Элективный курс элементарная алгебра с точки зрения высшей математики

Главная > Элективный курс

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»

Элективный курс по математике для учащихся 9 — ых классов

Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики.

Ермеев Валерий Александрович,

учитель математики МОУ «Цивильская

средняя общеобразовательная школа №1

им. М.В. Силантьева» Цивильского

Рецензент: Ярдухин А.К., канд. физ.-мат. наук,

доцент кафедры естественно-научных дисциплин

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»

Программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования.

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

1) развитие личности ребенка;

2) ) распознавание и раскрытие его способностей;

3) освоение системы знаний, необходимых для успешного получения профессионального образования и самообразования;

4) формирование ответа применения полученных знаний и умений для решения типичных задач в области математики.

5) знакомство учащихся с математикой как общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Учебно – тематический план.

Делимости деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел.

Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Деление многочлена на многочлен. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини – Горнера.

Формулы сокращенного умножения.

Разложение методом неопределенных коэффициентов.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Симметрическое, кососимметрическое и возвратные многочлены и уравнения.

Метод использования монотонности при решении уравнений.

Дробно – рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно – рациональных уравнений.

Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов дробно – рациональных неравенств.

Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Метод разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными.

1.Делимости деление многочленов с остатком.

Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел.

1. Определение и свойства делимости .

Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = b с .

Если а делится на b, то k а делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

Если а делится на k, b делится на n, то произведение а b делится на произведение kn.

. Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3 а кратно 15.

2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число а b кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2 а 2 + 6 а делится на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18.

6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а 2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8.Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число. 10. Докажите, что число вида а b ( a – b ) , где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 1 3 +2 3 +…+59 3 делится на 60.

12. Докажите, что 1 3 +2 3 +…+49 3 не делится на 50.

Теорема о делении с остатком.

Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара чиселq и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; . . . , b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4?

Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4( 2k + 1) + 2.

2Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2

4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа

5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

6. . Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.

8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

10. Докажите, что число n 3 – n кратно 6 при любом натуральном n.

11. Докажите, что число n 3 – n кратно 24 при нечётном n.

12. Известно, а 2 + b 2 делится на 7. Докажите, что а 2 + b 2 делится на 49.

13. Известно, а 2 + b 2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3.

2. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

При делении P(х) на х — в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):

P(x) = (x — ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х — обращается в нуль, получаем, что P () = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х — равен P() (т.е. значению P(x) при х = ).

Пример 1. Докажем, что х 4 – 6х 3 + 7х + 18 делится без остатка на х – 2.

Решение. Подставляя в х 4 – 6х 3 + 7х + 18 вместо х значении 2, получаем 2 4 – 6 · 2 3 + 7 · 2 + 18, т.е. нуль.

Пример 2. Найдем остаток от деления х n + a n на х + а.

Решение. В данном случае вместо х надо подставить – а. Получаем (- а) n + а n . Это выражение равно нулю, если n нечетно, и равно 2а n , если n четно. Значит, х n + a n делится без остатка на х + а лишь в случае, когда n нечетно.

Определение 1. Число называют корнем многочлена P(x), если P() = 0 (т.е. если

— корень уравнения P(x) = 0).

Если многочлен P(x) делится на х — , то — корень этого многочлена. В самом деле, P(x) = (x — ) Q (x), и потому P() = ( — ) Q () = 0.

Справедливо и обратное утверждение. Оно вытекает из доказанной выше теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х — без остатка.

Теорема 3. Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни 1 , 2 , …, n , то он делится без остатка на произведение (х — 1 )…(х — n ).

Следствие. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Если многочлен P(x) делится без остатка на (х — ) k , но не делится без остатка на

(х — ) k + 1 , то говорят, что число является корнем кратности k для P(x). Например, при развертывании выражения (х + 4) 2 (х – 5) 3 (х + 1)(х + 2) получаем многочлен P(x), для которого число – 4 – корень кратности два, число 5 – корень кратности три, а – 1 и – 2 – корни кратности один.

Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень писать столько раз, какова его кратность. Например, если многочлен

ах 2 + bx + c имеет корень а кратности два, то 2 = и 2 = .

Пример 3. Составим квадратное уравнение корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 – 6х + 4 = 0.

Решение. Обозначим корни уравнения х 2 – 6х + 4 = 0 через х 1 и х 2 . Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа у 1 = х 1 2 и у 2 = х 2 2 . Значит, это уравнение имеет вид: х 2 + px + q = 0, где

p = — (у 1 + у 2 ) = — (х 1 2 + х 2 2 ) = — [(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ],

q = у 1 у 2 = х 1 2 х 2 2 = (х 1 х 2 ) 2 .

Но по формулам Виета имеем: х 1 + х 2 = 6 и х 1 · х 2 = 4.

Отсюда находим, что q = (х 1 х 2 ) 2 = 4 2 = 16, а

p = — [(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] = — (6 2 – 2 · 4) = — 28.

Итак, искомое уравнение имеет вид: х 2 – 28х + 16 = 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найдите остаток при делении многочлена х 6 – 4х 4 + х 3 – 2х 2 + 5 на х + 3.

2. Напишите формулы Виета при n = 4.

3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 + 8х + 2 = 0.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения

3х 2 – 10х + 4 = 0.

5. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения

6. Составьте кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности два и корень – 2.

7. Определите a и b так, чтобы – 2 было корнем многочлена P(x) = x 5 + ax 2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два. Ответ: а = 32,25; b = 49.

8. Какую кратности имеет корень 5 для многочлена

P(x) = x 5 – 15x 4 + 76x 3 – 140х 2 + 75х – 125? Ответ: 3.

9. Какую кратности имеет корень 2 для многочлена

P(x) = x 5 – 5x 4 + 7x 3 – 2х 2 + 4х – 8? Ответ: 3.

10. 1) Составьте кубический многочлен, имеющий корни 7, — 2 и 3 и старший коэффициент – 5.

2) Составьте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена х 3 – 6х 2 + 11х – 6. Ответ: х 3 – 14х 2 + 49х – 36.

11. Докажите, что многочлен х 2 k + 1 + a 2 k + 1 делится без остатка на х + а.

12. Чему равен коэффициент а, если остаток от деления многочлена х 4 – ах 3 + 4х 2 – х + 1 на х – 2 равен 7?

13. Докажите, что многочлен х 2 k + a 2 n при а 0 не делится ни на х – а, ни на х + а.

14. Разложите на множители:

3) х 4 – 18х 2 + 81;

5) х 5 + х 3 – х 2 – 1;

7) 2х 4 + х 3 + 4х 2 + х + 2;

8) (х 2 + х + 3) (х 2 + х + 4) – 12;

9) (х 2 + х -1) 2 + 3х (х 2 + х -1) + 2х 2 .

Описание разработки

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 10 – 11 класса составлена на основе авторской программы А. Н. Землякова, кандидата пед. наук, ведущего научного сотрудника лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г. Черниголовка, Московская обл. Из этой программы взяты модули «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Рациональные алгебраические системы», «Иррациональные алгебраические задачи». Из этих модулей исключены несколько тем, не нарушающих их логику. Программа рассчитана на 69 часов (10 – 11 класс), исходя из расчёта 1 час в неделю.

Данная программа элективного курса по математике даёт широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе разбирается большое количество сложных задач, которые понадобятся учащимся как при учёбе в высшей школе, так и при подготовке к ЕГЭ. Темы, предложенные этой программой, значительно расширяют и углубляют уровень знаний, предусмотренных базовым уровнем общеобразовательной программы по алгебре и началам анализа в 10 – 11 классе.

Цель курса:

повторение и обобщение курса алгебры и основ анализа, знакомство учащихся с материалом, не предусмотренным государственной программой, но который необходимо знать абитуриенту, желающему поступить в ВУЗ. В курсе предусмотрено решение большого числа сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высших учебных заведениях, так и при подготовке к Единому государственному экзамену.

Задачи курса:

знакомство учащихся с разнообразными методами решения задач как соответствующих программному материалу, так и более сложных задач, выходящих за рамки программного материала, в частности рассматриваются методы решения уравнений высших степеней, решение неравенств и уравнений, содержащих модули, решения задач с параметрами.

Тематическое планирование:

Элективный курс по алгебре (10 класс) по теме:
Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентина Николаевна — учитель математики высшей категории

Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентина Николаевна — учитель математики высшей категории

Вложение	Размер
elektivnyy_kurs_algebra_plyus_elementarnaya_algebra_s_tochki_zreniya_vysshey_matematiki_11_klass.doc	152 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное оздоровительное образовательное учреждение санаторного типа

для детей, нуждающихся в длительном лечении,

«Санаторная школа-интернат №2»

научно-методический совет директор ___ Шакина И.И.

протокол № 1 от 29.08.2013 30.08.2013

Элективный курс по математике по теме:

«Алгебра плюс: элементарная

алгебра с точки зрения высшей математики»

для группы естественно-математической направленности.

на 2013-2014 учебный год.

Составлена Петрашовой В.Н.,

учителем математики высшей категории

Пояснительная записка к элективному курсу по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

Элективный курс рассчитан для изучения в 10-11 классах на 68 часов:

в 10 классе 34часа (по 1 часу в неделю)

в 11 классе 34 часа (по 1 часу в неделю).

Тематическое планирование составлено на основе элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» ( А.Н.Земляков, канд. пед. наук, ведущий научный сотрудник лаборатории дифференциации образования ЦЭПД РАО, г.Черноголовка, Моск. обл. /Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика»/Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. –М.: Вита – Пресс, 2004.)

Элективный курс по выбору предназначен для учащихся естественно-математической направленности.

Курс опирается на знания и умения, полученные учащимися при изучении алгебры основной школы. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.

Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применение высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика задач не выходит за рамки курса образовательного стандарта, но уровень их трудности- повышенный, превышающий обязательный.

Особенности курса: приоритет развивающей функции обучения над информационной, усиление практической значимости изучаемого материала, широкие возможности для реализации уровневой дифференциации в обучении. Значительное место в учебном процессе отведено самостоятельной математической деятельности учащихся, учитывающей мыслительные особенности данного возраста.

Рабочая программа данного курса предусматривает:

-формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

-развитие математических способностей;

-повышение уровня обученности учащихся;

-подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ, ЦТ.

Тематика программы обеспечивает:

-интеллектуальное развитие учащихся;

-формирование математического мышления;

-формирование представлений об идеях и методах математики;

— развитие познавательной активности учащихся и творческого подхода к решению математических задач;

-формирование потребности к самообразованию и способности к адаптации в изменившемся обществе

-создание условий для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий;

-обеспечение сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования;

-систематизация и обобщение опорных знаний учащихся по математике;

-подготовка учащихся к ЕГЭ по математике;

-развитие логического и творческого мышления.

-формирование умений навыков комплексного осмысления знаний;

-подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Формы учебных занятий:

-уроки решения ключевых задач;

В работе с учащимися на занятиях применяются:

-блочно-модульный подход в преподавании материала;

-принцип дифференциации и индивидуализации;

-разноуровневый дидактический материал.

В качестве контроля – релейные контрольные работы, самостоятельные работы.

Достижению целей служат специально подобранные задачи. На занятиях рассматриваются такие задачи, решение которых не требует дополнительных знаний, но эти знания используются в новых нетривиальных ситуациях.

Структура материала курса такова, что учащиеся имеют возможность решать задачи теми способами и средствами, которыми к этому времени располагают в результате изучения материала основного курса. Многие задания допускают несколько способов решений, которые рассматриваются и разбираются на занятиях. Предпочтение отдаётся наиболее доступным, рациональным способам, которые помогут учащимся «набить руку» в практике решения разнообразных задач.

Ведущими методами обучения являются метод решения проблемных задач и организация самостоятельной работы учащихся с различными источниками информации.

Занятия построены по схеме «Ключевая задача + упражнения». Разбор ключевых задач, в ходе совместной деятельности учителя с учащимися, позволяет обеспечить «ориентировку» в материале.

Для отработки практических навыков используются долгосрочные домашние задания.

при реализации данного курса результативность будет определяться количеством и качеством самостоятельно решенных учебных задач уровня возможностей ( задач «конкурсной математики», требующих знания специальных эффективных приёмов решения), а также решения задач ЕГЭ части В и С.

Поурочное планирование элективного курса по математике по теме:

«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Предлагаемый элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор А.Н.Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.

Курс рассчитан на 70 часов.

повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;

создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.

реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;

выявление и развитие их математических способностей;

обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

формирование и развитие аналитического и логического мышления.

расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.

развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.

Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:

теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х 3 +Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виета с тремя переменными.

Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.

Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.

Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.

Замена при использовании метода «Оха».

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Требования к подготовке учащихся.

Настоящая программа предполагает следующие требования:

иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;

иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;

уметь решать прикладные задачи;

. иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;

. иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.

ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.

Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.

Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.

Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ:

1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.

2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение. — 252с.

3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 — 11 кл. сред. шк. — 3-е изд. перераб. — М.: Просвещение, 1990-160с: ил.

4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 — 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.

5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. — М.: Дрофа, 2000 — 416с: ил.

6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2001. — 672с: ил.

7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.

Адреса образовательных Интернет ресурсов:

1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.

3. WWW.allmath – Вся математика.

4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.

5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.

6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.

7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.

8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика

Ожидаемый результат изучения курса

В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.

В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.

Рабочая программа элективного курса»Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

за привлеченного слушателя на курсы профессиональной переподготовки

Цели и задачи, решаемые при реализации рабочей программы.

развитие интереса к математике и решению задач;

совершенствование полученных в основном курсе знаний и умений;

формирование представлений о постановке, классификации, приемах и методах решения школьных математических задач;

подготовка к ЕГЭ.

Задачи: научить обучающихся решать алгебраические задачи, задачи с параметрами; рациональные и иррациональные алгебраические уравнения и неравенства, рациональные и иррациональные алгебраические системы; выполнять действия с многочленами.

Нормативные правовые документы, на основании которых разработана рабочая программа.

-Федеральный закон от 29.12.2012 №273 – ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

-Приказ Министерства образования РФ от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».

-Приказ Министерства РФ от 31.03.2014 года №253 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в ОУ, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию на 2014/2015 учебный год.

-Приказ Министерства образования и науки РФ от 8 июня 2015г №576 «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего. Среднего общего образования. Утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014г №253».

-Авторская программа А.Н. Землякова « Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» : МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика» общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.

-Методические рекомендации «О преподавании математики в 2015-2016 учебном году в общеобразовательных учреждениях Липецкой области».

-Учебный план МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015 – 2016 уч. г.

— Календарный учебный график МБОУ СОШ с. Сторожевое на 2015-2016 учебный год.

— Положение о структуре, порядке разработки и утверждения рабочих программ учебных курсов, предметов МБОУ СОШ с. C торожевое

Сведения о программе.

Программа разработана на основе программы МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», авторы: А.Н. Земляков, общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М., Вита-пресс, 2004 г.

Актуальность элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Общими принципами отбора содержания программы являются:

Системность, целостность, научность, доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся

Обоснование выбора программы.

Программа элективного курса согласована с требованиями государственного образовательного стандарта. Она ориентирует учителя на дальнейшее совершенствование уже усвоенных учащимися знаний и умений.

В программе установлена оптимальная последовательность изучения тем и разделов учебного предмета с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, возрастных особенностей обучающихся, определяет необходимый набор форм учебной деятельности.

Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет базовый компонент, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Информация о внесенных изменениях.

Авторская программа элективного курса «Алгебра плюс : элементарная алгебра с точки зрения высшей математики » рассчитана на 70часов. Согласно школьному учебному плану на 2015-2016 учебный год количество часов-35.