Что такое мяч с физической точки зрения

Весь процесс можно разделить на три части: падение, отскок, подъем.
Для получения правдоподобной анимации нас интересуют во всем этом тайминг и спэйсинг процесса, и высота подскока мяча.

Представляет из себя равноускоренное движение. С ускорением свободного падения g=9,8 (м/с/с) вплоть до касания с землей.

Высота падения (Н) нам изначально известна. Этот параметр задаем сами. Пускай, это будет условно 1,5м. это приблизительно высота вытянутых перед собой рук над землей. (для среднего мужчины)

Чтобы вычислить количество кадров (тайминг), которое потребуется на весь процесс падения воспользуемся формулой (2). Получим 0,553. Это время в реальных секундах. Чтобы понять какой это кадр умножаем полученный результат на ваш FPS.(4) (Для примера возьмем 24 к/с)

0,553*24= 13,27 (4)
Т.е. 13 целых и 27 сотых кадра! Округляем до целых. Но 27 сотых надо держать в голове, потому что их нужно будет учесть потом чтобы движение получилось красивым. Впрочем, конкретно для этого случая этот хвост пойдет на деформацию (squashing) мяча в нижней точке. Хуже, когда хвосты от 0,5 и больше..

Это примерный тайминг, в процессе расчетов он может незначительно измениться в +/- 1 кадр. В угоду плавности анимации.

Далее, чтобы правильно выставить спэйсинг в каждом кадре проделываем следующее. Во-первых, находим нужное значение времени.

Например кадр №1. По формуле (3) считаем:

t=1/24=0,0416 сек (3)
Я брал значения до десятитысячных долей, хотя такая точность наверное ни к чему. Все равно при разметке на листе таких точностей вы не получите без специального инструмента. Который, в свою очередь, в целях нашей анимации нахер не нужен.

для кадра №2 значение времени t=2/24=0.0833 сек

Для №5 t=5/24=0.2083 сек

Именно этим временем и оперируем для дальнейшего расчета положения мяча на вертикали падения. Считаем по формуле (1) для каждого кадра. Значения получаем в метрах! Т.е. для перевода на лист их нужно соответствующим образом масштабировать.

Для примера возьмем 8 кадр. Это примерно середина падения.

1) t=8/24=0.3333
2) S=(g/2)*t^2= (9.8/2)*0.3333^2= 0.54 метра.
Т.е. путь пройденный мячом из верхней точки составит 0,54м.
Так считаем для каждого кадра.

Удар мяча о землю, обмен энергией, отскок с учетом потерь энергии.

На анимации этот процесс отображается тремя кадрами — контакт с землей (при падении), деформация мяча (сжатие) и отскок мяча от земли (подъем).

В физическом смысле самое важное здесь — это момент обмена энергией между телами. Падающий мяч при ударе передает часть своей энергии земле, часть энергии уходит на деформацию и нагрев, и часть на прочие физические процессы. Суть в том, что у мячика энергии становится меньше, и поэтому при отскоке он уже не может подлететь на исходную высоту 1,5м

Потери энергии выражаются через безразмерную величину k — коэффициент восстановления скорости. Значение колеблется от 0 до 1. Принято считать, что значение k зависит только от материалов сталкивающихся тел.
Я долго искал таблицы с приблизительными значениями для разных пар (да хотя бы и для одинаковых пар) материалов в интернете и нашел очень скудную информацию на эту тему. Чаще всего встречалось указание на то, что для двух конкретных материалов коэффициент восстановления скорости определяется опытным путем.

Я, например, измерял прыжки баскетбольного мяча на асфальте по видео-референсу, и (помня о том, что погрешность тут просто адская) пришел к значению k

0.8. С уменьшением высоты прыжка этот коэффициент незначительно растет, что, в свою очередь, незначительно отражается на высоте подскоков. Для пары шар для боулинга-асфальт значение k

0.16 Дальше вы поймете как это все применить.

Сущность отскока рассмотрели. Для расчета подъема мы хотим знать: высоту подъема, время подъема и конечно же спейсинг на каждом кадре подъема.

высоту мы посчитаем по формуле (8) Для нашего случая:

h=k^2*H=0.8^2*1.5=0.96 (м)
Это значит, что баскетбольный мяч, падая с высоты полутора метров на асфальт подскакивает на высоту 0,96 м. Почти на метр. Приблизительно на 2/3 от первоначальной высоты. (это стоит запомнить, потому что каждый раз высчитывать все эти подробности — рехнуться можно)

Высота есть. Теперь, чтобы определить время подъема по формуле (9) нм нужна начальная скорость подскока мяча, которую мы определим по формуле (6), но до этого, по формуле (5) мы рассчитаем мгновенную скорость мяча в момент удара о землю.

Начали. V=5.42 м/с (подставьте просто все в формулу (5) и убедитесь сами) U=k*V=0.8*5.42=4.33 м/с (это начальная скорость отскока) t=U/g=4.33/9.8=0.44 сек
Переводим в кадры, и получаем 10,6 кадра. Вот тут засада, потому что лучше просчитать подробно на какой именно высоте будет мячик на 10 кадре и на какой в 11, и там уже решить какой из них лучше будет смотреться по спэйсингу. Но в общем случае можно тупо округлить до 11.

И последнее. Спэйсинг. Для подъема мы считаем его по формуле (10) Все данные у нас есть, время расчитываем таким образом:

13 кадр падения — это 0 кадр подъема. Следующий 14й кадр анимации становится 1м на подъеме. Так и считаем: Снизу вверх. для каждого из 11 кадров. Вот и все в общем то. Дальнейшие подскоки рассчитываются точно так же. вплоть до остановки мяча=) Это тоже вероятно как то рассчитывается но, по моему проще сделать на глазок, и если хочется еще больше правдоподобия, то подсмотреть на рефах момент остановки.

Правильное взаимодействие игрока с мячом в значительной мере зависит от знания аэродинамических, механических и других его свойств и качеств.

Траектории полета мяча могут быть прямолинейными или криволинейными в зависимости от способа удара. При ударах по центру мяч, как правило, получает прямолинейное поступательное движение, а при ударе по боковой поверхности — криволинейное. Таким образом, начальный полет мяча после удара позволяет волейболисту определить его дальнейшую траекторию и правильно выбрать место на площадке.

Движение мяча можно условно разделить на три фазы: встречный полет, действие силы на мяч и продолжение полета.

Сила, действующая на мяч, непостоянна. Увеличиваясь от нуля до максимальных величин, она вновь снижается и падает до нуля перед тем, как траектория полета мяча идет по нисходящей.

Во время ударов по мячу меняется не только величина, но и направление силы. Это связано с тем, что анатомическое строение суставов игрока не позволяет, как правило, придавать мячу абсолютно прямолинейное движение.

Траектория полета не-вращающегося мяча. В результате действия силы через центр тяжести мяча он получает прямолинейное движение, при котором все точки его поверхности двигаются параллельно с одинаковой скоростью. На траекторию полета мяча действуют различные факторы. Так, дальность его полета обусловлена величиной действующей силы и весом самого мяча, а также углом вылета (f), образуемым между горизонтом и вектором силы (Р). При этом сила делится на вертикальный (Р_у) и горизонтальный (Р_х), компоненты (рис. 3).

Чем больше угол (f), тем больше компонент (Р_у), и чем меньше этот угол, тем меньше (Р_х).

Под влиянием земного притяжения траектория полета мяча принимает форму параболы. При этом дальность полета мяча рассчитывается по формуле:

W = V 2 * sin(2f) / 2g ,

где W— дальность полета мяча; V 2 — ускорение; 2g — сила земного притяжения; f — угол вылета мяча.

В связи с тем, что в волейболе все удары по мячу производятся на некоторой высоте над уровнем площадки, необходимо ввести значение h (высота). В этом случае расчеты производятся по формуле:

W = V 2 * cos(f)/2g * (sin(f) + (sin 2 (f)) 1/2 * 2 hV / V 2 )

Летящему мячу в значительной степени препятствует воздушная среда. Это сопротивление преобразует параболическую форму траектории полета мяча в кривую (рис. 4,а), у которой нисходящий отрезок короче, чем восходящий (рис. 4,б). Чем больше скорость полета мяча, тем значительнее сопротивление воздуха, так как оно увеличивается пропорционально квадрату этой скорости.

Если горизонтальная скорость полета мяча приблизится к нулю, то его движение переходит в свободное падение.

Большое значение для такой траектории полета мяча при подаче сверху имеет оптимальная сила удара. В данном случае мяч теряет свою скорость не столько из-за сопротивления воздуха, сколько из-за прилагаемой силы, рассчитанной лишь на перелет его через сетку и свободное падение в непосредственной близости от нее.

Таким образом, многие факторы (сила, вес мяча, угол вылета, земное притяжение, сопротивление воздуха и т, п.) оказывают воздействие на траекторию полета мяча и усложняют его прием. Возникающая в связи с этим значительная вариативность траекторий полета мяча вынуждает волейболиста в процессе игры приспосабливаться к постоянно меняющимся условиям.

Важное значение в игре имеет отскок мяча, принимаемого с подачи или от нападающего удара. На отскок невращающегося мяча от ровной поверхности распространяется элементарный закон — угол падения равен углу отражения. В связи с этим угол отскока мяча, особенно при небольшой скорости полета, довольно легко рассчитать.

Неточность отскока, как правило, связана с неровностью принимающей поверхности рук (отсутствие супинации), со сгибанием рук в локтевых суставах и реже с неправильным выбором угла расположения предплечий.

При большой скорости полета мяча недостаточно подставить неподвижную поверхность предплечий, необходимо еще и ослабить его отскок. Иными словами, сила удара летящего мяча должна быть амортизирована, чтобы он отскочил не слишком высоко.

При малой скорости полета мяча также недостаточно неподвижно подставить руки под мяч. Необходимо придать его полету новую траекторию, для чего следует выполнить встречное движение к падающему мячу.

Эксцентрическое действие силы удара на мяч. В том случае, когда -действие силы приложено не к центру тяжести мяча, а эксцентрично, он начинает вращаться. При этом на мяч, кроме силы Р, действуют еще две вспомогательные силы Р1и Рг, которые возникают в центре тяжести мяча и противодействуют друг другу. Эти силы имеют такую же, как и сила Р, величину, и линии их падения параллельны ей (рис. 5). При этом Р и Рг объединяются одной составляющей силой в момент Р1, который и вызывает вращение. Напротив, сила Pi способствует прямолинейному движению мяча, протекающему в направлении силы Р. Сила вращения зависит от величины действующей силы Р и величины плеча I момента вращения. В связи с этим путь каждой отдельной точки мяча имеет форму циклоиды.

Вращение может возникнуть вокруг самых разнообразных осей. Вид вращения определяется местом поверхности мяча, по которому произведен удар. Если сила возникает в направлении центра тяжести или выше его, то мяч не только движется вперед, но и вращается вокруг горизонтальной оси.

Вращение мяча в волейболе применяют при подачах и нападающих ударах. Например, при подачах сверху может придаваться три различных вращения — справа налево, слева направо и сверху вниз (рис. 6). Аналогичные вращения могут придаваться мячу и при выполнении нападающих ударов. В первом случае мяч, вращаясь, движется вперед и смещается влево (рис. 6, а), во втором — траектория его полета отклоняется вправо (рис. 6, 6) ив третьем — мяч, вращаясь вокруг горизонтальной оси, смещается по нисходящей траектории (рис. 6, в).

Чтобы понять, какие закономерности лежат в основе изменения траектории полета мяча при различных вращениях, нужно обратиться к так называемому эффекту Магнуса.

Итак, если мяч летит в воздухе не вращаясь, то сопротивление среды на его внешних плоскостях С и Д будет одинаковым (рис. 7). При движении мяча в направлении А—В ему оказывает сопротивление воздушная среда. Если же мяч имеет вращение влево, то на его поверхности в точке С создается избыточное давление. На противоположной же стороне, в точке Д, образуется разреженная воздушная среда. Оба компонента давления имеют общую составляющую и действуют в направлении Д—Е.

В связи с этим при вращении мяча влево он отклоняется влево, при вращении вправо — вправо, при вращении вперед — вниз и при вращении назад — вверх.

Отскок вращающегося мяча. Если вращающийся мяч падает вертикально на горизонтальную плоскость, то происходит их плоскостное соприкосновение (рис. 8). В течение этого времени вращение действует таким образом, что мяч, катясь, меняет свое положение на расстоянии от В до А. Горизонтальный компонент Р возникает как результат скорости вращения, которая постепенно снижается благодаря противоположному ей моменту вращения. Оба компонента Р_хи Р_усоставляют равнодействующую Р, показывающую, что вращающийся мяч, падая вертикально, отскакивает от поверхности под углом в сторону. Отсюда следует, что вращение мяча меняет угол отражения — он смещается в сторону вращения. При этом угол отражения тем больше, чем больше вращение.

В волейболе при выполнении подач применяются три вида вращения мяча: правое, левое и верхнее. При правом вращении мяч отклоняется влево, он отскакивает от принимающей поверхности предплечий вправо; при левом вращении он отклоняется вправо и отскакивает от принимающей поверхности предплечий влево; при верхнем вращении отклоняется незначительно.

Выравнивание отскока мяча при подачах и нападающих ударах, выполняемых с вращением, осуществляется за счет компенсаторного поворота принимающей части предплечий в сторону отскока.

Однако в волейболе удары, как правило, выполняют по центру мяча, но вращение при этом полностью не исключается. Здесь имеет место плотный контакт ладонной части кисти с мячом.

Имеются особенности траектории полета мяча при так называемой планирующей подаче. Как известно, такие подачи осуществляются прямым или боковым ударом. Общим для них являются толчкообразное ударное движение в центр мяча, обязательное фиксирование кисти в лучезапястном суставе и отсутствие сопровождения мяча. При этих условиях мяч, не вращаясь и летя со сравнительно незначительной скоростью (10-12 м/с), не получает надежного динамического равновесия, поэтому постоянно изменяет траекторию полета.

При точно рассчитанной силе удара нисходящая ветвь траектории таких подач может приходиться на переднюю или заднюю линию.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Блог COMSOL

Физика игровых пятен теннисных ракеток

Fabio Bocchi 27/08/2015

Каждый год теннисисты со всего мира соревнуются на Открытом чемпионате США (U.S. Open), одном из старейших и крупнейших теннисных турниров.Следя за турниром 2015 года, я стал чаще задумываться о своем собственном опыте игры в теннис, в частности о том, что ощущение, получаемое после удара по мячу, никогда не бывает одинаковым. Что это, просто плод воображения или этому есть физическое объяснение? Из данного топика вы узнаете, что так называемые игровые пятна ракеток являются одним из основных объяснений данного эффекта.

Режимы колебаний теннисной ракетки и её узловые точки

В теории механических колебаний, узлы колебаний определяются как точки, которые остаются неподвижными при прохождении через них волны. Из-за волны, возникающей в результате столкновения мяча с ракеткой, последняя, в свою очередь, начинает колебаться и вибрировать. Анализируя формы колебаний ракетки — удерживаемой игроком за конец рукояти — мы можем определить точки, в которых колебательное движение равно нулю (т.е., тех точек, амплитуда смещения которых равна нулю в любой момент времени в течение колебаний). На рисунке изображена форма первых трех колебательных мод теннисной ракетки, рассчитанная в среде COMSOL Multiphysics:

Форма первых трех колебательных мод теннисной ракетки, слева направо и сверху вниз. Фундаментальная мода колебаний имеет частоту 15 Гц, частота второй моды составляет 140 Г, а третья мода наблюдается на 405 Гц.

Как проиллюстрировано на рисунке выше, целый ряд различных точек характеризуются таким поведением. Тогда почему я говорю так, как будто имеется только один узел колебаний? Действительно фактически имеется бесконечное число узлов колебаний. При ударе, мяч возбуждает бесконечное число гармоник на различных частотах. Бесконечное число частот возбуждается одновременно, но какой узел колебаний является “игровым пятном”? Это узел колебаний основной моды или это узел, который получается в результате интерференции различных гармоник?

Узел колебаний фундаментальной моды не может являться игровым пятном ракетки по очевидной причине: он располагается на рукояти. Попробуйте перекинуть мяч через сетку, ударив по нему рукоятью. Возможно вам очень сильно повезет и вы сможете добиться успеха, но скорее всего, ничего не получится. Между тем, у второй моды колебаний имеется два узла: один на рукояти, а другой на струнах около рамы головной части (“головы” ракетки). Последний и считается игровым пятном. Любой игрок, проводя удар игровым пятном, практически не почувствует вибрации во время удара.

Разумеется, узлы колебаний на струнах имеются и у более высоких мод, например узлы для третьей моды в вышеприведенном моделировании. Однако, по мере увеличения частоты собственных колебаний моды, амплитуда колебаний резко убывает. На графике ниже показан частотный отклик на гармоническое воздействие длительностью 5 мс — приблизительной длительности столкновения мячика при ударе ракеткой — на стержнеподобную структуру. Для частот, превышающих 300 Гц, величина практически равна нулю. То есть влияние третьей моды или выше пренебрежимо мало. Независимо от того, где мяч соударяется с ракеткой, пусть даже в местах, где амплитуда моды достигает своего максимума, высшие моды не окажут совсем никакого влияния на нее, поскольку они не возбуждаются.

График, отображающий частотный отклик на 5-ти миллисекундное гармоническое воздействие.

Центр перкуссии теннисной ракетки

Когда мяч попадает в теннисную ракетку вблизи одного из концов, то при условии отсутствия других сил, действующих на нее, ракетка начнет вращаться вокруг оси относительно другого конца. По мере того, как точка соударения мяча с ракеткой приближается к центру масс, расстояние до оси вращения будет уменьшаться. В случае, когда мяч попадает точно в центр масс, ракетка будет перемещаться без вращения. С математической точки зрения это означает, что центр вращения находится на бесконечном удалении от ракетки.

Таким образом, можно найти такое место воздействия, при котором центр вращения окажется расположенным ближе к концу рукояти. Обычно данное место называют центром перкуссии (англ. center of percussion — COP) и иногда также считают игровым пятном. Когда ракетка вращается вокруг центра вращения вблизи конца рукояти, никакая сила не воздействует на руки игрока.

По сравнению со старыми деревянными теннисными ракетками 1970-х годов, современные виды данной экипировки обладают гораздо большей головной частью. Такая конструкция элемента была использована для смещения центра соударения от рамы ближе к середине струнной части ракетки. Изображение предоставлено CORE-Materials, посредством Wikimedia Commons.

Давайте теперь кратко рассмотрим эту ситуацию с позиции механики. Для этой цели, предположим, что ракетка может быть упрощённо смоделирована в виде жесткой стержнеподобной конструкции.

Эскиз стержнеподобной конструкции. На данном рисунке приведены параметры, используемые в последующих уравнениях.

Сила F , прикладываемая к незакрепленной балке массой M , на расстоянии b от центра масс, влечет за собой перемещение последнего со скоростью V_ . По второму закону Ньютона,

Кроме того , момент сил, создаваемой силой F , относительно центра масс:

где I — это момент инерции стержня вдоль оси вращения и \omega — угловая скорость. Рассмотрим P , точку на расстоянии c от центра масс. Скорость данной точки v есть v=V_-c\omega , что приводит к:

Так как центр вращения соответствует точке, в которой отсутствует ускорение поступательного смещения, центр соударения находится на расстоянии b_ от центра масс, которое дается выражением

где c_ — это расстояние между центром вращения и центром масс. Учитывая, что расстояние между центром масс и идеальным центром вращения на конце рукояти известно, то можно довольно просто определить позицию центра перкуссии для конкретной формы ракетки.

Силовая точка

Силовая точка, иногда называемая третьим игровым пятном, это то место, в котором достигается наибольший отскок мяча при контакте. С математической точки зрения, данная точка определяется, как место с наивысшим коэффициентом упругого восстановления (англ. coefficient of restitution — COR), отношения высоты отскока к высоте падения мяча. Коэффициент упругого восстановления является крайне полезным в том смысле, что он отражает результат воздействия всех элементов конструкции, которые влияют на скорость мяча. Инженерам-проектировщикам нет необходимости знать о влиянии каждого параметра, поскольку COR представляет комбинированное воздействие всех этих факторов.

Силовое пятно располагается в шейке ракетки, вблизи центра масс. Чем ближе к шейке находится точка, тем больше жесткость и меньше потери энергии при деформации ракетки. При ударе мяча по ракетке, энергия соударения делится на кинетическую энергию и упругую энергию (энергию деформации), распределяемую между мячом, ракеткой и струнами. В силовой точке, деформация очень мала, что вынуждает ракетку передать почти всю кинетическую энергию обратно мячу.

Место силы очень полезно при отражении быстрой подачи. Действительно, при такой подаче, у вас не будет времени для перемещения ракетки и подготовки своего контрудара, поэтому вы возвращаете мяч на противоположную сторону, просто подставляя ракетку. Тем не менее, важно отметить, что чем ближе к месту силы попадет мяч, тем лучше окажется ваш удар.

“Мертвая” зона

Последним интересным местом на ракетке, которое мне хотелось бы отметить, является “мертвая” зона. При попадании мяча в эту зону, мяч вообще не будет отскакивать. Все энергия мяча передается ракетке и обратно мячу ничего не возвращается. Это связано с тем обстоятельством, что эффективная масса ракетки в мертвой зоне — обычно ближе к вершине — равна массе мяча. На языке механики это означает, что отношение между результирующей силой и ускорением в “мертвой” зоне неподвижности равно массе мяча.

Для лучшего понимания сути физического явления, представим себе идеальное столкновение между абсолютно упругим мячом, летящим с начальной скоростью V_0 , и другим абсолютно упругим жестким мячом, первоначально находящимся в покое и обладающим той же массой m . Законы сохранения энергии и импульса приводят к:

Откуда следует, что:

Если мяч сталкивается с другим мячом, который обладает той же массой, но находится в состоянии покоя, то он полностью останавливается и передает всю свою энергию другому мячу. Таким образом, когда мяч попадает в “мертвую” зону покоящейся ракетки, мяч вообще не будет отскакивать. Было бы не очень удачным решением, использовать это место при попытке отражения подачи. С другой стороны, когда вы сильно бьете по неподвижному мячу, как например, в случае вашей собственной подачи, “мертвая” зона обеспечит высокую эффективность передачи импульса от ракетки к мячу.

Таким образом, когда приходит ваша очередь подавать, какое место будет являться оптимальным? Это определяется не только математикой игровых пятен ракетки. В большинстве случаев ответ будет — достаточно близко к вершине. Из-за способа перемещения вашей руки, ракетка будет передавать мячу значительно большую скоростью при соударении ближе к её вершине, чем у шейки. Таким образом, оптимальная точка определяется сочетанием высокой скорости удара и хороших свойствам передачи импульса.

Гейм-Сет-Матч

Теперь мы получили чёткую картину физических процессов, происходящих в игровых пятнах теннисной ракетки. В центральном узле колебаний неприятные вибрации, которые теннисисты ощущают через свою руку, являются минимальными. В центре перкуссии удар, приходящийся по руке игрока, также будет минимален. Наконец, от силовой точки мяч отскакивает с максимальной скоростью.

Расположение игровых пятен на теннисной ракетке.

Прежде чем выйти на корт…

Совершенствуйте свою игру; просмотрите эти дополнительные информационные ресурсы для улучшения своих навыков теннисиста:

Исследование игры в футбол с точки зрения физики

Футбол- игра интелектуальная и требует не только тренировки техники движения, но и знаний физики. В структуре способностей к футболу, тренеры обычно выделяют физические способности, трудолюбие, настойчивость, умение работать в коллективе.Мы выдвинули гиппотезу исслледования: результативность игры в футбол выше у той команды, игроки которой подобраны в соответствии с научнообоснованными критериями, включающие знания по физике. Объект : команды учащихся, по минифутболу.Предмет исследования: двигательные функции,пространственная точность движения, скорость реакции футболистов. В работе представлены теоретические вопросы физики в технике игрока, основные физические модели движения мяча.

Предварительный просмотр:

2. Глава 1 Физика в технике игрока в футбол 4

3. §1. Физика в технике полевого игрока 4

4.§2 Биофизика в технике вратаря. 6

6. Список литературы 17

Футбол одна из наиболее популярных спортивных игр на нашей планете. Среди ученых больше других увлекались этой игрой физики. Например, англичанин Э. Резерфорд, датчанин Н. Бор (он был запасным вратарем сборной Дании по футболу) и француз Ф. Жолио-Кюри. Все они — нобелевские лауреаты. Почему же футбол привлекал внимание физиков? Прежде всего потому, что для этой игры нужно иметь высокую быстроту реакции и мышления. К тому же футбол представляет собой многовариантную демонстрацию, распространенного в природе такого явления как удар, законы которого объясняет физика.

Среди требований, предъявляемых к футболистам, П.В. Осташев считает главными медико-биологические и психологические. (СМ. Приложение №1 «Требования, предъявляемые к действиям футболистов»).

Однако мы полагаем, что футбол – игра интеллектуальная и требует не только тренировки техники движений, но и знаний физики. Мы решили восполнить этот пробел. Вероятно, тренеры подразумевают, что каждый школьник должен знать физику в объеме школьной программы и уметь эти знания применять. Но у команд младшего школьного возраста таковые знания отсутствуют, т.к. законы физики, необходимые на наш взгляд футболисту, изучаются в старших классах.

Ц елью работы мы поставили выделить основополагающие для футболиста физические понятия и модели, физические методы для оценки основных показателей начинающих спортсменов, которые могут быть использованы для развития интереса у мальчиков не только к футболу, но и к физике.

Это позволило выделить и г ипотезу исследования : результативность игры в футбол будет выше у той команды, игроки которой отобраны в соответствии с научно-обоснованными критериями.

Объект исследования : учащиеся, занимающиеся футболом.

Предмет исследования : их двигательные функций и пространственная точность движения, скорость реакции футболистов.

Вследствие того, что для футболистов необходима быстрота и точность движения в данной работе мы поставили задачи:

— изучение литературы по данной проблеме;

— рассмотреть вопросы применения физики в технике полевого игрока и вратаря;

— провести анализ возможных ситуаций, возникающих при ударах футболистом по воротам и составить физико-математические модели этих процессов;

— используя возможности физического кабинета средней школы, исследовать пространственную точность движения учащихся и определить время их реакции.

Для решения поставленных задач мы составили методику проведения практических работ, все данные обработаны с помощью электронных таблиц. Для исследования приглашены учащиеся, занимающиеся футболом, из двух школ.

В работе представлены теоретические вопросы физики в технике игрока в футбол, основные физические модели мяча, экспериментальная часть и краткая история футбола. Для практического применения этой работы предполагается составить элективный курс «Физика для футболистов»

Глава 1 Физика в технике игрока в футбол

§2 Биофизика в технике вратаря.

Оценить быстроту реакции вратаря можно, зная, что для людей верхним пределом быстроты реагирования служит время, необходимое нервной клетке для приема информации, которое составляет 0,01 с. Когда объект зафиксирован глазом, мозг распознает его за 0,05с.

Известно также, что один из главных биоритмов мозга (ά-ритм) приходится на диапазон частот 8-13 Гц (среднюю частоту

10 Гц). Он характеризует бодрствование мозга — такое его состояние, когда он еще не вступил в работу, но полностью к ней подготовлен. Таким образом, быстрота реакции вратаря может находиться в пределах 0,1-0,05 с. Считается, что чем талантливее человек, тем быстрее он мыслит. Быстрота игрового мышления участников футбольной встречи — одно из важных условий успешного ее развития и завершения.

Мигание глаз осуществляется с периодом 0,2—0,5с, т.е. процесс более медленный в сравнении с быстротой реакции нервных клеток. Вратарь должен знать о том, что мигать при пробивании ему пенальти нельзя.

Таким образом, для результативной игры, тренерам и игрокам в футбол необходимо учитывать биофизические возможности организма человека, а значит, футбол — игра не только атлетическая, но и интеллектуальная.

§2. Физика в технике полевого игрока

История развития футбола уходит корнями в далекое прошлое (см. Приложение № 2 «История футбола»). С развитием общества спортивные игры совершенствуются, в том числе и за счет лучшего использования возможностей человеческого организма. Резерв развития футбола — использование в игровых ситуациях достижений биофизики . Рассмотрим некоторые из них.

Отметим, что при высокой четкости и быстроте движений человек в течение нескольких секунд может развивать с помощью мускулов мощность, превышающую среднюю мощность лошади, однако при длительной работе мускулы устают и уменьшают отдачу. В итоге за полный рабочий день мощность человека может составить примерно лишь 1/12 лошадиной силы.

Для совершенствования техники обращения игроков с мячом, повышения силы и точности удара применяется физические методы исследования, например, скоростная киносъемка процесса взаимодействия футболиста и мяча; она выявляет такие его фазы, которые не фиксирует глаз, но могут оказаться полезными, чтобы сделать это взаимодействие более эффективным. (Например, для успешного выполнения такого сложного удара, как «сухой лист»- навесного удара с вращением мяча и искривлением траектории его движения в горизонтальной или вертикальной плоскости в результате вращения.)

Техника полевого игрока состоит из двух подразделов: техники передвижения и техники владения мячом, которая включает удары, остановки, ведение, обманные движения (финты), отбор мяча. Так как в футболе удары по мячу являются основным средством ведения игры, то мы рассмотрим их с точки зрения физики.

Удары по мячу выполняются ногой и головой различными способами. Все способы ударов имеют определенную целевую направленность, которая характеризуется необходимой траекторией движения мяча и его оптимальной скоростью. Скорость полета мяча зависит от начальной скорости ударного звена (ноги или головы) и скорости мяча в момент соприкосновения, а также от соотношения их масс . Так как массы взаимодействующих звеньев относительно постоянны, то для того, чтобы увеличить скорость полета мяча, надо увеличить скорость ударного звена.

Удары по мячу ногой

Удары по мячу ногой выполняются внутренней стороной стопы, средней и внешней частями подъема, носком и пяткой по неподвижному мячу, а также по мячам, катящимся и летящим в различном направлении: с места, в движении, в прыжке, с поворотом, в падении.

Системно-структурный подход к анализу техники игрока позволяет выделить основные фазы движений , которые являются общими для разных способов удара по мячу с точки зрения физики.

Предварительная фаза — разбег. Величина разбега, его скорость определяются индивидуальными особенностями футболистов и тактическими задачами. Разбег способствует предварительному наращиванию скорости ударных звеньев.

Подготовительная фаза — замах ударной и постановка опорной ноги. Близкое к максимальному разгибание бедра и сгибание голени, позволяют выполнить удар требуемой силы, так как увеличивается путь стопы и предварительно растягиваются мышцы передней поверхности бедра, что дает возможность развить к концу движения большую скорость. Чтобы правильно выполнить замах ударной ноги, нужно удлинить последний шаг разбега.

Рабочая фаза — ударное движение и проводка, которой во многом определяется направление движения мяча. Ударное движение начинается в момент постановки опорной ноги со сгибания бедра. Угол, образованный бедром и согнутой голенью, сохраняется. Отставание голени и стопы от движения бедра приближает центр тяжести всей ноги к тазобедренному суставу, что приводит к увеличению ее угловой скорости. Перед ударом отмечается торможение бедра («парадокс Чхаидзе»). Оно вызвано необходимостью передачи количества движения (mv) со звена с большей массой (бедро) на часть с меньшей массой (голень и стопа), что увеличивает ее скорость. В момент резкого захлестывающего удара нога закреплена в голеностопном и коленном суставах. Превращение ноги в « жесткий рычаг» позволяет увеличить массу ударяющего звена. С началом ударного взаимодействия стопа бьющей ноги деформирует мяч. Он сжимается до тех пор, пока скорость взаимного перемещения ноги и мяча не станет равна нулю. Затем упругие силы восстанавливают форму мяча, и его скорость резко возрастает до определенной величины, которая несколько меньше скорости бьющей ноги в начале удара. Часть энергии уходит на остаточную деформацию и нагревание .

Футбольный мяч, обладая значительной упругой деформацией , требует для восстановления формы малое время (около 0,008— 0,013 сек), т.е. время соприкосновения мяча и стопы футболиста следует сохранять как можно дольше, ибо скорость полета мяча зависит от приложенной силы (F) и времени ее действия (t). Ударная нога движется вместе с мячом, а проводка мяча позволяет создать больший импульс силы (Ft) и этим увеличить его скорость.

Завершающая фаза — принятие исходного положения для следующего движения. После удара нога продолжает движение вперед-вверх. Общий центр тяжести , находящийся в момент удара над площадью опоры , перемещается в сторону движения ноги. Тем самым создаются наилучшие условия для дальнейших действий игрока.

Соблюдение всех фаз позволяет выполнить удар по мячу различными способами со значительной силой.

Глава 2 Моделирование нестандартных физических задач при игре в футбол

§1 Способы ударов по мячу и их влияние на траекторию его полета

Способам ударов по мячу ногой свойственны две разновидности выполнения: прямой удар и резаный удар. При прямом ударе направление ударного импульса проходит через центр тяжести мяча или в непосредственной его близости. Траектория полета мяча при прямых ударах зависит от места приложения силы .

Если место приложения удара придется на среднюю часть мяча по горизонтальной плоскости, то он будет двигаться по модели движения тела в поле тяготения, брошенного горизонтально.

Если же место приложения удара приходится ниже центра тяжести, то имеет место модель движения тела, брошенного под углом к горизонту . Эти модели подробно рассматриваются в курсе механики 10 класса [5 ]

Траектория полета мяча существенно меняется при резаных ударах. В этом случае направление удара не проходит через общий центр масс мяча, что вызывает значительное его вращение вокруг горизонтальной оси (при ударе подсечкой), вертикальной оси (при резанных ударах низом) и наклонных осей (при ударах верхом).

Для выполнения резаного удара необходимо, чтобы направление удара значительно отстояло от его центра тяжести. При изменении места удара относительно вертикальной оси изменяется азимут вылета мяча. Если место приложения силы приходится ниже горизонтальной оси, то изменяется угол вылета мяча. Поворот ударной поверхности вокруг вертикальной и горизонтальной осей вызывает изменение как азимута, так и угла вылета (вправо-вверх, влево-вверх).

Сильно вращающийся в полете мяч встречает сопротивление воздуха , которое значительно изменяет его первоначальную траекторию (эффект Магнуса).

После отскока от земли сильно вращающегося мяча направление его дальнейшего полета изменяется. Искривление траектории происходит в сторону вращения мяча.

Из всех возможных моделей, применяемых при ударах по мячу, можно выделить как наиболее интересные — модели движения мяча в поле тяготения при ударах головой в нижнюю и верхнюю часть ворот, которые и будут рассмотрены ниже.

Знания особенностей полета мяча позволит, на наш взгляд, повысить надежность действий футболистов.

§2 Физические модели и их применение при игре в футбол

Рассмотрим упрощенные модели без учета сил сопротивления воздуха и эффекта Магнуса:

№1 Удар головой горизонтально с целью попадания в нижнюю часть ворот.

№2 Удар ногой под углом к горизонту с целью попадания в нижнюю часть ворот .

№3 Удар ногой под углом к горизонту с целью попадания в верхнюю часть ворот.

№4 Удар головой под углом к горизонту с целью попадания в нижнюю часть ворот.

№5 Удар головой под углом к горизонту с целью попадания в верхнюю часть ворот.

Модели №1, № 2, № 3 подробно рассматриваются в курсе механики для профильной школы [5]. Эти модели востребованы, но наиболее сложными с точки зрения физики являются модели №4 и №5, которые рассмотрены подробно в приложении №2.

Глава 3 Экспериментальная часть

В экспериментальной части работы мы, используя возможности физического кабинета школы, исследовали пространственную точность движения у футболистов сборной команды школ и определили время их реакции на движущийся объект.

Практическая работа №1

1.1. Определение времени реакции футболиста на движущийся объект

Приборы и материалы : миллиметровая линейка длиной 50 см, школьный электронный секундомер.

Исследование опирается на известный каждому школьнику способ измерения времени реакции человека. В опыте участвуют двое, условно «испытуемый» и «экспериментатор». Первый прижимает к стене длинную линейку, второй держит ладонь в сантиметре-двух от нулевой метки на линейке. В какой-то момент времени «экспериментатор» отпускает линейку, а «испытуемый» должен как можно быстрее остановить её падение, прижимая линейку к стене. Расстояние, которое успела пролететь линейка позволить определить время реакции «испытуемого». Чтобы вычислить эту величину в секундах, надо воспользоваться известной формулой для времени свободного падения тела, t= , где h- расстояние, которое пролетела линейка, g- ускорение свободного падения.

Для большей достоверности проводится серия измерений. В процессе измерения могут быть случайные погрешности. Для статистической обработки данных необходим учет погрешностей измерения. Наибольшая ошибка, которая может быть допущена при измерении величины, называется абсолютной погрешностью измерения. Абсолютная погрешность обозначается знаком ∆(дельта) с указанием соответствующей величины и включает: инструментальную погрешность, погрешность отсчета (максимально составляет половину цены деления шкалы) и случайную погрешность. Случайная погрешность учитывается, если при измерении имеют место случайные ошибки (например, реакция экспериментатора на опускание линейки) и равна половине цены деления прибора.

Результаты измерений учащихся заносим в таблицу №1

Формула победного удара

Азартно болея на футбольных сражениях, радуясь и приходя в отчаяние от забитых красивых голов, мы не подозреваем, как сильно зависят траектории особо мастерских ударов от законов физики.

Например, крученые мячи всегда вызывают у болельщиков настоящую бурю эмоций. Наверное, каждый мальчишка знает, что такое «сухой лист», и наслышан о мастерах этого удара: Лобановском, Диди, Сальникове и других. Основным признаком удара «сухой лист» является траектория полёта мяча. Изначально мяч летит по сложной дуге и на последнем участке траектории падает резко вниз. Придать такую траекторию мячу можно ударом носка, но классическим принято считать удар внешней стороной стопы. Первым в мире исполнителем «сухого листа», по одной из спорных версий, был капитан команды ЦСКА Григорий Федотов, а название «folha seca» появилось благодаря бразильскому футболисту Диди (Валдир Перейра).

Изобретателем неотразимого удара с углового был легендарный советский форвард Валерий Лобановский. Он пускал мяч с углового по очень крутой траектории — в итоге мяч опускался за спиной вратаря под перекладину. Этот удар долгое время никто не мог повторить. В игре Лобановского подстраховывал мастер верховых атак Олег Базилевич, который мог подправить мяч в прыжке головой. В дуэте они одержали множество побед. Кстати, такой закрученный удар получил свое название и при игре в теннис: теннисисты стараются подать «срезанный» мяч.

Ученым давно известно, что ключевым параметром, отвечающим за управляемость мяча, являются параметры его вращения. Так называемый эффект Магнуса первым описал еще Исаак Ньютон, наблюдавший за полетом теннисного мяча: разные стороны вращающегося в набегающем потоке воздуха мяча обдуваются с разными скоростями. Отклонение вращающихся тел от траектории свободного падения заметили еще во времена, когда при стрельбе использовали пушечные ядра: в 1742 году английский изобретатель Бенджамин Роббинс предположил, что это отклонение связано с вращением пушечного ядра.

Были проведены эксперименты, в которых опытным путем ученые пытались доказать свое предположение. Так, например, в 1830 году стали применять ядра с эксцентрически расположенным центром тяжести. Ядро разнообразно вкладывали в пушку и запускали в намеченную мишень. И каждый раз ядро отклонялось в сторону, что доказало действие на тело воздушных сил. Эффект Магнуса был впервые обнаружен при изучении полета вращающихся артиллерийских снарядов: подъемная сила, действующая со стороны встречного потока воздуха, отклоняет снаряд от линии прицела. Это отклонение должно учитываться при точной стрельбе. Сам же эффект описан немецким физиком Генрихом Густавом Магнусом в 1853 году и получил его имя. Эффект проявляется на телах вращения и находит свое применение во многих областях — например, в баллистике, в конструировании воздушных змеев, при разделении смешанных жидкостей на фазы, в ветроэнергетических установках и даже в судостроении.

Современные исследователи отмечают, что на вращение мяча может влиять неровность его поверхности. Именно этот параметр определяет то, в какую сторону будет закручиваться траектория. Абсолютно гладкий и негладкий мячи, закрученные с одинаковой скоростью, будут отклоняться в разные стороны. В своем исследовании «Аэродинамика прекрасной игры» профессор прикладной математики Массачусетского технологического института (США) Джон Буш подчеркивает, что эффект Магнуса может менять свой знак. Причина кроется в том, как вращающийся мяч увлекает воздух в так называемом пограничном слое. Чем грубее поверхность мяча, тем легче, согласно классическому эффекту Магнуса, отклонить влево закрученный против часовой стрелки мяч. То есть стоит изменить рисунок секций мяча, как тут же изменится распределение давления на него.

Мяч «Джабулани», дизайн которого был разработан компанией Adidas к чемпионату мира 2010 года, был гладким. Грани нового мяча «Бразука», которым играют на мундиале-2014, более чем наполовину длиннее, что делает поверхность менее гладкой и полет более предсказуемым. Еще один интересный эффект, разобранный в статье Буша, возникает, когда футболист запускает мяч с минимальным вращением. В этом случае мяч может лететь, покачиваясь влево-вправо. У бразильцев, играющих в футбол с младенчества, это называют pombo sem asa, или «голубь без крыльев». Такое движение мяча, утверждает Буш, возникает из-за того, что смена режима обтекания в пограничном слое с обеих сторон мяча постоянно происходит в разных точках. «Мяч движется сообразно распределению давления, которое постоянно меняется», — говорит исследователь. Так летел мяч, запущенный на чемпионате-2014 итальянцем Андреа Пирло в матче против англичан. Его удар смутил вратаря, но мяч ударился о перекладину.

Математики и физики – тоже любители футбола. И хотя они пытаются описать законами строгой науки непередаваемую точность и сложность игры, футбол и для них тоже остается футболом – прекрасным и непредсказуемым.

Причудливый полёт мяча

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Полёт без вращения

Совсем не прост даже простой полёт мяча без вращения. Дело в том, что при обтекании движущегося мяча воздухом его пограничный слой, прилегающий к поверхности мяча, как бы прилипает к ней, а в некоторый момент срывается, создавая завихрения, турбулентность. В результате за мячом образуется целая область вихрей, турбулентный след. В воздухе он не заметен, но аналогичные вихри можно увидеть в воде за кормой лодки при её быстром движении.

Давление газа на мяч в турбулентной области меньше, чем перед мячом. Из-за этого образуется разность давлений, которая дополнительно к обычному сопротивлению воздуха значительно тормозит мяч. Как говорят специалисты, увеличивает лобовое сопротивление.

Гораздо интересней другое. При малой скорости движения поток воздуха обтекает мяч почти без перемешивания, физики называют такой поток ламинарным. Лобовое сопротивление, создаваемое воздухом, при этом велико. Но если скорость мяча возрастает выше определённой величины, поток становится турбулентным, точка отрыва вихрей смещается дальше назад, а турбулентный след становится значительно уже. В результате сопротивление резко падает. Конкретное значение критической скорости зависит от конструкции поверхности мяча. Так, для мяча «Teamgeist», которым играли на чемпионате мира в Германии 2006 года, она составляла примерно 70 км/ч (20 м/с).

Если мяч, летящий сначала с большой скоростью, во время полёта затормозит о воздух до скорости меньше критической, то его обтекание воздухом перейдёт из турбулентного режима в ламинарный. В этот момент произойдёт сильное увеличение лобового сопротивления и мяч резко затормозит, продолжая падать под действием силы тяжести. Со стороны будет казаться, что мяч «нырнул». Очень неприятная ситуация для вратаря! Правда, от бьющего игрока требуется искусство сообщить мячу именно необходимую скорость. Если она будет слишком велика, то мяч просто не успеет затормозить до критического значения скорости.

У бейсболистов подобный коварный бросок получил название «наклбол» (от англ. knuckleball — мяч, стукнутый костяшками пальцев). Питчер бросает мяч почти без вращения кончиками пальцев. Если скорость выбрана правильно, то мяч перед отбивающим игроком в последний момент внезапно нырнёт, или, как говорят спортсмены, свалится.

А есть и ещё одно любопытное следствие турбулентности. Вихри с разных сторон мяча отрываются неодновременно и в разных точках, положение которых зависит от свойств поверхности, в первую очередь от количества и формы швов, соединяющих части оболочки мяча. Сильно влияют также отличие формы мяча от круглой (правила FIFA допускают отклонения от идеально круглой формы до 1,5%) и его небольшое вращение, а у старых мячей — наличие клапана. В результате при небольшой скорости мяч начинает вилять в воздухе из стороны в сторону. Этот эффект легко заметить на лёгком надувном пляжном мяче или на привязанном воздушном шарике, который обдувается ветерком. Бразильцы образно называют виляющий удар «pombo sem asa» — «голубь без крыла», имея в виду, что мяч в полёте вдруг дёргается в сторону, как птица, пытающаяся взмахнуть одним крылом. В футболе мяч, как правило, не успевает вильнуть более одного раза.

Говорят, что в старые времена были умельцы, которые располагали перед ударом мяч с клапаном в определённом положении, чтобы гарантированно добиться подобного результата. Современные симметричные и гладкие мячи более предсказуемы, зато летят быстрее.

Кстати, поочерёдный отрыв вихрей с разных сторон раскачивает при обтекании ветром и более массивные объекты вроде промышленных труб и небоскрёбов. При этом вихри образуют за объектом цепочку, называемую дорожкой Кармана (в честь физика Теодора фон Кармана).

Здесь возникает любопытный парадокс. На первый взгляд кажется, что, чем более гладким будет футбольный мяч, тем лучше. Видимо, так же думали и дизайнеры фирмы Adidas, когда в 2006 году отказались от верно прослужившей почти 40 лет классической оболочки мяча, состоящей из 32 панелей пятиугольной и шестиугольной формы*. Новый мяч «Teamgeist» имел всего 14 панелей сложной формы, соединённых методом термосклейки. Это упростило процесс производства и сделало мяч более круглым и гладким, уменьшив периметр швов на 15% (345 см против 405 см). Но не обрадовало игроков, жаловавшихся на непредсказуемость мяча. В чём же дело?

Оказывается, швы способствуют образованию пограничного слоя и более позднему отрыву вихрей. А вот на гладкой поверхности нового мяча пограничный слой держался хуже и вихри срывались слишком рано, приводя к непредсказуемой траектории полёта почти невращающегося мяча.

К следующему чемпионату мира 2010 года в ЮАР конструкторы Adidas попытались исправиться. Оболочка их нового мяча «Jabulani» состояла даже из меньшего числа частей — всего из восьми, причём впервые трёхмерных. Но дизайнеры компенсировали излишнюю гладкость мяча специальными бороздками на его поверхности. Они назвали эту технологию Grip’n’Groove (захватывающие выемки). Эти бороздки должны были удерживать пограничный слой, стабилизировать полёт, избавив его от случайных отклонений, и уменьшать лобовое сопротивление, чтобы мяч летел быстрее и дальше. Однако технология не полностью оправдала ожидания и критики было много.

На чемпионате мира 2014 года в Бразилии использовался мяч «Brazuca», состоящий из 6 панелей сложной формы с более глубокими швами. На этот раз нареканий удалось избежать. Будем надеяться, что мяч «Tel-star-18», разработанный к чемпионату мира в России 2018 года, окажется удачным.

Ударом футболист способен придать мячу вращение различной силы и вокруг осей, по-разному ориентированных в пространстве. Сильное вращение мяча стабилизирует поток воздуха вокруг него и, следовательно, траекторию полёта. Но на мяч начинает действовать ещё одна сила, получившая название «эффект Магнуса», по имени немецкого физика Генриха Магнуса, который открыл его в 1852 году, занявшись вопросом отклонения снарядов огнестрельного оружия (отклонение вбок пушечных ядер заметили в XVII веке). Впрочем, ещё в 1672 году Исаак Ньютон, наблюдая за теннисистами в Кембридже, описал эту силу и правильно определил её причину. Величину силы можно найти по теореме, выведенной в 1904 году российским механиком, основоположником аэродинамики Николаем Егоровичем Жуковским.

Вращающийся мяч увлекает вокруг себя воздух, создавая вихрь. При его полёте с одной стороны направление движения вихря совпадает с направлением обтекающего мяч воздуха, и скорость потока там увеличивается, а с другой — противоположно, и скорость уменьшается. Из закона Бернулли следует, что при увеличении скорости давление падает. Из-за этой разности скоростей возникает разность давлений, которая порождает силу, направленную перпендикулярно оси вращения и траектории полёта в сторону, где скорость потока выше. Смещается вбок и турбулентный след, внося свой вклад.

Таким образом, закручивая мяч в разные стороны, можно добиться изгиба траектории. Вратари, выбивая мяч, придают ему обратное вращение (ось горизонтальна, нижняя часть мяча движется от вратаря). В этом случае сила Магнуса представляет собой подъёмную силу, увеличивающую дальность полёта мяча. При штрафном ударе, перекидывая стенку, наоборот, стоит придать мячу верхнее вращение. Тогда, перелетев стенку, мяч быстро опустится вниз. Правда, таким ударом с земли владеют немногие.

Боковое вращение (ось вертикальна) заставит мяч пойти по дуге вправо или влево. Причём сразу после удара, пока скорость велика, благодаря турбулентному потоку вокруг мяча и малому лобовому сопротивлению мяч будет двигаться почти по прямой. При одной и той же скорости вращения на медленно летящий мяч действует бóльшая отклоняющая сила, чем на быстро движущийся мяч. Поэтому по мере замедления полёта мяча влияние эффекта Магнуса будет проявляться сильнее и изгиб траектории станет заметнее. Со стороны это выглядит так: сначала мяч летит прямо, а затем сворачивает.

Оценки показывают, что при скорости мяча 30 м/с и частоте вращения 10 об/с сила Магнуса на футбольный мяч составит около 3,5 Н. При массе мяча 450 г его ускорение будет примерно 8 м/с 2 . Пролетев за 1 секунду около 30 метров, такой мяч отклонится от прямой линии на целых 4 метра!

В интернете можно найти много видео с подобными ударами. Пожалуй, самый известный из них — штрафной удар бразильца Роберто Карлоса в матче с Францией в 1997 году. Карлос, обладавший очень сильным ударом, пустил мяч с расстояния 35 м со скоростью около 40 м/с (137 км/ч), закрутив его против часовой стрелки. Первый десяток метров мяч летел по прямой мимо установленной стенки и ворот, так что вратарь французов даже не сдвинулся с места, а мальчик, подбирающий мячи, который стоял в нескольких метрах от ворот, наоборот, пригнулся. Но затем скорость мяча снизилась настолько, что он перешёл в ламинарный режим. Значительно возросшая сила сопротивления замедлила полёт мяча и сделала значимым искривление траектории мяча эффектом Магнуса. Мяч повернул влево и попал в ворота под изумлённым взглядом вратаря.

Ещё один знаменитый удар, связанный с эффектом Магнуса, получил название «сухой лист». Исполняя его, футболист сообщает мячу вращение вокруг наклонной оси, что приводит к движению мяча по сложной траектории. Как правило, его использовали при подаче угловых, когда забить гол прямым ударом невозможно. При подаче углового «сухим листом» мяч сначала уходит вверх, перелетая игроков, и в сторону от ворот, а потом возвращается и в самом конце резко падает вниз за спину вратарю.

Физика ошибается, или Как бить по мячу?

И напоследок один маленький парадокс, показывающий опасность узкого взгляда на ситуацию. Каждый школьник старших классов из уроков физики знает, что, для того чтобы тело, брошенное под углом к горизонту, пролетело наибольшее расстояние, угол должен быть 45 о или близким к нему при учёте сопротивления воздуха. Однако наблюдения за футболистами показывают, что у них наибольшая дальность полёта мяча достигается при углах от 20 до 35 градусов. Неужели физика ошибается?

Вовсе нет! Всё дело, оказывается, в том, что анатомия человека не позволяет ему нанести сильный удар так, чтобы мяч полетел с земли под углом 45 о . Техника удара футболиста по мячу такова, что самый сильный удар, сообщающий мячу наибольшую скорость при достаточно большом угле вылета, как раз и приходится на указанный интервал углов. Несмотря на меньший угол, такая скорость обеспечивает бóльшую дальность полёта мяча, чем слабый удар, но под углом 45 о .

Математические досуги. Возвращаясь к напечатанному

Сколько лет футболисту?

Средний возраст 11 футболистов команды — 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

В первом матче футболисты «Звёздочки» забили в ворота противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и ещё один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в третьем матче, и ещё один мяч. В третьем матче они забили вдвое меньше мячей, чем в первом, и ещё один мяч. Сколько же всего мячей забили футболисты «Звёздочки» за три матча?

В розыгрыше первенства района по футболу принимали участие шесть дворовых команд. Каждая команда встречалась с другими по одному разу. Первенство было разыграно в течение пяти суббот подряд, причём каждую субботу играли по три матча. В первую субботу «Орлёнок» выиграл с крупным счётом у «Метеора». Во вторую субботу «Орлёнок» победил «Искру», в третью субботу «Искра» выиграла у «Вымпела». В четвёртом туре «Ласточка» сыграла вничью с «Метеором».

С какой командой встречалась «Стрела» в последнем, пятом туре?

Задачи из журнала «Наука и жизнь» № 12, 1967 г.; №№ 3, 5, 1969 г.