Меню Рубрики

Элементарная математика с точки зрения высшей математики

М.: Наука, 1987. 431 с.

Загрузить (Mb)
djvu (5.26) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

В этой книге читатель найдет красивый этюд о пифагоровых числах и великой теореме Ферма, изящное изложение теории деления окружности, рассказ о кватернионах, прозрачно изложенную гауссову идею доказательства основной теоремы алгебры, доказательство трансцендентности чисел e и p , много крайне интересных подробностей из истории математики и ряд других вопросов.

Школьный преподаватель математики хорошо разбирается в вопросах методики преподавания своего предмета, но, как правило, судит об этих вопросах на уровне школьной программы и наличия межпредметных связей с другими, но именно школьными, предметами. Помочь ему подняться над этим уровнем, взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов — искреннее желание автора.

Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987.

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.
Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности.
Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Логические основы теории целых чисел.
Если в деле школьного преподавания мы, естественно, не можем дойти до постановки тонких и трудных вопросов, то в современном математическом исследовании серьезные вопросы здесь, собственно, и возникают: как обосновать эти законы, как обосновать понятие числа? Здесь я намерен ориентировать вас в этом вопросе, оставаясь верным цели настоящего сочинения — осветить материал школьного преподавания с высшей точки зрения, и я делаю это тем охотнее, что эти современные идеи и помимо того проникают к вам со всех сторон в течение ваших академических занятий, между тем как психологическая сторона этого дела обычно не оговаривается в той мере, в какой это необходимо.

Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье «Энциклопедии математических наук»); здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. Из представителей этого воззрения назову из философов Канта, из математиков Гамильтона.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора
Введение
АРИФМЕТИКА
I. Действия над натуральными числами
1. Введение чисел в шкале
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел
4. Практика счета с целыми числами
II. Первое расширение понятия числа
1. Отрицательные числа
2. Дроби
3. Иррациональные числа
III. Особые свойства целых чисел
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании
2. Простые числа и разложение на множители
3. Обращение простых дробей в десятичные
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма
6. Задача о делении окружности на равные части
7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой
IV. Комплексные числа
1. Обыкновенные комплексные числа
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве
4. Комплексные числа в преподавании
V. Современное развитие и строение математики вообще
1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ
2. Краткий обзор истории математики
АЛГЕБРА
Введение
I. Уравнения с действительными неизвестными
1. Уравнения, содержащие один параметр
2. Уравнения с двумя параметрами
3. Уравнения с тремя параметрами
II. Уравнения в области комплексных чисел
A. Основная теорема алгебры
B. Уравнение с одним комплексным параметром
1. Двучленное уравнение zп = w
2. Ура册ение диэдра
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
4. Продолжение; вывод уравнений
5. О решении нормальных уравнений
6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций
7. Разрешимость в радикалах
8. Сведение общих уравнений к нормальным
АНАЛИЗ
I. Логарифм и показательная функция
1. Систематика алгебраического анализа
2. Историческое развитие учения о логарифме
3. Некоторые замечания о школьном преподавании
4. Точка зрения современной теории функций
II. О тригонометрических функциях
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме
2. Тригонометрические таблицы
3. Применения тригонометрических функций
III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых
2 Теорема Тейлора
3. Замечания исторического и педагогического характера
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Трансцендентность чисел е и п
1. Исторические замечания
2. Доказательство трансцендентности числа е
3. Доказательство трансцендентности числа п
4. Трансцендентные и алгебраические числа
II. Учение о множествах
1. Модность множества
2. Порядок элементов множества
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в шкале
Примечания
Именной указатель
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Элементарная математика с точки зрения высшей, Арифметика, Алгебра, Анализ, Том 1, Клейн Ф., 1987 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Предлагаемый элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор А.Н.Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически закон­ченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение кото­рых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.

Курс рассчитан на 70 часов.

повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;

создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.

реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;

выявление и развитие их математических способностей;

обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

формирование и развитие аналитического и логического мышления.

расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.

развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.

Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:

теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х 3 +Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виета с тремя переменными.

Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.

Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.

Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.

Замена при использовании метода «Оха».

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Требования к подготовке учащихся.

Настоящая программа предполагает следующие требования:

иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;

иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;

уметь решать прикладные задачи;

. иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;

. иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.

ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.

Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.

Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.

Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ:

1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.

2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.

3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 — 11 кл. сред. шк. — 3-е изд. перераб. — М.: Просвещение, 1990-160с: ил.

Читайте также:  Лазерная коррекция зрения ласик или фрк

4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 — 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.

5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. — М.: Дрофа, 2000 — 416с: ил.

6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2001. — 672с: ил.

7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.

Адреса образовательных Интернет ресурсов:

1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.

3. WWW.allmath – Вся математика.

4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.

5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.

6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.

7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.

8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика

Ожидаемый результат изучения курса

В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.

В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.

Ф. Х. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей в 2х томах

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.

Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности.

Второй том посвящен вопросам геометрии — той науки, в развитие которой Ф. Клейн внес особенно заметный вклад. Автор мастерски, в изящной популярной форме знакомит читателя с вопросами дифференциальной геометрии, неевклидовыми геометриями и другими вопросами.

Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Автор: Ф. Х. Клейн
Издательство: Наука
Жанр: История, науковедение, математика, педагогика
Формат: DJVU
Качество: OCR без ошибок
Иллюстрации: Черно-белые
Страниц: 427, 419
Размер 10.9 Мб

Элективный курс по алгебре (10 класс) по теме:
Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентина Николаевна — учитель математики высшей категории

Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентина Николаевна — учитель математики высшей категории

Вложение Размер
elektivnyy_kurs_algebra_plyus_elementarnaya_algebra_s_tochki_zreniya_vysshey_matematiki_11_klass.doc 152 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное оздоровительное образовательное учреждение санаторного типа

для детей, нуждающихся в длительном лечении,

«Санаторная школа-интернат №2»

научно-методический совет директор ___ Шакина И.И.

протокол № 1 от 29.08.2013 30.08.2013

Элективный курс по математике по теме:

«Алгебра плюс: элементарная

алгебра с точки зрения высшей математики»

для группы естественно-математической направленности.

на 2013-2014 учебный год.

Составлена Петрашовой В.Н.,

учителем математики высшей категории

Пояснительная записка к элективному курсу по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

Элективный курс рассчитан для изучения в 10-11 классах на 68 часов:

в 10 классе 34часа (по 1 часу в неделю)

в 11 классе 34 часа (по 1 часу в неделю).

Тематическое планирование составлено на основе элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» ( А.Н.Земляков, канд. пед. наук, ведущий научный сотрудник лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г.Черноголовка, Моск. обл. /Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика»/Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. –М.: Вита – Пресс, 2004.)

Элективный курс по выбору предназначен для учащихся естественно-математической направленности.

Курс опирается на знания и умения, полученные учащимися при изучении алгебры основной школы. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.

Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применение высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика задач не выходит за рамки курса образовательного стандарта, но уровень их трудности- повышенный, превышающий обязательный.

Особенности курса: приоритет развивающей функции обучения над информационной, усиление практической значимости изучаемого материала, широкие возможности для реализации уровневой дифференциации в обучении. Значительное место в учебном процессе отведено самостоятельной математической деятельности учащихся, учитывающей мыслительные особенности данного возраста.

Рабочая программа данного курса предусматривает:

-формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

-развитие математических способностей;

-повышение уровня обученности учащихся;

-подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ, ЦТ.

Тематика программы обеспечивает:

-интеллектуальное развитие учащихся;

-формирование математического мышления;

-формирование представлений об идеях и методах математики;

— развитие познавательной активности учащихся и творческого подхода к решению математических задач;

-формирование потребности к самообразованию и способности к адаптации в изменившемся обществе

-создание условий для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий;

-обеспечение сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования;

-систематизация и обобщение опорных знаний учащихся по математике;

-подготовка учащихся к ЕГЭ по математике;

-развитие логического и творческого мышления.

-формирование умений навыков комплексного осмысления знаний;

-подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Формы учебных занятий:

-уроки решения ключевых задач;

В работе с учащимися на занятиях применяются:

-блочно-модульный подход в преподавании материала;

-принцип дифференциации и индивидуализации;

-разноуровневый дидактический материал.

В качестве контроля – релейные контрольные работы, самостоятельные работы.

Достижению целей служат специально подобранные задачи. На занятиях рассматриваются такие задачи, решение которых не требует дополнительных знаний, но эти знания используются в новых нетривиальных ситуациях.

Структура материала курса такова, что учащиеся имеют возможность решать задачи теми способами и средствами, которыми к этому времени располагают в результате изучения материала основного курса. Многие задания допускают несколько способов решений, которые рассматриваются и разбираются на занятиях. Предпочтение отдаётся наиболее доступным, рациональным способам, которые помогут учащимся «набить руку» в практике решения разнообразных задач.

Ведущими методами обучения являются метод решения проблемных задач и организация самостоятельной работы учащихся с различными источниками информации.

Занятия построены по схеме «Ключевая задача + упражнения». Разбор ключевых задач, в ходе совместной деятельности учителя с учащимися, позволяет обеспечить «ориентировку» в материале.

Для отработки практических навыков используются долгосрочные домашние задания.

при реализации данного курса результативность будет определяться количеством и качеством самостоятельно решенных учебных задач уровня возможностей ( задач «конкурсной математики», требующих знания специальных эффективных приёмов решения), а также решения задач ЕГЭ части В и С.

Поурочное планирование элективного курса по математике по теме:

«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Рабочая программа элективного курса по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Описание разработки

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 10 – 11 класса составлена на основе авторской программы А. Н. Землякова, кандидата пед. наук, ведущего научного сотрудника лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г. Черниголовка, Московская обл. Из этой программы взяты модули «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Рациональные алгебраические системы», «Иррациональные алгебраические задачи». Из этих модулей исключены несколько тем, не нарушающих их логику. Программа рассчитана на 69 часов (10 – 11 класс), исходя из расчёта 1 час в неделю.

Данная программа элективного курса по математике даёт широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе разбирается большое количество сложных задач, которые понадобятся учащимся как при учёбе в высшей школе, так и при подготовке к ЕГЭ. Темы, предложенные этой программой, значительно расширяют и углубляют уровень знаний, предусмотренных базовым уровнем общеобразовательной программы по алгебре и началам анализа в 10 – 11 классе.

Цель курса:

повторение и обобщение курса алгебры и основ анализа, знакомство учащихся с материалом, не предусмотренным государственной программой, но который необходимо знать абитуриенту, желающему поступить в ВУЗ. В курсе предусмотрено решение большого числа сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высших учебных заведениях, так и при подготовке к Единому государственному экзамену.

Задачи курса:

знакомство учащихся с разнообразными методами решения задач как соответствующих программному материалу, так и более сложных задач, выходящих за рамки программного материала, в частности рассматриваются методы решения уравнений высших степеней, решение неравенств и уравнений, содержащих модули, решения задач с параметрами.

Тематическое планирование:

Элементарная математика с точки зрения высшей математики

Медаль Моргана (1893)
Copley medal (1912)

Содержание

Феликс Клейн родился в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Закончил гимназию в Дюссельдорфе, потом учился математике и физике в Боннском университете. Вначале планировал стать физиком. В это время Юлиус Плюккер заведовал отделением математики и экспериментальной физики в Бонне, и Клейн стал его ассистентом. Однако главным интересом Плюккера была геометрия. Под его руководством Клейн стал доктором в 1868 году.

1868: Плюккер умер. Клейн совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками. Особенное влияние на него оказал Софус Ли.

1870: в самое неудачное время (назревает франко-прусская война) вместе с Ли приезжает в Париж, где знакомится с Дарбу и Жорданом. После начала войны возвращается в Германию, где чуть не становится жертвой спутника войны — эпидемии тифа.

1872: профессор Эрлангенского университета, по рекомендации Клебша. Публикует знаменитую «Эрлангенскую программу» и сразу приобретает общеевропейскую известность.

1875: профессор Высшей технической школы в Мюнхене. Женится на Анне Гегель, внучке знаменитого философа.

1876: совместно с Адольфом Майером становится главным редактором журнала «Mathematische Annalen».

1882—1884: серьёзная болезнь по причине переутомления. Клейн переориентирует свою гигантскую энергию на педагогическую и общественную работу.

1888: профессор Гёттингенского университета. Ведёт яркие, глубокие и содержательные факультативные курсы по самым разнообразным предметам, от теории чисел до технической механики. Слушатели его курсов приезжали со всех концов мира.

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования, автор и инициатор ряда исследований состояния дел с преподаванием математики в разных странах.

Клейн способствовал созданию при Гёттингенском университете системы научно-исследовательских институтов для прикладных исследований в самых разных технических областях. Участвовал в издании полного собрания сочинений Гаусса и первой Математической энциклопедии. Представлял Гёттингенский университет в парламенте. Надо отметить, что с началом Первой мировой войны Клейн не участвовал в многочисленных тогда шовинистических акциях.

1924: широко отмечается 75-летие Клейна. В следующем году те же газеты опубликовали его некролог.

Научная деятельность

К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.

Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Пример: медиана есть аффинный инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно аффинным преобразованием перевести в равносторонний и обратно.

Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen» («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований») [1] , получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление и предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Влияние «Эрлангенской программы» на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико.

В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского; для этого он построил её интерпретацию в евклидовом пространстве (см. модель Клейна). Он построил пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна».

Читайте также:  Очень хороший рецепт для восстановления зрения

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Его труды печатались главным образом в «Mathematische Annalen», редактором которых он с 1875 года был вместе с Адольфом Майером. Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.

Лекции Клейна пользовались большой популярностью, многие из них были неоднократно переизданы и переведены на множество языков. Он также опубликовал несколько монографий по анализу, сводящих воедино достигнутые на тот момент результаты.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений.

Основные понятия
школьной математики

Задача этой книги — показать место основных понятий школьной математики в гораздо бо лее широкой системе представлений высшей математики и в этих рамках строго и последовательно Изложить понятия школьной (элементарной) математики с точки зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).
Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.
В первых главах рассматриваются наиболее традиционные понятия школьной математики: элементарные функции, угол, измерение углов (глава 1); вектор, плоскость, планиметрия (глава II); величина, площадь и мера плоской фигуры (глава III), геометрические построения циркулем и линейкой, решение алгебраически?, равнений низших степеней в радикалах (глава IV).
Менее элементарную направленность имеют глава V и приложение 4. Поэтому чуть подробнее коснемся их содержания. В § 1 главы V детально рассматривается построение системы натуральных чисел — основы всех числовых систем. В § 2 этой главы традиционный подход к понятию рационального числа сравнивается с другим подходом, в рамках которого, рациональное число — функция. В § 3 рассматриваются основные способы перехода от рациональ- ных чисел — дискретного объекта к вещественным и комплексным числам — непрерывным объектам (в § 5 эта линия изложения продолжается переходом от рациональных чисел к нечисловым радическим полям). В целом § 3, 4, 5 пятой главы посвящены алгебротопологическим свойствам вещественных чисел; включение этого материала связано с тем, что именно сочетание алгебраических и топологических свойств создает вещественным и комплексным числам уникальное положение в математике. Приложение 4 содержит подробное изложение элементарных вопросов неевклидовой планиметрии. Ясное понимание евклидовой планиметрии (о которой говорится в главе II), по-видимому, предполагает для контраста, знакомство с неевклидовой планиметрией.
Для согласования терминологии и обозначений после предисловия приводится материал, содержащий некоторые общие понятия высшей математики; эти понятия играют в книге подсобную роль — языка, на котором говорится о школьной математике. Правильно рассматривать их как специализированную часть русского языка, подобную языку врача, химика или биолога. Разумно обращаться к этому материалу лишь в том случае, если какие-то обозначения или термины, употребляемые в книге, оказываются для читателя новыми и их смысл не ясен из контекста.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями школьной математики на том предварительном уровне понимания, который выносится из школы и первых трех курсов пединститутов. Также предполагается некоторая опытность читателя в оперировании с основными алгебраическими, топологическими и логическими понятиями из упомянутых математических курсов; однако фактическое сбдержание этих курсов может быть не знакомо (или почти не знакомо) читателю. Поэтому изложение в книге ведется постепенно, как правило, с полными определениями и доказательствами; от читателя в основном требуется умение не спеша разбирать временами довольно длинные построения. Параграфы 5, 6 пятой главы предъявляют более высокие требования к читателю, так как изложение в них носит обзорный характер. В книге встречаются довольно абстрактные понятия, такие, как индуцированная топология, топологическое пространство, подгруппа, гомоморфизм, связность, локальная компактность, действие, модуль, однако они употребляются исключительно для случаев (. ) . Конечно, для таких простейших случаев эти понятия можно заменить соответствующими частными, внешне более простыми выражениями. Например, вместо локальной компактности можно говорить о наличии окрестности, являющейся отрезком или дугой, включающей концы. Такая замена вряд ли приведет к упрощению существа дела и в то же время сделает многие формулировки внешне тяжеловесными и специфически привязанными к каждому из отдельных случаев; тем более, что эти понятия рассматриваются в основных математических курсах. Для некоторых категорий читателей такая замена абстрактных терминов соответствующими элементарными выражениями может быть полезным упражнением, относящимся по существу не к математике, а к русскому языку.
Степень детальности в рассмотрении того или иного понятия школьной математики различна и зависит от внимания, которое ему уделяется в основных математических курсах.
Так, понятия элементарной функции, угла и измерения углов их элементарных аспектах известны студенту старших курсов врчти на том же уровне, что и выпускнику школы. Поэтому здесь Изложение носит систематический характер.
Понятие вектора обычно определяется аксиоматически, как элемент произвольного векторного пространства. При всей важности такого аксиоматического подхода нужно представлять себе и конкретные модели аксиоматического определения вектора, в том числе только простейшую модель вектора как направленного отрезка, менно разнообразие этих моделей придает понятию вектора фундаментальное значение. Поэтому подробно рассматриваются различные конструктивные подходы к понятию вектора.
Понятие геометрической плоскости тщательно изучается в курсе геометрии, поэтому мы касаемся его бегло, только в плане адекватности различных определений плоскостй интуитивному представлению о ней. Понятие планиметрии с аксиоматической точки зрения также подробно рассматривается в курсе геометрии, и мы саемся его только в обзорном порядке. Однако при всей важности Аксиоматического понимания планиметрии существенна и клейновская точка зрения на нее. Поэтому подробно рассматривается клейновский подход и, в частности, вычисляются все инварианты ортогональной группы, которые и образуют с этой точки зрения евклидову планиметрию.
Понятие величины подробно рассматривается в книге, так как а сущности оно отсутствует в основных математических курсах. Столь же подробно рассматриваются и сравниваются различные способы измерения площади многоугольника, и в этой связи напоминается аксиоматическое определение площади многоугольника.
Мера понимается как продолжение функции площади с множества многоугольников на более широкое множество криволинейных фигур. В то же время мера определяется аксиоматически и эти два подхода тщательно сравниваются. Затем на основе аксиоматического определения меры (без использования интегралов) вычисляются ее значения для круга, сектора, сегмента и т. п. элементарных плоских фигур. В курсе анализе рассматривается мера Лебега только на прямой, здесь по существу рассматривается мера Лебега на плоскости. Таким образом, в этом вопросе, как и в других, автор стремился обеспечить преемственность излагаемого материала по отношению к основным курсам.
. Подробно рассматриваются классические задачи об удвоении Объема куба, трисекции угла и построении правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. При этом доказывается невозможность таких построений.
Затем подробно изучается вопрос о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 5. Доказывается теорема Г алуа. На ее основе находятся известные формулы для решения уравнений степени, меньшей или равной 4.
В книге большинство вопросов рассматривается с точки зрения инвариантов подходящей группы преобразований, т. е. ннвариантов действия подходящей группы; иными словами, с точки зрения непрерывных гомоморфизмов простейших групп. Можно надеяться, что такая точке зрения придает книге цельный, единообразный характер.
В книге можно найти материал для факультативных занятий в школе. Однако вопросы преподавания математики в школе и вопросы изложения ее в школьных учебниках здесь не рассматриваются. В этом, как и в других отношениях, автор старался следовать духу книги Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Книга Ф. Клейна своей конкретной содержательностью мало похожа на ряд современных изложений элементарной математики, в которых на первый план выдвигаются вопросы формально-логического порядка, например вопросы такого типа, как является ли элементарная функция множеством пар или отношением; кажется, что такого рода вопросы маловажны для существа дела.
Автор неоднократно читал лекционный курс, одноименный с названием книги, для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей и студентов пятого курса математического факультета. Эти лекции были отпечатаны и после некоторой правки составили рукопись книги; поэтому особенности, терпимые в лекционном изложении, к сожалению, перешли в книгу.
Приложение 4 написано П. В. Семеновым. Автор благодарит его также за большую помощь в подготовке рукописи.
Автор глубоко признателен В. Т. Базылеву, К. И. Дуничеву, Л. Я. Куликову, В. И. Мишину, А. И. Москаленко, Р. С. Черкасову, Е. П. Шимбиревой, Е. А. Щеголькову за ценные советы и указания во время работы над курсом и книгой.
Автор посвящает книгу своим детям Василине и Елене.

Рабочая программа элективного курса»Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

за привлеченного слушателя на курсы профессиональной переподготовки

Цели и задачи, решаемые при реализации рабочей программы.

развитие интереса к математике и решению задач;

совершенствование полученных в основном курсе знаний и умений;

формирование представлений о постановке, классификации, приемах и методах решения школьных математических задач;

подготовка к ЕГЭ.

Задачи: научить обучающихся решать алгебраические задачи, задачи с параметрами; рациональные и иррациональные алгебраические уравнения и неравенства, рациональные и иррациональные алгебраические системы; выполнять действия с многочленами.

Нормативные правовые документы, на основании которых разработана рабочая программа.

-Федеральный закон от 29.12.2012 №273 – ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

-Приказ Министерства образования РФ от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».

-Приказ Министерства РФ от 31.03.2014 года №253 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в ОУ, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию на 2014/2015 учебный год.

-Приказ Министерства образования и науки РФ от 8 июня 2015г №576 «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего. Среднего общего образования. Утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014г №253».

-Авторская программа А.Н. Землякова « Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» : МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика» общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.

-Методические рекомендации «О преподавании математики в 2015-2016 учебном году в общеобразовательных учреждениях Липецкой области».

-Учебный план МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015 – 2016 уч. г.

— Календарный учебный график МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015-2016 учебный год.

— Положение о структуре, порядке разработки и утверждения рабочих программ учебных курсов, предметов МБОУ СОШ с. C торожевое

Сведения о программе.

Программа разработана на основе программы МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», авторы: А.Н. Земляков, общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.

Актуальность элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Общими принципами отбора содержания программы являются:

Системность, целостность, научность, доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся

Обоснование выбора программы.

Программа элективного курса согласована с требованиями государственного образовательного стандарта. Она ориентирует учителя на дальнейшее совершенствование уже усвоенных учащимися знаний и умений.

В программе установлена оптимальная последовательность изучения тем и разделов учебного предмета с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, возрастных особенностей обучающихся, определяет необходимый набор форм учебной деятельности.

Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет базовый компонент, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Информация о внесенных изменениях.

Авторская программа элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » рассчитана на 70часов. Согласно школьному учебному плану на 2015-2016 учебный год количество часов-35.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Элементарная математика с точки зрения высшей математики»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ

Естественнонаучный факультет

Кафедра физики, математики и методик преподавания

«___» __________ 2014 г.

Учебно-методический комплекс дисциплины

«Элементарная математика с точки зрения высшей математики»

44.04.01 «Педагогическое образование»

(код и наименование направления подготовки)

Наименование магистерской программы

(наименование магистерской программы)

Квалификация (степень) выпускника

Заочная, 2года 6 месяцев

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ

Кафедра физики, математики и методик преподавания

Рабочая программа дисциплины

«Элементарная математика с точки зрения высшей математики»

44.04.01 «Педагогическое образование»

Читайте также:  Как тренировать зрение при помощи таблица

(код и наименование направления подготовки)

Наименование магистерской программы

(наименование магистерской программы)

Квалификация (степень) выпускника

Заочная, 2года 6 месяцев

1. Цели и задачи освоения дисциплины………………………………………………………..……5

2. Место дисциплины в структуре ОП ВПО………………………………………………………. 5

3. Требования к результатам освоения дисциплины ……………………………………………. 5

4. Структура и содержание дисциплины………………………………..………………………….. 6

4.2. Содержание разделов дисциплины ………………………………………………………..… 6

5. Образовательные технологии ……………………………………………….………………. 7

6. Самостоятельная работа студентов………………………………………………….…….……. 8

7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………..……. 9

7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля ………………………………………. 9

7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов…………………………………………………………………………………….11

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………………. 27

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………………. 28

10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля). 28

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Преподавание элементарной математики должно основываться на тех идеях и понятиях, которые составляют содержание современной математики.

В данном курсе рассматриваются некоторые важные вопросы элементарной математики и их осмысление с точки зрения математики высшей.

Курс дает иллюстрированный, методический и исторический материал, связанный с понятием функции, с основными понятиями дифференциального и интегрального исчислений и их историй.

Курс «Элементарная математика с точки зрения высшей» должен помочь магистранту взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов. В данном курсе должно быть представлено современное развитие и строение всей математики.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОП МАГИСТРАТУРЫ

Дисциплина входит в вариативную часть и является дисциплиной по выбору (Б1.В. ДВ.1.2). Для её освоения обучающиеся используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения математики (алгебры, начал математического анализа, геометрии, элементов теории вероятностей и математической статистики) в системе бакалавриата, а также при изучении дисциплин «Избранные главы геометрии», «Избранные главы математического анализа», «Избранные главы алгебры и теории чисел».

Освоение данной дисциплины является основой для последующего изучения дисциплин базовой части, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки.

3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующей компетенции в соответствии с ФГОС ВО по данному направлению:

ОК-1: способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу, способностью совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень;

ПК-3: способностью руководить исследовательской работой обучающихся.

3.2. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

– основные понятия элементарной математики с высоты научных прикладных понятий;

– историю основных понятий дифференциального и интегрального исчислений

– решать задачи элементарной математики с точки зрения высшей математики.

– выбирать оптимальный способ решения;

– анализировать и использовать основную и дополнительную учебную и учебно-методическую литературу по предмету;

– анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования.

– важнейшими методами математики;

– основными понятиями математики, знать, где они применяются;

– системой основных математических структур.

4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц (108 часов.)

4.1. Структура дисциплины

Наименование раздела дисциплины

Виды учебной работы

(в академических часах)

Расширение понятия числа

Функция и ее свойства

Контроль: к/р, зачет

Дифференциальное исчисление

4.2. Содержание дисциплины

Наименование раздела дисциплины

Расширение понятия числа

Расширение понятия числа: отрицательные числа; дроби; иррациональные числа. Комплексные числа.

Множества: мощность множества; порядок элементов множества. Учение о множествах в элементарной математике

Функция и ее свойства

Функция и ее свойства: понятие функции; логарифм и показательная функция. Историческое развитие учения о логарифме. Точка зрения современной теории функций. Теория тригонометрических функций и их применение. Тригонометрические ряды.

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление: исторические замечания относительно исчисления бесконечно малых (Ньютон и его последователи; Коши). Введение дифференциала (Лейбниц и его последователи). Определение производной и ее геометрический смысл. Теорема Тейлора. Дифференцирование функции нескольких переменных.

Интегральное исчисление: проблема измерения площадей и объемов (квадратура и кубатура). Определение определенного интеграла. Кратные интегралы.

5. Образовательные технологии

Виды образовательных технологий

Расширение понятия числа

Функция и ее свойства

Дифференциальное исчисление

7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства

7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля

Тесты и собеседования

7.2. Оценочные средства текущего контроля:

Тест. Структуры на множестве. Перестановки

1. В слове «МИНУС» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 4; д) 120.

2. В слове «RITM» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 4; д) 12.

3. В слове «TIM» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 6; д) 12.

4. В слове «CHAT» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 4; д) 12.

5. В слове «ФАЙЛ» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 4; д) 12.

6. В слове «ФАКТОР» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 720; с) 400; д) 12.

7. В слове «ОН» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 32; в) 24; с) 4; д) 2.

8. В слове «СОЧЕТАНИЯ» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 332880; в) 244233; с) 44562; д) 120124.

9. В слове «МОДУЛЬ» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 320; в) 720; с) 440; д) 120.

10. В слове «ВЫБОРКА» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

а) 320; в) 5040; с) 4050; д) 120.

Тест. Структуры на множестве. Размещения.

1. Количество различных двухбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «МЫШКА» ( все буквы в комбинации различны), равно…

а) 30; в) 120; с) 40; д) 20.

2. Количество различных двузначных чисел, которые можно составить из шести цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( все цифры в комбинации различны), равно…

а) 40; в) 30; с) 10; д) 120.

3. Количество различных двухбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «7» (все буквы в комбинации различны), равно…

а) 38; в) 120; с) 42; д) 20.

4. Количество различных двухбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «8» ( все буквы в комбинации различны), равно…

а) 30; в) 56; с) 40; д) 28.

5. Количество различных двухбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «9» ( все буквы в комбинации различны), равно…

а) 72; в) 36; с) 42; д) 20.

6. Количество различных двухбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «4» ( все буквы в комбинации различны), равно…

а) 3; в) 12; с) 4; д) 6.

7. Количество различных трехбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова «МЫШКА» ( все буквы в комбинации различны), равно…

а) 60; в) 120; с) 40; д) 20.

8. Количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из шести цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( все цифры в комбинации различны), равно…

а) 40; в) 360; с) 90; д) 120.

9. Количество различных пятизначных чисел, которые можно составить из шести цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( все цифры в комбинации различны), равно…

а) 540; в) 120; с) 310; д) 720.

10. Количество различных трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ( все цифры в комбинации различны), равно…

а)140; в) 230; с) 210; д) 120.

Тест. Структуры на множестве. Сочетания.

1. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 7- томного собрания сочинений равно…

а) 42; в) 12; с) 21; д) 9.

2. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 8- томного собрания сочинений равно…

а) 56; в) 28; с) 21; д) 18.

3. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 9- томного собрания сочинений равно…

а) 72; в) 12; с) 36; д) 90.

4. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 6- томного собрания сочинений равно…

а) 15; в) 12; с) 30; д) 9.

5. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 5- томного собрания сочинений равно…

а) 4; в) 10; с) 21; д) 9.

6. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 2 томов из 4- томного собрания сочинений равно…

а) 4; в) 12; с) 6; д) 9.

7. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 3 томов из 4- томного собрания сочинений равно…

а) 9; в) 12; с) 6; д) 4.

8. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 5 томов из 8- томного собрания сочинений равно…

а) 14; в) 12; с) 56; д) 9.

9. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 6 томов из 8- томного собрания сочинений равно…

а) 4; в) 12; с) 6; д) 28.

10. Количество различных способов выборки (порядок не имеет значения) 4 томов из 6- томного собрания сочинений равно…

а) 14; в) 15; с) 16; д) 9.

.7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации

7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации

а) контрольный опрос (устный или письменный);

в) Контрольная работа (1 и 2 семестры);

2. Историческое развитие учения о логарифме.

3. Доказательство трансцендентности числа е.

4. Доказательство трансцендентности числа.

5. Представление функций степенными рядами.

Вопросы и задания для самостоятельной работы.

1. Дать определение иррационального числа.

2. Дать определение комплексного числа и его интерпретацию.

3. Каковы два различных пути, по которым параллельно развивался математический анализ?

4. Какова связь дифференциального и интегрального исчисления?

5. Какие функции изображают тригонометрические ряды?

6. Докажите трансцендентность чисел е и р.

Перечень вопросов к зачету.

1. Иррациональные числа как расширение понятие числа. Теория Дедекинда.

2. Комплексные числа формула Эйлера. Высшие комплексные числа. Кватернионы.

3. Множества и их мощность. Множества N, Z, Q, R, C.

4. Определение функции. Различные подходы к определению функции.

5. Логарифмическая и показательная функции. Различные подходы к их определению.

6. Тригонометрические функции.

7. Тригонометрические ряды.

8. Исторические пути развития дифференциального исчисления.

9. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический и механический смысл.

10. Теорема Тейлора и ее значение в дифференциальном исчислении.

11. Задачи, приводящие к понятию интеграла Римана. Определение интеграла Римана и значение в интегральном исчислении. Кратные интегралы как обобщение понятия определенного интеграла.

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) Основная литература

1. лементарная математика с точки зрения высшей т 1: учебное пособие для вузов / Ф Клейн. – М.: Наука, 1987. – 431 с.

2. Математический анализ ч. 1.: учебник для вузов / , , Сендов Бл. Х. – Изд-во МГУ, 2004. – 660 с.

3. Краткий курс высшей математики: учебник для вузов / . – С.-П. Изд-во Лань, 1997. – 727 с.

4. История математики: учебное пособие для вузов / . – Изд-во МГУ, 1994. — 496 c.

5. Задачи и упражнения по аналитической геометрии : учеб. пособ. для студ. вузов / . — 34-е изд. — СПб. : Лань, 2009.- 336 с. : ил.- (Учебники для вузов. Специальная литература)

б) Дополнительная литература

1. Элементарная топология / , , , . — М. : МЦНМО, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-94057-587-0 ; То же [Электронный ресурс]. — URL:http://biblioclub. ru/index. php? page=book& >

2. Основы математического анализа Т.1, 2: учебное пособие для вузов / . – С.-П. Изд-во Лань, 1999.

в) периодические издания:

г) мультимедийные средства:

– http://www. voppsy. ru

– http://www/gpntb. ru/ — Государственная публичная научно-техническая библиотека России

–. http://elibrary. ru/ — Научная электронная библиотека

–. http://www. lib. / — Научная библиотека МГУ

–. http://www. lib. berkeley. edu/ — Список библиотек мира в Сети

–. http://ipl. sils. umich. edu/ — Публичная библиотека Интернет

— http://www. riis. ru/ — Международная образовательная ассоциация. Задачи – содействие развитию образования в различных областях.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

    Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки материалов для учебного процесса). Аудитории с мультимедийным обеспечением. E-mail: www. tgspa. ru

10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)

Студентам предлагается использовать указанную литературу и методические рекомендации, разработанные сотрудниками кафедры физики, математики и методик преподавания для более прочного усвоения учебного материала, изложенного на практических занятиях, а также для изучения материала, запланированного для самостоятельной работы. Студентам необходимо выполнить индивидуальные задания по основным темам курса. Задания, вынесенные на самостоятельную работу, проверяются преподавателем. Оценки за индивидуальные задания и самостоятельную работу учитываются при выставлении зачета.

Целью самостоятельной работы, т. е. работы, выполняемой студентами во внеаудиторное время по заданию и руководству преподавателя является глубокое понимание и усвоение курса лекций и практических занятий, подготовка к выполнению контрольных работ, к выполнению семестрового задания, к сдаче зачета и (или) экзамена, овладение профессиональными умениями и навыками деятельности, опытом творческой, исследовательской деятельности.

Для успешной подготовки и сдачи зачета (экзамена) необходимо проделать следующую работу:

– Изучить теоретический материал, относящийся к каждому из разделов.

– Выработать устойчивые навыки в решении типовых практических заданий.

– Выполнить контрольные работы, проводимые в течение семестра.

11. Паспорт рабочей программы дисциплины

Разработчик: , канд. пед. наук, доцент кафедры

Программа одобрена на заседании кафедры физики, математики и методик преподавания

Источники:
  • http://nashol.com/2016011087940/elementarnaya-matematika-s-tochki-zreniya-visshei-arifmetika-algebra-analiz-tom-1-klein-f-1987.html
  • http://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/elektivnij_kurs_algebra_plyus_elementarnaya_algebr_093544.html
  • http://nemalo.net/books/513239-f-h-kleyn-elementarnaya-matematika-s-tochki-zreniya-vysshey-v-2h-tomah.html
  • http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/12/11/elektivnyy-kurs-po-matematike-po-teme-algebra-plyus-elementarnaya
  • http://videouroki.net/razrabotki/rabochaya-programma-elektivnogo-kursa-po-matematike-algebra-plyus-elementarnaya-algebra-s-tochki-zreniya-vysshey-matematiki.html
  • http://dic.academic.ru/book.nsf/64310158/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D1%81+%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8+%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B5%D0%B9.+%D0%A2.+1+%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.+%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0.+%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7
  • http://sheba.spb.ru/shkola/osnov-matemat-1987.htm
  • http://infourok.ru/rabochaya-programma-elektivnogo-kursaalgebra-plyus-elementarnaya-algebra-s-tochki-zreniya-visshey-matematiki-869586.html
  • http://pandia.ru/text/81/139/90997.php