А что она представляет собой с точки зрения геометрии

Поиск в решебнике

Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.

Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2017г.

Издатель: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2013г.

Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент

С самого раннего детства, когда мы не то что говорить, даже ходить не умеем, наш мозг уже включается в работу постижения окружающего мира. Мы рассматриваем и ощупываем окружающие нас предметы и таким образом получаем первые познания о форме и размерах — главных понятиях геометрии, которая незримо будет сопровождать нас всю жизнь. Конечно, можно сказать, что

длина, ширина и высота — это числовые характеристики размеров объекта

вот только это абстрактное определение содержит больше вопросов, чем ответов и потому даже первоклассник такое определение вряд ли поймет. Между тем даже трехлетний ребенок, гуляя на улице, находит самую длинную палку, а если вы ее заберете и дадите взамен более короткую, то ребенок вполне может и расплакаться. Из чего следует, что понятие длины ребенку хорошо знакомо, даже если он еще никогда в жизни слова такого не слыхал.

Ну а для определения формы предмета нужно знать еще несколько понятий. Их Евклид сформулировал настолько просто, что даже сейчас понимание некоторых из них вызывает определенные сложности. Сколь полезной для гимнастики ума была новая трактовка евклидовых определений, я уже писал выше. А здесь я просто изложу свое понимание геометрии, далеко не всегда совпадающее с трактовкой Евклида и других геометров, однако с использованием аналогий к системе координат Декарта (также одного из комментаторов Евклида). Вообще-то прообразом системы координат является крест, использовавшийся людьми за тысячи лет до появления христианства, и смысл у него был приблизительно такой же как и у нынешней системы координат, но к кресту мы еще вернемся. В отличие от описательных определений Евклида я постараюсь дать большей частью генетические определения:

Первый и простейший элемент геометрии — точка, точнее геометрическая точка

Применять к точке понятия размеров или формы бессмысленно, если точка только одна. Точка изначальна, как слово в библии, но без точки невозможна геометрия, все остальные геометрические фигуры состоят как бы из точек. Впрочем, это утверждение справедливо только для моего абстрактного геометрического мира. Не все точки одинаково важны при решении задач геометрии, но обсуждать этот вопрос более подробно, пока мы ничего кроме точек не знаем, не имеет смысла.

Второй важнейший элемент геометрии — это линии

линии бывают разными. На мой взгляд наиболее важными из них являются:

2.1. Элементарный отрезок

Элементарный отрезок образован двумя точками, а значит появляется расстояние между точками, условно говоря — длина, а так как рассматривается элементарный отрезок, то это некое элементарное расстояние, в данном случае длина.

Примечание 1: В классической геометрии не используются понятия элементарного отрезка, элементарных размеров, элементарной поверхности и др. С одной стороны это значительно упрощает решение многих практических задач, а с другой стороны плохо соотносится с наблюдаемым нами реальным миром. Например, любое наблюдаемое нами твердое тело реального мира, имеющее некоторую массу, состоит из атомов, во всяком случае атомистическая модель строения мира пока не опровергнута. В однородном (изотропном) пространстве расстояние между атомами определяется взаимодействием атомов тела и если на тело не действуют никакие силы кроме указанной силы взаимодействия, то расстояние между атомами будет приблизительно одинаковым и для тела из данного материала элементарным. Т.е. определять какие-либо геометрические характеристики для некоего условно однородного материала с межатомным расстоянием 0.3 нм на расстоянии 0.15 нм от одного из атомов бессмысленно, тем не менее классическая геометрия это допускает. Впрочем геометрия используется не только для определения размеров материальных тел. Уникальность геометрии в том, что она как пустой горшок Винни Пуха, может вместить в себя что угодно. Например, если речь идет о траектории движения некоей материальной точки, то такая траектория также может рассматриваться как геометрическая фигура и тогда понятие элементарного отрезка становится весьма условным, так как в этом случае расстояния между точками траектории действительно можно рассматривать стремящимися к нулю. Это иногда приводит к другим парадоксам, не разрешимым с точки зрения классической геометрии, но о них речь ниже.

Элементарный отрезок — одномерен. Пользуясь аналогией с системой координат можно сказать, что отрезок измеряется только по одной оси, например оси х. Например, для ребенка, который нашел палку, важна только длина, на остальные характеристики он пока не обращает внимания и мы не будем.

Из отрезков может слагаться линия сколь угодно большой длины. Таким образом можно сказать, что любая линия — это множество точек, однако такое определение будет не совсем полным. Более точным будет следующее определение:

2.2. Линия — это множество расстояний между точками

однако с точки зрения геометрии нет необходимости рассматривать каждое расстояние между точками отдельно, если свойства линии не меняются. Достаточно знать расстояние между начальной и конечной точкой, что и является главной характеристикой для элементарного отрезка. Это значительно упрощает решение задач. Таким образом для определения свойства линии достаточно знать характеристики главных точек. Я бы назвал эти точки характерными точками.

2.3. Самая простая линия — это прямая линия

Прямая линия, как и просто линия — это множество расстояний между точками, свойства же прямой линии меняются только в двух точках, в начале и в конце. Можно сказать, что прямая линия характеризуется расстоянием между начальной и конечной точкой или что сумма расстояний между соседними точками равна расстоянию между крайними точками. Однако самым лучшим на мой взгляд будет следующее определение: Для полного описания прямой линии достаточно указать расстояние между начальной и конечной точками .

Прямая линия одномерна. Это означает, что прямую линию всегда можно расположить так, что наблюдатель будет видеть только одну начальную точку. Например, когда школьник, плюющий через трубочку жеванной бумагой в понравившуюся девочку, приставляет к глазу трубочку, чтобы посмотреть на мишень, он как раз и совмещает центр окружности начала трубочки с центром окружности конца трубочки, а по ходу и все центры поперечных сечений трубочки, если трубочка ровная.

Прямая линия подобна элементарному отрезку. Единственное отличие — в длине.

Прямая линия — частный случай всех возможных линий, тем не менее важность прямой линии для геометрии очень велика. В реальном мире к прямой линии приближаются, например, траектория падения камня под действием силы тяжести, или форма нити отвеса, который также притягивается к земле силой тяжести. Приближаются, а не соответствуют потому, что на камень, падающий в земной атмосфере, также действует сила сопротивления воздуха, порывы ветра, возможно другие факторы, влияющие на траекторию полета и тем самым нарушающие прямолинейность траектории. Для нити кроме указанных факторов также немаловажными будут свойства материала нити и особенности ее изготовления. Однако геометрия, оперируя понятием прямой линии в случаях, когда вышеуказанными факторами можно пренебречь, значительно упрощает решение задач.

Линия — это грань, граница между чем-либо, которую мы вполне отчетливо себе представляем, хотя в реальном мире никакой реальной границы может и не быть, а есть просто оптический эффект. Например, черный квадрат Малевича был бы невозможен на полностью черном фоне, т.е. без границ, условно говоря, линий, отделяющих черное от белого. Вот только сама по себе линия одномерного мира мало что значит, ей нужно что-то разделять или ограничивать.

Пока все вроде бы просто и достаточно понятно, но

Есть в геометрии такая линия, которая и очень простая и очень сложная одновременно — это окружность

Дать определение окружности не смог даже Евклид. Оно ведь как получается, с одной стороны окружность — это множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра окружности (современное определение), да только Евклид не рассматривал линии, как множество точек, а мыслил их как некий элемент геометрии, не имеющий прямого отношения к точкам. А с другой стороны, если рассматривать окружность, как линию, образованную элементарными отрезками, то получается, что окружность — можно составить из коротких прямолинейных отрезков. А значит окружность — это просто ломаная замкнутая линия. Например, из трех элементарных отрезков можно составить равносторонний треугольник, но треугольник — явно не окружность, из четырех — квадрат, но и это никак не окружность по виду, равносторонние пятиугольник и шестиугольник и т.д. выглядят уже лучше, но все равно от окружности далеки. И тут вспоминается древнейший софистический парадокс, звучавший примерно так: «Одно зерно — не куча, два — зерна — не куча, три зерна — не куча и если прибавлять по одному зерну, то куча никогда не получится». А между тем, что такое куча зерна мы очень хорошо себе представляем. Куча — это когда много зерна. Примерно то же самое можно сказать и о окружности:

Окружность — это когда прямолинейных отрезков, образующих окружность, настолько много, что они представляются одной сплошной линией

Между тем современная геометрия рассматривает окружность, как некую плавную замкнутую линию, которую сколько ни разбивай на отрезки, они все равно будут не прямолинейными. Это приводит к тому, что даже сейчас невозможно совершенно точно определить длину окружности, да и площадь круга даже теоретически. Т.е. многие из вас слышали про число П, но не многие знают, что это постоянное число, выражающее отношение длины окружности к радиусу, точно рассчитать не возможно, так как П является иррациональным и трансцендентальным числом. Использовать точное значение числа П для абсолютного большинства расчетов нет никакой практической необходимости, поэтому люди обычно пользуются приближенным значением П, допускающим некоторый, хотя и очень малый, но процент погрешности. Вот и выходит, что как окружность ни крути, а она все еще остается загадкой. Ну а чтобы закруглить этот парадокс, отмечу, что в современной геометрии прямая линия может рассматриваться, как часть окружности с бесконечно большим радиусом, т.е. является как бы элементарным отрезком. Такие дела.

Третий важный элемент геометрии — это поверхности

Поверхности, как и линии бывают разными, причем разнообразие поверхностей еще больше, чем линий.

3.1. Элементарная поверхность

Основная характеристика элементарной поверхности — площадь и вообще можно назвать элементарную поверхность элементарной частью площади. Для определения площади элементарной поверхности недостаточно знать только длину, необходимо оперировать еще и шириной. Таким образом элементарная поверхность — это уже элемент двухмерного мира. Как и линия, поверхность образована точками, минимум тремя, или линиями, как минимум тремя. Но с точки зрения классической геометрии это не совсем так. В геометрии Эвклида поверхность качественно новый элемент геометрии, связанный с предыдущими тем, что поверхность ограничивается линиями, поэтому определение поверхности как некоего элемента главная характеристика которого — площадь, вполне допустима.

3.2. Из элементарных поверхностей может слагаться поверхность сколь угодно большой площади

При этом как и в случае с линиями рассматривать все расстояния между точками вовсе не обязательно и даже расстояния между всеми линиями, которые могут быть образованы из этих точек — тоже не обязательно. Достаточно знать характеристики главных линий, я бы назвал эти линии характерными линиями. Характерные линии ограничивают поверхность, например черный квадрат Малевича ограничен 4 линиями.

3.3. Самая простая поверхность — плоская поверхность или как сейчас говорят — плоскость

Плоскость двухмерна, это означает, что плоскость всегда можно расположить так, что наблюдателю будет видна только одна линия. Например, плотники с древнейших времен проверяют точность обработки деревянного бруса, смотря на исследуемую поверхность так, чтобы линия, ограничивающая начало поверхности, совпала с линией, ограничивающей конец поверхности.

Плоскость — это частный случай всех возможных плоскостей, но как и прямая линия, плоскость очень важна для решения задач геометрии. Более того, прямая линия и плоскость интуитивно понятны даже людям, никогда геометрию не изучавшим. Например, когда человеку нужно добраться из точки А в точку В, то он старается проложить маршрут, максимально близкий к прямой линии, а если путь будет проходить по равнине, а не по пересеченной местности, то совсем хорошо. А еще люди делают тоннели в горах и засыпают овраги, чтобы сделать дорогу из одного пункта в другой максимально приближающейся к прямой линии.

И точка и линия и поверхность в геометрии могут рассматриваться и как отдельные элементы и как формообразующие элементы, например, точка формообразующий элемент для линии, а линия формообразующий элемент для поверхности. Также точка, линия и поверхность могут быть общими элементами геометрических фигур.

Для основной части школьного курса геометрии этих элементов вполне достаточно, да и у Евклида трехмерные геометрические фигуры рассматриваются в книгах XI-XIII. Тем не менее хочется закончить этот ряд.

Четвертый важный элемент геометрии — это тело

Тело — это трехмерная геометрическая фигура. Большинство предметов окружающего нас мира представляют собой трехмерные тела. Основная характеристика тела — объем. Для определения объема тела недостаточно знать только длину и ширину, нужно знать еще и высоту. Ограничивается тело поверхностями.

4.1. Элементарное тело — это тело, имеющее элементарный объем

Например, при определении свойств материалов с кристаллической решеткой используется понятие — элементарная ячейка кристаллической решетки, характеризуемое расстояниями между атомами решетки. Суть этого понятия в том, что для определения геометрических свойств решетки нет необходимости рассматривать все элементарные ячейки, достаточно описать свойства только элементарной ячейки. Очень условно элементарное тело можно рассматривать, как подобие элементарной ячейки кристаллической решетки.

4.2. Из элементарных тел может быть образовано тело сколь угодно большого объема

4.3. Самое простое тело — это куб, так как оно ограничено плоскостями, при этом плоскости ограничены прямыми линиями

А теперь закончим этот ряд:

Линия, состоящая из нескольких элементарных отрезков, может быть одномерной, двухмерной и трехмерной. Поверхность, состоящая из нескольких элементарных поверхностей, может быть двухмерной и трехмерной. Тело любое — только трехмерным. С точки зрения геометрии (если условия задачи позволяют) любое из окружающих нас материальных тел, имеющих вполне определенный объем, может рассматриваться, как геометрическая точка.

Например, если нужно определить расстояние от одной звезды до другой, то учитывать при этом объемы звезд и уточнять, что определяется расстояние между центрами звезд, вовсе не обязательно, так как расстояние между звездами значительно больше чем диаметры звезд. Другими словами, если подобное уточнение даст изменение результата в пределах нескольких тысячных процента и даже менее, то нет большого смысла тратить время на подробные вычисления.

Примечание 2: Считается, что первым теорию относительности сформулировал Эйнштейн, однако основы теории относительности сформулировали далекие предки Эйнштейна — шумеры, даже задолго до Евклида. Ведь они первые ввели понятие процента. А процент — это и есть основа теории относительности. Ведь что такое, например расстояние между двумя звездами в 100000 световых лет или состояние человека в 100000 денежных единиц? Это некие абсолютные величины, по большому счету человеку ни о чем не говорящие. А вот рассмотрение этих величин по отношению к чему-либо сильно влияет на человеческое восприятие. Например, если на эти самые 100000 денежных единиц можно купить 5 булочек, то это в общем-то хорошо, но на прожить не хватит. А вот если на эти же самые 100000 денежных единиц можно купить 5 хлебобулочных заводов — это совсем другое дело. Недаром процент с древнейших времен использовался как один из важнейших критериев оценки окружающего нас мира. Конечно, современное понятие процента намного шире, но подробное рассмотрение этого понятия в цели данной статьи не входит.

Таким образом в геометрии есть 4 формообразующих элемента из которых может быть образована любая геометрическая фигура. Эти перечисленные выше элементы характеризуются абсолютными характеристиками длиной, шириной и высотой

Рисунок 1. а) Условное изображение физического тела, состоящего из атомов

б) геометрическая модель физического тела или просто геометрическое тело

На рисунке 1.б) точка показана фиолетовым цветом, линия — малиновым цветом, плоскость — розовым цветом. А еще любое тело можно рассматривать, как образованное некоторым количеством параллельных плоскостей, а если эти плоскости имеют постоянную высоту и ширину, то как и в случае с прямой линией рассматривать все эти плоскости совершенно не обязательно, достаточно определить основные характеристики только для одной плоскости. Так современный школьный курс геометрии на 90% посвящен рассмотрению свойств плоских фигур. Теперь, после ознакомления с формообразующими элементами можно бы и начать более полное изучение геометрии, но

В геометрии есть еще один очень важный элемент, который по праву можно назвать пятым элементом — это угол

Угол — это часть целого и вместе с тем относительная характеристика геометрических фигур

По большому счету длина, ширина и высота также не являются абсолютными характеристиками, например длина линии — это расстояние между двумя точками, а значит характеристика одной точки относительно другой. Тем не менее размеры можно считать абсолютными понятиями по отношению к такой характеристике как угол. Особенность угла в том, что размеры линий, поверхностей или тел, образовавших данный угол, не имеют принципиального значения. Для определения угла важно только взаимное расположение геометрических фигур, угол образовавших.

Как и другие элементы геометрии, углы бывают разными, но как правило для решения большинства задач геометрии люди используют малую часть возможных углов. Так из всех возможных углов чаще всего рассматривается плоский угол. Такой угол может быть образован двумя линиями, находящимися в одной плоскости.

Из плоских углов наибольшее значение имеет прямолинейный угол. Такой угол образован не просто линиями, а прямыми линиями, что позволяет определить характеристики угла максимально просто.

Из прямолинейных углов выделяются еще два частных случая: прямой угол и развернутый угол.

Если при пересечении двух прямых образуются 4 одинаковых угла, то такие углы называются прямыми, а линии называются перпендикулярными друг другу

А в целом такие прямые образуют упоминавшийся нами крест — древнейший человеческий оберег, используемый людьми задолго до появления христианства и символизирующий защиту от темных сил со всех четырех сторон света. Мне кажется вполне вероятным, что если бы наши предки использовали понятие трех сторон света или трех времен года, то современная геометрия была бы совсем другой, так как в процессе человеческого познания нет ничего не нужного и не важного. Кстати и сейчас некоторое целое может быть разбито углами на 360 частей, называемых градусами, когда-то эти 360 частей означали количество дней в календарном году и были получены разбиением зодиакального круга. Изображение зодиакального круга можно увидеть во вступительной статье.

Если прямая образована из отрезков, то угол между всеми отрезками является развернутым

Это означает, что никаких изменений параметров в общих точках не происходит, что позволяет рассматривать не каждый отрезок прямой линии в отдельности, а всю прямую линию в целом. Таким образом развернутый угол — это как бы показатель стабильности. Например, если четыре нижних точки на рисунке 1.а) соединить отрезками, то в итоге мы получим прямую линию состоящую из трех отрезков.

Также тут стоит упомянуть и о нулевом угле. Например, если рассматривать две прямые, расположенные в одной плоскости (например, прямые ограничивающие плоскость на рисунке 1.б) сверху и снизу), то угол между ними условно можно считать нулевым или развернутым в зависимости от того, какие точки будут приниматься за начало линий. Условно — потому что не существует точки пересечения параллельных прямых (в евклидовой геометрии), а значит и угла никакого нет, ни нулевого ни развернутого.

Главными характеристиками угла в свою очередь являются синус и косинус

Значения синуса и косинуса можно условно сравнить с коэффициентом полезного действия. Коэффициент полезного действия — очень важный показатель для человека, чем ближе этот показатель к 100% или к единице, тем человеку приятнее, проще говоря, никто не любит делать дурную работу.

Так синус прямого угла равен единице или 100%, а синус развернутого угла и нулевого угла = 0. Попробуем проиллюстрировать это на примере определения площади плоской геометрической фигуры. Например плоскость, показанная на рисунке 1.б) может рассматриваться как план комнаты. Комната образована 4 линиями — стенами. При этом даже если длина стен будет постоянной и одинаковой, то площадь комнаты может сильно изменяться в зависимости от значения углов между стенами:

На рисунке 2 показаны плоские геометрические фигуры образованные прямыми линиями одинаковой длины. При этом даже без подробных расчетов понятно, что максимальная площадь будет у квадрата — рисунок 2.а). Квадрат — это частный случай прямоугольника. А прямоугольник — это такая плоская фигура, ограниченная параллельными линиями, у которой длина боковых линий равна высоте фигуры, а кроме того углы между всеми сторонами — прямые.

А вот если строители плохо учились в школе и не выдержали прямые углы между стенами, при этом длина стен не изменилась, то вполне может получиться ромб, показанный на рисунках 2.б) или 2.в). Это может показаться шуткой, но я в своей жизни такие комнаты наблюдал неоднократно, хотя и не в таком явном виде, как показано на рисунках. Ромб — плоская геометрическая фигура, у которой все стороны равны и соответственно противоположные границы параллельны, однако углы между смежными линиями не равны прямому. Как видно из этих рисунков, чем больше угол между смежными линиями отличается от прямого, тем меньше площадь фигуры.

Если повернуть левую боковую сторону на все 90 о , то в итоге получится линия, равная сумме длин нижней и боковой сторон и вообще никакой площади не имеющая, так как у линии никакой высоты нет.

Площадь показанных на рисунке 2 фигур равна произведению длины на высоту. Длина у всех фигур условно одинаковая — это нижняя стена, а вот высота (показана на рисунке 2 синим цветом) — разная. А высота во всех случаях равна произведению длины боковой стороны на синус угла между смежными стенами. Вот и получается, что синус как бы показывает коэффициент полезного действия, т.е. при прямом угле между смежными сторонами квадрата площадь квадрата максимальна, а при нулевом угле (развернутом угле) площадь равна нулю.

А если рассматривать геометрическую фигуру, образованную боковой стеной, высотой и красной линией, то это будет прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Если длина боковой стены — радиуса окружности = 1, то синяя линия — это синус угла, а еще противолежащий катет, а красная линия — это косинус угла, а еще прилежащий катет, а боковая наклонившаяся стена — гипотенуза. Таким образом косинус прямого угла равен нулю, а косинус развернутого угла = -1, косинус нулевого угла = 1.

Получить такие геометрические фигуры можно с помощью обычного детского магнитного конструктора. Достаточно взять 4 палочки и 4 шарика и соединить их между собой так, чтобы получился квадрат, а затем надавить соответствующим образом на один из шариков. При этом квадрат будет постепенно превращаться в ромб, показанный на рисунке 2.б), а если давить и дальше, то и в ромб, показанный на рисунке 2.в. При этом общая точка для нижней и левой боковой линии станет центром вращения для левой боковой стороны, а сама левая боковая сторона станет радиусом окружности.

Конечно же человеку, решая различные возникающие перед ним задачи, приходится иметь дело не только с прямым и развернутым углом, но также и со всеми остальными. А чтобы каждый раз не вычислять значения синуса, косинуса и других тригонометрических функций, люди пользуются соответствующими таблицами или калькулятором, который сам все посчитает, для того он и придуман.

Это далеко не все, что можно рассказать о формообразующих элементах, но для начала хватит.

Надеюсь, уважаемый читатель, информация, представленная в данной статье, помогла вам хоть немного разобраться в имеющейся у вас проблеме. Также надеюсь на то, что и вы поможете мне выбраться из той непростой ситуации, в которую я попал недавно. Даже и 10 рублей помощи будут для меня сейчас большим подспорьем. Не хочу грузить вас подробностями своих проблем, тем более, что их хватит на целый роман (во всяком случае мне так кажется и я даже начал его писать под рабочим названием «Тройник», на главной странице есть ссылка), но если я не ошибся в своих умозаключениях, то роману быть и вы вполне можете стать одним из его спонсоров, а возможно и героев.

После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 0121 5641

Кошелек webmoney: R158114101090

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей: Нет Переходов на сайт: 9182 Комментарии:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

А что она представляет собой с точки зрения геометрии

Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках. Название науки «геометрия» — древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов ge — «Земля» и metreo — «измеряю».

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion — «столик», от которого произошло также слово «трапеза» и другие родственные слова. Термин «линия» возник от латинского linum — «лен, льняная нить».

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В замечательной книге «Диалектика природы» Ф. Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр академик А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира. Что это значит и какое это имеет значение для школьной геометрии, попытаемся раскрыть в этой статье.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала» (см, Евклид и его «Начала»). В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А. П. Киселева, по которому советская школа работала до середины этого столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли Канта становится понятным, если мы проследим процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка. Дети много тысяч раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: угол дома или обрез книжной страницы, натянутую нитку или луч света, край стола или двери – все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». То же относится к прямым углам и перпендикулярам (которые мы видим с детства на каждом шагу), окружностям (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), параллелограммам и другим фигурам. Отраженные в сознании, эти представления подготавливают восприятие геометрических понятий. Учитель же систематизирует, упорядочивает эти представления и дает школьникам соответствующий термин, завершающий и закрепляющий образование понятия.

«Геометрия – правительница всех мысленных изысканий». М. В. Ломоносов

Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русскою математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в. Г. Ф. Б. Риману. Он открыл способ построения бесконечно многих «геометрий», которые локально, «в малом» устроены почти так же, как и евклидова геометрия, но обладают «кривизной», сказывающейся при рассмотрении больших кусков пространства. По преданию, К. Ф. Гаусс, обогативший математику многими замечательными открытиями (в том числе и в области геометрии), ушел после доклада Римана, глубоко задумавшись над ошеломившими его новыми геометрическими идеями.

Интересно проследить связь геометрических идей с современной физикой. Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора, пришедшее в математику из механики. Но в отношении неевклидовых геометрий дело обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики под воздействием ее внутренних потребностей и ее собственной логики развития, эти новые геометрические понятия проложили пути создания современной физики. В частности, геометрия Лобачевского нашла применение в специальной теории относительности, стала одной из математических основ этой теории, а риманова геометрия служит фундаментом общей эйнштейновской теории относительности. Можно даже сказать, что общая теория относительности – это больше геометрия, чем физика, и здесь обнаруживается влияние идей немецкого математика Д. Гильберта, который сотрудничал с А. Эйнштейном при создании этой теории. Важные приложения имеет риманова геометрия в теории упругости и в других разделах физики и техники.

Нечто похожее произошло и с другим разделом современной геометрии – с так называемым выпуклым анализом. Начала теории выпуклых фигур были заложены в XIX в. немецким математиком Г. Минковским. Несколько красивых теорем, полученных им, привлекли внимание математиков к новой теории. Однако поскольку они не находили применения в других разделах математики, а тем более в естествознании, то в то время создалось впечатление, что Минковский создал очень изящную, но совершенно бесполезную математическую игрушку. Но прошли десятилетия, и совершенно неожиданно теоремы о выпуклых множествах нашли различные применения: сначала в самой математике (при решении геометрических экстремальных задач), а затем в математической экономике, теории управления и других прикладных областях.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают се с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи – с математическим анализом. А некоторые разделы современной математики таковы, что трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.

Геометрия не только обогатилась новыми направлениями, находящимися далеко за пределами той колыбели, из которой она выросла, евклидовой геометрии. Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь аналитическая геометрия, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линий второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы). Теоремы об этих линиях, найденные древнегреческим ученым Аполлонием и некогда считавшиеся вершиной геометрии, сейчас с помощью методов аналитической геометрии изучаются в вузах и техникумах.

В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права гражданства в математике. С 60-х гг. нашего столетия векторы заняли прочное место и в школьном курсе геометрии. Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие (которые раньше было доказать довольно трудно) стали легкими упражнениями на применение скалярного произведения векторов. Но роль векторов не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкие применения в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Так, скалярное произведение вектоpa силы и вектора перемещения есть работа, векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля есть сила воздействия этого поля на проводник и т.д. Как видите, и здесь геометрия диктовала физике введение новых понятий, а не наоборот. А впоследствии, при рассмотрении многомерных пространств (о которых речь еще впереди), скалярное произведение приобрело еще больший вес и значение и стало важным рабочим аппаратом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложений.

Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника. Но для Евклида движение не было математическим понятием. Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика XIX-XX вв. Ф. Клейна, который при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли движений в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название Эрлангенской программы. Идею Клейна можно пояснить следующим образом.

Геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются равными, или конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция любых двух движений и (т. е. результат их последовательного выполнения) также является движением; кроме того, если — произвольное движение, то обратное отображение также является движением. Эти свойства коротко выражают следующим образом: движения образуют группу. Таким образом, группа движений задает, определяет евклидову геометрию. Но группа движений не единственная известная нам группа преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу и т.д. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет «свою геометрию». Например, можно рассматривать аффинные преобразования, которые каждую прямую взаимно-однозначно отображают на некоторую другую прямую, но при этом могут не сохранять (в отличие от движений) ни расстояний, ни углов, ни площадей. Множество всех аффинных преобразований плоскости (или пространства) представляет собой группу. Эта группа задает некоторую геометрию, которая носит название аффинной геометрии. Групповая точка зрения на геометрию позволяет с единых позиций рассмотреть многие различные геометрии: евклидову, геометрию Лобачевского, аффинную, проективную геометрию и др.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф Е. С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике; принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности является группа Лоренца; по существу, эта теория представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства – времени», определяемую группой Лоренца. Важные приложения находит групповая точка зрения и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура определяет некоторую группу движений; в эту группу входят все те движения, которые переводят фигуру в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры . Знание группы самосовмещений фигуры во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Возьмем, например, параллелограмм общего вида, т.е. не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом (рис. 1). Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение (оставляющее все точки плоскости на месте) и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя, нет. Таким образом, группа самосовмещений параллелограмма состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию , вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны, и т.д.

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Г. Галилей

Группа самосовмещений ромба содержит кроме и еще две осевые симметрии и относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба (рис. 2). Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения и , вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих всякому параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним (рис. 3), состоит из двух элементов , где — осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам, и т.д. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений.

Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Итак, XIX в. привнес в евклидову геометрию много нового, и прежде всего векторные методы и групповой подход. Есть и еще одно направление развития геометрии, появившееся в рамках евклидовой геометрии в XIX в., — многомерные пространства. Возникли они путем обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трехмерном пространстве. На плоскости каждая точка задается в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В -мерном же пространстве точка задается координатами, т.е. записывается в виде , где — произвольные действительные числа (координаты точки ). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве — три, а в -мерном пространстве система координат содержит осей, причем каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу! Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живем, математически хорошо описывается трехмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трехмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырехмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: «Но ведь такого же не бывает, не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!». Есть и другие парадоксы четвертого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри — кружок, то, как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая ее, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью. Аналогично дело обстоит и в пространстве. Если имеется сфера (оболочка), внутри которой заключен шарик, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из нее этот шарик. Но если бы существовало четвертое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трехмерным пространством в направлении четвертого измерения, а затем положить его снова в трехмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удается, приводят как довод против существования четвертого измерения. Довод ошибочен, так как в нем спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном пространстве четвертое измерение? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырехмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел , исследовать свойства этих «четырехмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно строя таким образом геометрию четырехмерного (или, вообще, -мерного) пространства. Но математическая непротиворечивость -мерной геометрии еще недостаточна для суждения о ценности этой теории. В чем же состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трехмерного мира до столь далеких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим два примера, которые подведут нас к -мерной геометрии.

Пример 1. Сумма чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай , затем , а потом обсудим ситуацию при .

Итак, пусть сначала . Иначе говоря, рассматриваются числа , удовлетворяющие условию , и требуется найти, в каком случае сумма квадратов будет наименьшей.

Уравнение определяет на координатной плоскости прямую (рис. 4). Рассмотрим окружность с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка ). Если точка прямой отлична от , то она лежит вне окружности и потому больше радиуса этой окружности, т. е. . Если же , то сумма равна , т.е. именно для точки эта сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при ).

Пусть теперь . Уравнение определяет в пространстве плоскость . Рассмотрим сферу с центром в начале , касающуюся этой плоскости в некоторой точке (рис. 5). Для любой точки , отличной от , ее расстояние от точки больше радиуса сферы , , и потому , а при имеем . Таким образом, именно для точки сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет равные координаты: (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: ; , , и плоскость , и сфера переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как , то точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной задачи (для ).

Рассмотрим, наконец, произвольное ; рассуждения будем вести в -мерном пространстве, точками которого являются последовательности , состоящие из действительных чисел. Уравнение определяет в этом пространстве «плоскость» , имеющую размерность (например, при , т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность , гиперплоскостями в -мерном пространстве. Рассмотрим сферу с центром в начале координат , касающуюся гиперплоскости в некоторой точке . Все точки гиперплоскости , кроме , лежат вне сферы , т.е. находятся от начала координат на расстоянии, большем, чем радиус сферы , а точка находится от на расстоянии, равном . Следовательно, сумма принимает в точке наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости . Заметим теперь, что все координаты точки равны между собой: (поскольку поворот пространства, переставляющий оси , переводит гиперплоскость в себя и сферу тоже в себя, а потому оставляет точку неподвижной), откуда . Итак, при сумма квадратов принимает наименьшее значение для .

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями -мерной геометрии, но характер этого решения и польза -мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах в соответствии с данными, указанными в таблице.