Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1959. – 313 с.

Предлагаемая вниманию читателей книга польского логика Яна Лукасевича (1878—1956) является одним из выдающихся его трудов.

Настоящая работа состоит из исторической части и систематической части. В исторической части я пытался излагать аристотелевское учение, как можно ближе следуя текстам Аристотеля, однако везде стремясь объяснить их с точки зрения современной формальной логики. В систематической части я пытался объяснить некоторые теории современной формальной логики, которые необходимы для понимания силлогистики Аристотеля, и пытался пополнить эту силлогистику в пределах, установленных самим Аристотелем. Я стремился быть ясным, насколько это возможно, так чтобы мое изложение могло быть понято учащимися, не тренированными в области символического или математического мышления. Поэтому я надеюсь, что эта часть моей работы сможет быть использована как введение в современную формальную логику.

Оглавление

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ
§ 1. Истинная форма аристотелевского силлогизма
§ 2. Посылки и термины
§ 3. Почему единичные термины были опущены Аристотелем
§ 4. Переменные
§ 5. Силлогистическая необходимость
§ 6. Что такое формальная логика?
§ 7. Что такое формализм?
ГЛАВА II. ПОЛОЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
§ 8. Положения и правила вывода
§ 9. Фигуры силлогизма
§ 10. Больший, средний и меньший термины
§ 11. История одной ошибки
§ 12. Порядок посылок
§ 13. Ошибки некоторых комментаторов нового времени
§ 14. Четыре галеновские фигуры
ГЛАВА III. СИСТЕМА
§ 15. Совершенные и несовершенные силлогизмы
§ 16. Логика терминов и логика предложений
§ 17. Доказательства посредством обращения
§ 18. Доказательства посредством reductio ad impossibile
§ 19. Доказательства посредством выделения
§ 20. Отбрасываемые формы
§ 21. Некоторые нерешенные проблемы
ГЛАВА IV. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИСТЕМА В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
§ 23. Теория дедукции
§ 24. Кванторы
§ 25. Основания силлогистики
§ 26. Выведение силлогистических положений
§ 27. Аксиомы и правила для отбрасываемых выражений
§ 28. Недостаточность наших аксиом и правил
ГЛАВА V. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ
§ 29. Число неразрешимых выражений
§ 30. Правило отбрасывания Слупецкого
§ 31. Дедуктивная эквивалентность
§ 32. Сведение к элементарным выражениям
§ 33. Элементарные выражения силлогистики
§ 34. Арифметическая интерпретация силлогистики
§ 35. Заключение
ГЛАВА VI. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА ПРЕДЛОЖЕНИЙ
§ 37. Модальные функции и их соотношения
§ 38. Основная модальная логика
§ 39. Законы экстенсиональности
§ 40. Аристотелевское доказательство M-закона экстенсиональности
§ 41. Необходимые связи между предложениями
§ 42. «Материальная» или «строгая» импликация?
§ 43. Аналитические предложения
§ 44. Аристотелевский парадокс
§ 45. Случайность у Аристотеля
ГЛАВА VII. СИСТЕМА МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
§ 47. C-N-b-p-система
§ 48. «дельта»-определения
§ 49. Четырехзначная система модальной логики
§ 50. Необходимость и четырехзначная система модальной логики
§ 51. Парные возможности
§ 52. Случайность и четырехзначная система модальной логики
§ 53. Некоторые дальнейшие проблемы
ГЛАВА VIII. МОДАЛЬНАЯ СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ
§ 54. Модусы с двумя аподиктическими посылками
§ 55. Модусы с одной аподиктической и одной ассерторической посылкой
§ 56. Отбрасываемые модусы с одной аподиктической и одной ассерторической посылкой
§ 57. Разрешение спора
§ 58. Модусы с возможными посылками
§ 59. Законы обращения случайных предложений
§ 60. Исправление ошибок Аристотеля
§ 61. Модусы со случайными посылками
§ 62. Философские выводы из модальной логики
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕДАКЦИОННЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ

© 2019 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики

Предлагаемая вниманию читателей книга польского логика Яна Лукасевича (1878-1956) «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики» является одним из выдающихся его трудов.

Автор — один из представителей логического позитивизма. Он создал свою систему математической логики и прекрасно ориентируется в этой отрасли знания. Являясь в ней крупным специалистом, Лукасевич выдвинулся как первоклассный знаток и интерпретатор греческих текстов по логике.

Аристотелевская силлогистика

Аристотелевская силлогистика более 2000 лет была формальной основой логики. В XX столетии ей на смену пришла математическая логика, основные идеи и методы которой нашли применение в современных компьютерных технологиях. Силлогистика отошла на задний план и для подавляющего большинства наших современников представляется анахронизмом. В том варианте, в котором она существовала много веков, ее аналитические возможности намного уступают аналитическим возможностям математической логики.

Однако использовать математическую логику для анализа естественных рассуждений оказывается не так-то просто. В ее аксиоматике и в структурах формул недостаточно отражена структура многих предложений естественного языка. В большей степени этой структуре соответствует структура суждений Аристотелевской силлогистики.

В книге на основе исследований автора предпринята попытка дать вторую жизнь Аристотелевской силлогистике на новом и сравнительно простом для усвоения математическом фундаменте. Это позволяет существенно расширить ее аналитические возможности и область применения. С помощью излагаемого подхода облегчается вывод следствий из произвольного множества посылок, выраженных на близком к естественному языке, находятся ошибки и неопределенности в рассуждениях, проверяются и формируются корректные гипотезы, анализируются известные парадоксы и даже изобретаются новые.

Своеобразной “затравкой” исследований автора стала замечательная книга Льюиса Кэрролла “История с узелками”, в которой анализу естественных рассуждений посвящен большой раздел “Символическая логика”. И хотя здесь пришлось по-иному подойти к математическим основаниям анализа, некоторые незаслуженно забытые идеи Кэрролла, легли в основу нового подхода. Не менее важной находкой оказались многочисленные забавные “сориты” Кэрролла, некоторые из которых использованы в книге в качестве примеров рассуждений.

Новый подход к математическому моделированию естественных рассуждений с определенным приближением можно назвать синтезом Аристотелевской силлогистики и некоторых методов, применяемых в современной математике. Такой синтез позволяет устранить некоторые неточности в силлогистике. Кратко «формула» синтеза заключается в следующем.

1) В качестве основного “элемента” рассуждения принято суждение, т.е. конструкция, которая в упрощенном виде заложена в основе Аристотелевской силлогистики. Эта конструкция состоит из двух частей: в первой части находится субъект суждения, а во второй – некоторое множество предикатов суждения.

2) Рассуждение может содержать произвольную совокупность произвольных суждений.

3) Математической моделью рассуждения является структура, законы которой соответствуют основным законам алгебры множеств.

4) В алгебре множеств выделены и приняты к применению структуры, которые с одной стороны по форме соответствуют суждениям, а с другой – имеют свойства известной математической структуры, которая носит название “частично упорядоченные множества”.

Излагаемый подход доступен для широкого круга читателей. – Основные понятия конечной алгебры множеств даются в школьном курсе математики и информатики и сравнительно легко усваиваются не только старшеклассниками, но и, как показывает опыт, даже учащимися младших классов. Теория частично упорядоченных множеств, является одним из малоизвестных разделов высшей алгебры. Но здесь используется подход, в котором необходимые положения и методы теории частичного порядка рассматриваются на основе легко усваиваемых элементарных понятий теории графов. Таким образом, математическая основа подхода оказывается весьма простой и к тому же достаточной для моделирования и анализа сложных естественных рассуждений.

Структура книги имеет особенности. Автор отказался от разбиения книги на главы. Это связано с тем, что содержание каждого раздела перестает быть понятным без усвоения всех предыдущих разделов и читать книгу выборочно не имеет смысла. Ее следует изучать последовательно и прерывать процесс изучения там, где это перестает быть интересным или полезным для читателя. Исключениями являются два Приложения. В Приложении 1 приведена статья автора “С чем идет современная логика в XXI век?”, которая является переработанным и дополненным вариантом одноименной статьи, опубликованной в журнале “Вестник РФФИ” (№ 3(21), сентябрь 2000 г.). В статье изложена точка зрения автора по некоторым современным проблемам и тенденциям развития современной логики.

В Приложении 2 приведена предназначенная для читателей с хорошей математической подготовкой статья автора, в которой изложены математические аспекты подхода, изложенного по возможности доступно в данной книге.

Основная часть книги содержит 9 разделов. Ниже дается краткий комментарий по ним, из которого читатель может предварительно оценить, читать ли ему эту книгу до какого-то определенного раздела (автор надеется, что до последнего) или же вообще не тратить времени на подробное знакомство с нею.

1. Суждение. Дается более общее по сравнению с Аристотелевской силлогистикой определение суждения и рассматривается соотношение между суждением и логической структурой предложений естественного языка. Каждое суждение выражает некоторые фрагменты наших знаний в виде соотношений: «часть-целое», объекты-свойства», «род-вид», «подмножество-множество».

2. Основные понятия алгебры множеств. Дается краткая историческая справка, а также основные понятия и законы алгебры множеств. Для лучшего понимания материала используются диаграммы Эйлера и многочисленные примеры.

3. E-структуры: определение и основные свойства. Рассматривается новый математический объект «логические структуры Эйлера» (или сокращенно E-структуры). По сути это новый тип частично упорядоченных множеств, у которых введены универсальные правила вывода и операция дополнения, свойства которой соответствуют одноименной операции алгебры множеств. Для большей доходчивости изложения свойства структур с отношением частичного порядка рассматриваются на основе понятий теории графов. Знакомство с элементарными понятиями и методами теории графов приводится в этом же разделе.

Приводится определение и обоснование правил вывода в E-структурах, а также понятие CT-замыкание – структура, которая содержит все исходные суждения и все следствия, полученные в результате применения правил вывода.

4. Коллизии в рассуждениях. Нередко в естественных рассуждениях возникают трудности с распознаванием несовместимости исходных посылок. Для формального анализа таких ситуаций здесь используется аппарат распознавания коллизий в E-структурах. Коллизии распознаются после построения CT-замыкания. С учетом этого E-структуры делятся на два класса: корректные и структуры с коллизиями. Выделено два типа коллизий: коллизия парадокса (когда предположительно значимый термин на самом деле аналитически соответствует в структуре пустому множеству) и коллизия цикла (когда предположительно разные термины на самом деле соответствуют одному и тому же объекту). Во многих (но не во всех) случаях коллизии свидетельствуют о наличии логических ошибок в рассуждении.

5. Инварианты E-структур. Одна и та же структура может быть задана разным составом посылок. Инвариантом таких структур является CT-замыкание. Рассматриваются еще два инварианта E-структур: диаграмма Хассе и минимальное множество посылок. Эти инварианты позволяют оценить независимость заданной системы посылок и заодно существенно уменьшить объем памяти для хранения E-структур.

6. Экзистенциальные суждения. Являются обобщением частных суждений Аристотелевской силлогистики типа “Некоторые A есть B”. Приводятся примеры использования и анализа экзистенциальных суждений, включая известный парадокс “Лжец”. Рассмотрен метод построения всех экзистенциальных суждений, непосредственно содержащихся в заданной корректной E-структуре.

7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез). Понятие “неполноты” применительно к естественным рассуждениям, формализованным с помощью E-структур, рассматривается как существование совокупности невыводимых из данной структуры, но совместимых с ней суждений или E-структур. Такие суждения можно рассматривать как гипотезы. По сути все возможные E-структуры являются неполными в этом смысле. Причем для любой E-структуры существует множество альтернативных пар гипотез, несовместимых друг с другом, но совместимых по отдельности с исходной E-структурой. Если рассматривать неполноту в узком смысле, т.е. ограничиться теми гипотезами, в которых содержатся только термины E-структуры, то в этом случае все корректные E-структуры можно разделить на два класса: полные и неполные. В разделе приводятся методы распознавания неполноты в узком смысле и методы формирования совокупности корректных гипотез.

8. Отрицания в E-структурах. Здесь используется идея многовариантного отрицания, которая стала в последнее время объектом многочисленных исследований в неклассических логиках. Но в отличие от неклассических логик в E-структурах не нарушаются законы булевой алгебры. По сути здесь обобщаются понятия контрарности и контрадикторности в Аристотелевской силлогистике. Например, отрицанием суждения “Все A есть B” может быть контрарное ему “Все A есть не-B” и контрадикторное “Некоторые A есть не-B”. Оказывается, что при соединении контрарных или контрадикторных суждений возникает коллизия парадокса. В E-структурах это условие (т.е. появление коллизии парадокса при соединении) может служить критерием того, что такие взаимно парадоксальные пары являются отрицанием друг друга.

9. Индуктивный вывод. В современной логике индуктивный вывод обычно ассоциируется с понятием вероятности или с формальным и, как правило, недоказуемым анализом причинности. Однако вполне правомерен другой подход к индуктивному выводу, при котором формирование правдоподобных гипотез производится с помощью многовариантного восстановления недостающих звеньев какой-либо дедуктивной структуры. Такое восстановление не всегда бывает однозначным, но окончательный выбор может быть сделан не на основе подсчета вероятностей, а на основе содержательной оценки правдоподобности или совместимости получаемых при восстановлении гипотез. Этот механизм индуктивного вывода, часто применяющийся в практике естественных рассуждений, сравнительно легко формализуется в E-структурах. При этом многие правдоподобные варианты могут быть забракованы даже на стадии формального анализа, когда предполагаемая гипотеза вызывает запрещенные коллизии в самой E-структуре.

Для облегчения решения некоторых задач анализа рассуждений автором разработана вычислительная программа, которую можно получить бесплатно на Web-странице автора книги (ar1program.zip) или связавшись с ним по электронной почте (kulik@msa.ipme.ru).

Автор признателен многим людям, принимавшим участие в обсуждении ряда разделов книги. Особую признательность хотелось бы выразить Л.Н. Романову, чья активная и порой нелицеприятная критика немало способствовала прояснению многих проблем, затронутых в книге, а также преподавательнице школьной информатики Р.Ю. Дамм, которая отважилась на эксперимент по проверке понятности и доступности многих рассмотренных в книге методов анализа рассуждений на учащихся средней школы

Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики

Наименование: Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
Автор: Ян Лукасевич
Издательство: Издательство иностранной литературы
Год: 1959
Страниц: 312
Формат: DJVU
Размер: 6,27 MB
Качество: хорошее (OCR)
Язык: русский

Автор — Ян Лукасевич — один из представителей логического позитивизма (Львовско-Варшавская школа). Он создал свою систему математической логики и прекрасно ориентируется в этой отрасли знания, явявляясь в ней крупным специалистом, Лукасевич выдвинулся также как первоклассный знаток интерпретатор греческих текстов по логике, при этом кругозор его исключительно широк. Он с необыкновенной тщательностью изучил не только греческие подлинники логических работ Аристотеля, он хорошо знает произведения последователей Аристотеля. При этом он оказался подлинным новатором в подходе к использованию сочинений комментаторов Аристотеля. Особо плодотворным является то, что он привлекает к изучению Аристотеля тексты Александра Афродизийского, комментатора «Первой аналитики» Аристотеля, писателя II—III веков н. э., а также Иоанна Филопона (VI век). С не меньшим успехом использует Лукасевич взгляды стоиков, убедительно показывая, что их произведения с новой стороны освещают систему Аристотеля; стоики явились продолжателями дела Аристотеля и сумели развить логические открытия Аристотеля. Аксиоматизация Лукасевичем в представляемой читателям работе дедуктивной системы Аристотеля на редкость удалась: все виды умозаключений можно выводить в строгом порядке при наличии всего четырех аксиом, формулируемых с большой прозрачностью. В итоге Лукасевич приходит к выводу, что следует строго отличать аристотелевскую логику от логики традиционной. Принцип de omni et de nullo (обо всем и ни о чем), составляющий аксиому дедукции у того же Боэция и последующих средневековых логиков, не может служить основным принципом силлогистики Аристотеля. У читателей, знающих Аристотеля понаслышке, широко раскрываются глаза, настолько самые простые наблюдения Лукасевича идут вразрез с установившимися, предвзятыми мнениями о силлогизме Аристотеля. Даже такие термины, как «человек» и «живое существо», хотя и фигурируют на страницах «Аналитики», но, согласно точке зрения Лукасевича, нехарактерны для логической системы Аристотеля.

СИЛЛОГИ́СТИКА

В книжной версии

Том 30. Москва, 2015, стр. 171-172

Скопировать библиографическую ссылку:

• 
• 
• 
• 
• 

СИЛЛОГИ́СТИКА, раз­дел де­дук­тив­ной ло­ги­ки, ис­сле­дую­щий умо­зак­лю­че­ния, со­дер­жа­щие ат­ри­бу­тив­ные суж­де­ния (вы­ска­зы­ва­ния). С. сфор­ми­ро­ва­лась как со­во­куп­ность разл. ло­гич. сис­тем, ко­то­рые раз­де­ля­ют­ся на клас­сы в за­ви­си­мо­сти от то­го, ка­ко­го ти­па ат­ри­бу­тив­ные вы­ска­зы­ва­ния со­дер­жат­ся в язы­ке С. и ка­ко­го ти­па тер­ми­ны – об­щие или еди­нич­ные, про­стые или слож­ные – мо­гут быть их субъ­ек­та­ми и пре­ди­ка­та­ми.

Я. ЛУКАСЕВИЧ. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИЛЛОГИСТИКАС ТОЧКИ ЗРЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1959. 1959

Предлагаемая вниманию читателей книга польского логика Яна Лукасевича (1878—1956) «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики» является одним из выдающихся его трудов.До опубликования этой работы Лукасевич уже был известен и в Польше и за рубежом как пред-ставитель школы математической логики. Еще в 1921 году он издает труд по многозначной логике («Logica dwuwartosciowa», Варшава). В 1929 году в печати появляется работа Лукасевича «Elementy logiki matema- tycznej» («Элементы математической логики»), где уже намечается позднейшее его истолкование силлогистики Аристотеля.

Общедоступные
Библиотеки
Санкт-Петербурга

Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики

Год издания: 1959

Лукасевич, Ян. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики [Текст] / Я. Лукасевич; Пер. с англ. Н. И. Стяжкина и А. Л. Субботина ; Общ. ред. и вступит. статья проф. П. С. Попова. — М. : Издательство иностранной литературы, 1959. — 311 с. — Библиогр. в подстроч. примеч. — Б. ц.

Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики

СИЛЛОГИСТИКА

• 
• 
• 

СИЛЛОГИСТИКА (от греч. συλλογίζομαι – рассчитываю, считаю) – кванторная теория дедуктивных умозаключений, в которой исследуются логические связи между атрибутивными высказываниями, т.е. высказываниями, в которых утверждается или отрицается наличие у предметов некоторого атрибута. Первый пример силлогистики был построен Аристотелем (384–322 гг. до н.э.). Его система явилась не только первой логической теорией, но и одной из первых известных в истории науки теорий вообще.

Уникальное место силлогистики в логике определяется особым влиянием, которое она оказала на разработку философской проблематики. Оставаясь в течение многих веков единственным известным аппаратом дедукции, она во многом предопределяла характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Напр., такие хорошо известные в истории философии антитезы, как «содержательное и формальное», «дискурсивное и чувственное», «рациональное и иррациональное», «интуитивное и рассудочное», всегда обсуждались с учетом гносеологического материала, фиксированного силлогистикой, которая выступала в качестве конкретного примера одной из сторон указанных противоположностей. Поэтому она была не только теорией дедукции, но и выполняла кардинальную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем.

Среди рассматриваемых в силлогистике атрибутивных высказываний различают высказывания о факте наличия или отсутствия у отдельного предмета или нескольких предметов какого-либо свойства (атрибута) и высказывания о характере наличия или отсутствия такого свойства. Первые высказывания называются ассерторическими, вторые – модальными. Иначе говоря, к числу атрибутивных высказываний относят высказывания следующих логических форм:

Всякий α ∗ есть β – общеутвердительное высказывание.

Всякий (Ни один) α ∗ не есть β – общеотрицательное,

Некоторый α ∗ есть β – частноутвердительное,

Некоторый α ∗ не есть β – частноотрицательное,

α ∗ есть β – единичноутвердительное,

α ∗ не есть β – единичноотрицательное,

где ∗ – либо пустое место, либо является одним из модальных операторов – необходимо (□) или возможно (◊). В каждом атрибутивном высказывании имеется два термина: субъект – термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается, и предикат – термин, обозначающий то, что предицируется (утверждается или отрицается) об этих предметах.

В Средние века высказывания первых четырех типов получили специальные обозначения: общеутвердительные стали называться высказываниями типа а (первая буква латинского слова «affirmo» – утверждаю), частноутвердительные стали называться высказываниями типа i (вторая гласная в том же слове), общеотрицательные стали относиться к высказываниям типа е (первая гласная буква в слове «nego» – отрицаю), а частноотрицательные – к высказываниям типа о (вторая гласная в слове «nego»). Эти обозначения оказались удобным средством сокращенного представления в языке ассерторических и модальных высказываний. Пользуясь ими, часто логическую структуру первых четырех типов высказываний выражают следующими соответственно формулами: αaβ, αeβ, αiр, αοβ.

К настоящему времени силлогистика сформировалась как совокупность различных логических систем, которые можно подразделить на классы в зависимости от того, какого типа атрибутивные высказывания содержатся в языке системы, какого типа термины могут являться субъектами и предикатами этих высказываний, а также в зависимости от интерпретации самих атрибутивных высказываний.

Аристотель и средневековые логики рассматривали два типа силлогистических теорий – ассерторическую и модальную. Часто под термином «силлогистика» имеют в виду именно ассерторическую силлогистику. В ее язык входят лишь ассерторические атрибутивные высказывания, в язык же модальной силлогистики входят как ассерторические, так и модальные высказывания.

Силлогистика называется позитивной, если в ней не учитывается внутренняя структура терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как элементарное выражение, неразложимое на составные части. Если в языке теории содержится единственный термообразующий оператор терминного отрицания, позволяющий построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то такая система относится к негативной силлогистике. При этом с отрицательными терминами, скажем Р´, связываются те предметы из универсума, которые не обладают свойством Р. Этот класс принято называть дополнением к Ρ в универсуме U. Если кроме этого вводятся и другие терминные операторы – сложение (объединение классов) и умножение (пересечение классов), то такая система называется расширенной силлогистикой. Если в системе допускается использование сингулярных терминов, то такая силлогистика называется сингулярной.

В зависимости от характера интерпретации терминов, все силлогистические теории делятся на экзистенциальные и неэкзистенциальные. В первых запрещается использование пустых терминов, во вторых такого ограничения нет.

Описанные выше виды атрибутивных высказываний относятся к числу простых высказываний. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить сложные силлогистические высказывания. Напр., можно отрицать то или иное высказывание, строить из них конъюнктивные высказывания и т.д.

В каждой силлогистике тем или иным способом задаются условия истинности атрибутивных высказываний. Обычно это делается с помощью т.н. кругов Эйлера (или диаграмм Венна), которые выступают в качестве модельных схем истинности атрибутивных высказываний. Напр., в традиционной силлогистике, которая является экзистенциальной системой, термины рассматриваются как знаки таких свойств (классов), которые являются непустыми и неуниверсальными.

Понятие логического следования вводится в силлогистике следующим определением. Пусть А₁, А₂, . А_n, и В будут силлогистическими формулами. Тогда из посылок А₁, А₂, . А_n, логически следует В, если и только если каждая модельная схема, на которой одновременно истинны все посылки А₁, А₂, . А_n, является модельной схемой, на которой истинно В. Наличие логического следования обозначается записью А₁, А₂, . А_n ⊧ В. В частном случае (при следовании формулы из пустого множества посылок) формула В называется общезначимой (законом силлогистики) и пишется ⊧ В. Формула В в этом случае является истинной на любой модельной схеме. На основе этих определений в любой силлогистике устанавливаются соответствующие силлогистические законы и оправдывается принятие тех или иных правил вывода – элементарных умозаключений. Так, в традиционной силлогистике законами будут следующие: Всякий S есть S – закон силлогистического тождества для высказываний типа а, Всякий S есть Ρ & Всякий S не есть Р) – закон контрарного противоречия, (Некоторый S есть Ρ ∨ Некоторый S не есть Р) – закон субконтрарного исключенного третьего и многие другие. Что касается умозаключений, то они распадаются на умозаключения по логическому квадрату, непосредственные и опосредованные умозаключения. К числу непосредственных умозаключений в позитивных силлогистиках относится операция обращения (conversio), а в негативных силлогистиках – превращение (obversio) и различные виды противопоставления (contrapocisio).

В позитивной силлогистике одним из важнейших видов опосредованных умозаключений является простой категорический силлогизм. В нем всегда содержится не более трех терминов – меньший, больший и средний. Меньшим термином является субъект заключения, а большим – тот, который является предикатом заключения. Термин же, являющийся общим для обеих посылок, называется средним. Посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой, а содержащая больший термин – большей. Обычно условливаются помещать бóльшую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку. Приняв эти условия, можно все простые категорические силлогизмы разделить по т.н. фигурам. Фигура – это множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина в посылках. С точностью до порядка посылок выделяют следующие фигуры силлогизма:

Если в фигуре указать тип высказываний, стоящих на местах посылок и заключения, то получим разновидность данной фигуры, называемую модусом фигуры. Те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования, называются правильными. В традиционной силлогистике имеется 24 правильных модуса. В 1 фигуре: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront; во 2 фигуре: Baroko, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro; в 3 фигуре: Bokardo, Disamis, Datisi, Ferison, Darapti, Felapton; в 4 фигуре: Camenop, Dimaris, Camenes, Fresison, Bramantip, Fesapo. В этих названиях гласные буквы слева направо указывают тип большей, меньшей посылок и заключения.

Для проверки правильности рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, имеется специальный перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе – достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизма и подразделяются на правила терминов и посылок. Они таковы:

Правила терминов: (1) должна быть посылка, в которой средний термин распределен; (2) если термин распределен в заключении, то он распределен и в посылке.

Правила посылок: (3) должна иметься утвердительная посылка; (4) если утвердительными являются обе посылки, то заключение будет утвердительным высказыванием; (5) если имеется отрицательная посылка, то заключение – отрицательное высказывание.

Другими формами опосредованных умозаключений являются сориты, которые в общем случае представляют собой выводы некоторого силлогистического утверждения из произвольного множества посылок. Вопрос о выводимости в общем случае может быть решен различным образом. Можно, напр., построить аксиоматическую дедуктивную теорию силлогистики и считать, что некоторое опосредованное умозаключение обосновано, если оно доказуемо в данной аксиоматической теории. На такую возможность обратил внимание уже Аристотель. Он взял в качестве исходных положений (аксиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Ferio 1 фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным.

При практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса обычно не пользуются развернутой формой силлогизма. На самом деле в аргументации обычно используют т.н. энтимемы, т.е. сокращенные формы рассуждения (с пропуском некоторых посылок или заключения). Иногда такие пропуски делаются намеренно, ибо недобросовестному спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения, т.е. подлинные теоретические основания аргументации.

Традиционная силлогистика, как указывалось, содержит два ограничения на используемые термины: они не должны быть пустыми и универсальными. В отличие от этого силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода ограничений. Его понимание смыслов простых категорических высказываний можно задать посредством их перевода в исчисление предикатов следующим образом:

αeβ → ∀x(α(x)⊃β(x)),

αοβ → ∃x(α(x) & β(x))∨∃xα(x),

где знак → – показатель процедуры перевода.

Отметим, что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в аристотелевской логике оказываются неверными. Напр., в аристотелевской логике неверны законы силлогистического тождества ни в форме SaS, ни в форме SiS. В негативной аристотелевской силлогистике остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным и т.д. В то же время в аристотелевской силлогистике верны все 24 модуса простого категорического силлогизма.

Кроме аристотелевской силлогистики имеются и другие силлогистики, отличающиеся друг от друга условиями истинности атрибутивных высказываний. Хорошо аргументированная система т.н. фундаментальной силлогистики была предложена Г.Лейбницем. Основные идеи, заложенные в ней, неоднократно повторялись различными исследователями: Де Морганом, Ф.Брентано, Ч.Пирсом, Б.Расселом, Д.Гильбертом. В языке логики предикатов лейбницевская интерпретация категорических высказываний выражается следующим образом:

αeβ → ∀x(α(x)⊃β(x)),

αοβ → ∃x(α(x) & β(x))

Иная силлогистическая система была детально разработана Б.Больцано. В языке логики предикатов больцановская интерпретация может быть выражена следующим образом:

αeβ → ∀x(α(x)⊃β(x)) & ∃хα(х),

αοβ → ∃x(α(x) & β(x))

Интересная силлогистика была разработана Л.Кэрроллом. Она основана на понимании смыслов категорических высказываний, выражаемом в языке логики предикатов следующим образом:

αeβ → ∀x(α(x)⊃β(x)),

αοβ → ∃x(α(x) & β(x))

Одним из вариантов расширенной аристотелевской силлогистики является следующая аксиоматическая система:

A3. (αβ)eγ⊃(γα)eβ

A4. αe(βγ) ≡ (αeβ & αeγ),

A5. αe(βγ)´ ≡ (αeβ´ & αeγ´),

По определению вводятся следующие знаки:

0 ↔ αα´,

1 ↔ αα´,

где знаки «´» «» «» являются соответственно знаками терминных отрицания, сложения и умножения; «≡» – эквиваленция, «=» равенство двух классов, «О» – пустой термин, «1» – универсальный термин. Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой булеву алгебру (см. Алгебра логики), выраженную в терминах силлогистики.

Для всех указанных систем показана их погружаемость в первопорядковое исчисление предикатов. Для сингулярной расширенной аристотелевской силлогистики показана ее дефинициальная эквивалентность элементарной онтологии Лесневского, т.е. атомной булевой алгебре.

Что касается исследований в области модальных силлогистик, то в настоящее время усилиями философов и логиков построены различные их варианты. Однако до сих пор не удается в полном объеме оправдать дедуктивные принципы модальной силлогистики Аристотеля.

1. Аристотель. Соч., т. 2. М., 1978;

2. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959;

3. Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике, М., 1991;

4. Thom P. The syllogism, Münch., 1981.

Силлогистика

Каждой фигуре соответствуют модусы, различающиеся в зависимости от логических отношений, связывающих термины в высказываниях силлогизма. Модусом простого силлогизма называется набор простых суждений, входящих в силлогизм. Модус простого категорического силлогизма составляет три суждения. Во всех четырёх фигурах силлогизмов насчитывается 256 модусов. В каждой фигуре насчитывается 64 модуса. Однако из всех этих 256 модусов только 24 дают достоверные выводы. Это те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования. Эти 24 модуса называются правильными. Остальные модусы приводят к вероятностным выводам и называются, соответственно, неправильными.

В традиционной силлогистике для 24 правильных модусов каждой фигуры имеются мнемонические имена. В этих названиях (см. таблицу ниже) гласные буквы слева направо указывают тип большей, меньшей посылок и заключения.

Правильные модусы различных фигур имеют следующие свойства:

• в первой фигуре большая посылка является общей, а меньшая утвердительной;
• во второй фигуре большая посылка общая, одна из посылок отрицательная;
• в третьей фигуре меньшая посылка является утвердительной, а заключение частным.

Для проверки правильности рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, сформулирован специальный перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе — достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизмов и подразделяются на правила терминов и правила посылок.

• средний термин должен быть распределён, по крайней мере, в одной из посылок (субъекты распределены в общих, а предикаты — в отрицательных высказываниях);
• если термин распределён в заключении, то он распределён и в посылке;
• если термин распределён в посылке, то он не должен быть распределён в заключении.

Правила посылок:

• одна из посылок, по крайней мере, должна быть утвердительной;
• если обе посылки утвердительные, то заключение — утвердительное высказывание;
• если одна из посылок отрицательная, то заключение — отрицательное высказывание;
• число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

Другими формами опосредованных умозаключений являются сориты, которые в общем случае представляют собой выводы некоторого силлогистического утверждения из произвольного множества посылок. Вопрос о выводимости в общем случае может быть решён различным образом. Можно, например, построить аксиоматическую дедуктивную теорию силлогистики и считать, что некоторое опосредованное умозаключение обосновано, если оно доказуемо в данной аксиоматической теории. На такую возможность обратил внимание уже Аристотель. Он взял в качестве исходных положений (аксиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Ferio 1 фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным.

При практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса обычно не пользуются развёрнутой формой силлогизма. На самом деле в аргументации обычно используют так называемые энтимемы, то есть сокращённые формы рассуждения (с пропуском некоторых посылок или заключения). Иногда такие пропуски делаются намеренно (например, когда недобросовестному спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения, то есть подлинные теоретические основания аргументации).

Другие виды силлогистических рассуждений — полисиллогизм и эпихеирема — трактуются как сложные или сложно-сокращённые силлогизмы.

Традиционная силлогистика, как указывалось выше, содержит два ограничения на используемые термины: они не должны быть пустыми и универсальными. В отличие от этого силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода ограничений. Его понимание смыслов простых категорических высказываний можно задать посредством их перевода в исчисление предикатов следующим образом:

Где знак → — это показатель процедуры перевода.

Следует отметить, что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в аристотелевской логике оказываются неверными. Например, в аристотелевской логике неверны законы силлогистического тождества ни в форме SαS, ни в форме SiS. В негативной аристотелевской силлогистике остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным и так далее. В то же время в аристотелевской силлогистике верны все 24 модуса простого категорического силлогизма.

Кроме аристотелевской силлогистики были разработаны и другие силлогистики, отличающиеся друг от друга условиями истинности атрибутивных высказываний. Хорошо аргументированная система так называемой фундаментальной силлогистики была предложена Г. В. Лейбницем. Основные идеи, заложенные в ней, неоднократно повторялись различными исследователями: де Морганом, Ф. Брентано, Ч. Пирсом, Б. Расселом, Д. Гилбертом.

В языке логики предикатов (см. Логика предикатов) интерпретация категорических высказываний Г. В. Лейбница выражается следующим образом:

Иная силлогистическая система была детально разработана Б. Больцано. В языке логики предикатов больцановская интерпретация может быть выражена следующим образом:

Интересная силлогистика была разработана Л. Кэрроллом. Она основана на понимании смыслов категорических высказываний, выражаемом в языке логики предикатов следующим образом:

Одним из вариантов расширенной аристотелевской силлогистики является следующая аксиоматическая система:

По определению вводятся следующие знаки:

Где знаки «´» «∩» «∪» являются соответственно знаками терминных отрицания, сложения и умножения; «≡» — эквиваленция, «=» — равенство двух классов, «0» — пустой термин, «1» — универсальный термин. Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой булеву алгебру, выраженную в терминах силлогистики.

Для всех указанных систем силлогистики показана их погружаемость в первопорядковое исчисление предикатов. Для сингулярной расширенной аристотелевской силлогистики показана её дефинициальная эквивалентность элементарной онтологии Ст. Лесневского, то есть атомной булевой алгебре. Что касается исследований в области модальных силлогистик, то в настоящее время усилиями логиков построены различные их варианты. Однако до сих пор не удаётся в полном объёме оправдать дедуктивные принципы модальной силлогистики Аристотеля. Возрождение интереса к силлогистике на современном этапе развития логики и её исследование алгебраическими и теоретико-множественными средствами связано с фундаментальной работой Я. Лукасевича (1957), который построил на базе классического исчисления высказываний аксиоматическую систему, формализующую традиционный вариант чистой позитивной силлогистики.