Что такое шар с математической точки зрения

Произнося слово «пирамида», первое, что приходит на ум — это образы знаменитых египетских гробниц фараонов. Они нам знакомы как одно из древнейших чудес света, монументальные сооружения, построенные египетскими зодчими еще тысячи лет назад. С ними нераздельно связаны множество тайн и загадок, над решением и объяснением которых ученые бьются и по сей день, порождая все новые версии, споры и заявления. Но, не смотря на разногласия, все сходятся к одному, что пирамида – это одна из важнейших фигур геометрии, обладающая интересными свойствами.

Пирамида в математике – это особый многогранник, в его составе есть боковые грани и основание. В качестве основания фигуры может выступать многоугольная фигура: квадрат, треугольник, п-угольник. Роль боковых граней играют треугольники, имеющие одно начало – вершину. Количество углов основания определяет название пирамид: треугольные, четырехугольные, n-угольные.
Однако таким определением пользовались не во все времена. Например, Евклид в свое время предложил термином «пирамида» наделять некие телесные фигуры, которые имеют ограничения плоскостями, исходящими от общей плоскости и сходящихся к единой точке. Как и Герон, Евклид не дает точного понятия «основание», благодаря чему и нет точного понимания термина «пирамида».
Четким представлением о пирамиде как о фигуре геометрической в конце 18 века делится ученый Адриен Мари Лежандр, определяя ее фигурой, образованной благодаря треугольникам, заканчивающимся на разных сторонах основания и сходящимся вершинами в одной точке.

Основные свойства правильных пирамид

Правильные пирамиды – наиболее частый случай этих геометрических фигур, они обладают стабильностью и встречаются в современной архитектуре, строительстве, машиностроении и других отраслях.
Правильная – это та пирамида, в которой правильный многоугольник является основанием, а высота проецируется точно в его центр. Равносторонний треугольник, лежащий, в основании образует тетраэдр, а квадрат — правильную 4-угольную пирамиду, и так далее.

Для решения любых задач с участием правильных пирамид следует помнить, что:

• боковые грани ее — это равнобедренные треугольники, которые равны между собой по площади и всем признакам, основанию и боковым сторонам, одновременно являющихся ребрами;
• вокруг и внутри правильного типа пирамиды можно описать и вписать сферу;

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ произведения высоты грани (апофемы) и периметра основания фигуры. Не забывайте, что в правильной пирамиде апофемы равны между собой, что значительно упрощает нахождение ответа к множеству задач;

• боковые грани с плоскостью основания образуют углы равной градусной меры, поэтому, зная один из них, легко производить нужные расчеты.

• правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр имеют существенные различия. В первом случае, грани – равнобедренные треугольнике, во втором – равносторонние, что следует учитывать при решении ряда задач.

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Шаровой ( сферической ) – другими словами границей шара – поверхностью является геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, которые равноудалены от одной точки O , называющейся центром сферической поверхности .

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Т.о., точками сферы оказывается каждая точка шара, которая удалена от центра на расстояние, которое равно радиусу. Каждый отрезок, который соединяет центр шара и точку на шаровой поверхности, тоже называют радиусом .

Отрезок, который соединяет 2 точки шаровой поверхности и который проходит сквозь центр шара, называется диаметр . Любой диаметр соответствует 2-м радиусам. Концы всякого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Эта точка О называется центром сферы , а расстояние AO , в свою очередь, называется радиусом сферы .

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом r>0 будет называться

Замкнутый шар с центром в x и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

Шар – это открытое множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.

Замкнутый шар — замкнутое множество в топологии, порождённой метрикой ρ.

По определению этой топологии открытые шары с центрами в любой точке X представляют собой её базу.
Т.е., . Но замыкание открытого шара не всегда совпадает с замкнутым шаром:
Например: допустим (X, ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем 2-х точек. Значит, для всякого будет:

Объём шара в 1,5 раз меньше, чем объём описанного вокруг этого шара цилиндра, а поверхность шара в 1,5 раз меньше полной поверхности этого цилиндра:

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Части шара.

Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом . Круг ABC является основанием шарового сегмента. О трезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента. Точка M является вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, которая заключена между 2-мя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем . Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом . Круги ABC и DEF – основания шарового пояса . Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота . Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC , основанием у нее является основание сегмента (ABC) , а вершиной – центр шара O , называется шаровым сектором.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V’) пирамид выразим формулой:

Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

Используя выражение S = 4πR 2 , вывели формулу:

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Что такое шар с математической точки зрения

Нас окружают различные тела.

Формы предметов окружающего мира очень разнообразны. Среди них встречаются так называемые «круглые тела». Хотелось бы сразу заметить, что на уроках математики не имеет значения цвет предмета и материал, из которого он изготовлен. Важна форма и размеры изучаемой фигуры.

Особое место среди круглых тел занимает шар.

Шар – это простейшее геометрическое тело. Форму, близкую к форме шара, имеют:

Поверхность шара называют сферой. Можно сказать, что сфера – это как-бы оболочка или граница шара. Представление о сфере дают полые круглые предметы.

Чтобы уяснить разницу между понятиями шар и сфера, посмотрите внимательно на экран. Перед вами изображены арбуз и кокос.

Если мы разрежем арбуз, то внутри он будет полным. Арбуз – это пример шара. А если разрезать кокос, то вы заметите, что у кокоса внутри есть только оболочка. Кокос – это пример сферы.

Шар и сфера, как круг и окружность, имеют центр, радиус и диаметр. Границей круга, как вам известно, является окружность, границей шара – сфера.

Перед нами математическое изображение шара. Точка О – это центр шара. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Это означает, что если взять две любые точки на поверхности шара, например, А и В, и, соединить их с центром шара, то отрезки ОА и ОВ будут равны. Такие отрезки называют радиусами. Т.е. ОА – радиус шара и ОВ – тоже радиус шара.

Отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара.

На рисунке отрезки ОА, ОВ, ОС и ОD являются радиусами.

На рисунке также, смотрите, есть отрезок СD. Такой отрезок называют диаметром шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Ещё в 5 классе вы познакомились с таким геометрическим телом, как прямоугольный параллелепипед, или призма. Вы знаете, что поверхность прямоугольного параллелепипеда можно развернуть на плоскость.

А вот особенностью сферы является, то, что её нельзя развернуть на плоскость.

Если шар разрезать, то фигура, образованная на срезе, есть круг. Сам же срез называют сечением.

Чтобы измерить радиус футбольного мяча, Никита обмотал мяч по центру ниткой. Затем измерил её. Длина нитки равна 59,66 см. Определите радиус футбольного мяча.

Шар – это простейшее геометрическое тело.

Поверхность шара называют сферой.

Сферу нельзя! развернуть на плоскость.

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.

Отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Сфера и шар

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Рис. 1. Окружность

Тогда, сфера – это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром (рис. 3).

Радиус сферы – расстояние, на которое они (точки) удалены от центра.

Продолжая аналогию, шар – это круг (рис. 2) в пространстве: множество всех точек, заключенных внутри сферы (плюс сама сфера).

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки, называемой центром, не превосходит радиуса (рис. 4).

Примеры шара и сферы

Бильярдный шар – шар (рис. 5);

Шарик для игры в настольный теннис – сфера (рис. 6);

Рис. 5. Бильярдный шар

Рис. 6. Шарик для игры в настольный теннис

Планета Земля не является шаром с математической точки зрения, так как она приплюснута на полюсах. Земля имеет форму эллипсоида вращения, или геоида.

Замечание: сфера является частью шара.

Форма Земли

Рассмотрим полуокружность

Рис. 7. Полуокружность

Рис. 8. Сфера как тело вращения

Аналогично, если вращать не полуокружность, а полукруг, получим шар (рис. 9, 10).

Рис. 9. Полукруг

Рис. 10. Шар как тело вращения

Шар и сфера как тела вращения

Хорда сферы – это отрезок, соединяющий две точки сферы (рис. 11).

Диаметр сферы – это хорда, которая проходит через центр сферы (рис. 12).

Рис. 11. Рис. 12.

Рис. 13. Сфера с центром в точке

Выведем уравнение сферы радиуса Пусть произвольная точка .

Приравнивая это к и возводя в квадрат, приходим к формуле, напоминающей уравнение окружности:

Это и есть уравнение сферы.

Соответственно, шар задается не уравнением, а неравенством:

Пусть дано уравнение . Требуется доказать, что данное уравнение задает сферу, и найти координаты ее центра и радиус.

Вспомним общее уравнение сферы:

Наша задача – свести исходное уравнение к уравнению сферы. Для этого выделим полные квадраты:

;

Таким образом, это действительно сфера, ее центр – точка с координатами Формула для нахождения площади сферы выводится аналогично формуле для нахождения площади окружности. Берутся вписанные и описанные -угольники. Устремляя к бесконечности, говорим, что периметр многоугольника стремится к длине окружности. И выводим формулу площади.

Аналогично и для сферы. Опишем сферу многогранником и будем увеличивать количество граней до бесконечности. Тогда площадь боковой поверхности многогранника будет стремиться к площади поверхности сферы.

– площадь сферы

Дана сфера, площадь которой равна 64π. Найти радиус сферы.

Так как Поделив обе части уравнение на , получим:

Ответ: радиус сферы равен 4.

Во сколько раз изменится площадь поверхности сферы, если ее радиус увеличили в три раза?

Так как площадь сферы

Замечание: если все измерения фигуры увеличить в

Рис. 14. Иллюстрация к замечанию

Разветвление: задача

Представим себе, что Земля имеет форму шара. Предположим, что ее обтянули канатом по экватору – чтобы канат плотно прилегал к поверхности Земли (рис. 15). Затем канат удлинили на 1 м (рис. 16). Образовался просвет. Может ли в этот просвет пролезть мышка?

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Пусть радиус земного шара – Имеем,

Площадь большого круга шара равна 16. Найдите площадь поверхности шара.
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в шесть раз?
Площадь поверхности шара равна 225. Найдите радиус и площадь большого круга шара.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Что такое шар с математической точки зрения

У вас уже есть абонемент? Войти

Рис. 1. Круг и окружность

Так и мы, когда начинаем говорить про шар, то у нас тоже возникают два объекта. И им тоже дали отдельные названия. Это сам шар и его поверхность. Ее иногда так и называют «поверхность шара», но у нее есть отдельное название – «сфера».

Почему сфера (поверхность шара) важна? Рассмотрим это вот на таком примере.

Люди живут на Земле. Они живут на поверхности огромной шарообразной планеты, то есть на сфере. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Поверхность Земли

Когда мы задаем вопрос: «Каково расстояние от Москвы до Нью-Йорка?», мы имеем в виду, каково это расстояние для транспорта, то есть расстояние, измеренное на сфере. На само же деле две эти точки ближе, если измерять по прямой. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Расстояние на сфере и по прямой

Итак, давайте теперь точнее опишем, что же мы называем шаром и сферой.

Отметим точку, это будет центр. Возьмем произвольный отрезок с одним концом в выбранном центре. Его длину обозначим . Все точки пространства, куда дотянется второй конец отрезка, образуют сферу. (См. Рис. 4.)

Если взять не только точки сферы, но и все точки внутри нее, то получится шар. (См. Рис. 5.)

Отрезок, который мы использовали для определения шара, называют радиусом. (Рис. 6.) Длину этого отрезка тоже называют радиусом. То есть под радиусом понимают две вещи: и отрезок, и число (длину отрезка).

Рис. 6. Радиус шара

Отрезок, проходящий через центр, соединяющий две точки на сфере, называют диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам. Обозначают диаметр буквой , маленькой или большой. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Диаметр шара

Если это повторить коротко, то получим точные определения:

Сфера – это множество точек, удаленных от данной точки на расстояние Шар – множество точек, удаленных от данной точки не далее, чем на расстояние

Рис. 8. Иллюстрация к пункту 1

2. Определения круга и шара очень похожи, в обоих случаях это множество точек, удаленных не далее чем на радиус от центра. Разница только в том, что круг находится на плоскости, а шар – в трехмерном пространстве. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Иллюстрация к пункту 2

3. Если круг начать вращать, используя диаметр как ось вращения, то получится шар. (См. Рис. 10). А если окружность – то сфера. (См. Рис. 11.)

Рис. 10. Круг образует шар

Рис. 11. Окружность образует сферу

4. Если шар пересечь плоскостью, то получится круг. (См. Рис. 12.1)

Рис. 12.1. Иллюстрация к пункту 4

В зависимости от того, как проходит плоскость, круги будут получаться разных размеров.

Если плоскость проходит через центр шара, то полученный в сечении круг называют большим кругом. (См. Рис. 12.2)

Рис. 12.2. Большой круг

Географические координаты

Сечения плоскостями земного шара используются для задания системы координат на нем.

Вот Земля. Сверху Северный полюс, снизу Южный. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Полюса Земли

Чтобы записывать или, например, передавать другу, где находится то или иное место на Земле, нужно договориться о каких-то координатах. Решили поступить так.

Если Землю пересекать вертикальными плоскостями, проходящими через оба полюса, мы будем получать большие круги, а на поверхности – окружности. Их (вернее их половинки от полюса до полюса) назвали меридианами. По меридиану считают одну координату – долготу. Естественно, для этого нужно какой-то меридиан принять за начало отсчета. А остальным присвоить числовые значения, считая от этого нулевого. Сейчас существует договоренность за нулевой меридиан считать тот, который проходит через обсерваторию района Лондона Гринвич. Его так и называют – Гринвичский. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Меридианы

Вторая часть окружности нулевого меридиана считается равной

Рис. 15. Восточный и западный меридианы

Теперь, если Землю пересекать параллельными горизонтальными плоскостями, мы будем получать окружности разного размера на поверхности. Их назвали параллелями. В отличие от меридианов среди параллелей только одна является окружностью большого круга. Ее называют экватор. И она принята за ноль для другой координаты – широты. (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Параллели

Вверх, на север, принято считать положительное направление. Самая большая координата получается на Северном полюсе:

Рис. 17. Координаты параллелей

Теперь каждая точка на земной сфере получает две числовые координаты, зная которые, можно абсолютно точно указать место, о котором идет речь. Обычно используют термины: северная широта – для обозначения положительного направления широт, южная широта – для обозначения отрицательного направления широт; восточная долгота – для обозначения положительного направления долгот, западная долгота – для обозначения отрицательного направления долгот. (См. Рис. 18.)

Так, например, географические координаты центра Москвы:

Рис. 19. Координаты Москвы

Дети капитана Гранта искали своего отца по записке в бутылке, где были указаны его географические координаты. Неприятность была в том, что одна координата, а именно долгота, оказалась размыта водой. Осталась только одна координата – параллель южной широты. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. параллель южной широты

Им пришлось проплыть и пройти пешком вдоль этой параллели огромное расстояние, прежде чем они нашли отца. Ну а если бы обе координаты сохранились, то и приключенческой книги не получилось.

Изображение шара

Потренируемся изображать шар. Сначала построим окружность. Центр окружности будет являться и центром шара. (См. Рис. 21.)

Рис. 21. Построили окружность

Чтобы показать объем, что это именно шар, чертят хотя бы один большой круг, чаще горизонтальный. (См. Рис. 22.) Теперь уже понятно, что изображен шар.

Можно добавить еще один большой круг, вертикальный. (См. Рис. 23.)

Рис. 23. Дополнительный большой круг

Характеристика шара: радиус

Если рядом находятся два одинаковых мяча, мы не думаем, что это один и тот же мяч. Они все-таки имеют какие-то различия, пусть и не очень заметные. (См. Рис. 24.)

Рис. 24. Два одинаковых мяча

Если рядом находятся два шара, то разница с предыдущим примером в том, что один шар ничем не отличается от другого, кроме местоположения его центра. (См. Рис. 25.)

Рис. 25. Два шара

Поэтому два шара с равными радиусами, если это нам удобно, можно считать одним и тем же шаром. Это можно сказать и так: радиус однозначно задает шар с точностью до положения его центра.

Какие еще характеристики шара, кроме радиуса, нам интересны?

Шар – это математическая модель реальных объектов. Мы живем на поверхности Земли, которая очень похожа на шар. (См. Рис. 2.) Люди измеряют пространство, на котором они живут. В итоге они задаются и вопросом: а какова вообще площадь Земли?

А, например, при изготовлении футбольного мяча нужно знать количество кожи, которое для этого понадобится. (См. Рис. 26.)

Рис. 26. Неизвестное количеств кожи для изготовления мяча

С точки зрения математики это означает необходимость ответа на следующий вопрос: какова площадь поверхности шара или площадь сферы?

Характеристика шара: площадь поверхности

Если увеличивать радиус шара, то будет увеличиваться и площадь его поверхности. (См. Рис. 27.)

Рис. 27. При увеличении радиуса увеличивается площадь поверхности

Но все-таки хотелось бы знать, как именно связана площадь поверхности с радиусом шара. Здесь все оказалось достаточно просто. Рассмотрим полусферу и круг под ней (большой круг). (См. Рис. 28.)

Рис. 28. Полусфера и большой круг

Очевидно, площадь полусферы, этого колпака, больше площади круга. Она ровно в два раза больше: . Этот факт мы запомним, хоть и не будем его доказывать. Но тогда все понятно.

Площадь такого круга мы знаем: .

Площадь полусферы в два раза больше: .

А площадь всей сферы, или поверхности шара, еще в два раза больше: .

Итак, площадь сферы в Если взять два глобуса, радиус одного в два раза большого второго, то площадь поверхности будет различаться в

Рис. 29. Пример с глобусами

Если у апельсина в три раза больше диаметр, чем у мандарина, то кожура у апельсина по площади уже в 9 раз больше. (См. Рис. 30.)

Рис. 30. Пример с фруктами

Задача на площадь поверхности

Чему равна площадь поверхности мыльного пузыря диаметром см? (См. Рис. 31.)

Рис. 31. Иллюстрация к задаче

Диаметр шара, как и у круга – это два радиуса:

Ответ: .

Округление числа π

У многих возник вопрос: почему в задаче с мыльным пузырем мы взяли примерное значение числа Число

Рис. 32. Число

У нас с вами две противоположные цели. С одной стороны – мы хотим посчитать значение как можно точнее, с другой – мы хотим выполнить меньше вычислений. Приближенное значение

То есть запись То же самое посчитаем для числа

То есть запись Диаметр пузыря равен

Рис. 33. Погрешность в измерении мыльного пузыря

Разделим ошибку на диаметр, чтобы найти неточность измерений:

Значит, ошибка составляет .

Теперь вопрос: если ошибка измерений могла доходить до

Рис. 34. Гоночный автомобиль

В таком случае нужны очень точные измерения, и здесь может не хватить Каждый раз, решая задачу с использованием числа Объем шара тоже тем больше, чем больше радиус шара. Точная формула выглядит так:

На этом уроке мы ее примем без доказательства.

Задача на объем

Сколько воды необходимо, чтобы наполнить круглый аквариум на

Рис. 35. Иллюстрация к задаче

Найдем сначала объем аквариума: .

Радиус равен половине диаметра: см. Тогда объем аквариума:

Ответ не воспринимается совсем. Да и кто же будет измерять в такой ситуации воду кубическими сантиметрами? Переведем это в привычные литры:

Для перевода в литры разделим результат на :

л.

Теперь найдем В нашей логике округления Ответ: л.

Заключение

Итак, повторим, что мы обсудили на этом уроке.

Шар и круг имеют одинаковые определения: множество точек, удаленных от данной точки не более чем на данное расстояние. Только круг находится на плоскости, шар – в трехмерном пространстве. В обоих случаях данная точка называется центром, а расстояние – радиусом. (См. Рис. 36.)

Рис. 36. Круг и шар

Как окружность – это граница круга, так и сфера – это граница шара. Определения окружности и сферы тоже одинаковые. (См. Рис. 37.)

Рис. 37. Окружность и сфера

Площадь поверхности шара или площадь сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса и вычисляется по формуле:

Ее легко вывести, если помнить, что площадь полусферы над кругом в два раза больше площади самого круга. (См. Рис. 38.)

Рис. 38. Формула поверхности шара

Объем шара прямо пропорционален кубу радиуса и вычисляется по формуле: .

Если радиус шара увеличить в два раза, то: (см. Рис. 39)

площадь поверхности, так как она пропорциональна квадрату радиуса, увеличится в
Рис. 39. Иллюстрация к пояснению

Самостоятельно ответьте на вопросы:

Как изменится площадь поверхности и объем шара, если диаметр увеличить в раз?

Как изменится площадь сферы, если объем шара уменьшился в миллион раз? (подсказка: используйте радиус как промежуточную величину)

Список литературы
1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч. 2 – 128 с.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание
1. Чему равны объем и площадь поверхности шара, если радиус равен Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Источники:

http://www.calc.ru/1491.html
http://videouroki.net/video/26-shar.html
http://interneturok.ru/lesson/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/sfera-i-shar
http://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/shar?testcases