказывать пространственный аналог какого-то плоскостного утверждения, так как если выполняется исходное утверждение, то непременно будет выполняться и двойственное.

Все теоремы проективной геометрии касаются только проективных свойств, в них даже и не говорится ни об углах, ни о длинах. Одна из известных теорем проективной геометрии – это теорема Дезарга. Теорема Дезарга дает ответ на детскую задачку: как посадить десять деревьев десятью рядами так, чтобы в каждом ряду было по три дерева.

Сформулируем теорему. Пусть на плоскости заданы точки А, В, С и точка О, через которую проходят прямые ОА, ОВ, ОС. На каждой из этих прямых выберем по одной произвольной точке – А₁, В₁, С₁, тогда точки пересечения прямых АВ с А₁В₁, АС с А₁С₁ и ВС с В₁С₁ лежат на одной прямой.

Особенность этой теоремы еще и в том, что в теореме соблюдается полное равноправие: любые четыре из этих точек можно обозначить через А, В, С, О, и содержание теоремы не изменится.

Другая особенность в том, что в теореме Дезарга можно «поменять местами» точки и прямые: записывая формулировку теоремы будем вместо слов «точка лежит на прямой» писать «прямая проходит через точку», и наоборот, то есть слова «точка» и «прямая» можно менять местами. В результате такой «лингвистической» процедуры прямая теорема Дезарга превратится в так называемую обратную.

Оказывается, в проективной геометрии такое же «преобразование» можно применить к тексту любой теоремы. Ведь на проективной плоскости, в отличие от евклидовой, нет параллельных прямых. Любые две прямые имеют общую точку. И, конечно же, через любые две точки проходит единственная прямая.

Таким образом, если доказана какая-либо теорема проективной геометрии, то можно считать доказанной и двойственную ей теорему, которая получается из нее, если поменять местами точки и прямые.

Как уже говорилось, в проективной геометрии между двумя точками расстояние изменяется. Но положение изменится, если на прямой задано четыре точки или четыре объекта. Пусть это точки А, В, С, D. Возьмем в качестве отсчета некоторую точку О и измерим расстояние от этой точки до каждой из заданных. Предположим их равными a, b, c, d. Вычислим величину . Это число обладает тем свойством, что оно одно и то же для изображения и его оригинала. То есть, если мы измерим расстояние между четырьмя объектами, например, между четырьмя городами, а затем сфотографируем эти города с высоты птичьего полета, то и в первом, и во втором случае это отношение будет одним и тем же. Эта величина х носит свое название, она называется сложным отношением четырех точек. Это число может быть, как положительным, так и отрицательным. Значение сложного отношения, равного (-1) представляет наибольший интерес. В этом случае оно называется гармоническим, а числа говорят, образуют, гармоническую четверку. То есть они расположены гармонично по отношению друг к другу, и в частности, длины отрезков играют некоторую роль в теории гармоники (в теории музыкальных инструментов).

Из простейших фигур евклидовой геометрии можно вспомнить треугольники, четырехугольники, окружности. Есть ли похожие понятия в проективной геометрии?

Начнем с аналога треугольника. Он называется трехвершинником. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, В, С обозначается так: АВС (рис. 30).

Поскольку, как было сказано выше, точки прямые в проективной геометрии равноправны, можно ввести новую фигуру, дав ей следующее определение: фигура, состоящая из трех прямых, не лежащих на одной точке (то есть не проходящих через одну точку), и трех точек, соединяющих попарно эти прямые, называется трехсторонником.

Другая фигура проективной геометрии – это полный четырехвершинник, аналог четырехугольника.

Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. В четырехвершиннике ABCD противоположными являются стороны АВ и CD, ВС и DA, АС и BD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональ­ные точки,— диагоналями полного четырехвершинника (рис.31 ).

Особенностью диагональных точек является то, что они при любом расположении точек четырехвершинника не лежат на одной прямой.

Другая особенность заключается в определенной, никогда не меняющейся их связи с вершинами.

1) На каждой диа­гонали полного четырехвершинника диагональные точки гармо­нически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку.

2) Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.

Следуя принципу двойственности, справедливо и третье утверждение.

3)Две противоположные стороны полного четы­рехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих сторон.

Рассуждая по аналогии, можно заключить, что существуют и пятивершинники, и шестивершинники – как и в евклидовой геометрии выделяют многоугольники.

По аналогии с окружностью в проективной геометрии выделяется овальная кривая второго порядка. Она задается уравнением вида .

Ряд особенностей окружности сохраняется и для нее. Так, например, любая прямая, проходящая через внутреннюю точку овальной кривой, пересекает ее в двух точках, в любой точке овальной кривой существует касательная.

Проективная геометрия, как раздел геометрии, занимает свое особенное место в списке известных на настоящее время геометрий.

Свое практическое значение проективная геометрия реализовывает в различных проектах и архитектурных планах, в строительстве водонапорных башен и телевизионных матч.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.004 с) .